Matemáticas Propedéutico para Bachillerato Introducción

Universidad Tec Milenio: Preparatoria
Matemáticas Propedéutico para Bachillerato
Matemáticas Propedéutico para Bachillerato
Actividad 14. Ley de exponentes (división).
Introducción
Ya aprendiste la multiplicación de expresiones algebraicas,
es importante que ahora aprendamos la operación inversa
de esta operación, ¿cuál es? La división. Al igual que en la
Aritmética el concepto de división es el mismo sólo que
ahora empleamos números y letras. Imagina que ahora te
dan un modelo matemático que representa el área de un
terreno rectangular donde la base es conocida y te
preguntan ¿cuánto mide la altura?
A  6 x 2  12 x
b  3x
h
h?
3x
1
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Introducción
Para poder contestar la pregunta requerimos de hacer una
división de polinomios, ya que se requiere encontrar el
valor de la altura.
Despejamos la incógnita h=?
h
Sustituimos los valores.
A
b
6 x 2  12 x
h
3x
Y al final de la actividad podrás obtener la respuesta.
Objetivos
Al terminar la actividad serás capaz de:
• Determinar el uso de la división de potencias en los
números reales.
• Determinar la división entre expresiones algebraicas.
• Calcular la evaluación de una expresión algebraica.
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División de potencias
Antes de estudiar las divisiones de expresiones
algebraicas, vamos a estudiar qué pasa con la división de
las potencias con números reales por lo que tenemos el
siguiente ejemplo.
25 2  2  2  2  2
23

222
 22  4
Por lo que podemos concluir que
Al dividir dos cantidades teniendo la misma base sus exponentes se
restan.
25
 2 53  2 2  4
23
¿Qué pasa cuando divido dos cantidades iguales?
5
1
5
Todos sabemos que al dividir una cantidad entre sí misma
el resultado es 1.
Exponente cero
Pero ahora vamos a ver y a deducir otra regla importante de
exponentes.
Volvamos a nuestro ejemplo anterior.
5 51
 1  511  50  1
5 5
Recuerda que si no se pone exponente a un número o a
una variable se asume que lleva un uno, pero no se escribe.
Por lo que deducimos que:
Cualquier cantidad elevada a la potencia cero es 1.
49
 49 9  4 0  1
9
4
a8
 a 8 8  a 0  1
8
a
3
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Exponentes negativos
En ocasiones al realizar la división el exponente resultante
es un valor negativo.
a3
 a 3 5  a  2
5
a
a3
aaa
1
1


 2
5
a
aaaaa aa a
a 2 
Por lo que podemos expresar:
a n 
1
a2
1
an
División de potencias
Vamos a ver algunos ejemplos de lo que hemos aprendido:
Expresión
a8
a2
8a 3 b 4
2a 2 b
a6
4ab 3
 3ab 3
9a 2b 3
( 2 a 4 b 3 ) 3
 16a 2b
 3a 5 
 7 
 6b 
Simplificada
1
1
 a 1  
3
3a
 8a12b 9 a10b8

2
 16a 2b
0
1
4
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División de expresiones algebraicas
Ahora sí vamos a realizar divisiones con expresiones
algebraicas. En esta actividad sólo veremos las divisiones
de polinomios entre monomios, en cursos más avanzados
verás la división de polinomio entre otro polinomio.
Recuerdas el ejemplo de la introducción, vamos a
retomarlo:
2
Se tiene un terreno rectangular cuya área es A  6 x  12 x
Si su base es 3x, ¿cuál será su altura?
Primero debemos recordar que la fórmula que involucra
los datos conocidos y la incógnita es el área de un
Incógnita
rectángulo.
A  bh
División de expresiones algebraicas
A
b
2
6 x  12 x
h
3x
Despejamos la incógnita: h 
Sustituimos los datos:
Observa que en el denominador tengo un monomio, por lo
cual puedo separar los términos de la división, si fuera un
binomio o más términos en el denominador NO se podría
realizar la separación.
2
h
6 x 12 x

 2x  4
3x
3x
Por lo que podemos concluir que el terreno tiene las
siguientes dimensiones:
2x  4
3x
5
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Evaluación de valores con expresiones
algebraicas
Evaluar una expresión algebraica, significa que las
variables tomen cierto valor numérico.
Observa el siguiente ejemplo:
Evalúa la expresión 3 x 2  4 x para cuando x = 0, ó x=2 ó
x=-2
Por lo que tendremos las siguientes operaciones:
Para x = 0
3(0) 2  4(0)  0  0  0
Para x = 2
3(2) 2  4(2)  12  8  4
Para x = -2
3(2) 2  4(2)  12  8  20
Evaluación de expresiones algebraicas
¿Cuál es la interpretación el que una variable tome
diferentes valores?
Suponte que requieres tomar un taxi y el chofer te dice que
te cobra $11.00 por el banderazo y $8.00 por km que
avance y tú te preguntas ¿cuánto pagaré si recorro 12 km o
si son 15 km? Pues primero debes plantear tu modelo
matemático y después evaluarlo para las diferentes
variable.
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Evaluación de expresiones algebraicas
 costo 
costo final  costo inicial  
km avanzado
 km 
Vamos a asignarle nombres:
cos to
km
C f  Costo final
C1 
Co  Costo inicial
x  km avanzado
Por lo que nuestro modelo matemático queda:
C f  Co  C1 x
Evaluación de expresiones algebraicas
Observa bien los datos que nos dieron y la incógnita
¿cuáles son coeficientes? ¿cuáles son constantes? ¿cuál
es la variable?
Variable
C f  Co  C1 x
Constante
Sustituimos los valores conocidos
variable
Coeficiente
C f  11 8 x
Si x = 12 km entonces C f  11  8(12)  $107
Si x = 15 km entonces C f  11  8(15)  $131
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Bibliografía
Zamora Muñóz, Salvador, Gerardo Vázquez Monroy y
Lorenzo Sánchez Álvarez. Matemáticas 1 Álgebra
Bachillerato. México: ST Editorial, 2007. (ISBN 970 9807
36 6).
Créditos
Diseño de contenido:
Ing. Raquel Ramírez Peláez
Coordinador de área:
Lic. José de Jesús Romero Álvarez, MC y MED
Edición de contenido:
Lic. Miriam Gómez Moore, MED
Edición de texto:
Lic. Alejandra Zaragoza Scherman
Diseño Gráfico:
Miguel Angel Reynosa Castro, MANM
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