FUNCIONES. CARACTERISTICAS TEORIA CONCEPTOS BASICOS DEFINICIONES Una función liga dos variables numéricas a las que, habitualmente, se les llama "x"e"y". • "x" es la variable independiente. • "y" es la variable dependiente (depende de la "x"). La función, que se suele denominar y = f(x), asocia a cada valor de x un único valor de y : x => y = f(x) Para visualizar el comportamiento de una función, recurrimos a su representación grafica: sobre unos ejes cartesianos, con sendas escalas, representamos las dos variables: • La x sobre el eje horizontal o eje de abscisas. • La y sobre el eje vertical o eje de ordenadas. Cada punto de la grafica tiene dos coordenadas, su abscisa, x, y su ordenada, y. Se llama dominio de definición de una función, f, y se designa por Dom f o D(f), al conjunto de valores de x para los cuales existe la función. Se llama recorrido de f y se designa Rec(f) o R(f), al conjunto de valores que toma la función. Es decir, al conjunto de valores de y para los cuando hay un x tal que f(x) = y COMO SE NOS PRESENTAN LAS FUNCIONES 1 . MEDIANTE SU REPRESENTACION GRAFICA Como mejor se puede apreciar el comportamiento global de una función es mediante su representación grafica. Por eso, siempre que pretendamos analizar una función, intentaremos representarla gráficamente, cualquiera que sea la forma en la cual, en principio, nos venga dada. 2 . MEDIANTE UN ENUNCIADO Cuando una función viene dada por un enunciado o una descripción, la idea que nos podemos hacer de ella es, casi siempre, cuantitativamente poco precisa. Pero si el enunciado se acompaña con datos numéricos, la función puede quedar perfectamente determinada. 3. MEDIANTE UNA TABLA DE VALORES Con frecuencia se nos dan los datos de una función mediante una tabla de valores en la cual se obtienen directamente los datos buscados, aunque en otros casos, hay que efectuar complejos cálculos para obtener lo que se busca. 4. MEDIANTE SU EXPRESION ANALITICA O FORMULA La expresión analítica es la forma mas precisa y operativa de dar una función. Pero requiere un minucioso estudio posterior. DOMINIO DE DEFINICION Y EXPRESION ANALITICA 1. DEFINICION Se llama dominio de definición o simplemente dominio de una función f, y se designa por D(f) = Dom (f), al conjunto de valores de x para los cuales existe la función, es decir, para los cuales hay un f(x). 2. RESTRICCIONES DEL DOMINIO El dominio de una función puede quedar restringido por una de las siguientes causas: •Imposibilidad de realizar alguna operación. Valores que anulen el denominador. Raíces de índice par de números negativos. • Contexto real del cual se ha extraído la función. • Voluntad de quien propone la función. RECORRIDO DE UNA FUNCION 1. DEFINICION Se llama recorrido de una función f, y se designa por R(f), al conjunto de valores de y para los cuales existe x, es decir, conjunto de valores que toma la variable dependiente "y". 2. CALCULO DEL RECORRIDO Para calcular el recorrido de una función, se dibuja y luego se estudia sobre el eje de ordenadas. PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES DE COORDENADAS 1. PUNTOS DE CORTE CON EL EJE DE ABSCISAS, OX Como el eje de abscisas, tiene de ecuación y = 0, los puntos serán de la forma (x0, 0) 2. PUNTOS DE CORTE CON EL EJE DE ORDENADAS, OY Como el eje de ordenadas, tiene de ecuación x = 0, los puntos serán de la forma (0, yo). DISCONTINUIDADES. CONTINUIDAD 1. IDEA INTUITIVA La idea de función continua es la de que puede ser representada con un solo trazo. Una función que no es continua presenta alguna discontinuidad. 2. DEFINICION DE CONTINUIDAD Una función se llama continua cuando no presenta discontinuidades de ningún tipo. Una función puede ser continua en un intervalo si solo presenta discontinuidades fuera de el. Las funciones con expresiones analíticas elementales son continuas en sus dominios. 3. • • • TIPOS DE DISCONTINUIDADES Varias razones por las que una función puede ser discontinua en un punto: Tiene ramas infinitas en ese punto. Es decir, los valores de la función crecen o decrecen indefinidamente cuando la x se acerca al punto. Se dice que presenta una discontinuidad inevitable de salto infinito en ese punto. Presenta un salto. Se dice que presenta una discontinuidad inevitable de salto finito en ese punto. No esta definida (le falta un punto) 6 el punto que parece que le falta lo tiene desplazado. Se dice que presenta una discontinuidad evitable en ese punto. TENDENCIA Y PERIODICIDAD 1. TENDENCIA Hay funciones en las que, aunque solo conozcamos un trozo de ellas, podemos predecir como se comportaran lejos del intervalo en que han sido estudiadas, porque tienen ramas con una tendencia muy clara. Estas ramas reciben el nombre de asíntotas. Existen tres tipo de asíntotas: • Asintotas verticales: x = a • Asintotas horizontales: y = b • Asintotas oblicuas: y = mx + n 2 PERIODICIDAD Función periódica; es aquella cuyo comportamiento se repite cada vez que la variable independiente recorre un cierto intervalo. La longitud de ese intervalo se llama periodo. MONOTONIA, MAXIMOS Y MINIMOS 1. MONOTONIA Una función es creciente cuando al aumentar la x aumenta la y. Una función es decreciente cuando al aumentar la x disminuye la y. 2. MAXIMOS Y MINIMOS Una función presenta un máximo absoluto en un punto cuando es el valor mas alto de su representación grafica. Este punto debe de ser del dominio. Una función presenta un mínimo absoluto en un punto cuando es el valor mas bajo de su representación grafica. Este punto debe de ser del dominio. Una función presenta un máximo relativo en un punto cuando en dicho punto la función pasa de creciente a decreciente. Este punto debe de ser del dominio. Una función presenta un mínimo relativo en un punto cuando en dicho punto la función pasa de decreciente a creciente. Este punto debe de ser del dominio. 3. TASA DE VARIACION MEDIA (T.V.M) Para medir la variación (aumento o disminución) de una función en un intervalo se utiliza la tasa de variación media. Se llama tasa de variación media de una función f en el intervalo [a,b] al cociente entre la variación de la función y la longitud del intervalo. T.V.M de f en [a,b] =(f(b)-f(a)) / (b-a) La T.V.M. de f en [a,b] es la pendiente del segmento AB. EJERCICIO 1 : Indica cuáles de las siguientes representaciones corresponden a la gráfica de una función.Razona tu respuesta: Solución: a) y c) son funciones, porque para cada valor de “x” hay un único valor de “y”. b) no es una función, porque para cada valor de “x” hay dos valores de “y”. EJERCICIO 2 : Dada las gráficas de las siguientes funciones, estudia sus propiedades: Ejercicio 3 : La siguiente gráfica muestra la altura que alcanza una pelota en función del tiempo, desde que se lanza verticalmente hasta que cae por primera vez al suelo. a ¿Cuál es el dominio? b Indica la altura máxima que alcanza y en qué momento. c ¿Durante cuánto tiempo la altura es superior a 300 m? d. Describe el crecimiento y el decrecimiento de la función explica su significado dentro del contexto del problema Ejercicio 5 : La siguiente gráfica muestra el recorrido que hizo Cristina durante un día de excursión desde que salía del albergue hasta que regresó. a Indica cuál es el dominio. b ¿Qué distancia máxima se aleja del albergue? c ¿Cuánto tiempo dedica a descansar? d Describe el crecimiento y el decrecimiento de lagráfica y explica su significado dentro del contexto del problema. Ejercicio 6 : La siguiente gráfica muestra el volumen de reservas de una cadena hotelera a lo largo de un año: a ¿Cuál es el dominio? b ¿En qué mes se produce mayor número de reservas? ¿Cuántas hay? c ¿En qué periodo del año las reservas están por encima de las 15.000? d ¿En qué mes el número de reservas es de 5.000? e . Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la función. FUNCIONES ELEMENTALES DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES LINEALES 1 - FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD: y = mx Las funciones de proporcionalidad se representan mediante rectas que pasan por el origen. Describen una proporción entre los valores de las dos variables. La pendiente de la recta es la razón de proporcionalidad. 2 - FUNCION CONSTANTE: y = n Se representan mediante una recta paralela al eje X. Su pendiente es 0. La recta y = 0 coincide con el eje X. 3- FUNCIÓN GENERAL: y = mx + n Su representación es una recta de pendiente m que corta al eje Y en el punto (0,n). Al numero n se le llama "ordenada en el origen". PARABOLAS Y FUNCIONES CUADRATICAS 1. FUNCIONES CUADRATICAS Las funciones y = ax 2 + bx + c, con a distinto de 0 llamadas cuadráticas, se representan todas ellas mediante parábolas y son continuas en todo R. Cada una de estas parábolas tiene un eje paralelo al eje Y. Su forma (hacia arriba, hacia abajo, mas ancha, mas estrecha,...) depende del coeficiente de la x2 "a", del siguiente modo: • Si dos funciones cuadráticas tienen el mismo coeficiente de x2, las parábolas correspondientes son idénticas, aunque pueden estar situadas en posiciones distintas. • Si a >0 tiene las ramas hacia arriba, es decir, es convexa. Si a < 0, tiene las ramas hacia abajo, es decir, es cóncava. • Cuanto mayor sea |a|, mas estilizada es la parábola. 2. REPRESENTACION DE FUNCIONES CUADRATICAS Las funciones cuadráticas se representan mediante parábolas y la forma de éstas depende, exclusivamente, del coeficiente de x2. Veamos algunos pasos que conviene dar para la representación de: y = ax2 + bx + c 1. Obtención de la abscisa del vértice: Vx = -b/2a 2. Obtención de algunos puntos próximos al vértice: Construcción de una tabla de valores con el vértice y un par de valores más pequeños y un par de valores más grandes. 3. Puntos de corte con los ejes: Con el eje X : y = 0 => Resolver la ecuación => Calcular x => (xo, O) Con el eje Y : x = 0 => Sustituir la x por cero y hallar y => (0,y0) 4. Representación: Escogemos sobre los ejes unas escalas adecuadas que nos permitan plasmar la información obtenida. EJERCICIO 1 . Halla la pendiente, la ordenada en el origen y los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la recta 5x - 6y + 2 = 0. Represéntala gráficamente EJERCICIO 2 : Representa gráficamente las siguientes funciones: a) y=-2/5x+2 b) y=-3/2 c) y=5/3x EJERCICIO 3 : Representa gráficamente las siguientes parábolas a) y = 1/2x2 - x – 3/2 Solución: d) y = -25x2 + 75x e) y = - x2+ 2x – 1 PROBAS DE ANOS ANTERIORES EXERCICIO 1 O seguinte gráfico representa as variacións na velocidade (en quilómetros por hora) dun coche durante 10 minutos. Indique que resposta corresponde ao gráfico. A. O coche aumentou tres veces a súa velocidade e ao final detívose. B. O coche aumentou tres veces a súa velocidade, reduciu a súa velocidade dúas veces e circulou con velocidade constante dúas veces. C. O coche aumentou tres veces a súa velocidade, reduciu a súa velocidade dúas veces e non circulou con velocidade constante en ningún momento. EXERCICIO 2 Considere a seguinte relación entre dúas variables x= - 2/y2 .Entón o que se cumpre é: A. Canto máis aumenta o valor da variable “y” máis se reduce o da variable “x”. Ademáis, o valor da variable “x” sempre é positivo para calquera valor da variable“y”. B. Canto máis aumenta o valor da variable “y” máis se reduce o da variable “x”. Ademáis, o valor da variable “x” sempre é negativo para calquera valor da variable “y”. C. Canto máis aumenta o valor da variable “y” máis aumenta o da variable “x”. Ademáis, o valor da variable “x” sempre é negativo para calquera valor da variable “y”. EXERCICIO 3 Un microbús realiza unha viaxe e a seguinte gráfica reflicte o contido de gasóleo do depósito segundo vai transcorrendo a viaxe. Daquela: A. O autobús botou gasóleo en tres ocasións e cargou un total de 75 litros. B. O autobús consumiu 100 litros de gasóleo na viaxe. C. A segunda vez que botou gasóleo o autobús estivo, ademais, dúas horas parado. EXERCICIO 4 Unha persoa sae a camiñar; o gráfico representa o tempo transcorrido e a distancia percorrida. Daquela: A. A persoa estivo camiñando 10 horas seguidas e percorreu 18 quilómetros. B. A persoa empregou en percorrer 18 quilómetros un total de 10 horas, pero detívose nunha ocasión. C. A persoa empregou en percorrer 18 quilómetros un total de 10 horas, pero detívose en dúas ocasións. EXERCICIO 5 Considere a seguinte relación entre dúas variables: x 3 y2 1 e os valores positivos da varia-ble y. Daquela o que se cumpre é: A. Canto máis aumenta o valor da variable “y” máis se reduce o da variable “x”. Ade-mais, o valor da variable “x” sempre é positivo para calquera valor da variable “y”. B. Canto máis aumenta o valor da variable “y” máis aumenta o da variable “x”. Ademais, o valor da variable “x” sempre é negativo para calquera valor da variable “y”. C. Canto máis aumenta o valor da variable “y” máis se reduce o da variable “x”. Ade-mais, o valor da variable “x” sempre é negativo para calquera valor da variable “y”. EXERCICIO 6 Considere a expresión y 3 x 2 1 , entón: A. O valor da variable “y” sempre é positivo. B. O valor da variable “y” sempre é negativo. 2 , entón y=0 C. Se x EXERCICIO 7 Observando a seguinte gráfica espazo (e) – tempo (t) que corresponde ao movemento de dous ciclistas que fan o mesmo percorrido, podemos asegurar que: A. Os dous ciclistas soben unha montaña. B. O ciclista que sae máis tarde leva unha hora correndo cando adianta o outro ciclista. C. O ciclista que sae máis tarde adianta o outro ciclista cando leva percorridos 10 km. EXERCICIO 8 Na gráfica da cuestión anterior dedúcese que: A. Un ciclista leva unha velocidade de 10 km/h e o outro de 20 km/h. B. Un ciclista leva unha velocidade de 1.5 km/h e o outro de 2 km/h. C. Os dous ciclistas levan a mesma velocidade. EXERCICIO 9 A gráfica corresponde á función cuadrática que ten por ecuación: EXERCICIO 10 Observando a seguinte gráfica, que corresponde ao volume de auga en función do tempo en dous depósitos da mesma capacidade, podemos asegurar que: A. Un depósito énchese a razón de 2 m3 por minuto e outro baléirase a razón de 4 m3 por minuto. B Un depósito énchese a razón de 6 m3 por minuto e outro baléirase a razón de 3 m3 por minuto. C Os dous depósitos vanse enchendo segundo pasan os minutos. EXERCICIO 11 Na gráfica da cuestión anterior, dedúcese que: A. Aos dous minutos os dous depósitos conteñen a mesma cantidade de auga. B. Un dos depósitos contén 12 m3 de auga aos tres minutos. C. Aos seis minutos os dous depósitos están baleiros. EXERCICIO 12 Observando a seguinte gráfica que representa a distancia percorrida por un móbil en función do tempo, podemos asegurar que as distancias percorridas nas cinco primeiras horas e nas cinco horas seguintes son, respectivamente : A. 5 km / 10 km B. 15 km / 20 km C. 15 km / 5 km EXERCICIO 13 Unha característica da función anterior é: A. É unha función crecente. B. É unha función periódica de período 5. C. É unha función descontinua EXERCICIO 14 Sinale na táboa a gráfica da función que expresa a lonxitude da altura en función da base nun rectángulo de 4 m2 de área. EXERCICIO 15 Indique a gráfica que lle corresponde á función y = 2x – 1 EXERCICIO 16 O eixe de simetría da parábola de ecuación y =2 x 2 - 4x + 5 é: A. x = - 2 B. y = 1 C. x = 1 EXERCICIO 17 Un depósito énchese coa auga que sae dunha billa. Dous minutos despois de que se peche a billa un desaugadoiro empeza a baleirar o depósito. A gráfica representa o nivel de auga no depósito en función do tempo. Dedúcese que: A. A billa tarda máis tempo en encher o depósito que o desaugadoiro en baleiralo. B. O desaugadoiro tarda máis tempo en baleirar o depósito que a billa en enchelo. C. A billa tarda tanto tempo en encher o depósito como o desaugadoiro en baleiralo. EXERCICIO 18 A gráfica representa a temperatura (en ºC) dunha substancia, inicialmente en estado sólido, en función do tempo transcorrido (en minutos). Durante a fusión a temperatura mantense constante durante uns minutos, e o mesmo ocorre máis tarde durante a ebulición. Na gráfica obsérvase que: A. A fusión prolóngase durante 2 minutos e a ebulición durante 6 minutos. B. A fusión prodúcese a 10º C e prolóngase durante 4 minutos. C. A ebulición prodúcese a 50ºC e prolóngasedurante 2 minutos EXERCICIO 19 Da gráfica da cuestión anterior dedúcese que: A. Antes da fusión a temperatura aumenta a razón de 10º C por minuto, e despois da fusión a razón de 20º C por minuto. B. Antes da fusión a función é decrecente, e despois da fusión é crecente. C. Antes da fusión a temperatura aumenta a razón de 20º C por minuto, e despois da fusión a razón de 40º C por minuto. EXERCICIO 20 A función h(t) = 4t – t2 describe a altura dun obxecto en función do tempo transcorrido. Indique a súa gráfica. EXERCICIO 21 Considerando a función da cuestión anterior e supondo que a altura vén expresada en metros e o tempo en segundos, indique cando se atopa o obxecto a 3 m de altura. A. No instante t = 2s B. Nos instantes t = 1s e t =3s C. Nos instantes t = 0s e t = 4s. EXERCICIO 22 Considérese a función afín y = 3x - 2 . Indique que enunciado dos seguintes lle corresponde. A. Atopábase a 3 km de distancia e veu andando a unha velocidade de 2 km/h. B. Na floraría están de oferta, o prezo de cada planta é de 3 euros e por cada unha que merques levas dúas de regalo. C. Estabamos a 2 graos baixo cero cando chegamos e a temperatura empezou a subir a un ritmo de tres graos cada hora. EXERCICIO 23 Sinale unha característica da función que se representa na seguinte gráfica: A. A función é crecente de x=- 3 a x = 3 B. A función é continua. C. A gráfica da función é simétrica con respecto ao eixe Y.