Órbitas materiales en agujero negro y aplicación práctica para el

Órbitas materiales en agujeros negros
Universidad de Murcia
Grado en Matemáticas
Guillermo Fernández Melgarejo
29 de junio de 2015
Índice general
Introduction
5
Introducción
11
1. Nociones básicas
17
1.1. Tensores y variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.2. Unidades Geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
1.3. Órbitas en Gravedad Clásica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2. Ecuaciones de movimiento
33
2.1. Ecuaciones de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
2.2. Acción de Einstein-Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
2.3. Partı́cula a velocidad baja en un campo débil . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
3. La solución de Schwarzschild
43
3.1. Obtención de la métrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
3.2. Espacio-tiempo de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
3.2.1. Espacio-tiempo no conexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
3.2.2. Espacio-tiempo curvo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
3.3. Órbitas en Relatividad General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
3.4. La curvatura de la luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
3
Introduction
The aim of this document is the study of the orbits of particles in the Schwarzschild
metric. This metric is a black hole-type solution of the Einstein field equations. In order to
carry it out, we will study the orbits in the Newtonian classical theory and we will review
the main aspects of the theory of General Relativity.
In 1915, Einstein published the theory of General Relativity, which is a theory about
the gravitational field and the general reference frames. Einstein said that at a certain point
of our space-time, it is not possible to distinguish between an uniformly accelerated body
and the same body under an uniform gravitational field. Its name is due to the fact that it
generalises the Special Theory of Relativity. Its main ideas are: the curvature of space-time,
the principle of general covariance and the equivalence principle.
The curvature of the space-time is a consequence of the gravitational attraction. In other
words, the gravity makes that the geometry of the space-time gets curved and not plane.
The bodies in a gravitational field describe a spacial curved trajectory, although its worldlines were as straight as possible. These lines are called geodesics and they have minimum
curvature. Rephrasing the American theoretical physicist John A. Wheeler, the space-time
tells the matter how to move, and the matter tells the space-time how to curve.
Based on the principle of special covariance used in the theory of Special Relativity,
Einstein wanted to extend this type of invariance to non-inertial reference frames. That is, he
was trying to construct such a theory whose equations had the same form for any observer,
either inertial or not. To do so, he introduced the principle of general covariance.
The principle of general covariance establishes that laws of Nature (equations) must be
the same for any reference frame. That is, they must remain invariant under any coordinate
transformation. We can interpret this principle as the fact that Nature has no privileged
reference frame. In addition, the concept of coordinate does not exist in Nature a priori and,
therefore, the chosen coordinate system must not play any important role in the formulation
of physical laws. Einstein thought that this principle ought to be one of the key ingredients
in the formulation of a new theory to accelerated reference frames.
Since the laws of Physics must be invariant under general coordinate transformations,
Einstein formulated his theory in terms of tensors. Due to its properties, tensors transform
in a certain way under any general coordinate transformation.
Once it has been introduced the principle of general covariance and the absence of privileged reference frames, we can naturally understand the equivalence principle:
The outcome of any local non-gravitational experiment in a freely falling laboratory is
5
Introduction
6
independent of the velocity of the laboratory and its location in spacetime.
This physical principle says that if we fix an instant event p in a gravitational field, it
can be described by an accelerated observer who is at that point. In other words, there is
an accelerated observer which has no way to distinguish whether the particles are moving
within or without the gravitational field. Therefore, the laws of Physics are locally the same
for all observers. For example, if we fell at the same time as a stone from a cliff, we would
see that the stone is falling at constant velocity, as if there was no gravitational field that
causes the fall. Exactly the same happens to astronauts when they are in a spaceship: they
may think that they are floating and can imagine that they are not suffering the attraction
of the Earth or another planet.
Now, let us analyze the mathematical tools of the theory and its local and global implications. The theory is formulated in terms of tensor fields defined on a space-time that
is represented by a Lorentz manifold. This is due to, as it has been mentioned above, the
condition of general covariance of the theory under general coordinate transformations. That
is, the tensors provide the general coordinate transformations required to the theory to be
invariant. The main element of the theory is the metric tensor g mu nu . The metric tensor,
which is an order-2 tensor, is used to define metric concepts such as distance, angle and
volume in a locally Euclidean space.
The fundamental core of this theory is the Einstein field equations,
1
Rµν − gµν R = Tµν ,
2
(1)
where Rµν is the Ricci tensor, R is the scalar curvature, gµν is the metric tensor and Tµν is
the energy-momentum tensor. Basically, these Einstein’s equations are a set of 10 non-linear
partial differentials equations in the variables gµν . They describe the gravitational interaction
as a result that the spacetime is being deformed by the matter and the energy.
In Physics and Mathematics, it is important to distinguish between the local and global
structures. Since the measurements are made in a relatively small regions of the space-time,
it is reasonable to do a local study of the space-time. However, the determination of the
global structure of space-time is important in cosmological problems.
Knowing whether two space-times are locally the same or not is a complex problem in
General Relativity. Previously in the manifold theory, the problem of determining whether
two Riemannian manifolds of same dimensions were locally isometric was already addressed.
This problem has been solved and adapted to General Relativity by an algorithm1 .
Going back to (3), we can see that the left-hand side of the equation is written in terms
which are purely geometric. On the other hand, in the right-hand side we have the energymomentum tensor, which parametrizes the matter and energy of our space-time. So, mathematically, Einstein conjectured that the geometry of the Universe can be curved because of
the presence of mass and/or energy. Therefore, he thought that the universe was some kind
of curved space-time given by a pseudo-Riemannian manifold and whose field equations state
that the sectional curvature is related to the energy-momentum tensor at each point. This
tensor describes the energy and matter content in our spacetime. Hence, the particle trajec1
That method is the Cartan-Karlhede algorithm (cf. [5]).
7
Introduction
tories are affected by the curvature and, reciprocally, the presence of mass/energy affects the
curvature.
Despite the difficulty to obtain solutions to these equations, there exist some of them,
although very few have direct physical applications. Some solutions describing black holes
with different properties are: the Schwarzschild solution, the Reissner-Nordström solution
and the Kerr metric. Finally, it is important to point out the Friedmann-Robertson-WalkerLemaı̂tre solution, which describes an homogeneous, isotropic and expansion (or contraction)
Universe. In Physics, this type of solution is used to describe our Universe.
Normally, it is common to rely on the numerical integration of the equations. In numerical
Relativity, there are powerful computers which simulate the geometry of the space-time and
solve Einstein’s equations in specific situations. For example, one case is the collision of two
black holes.
Let us interpret now the gravitational interaction in General Relativity and its differences
with the Newtonian theory. Let us assume a fixed particle of mass m1 in a certain space-time.
That particle bends space according to its mass m1 . Then, if we introduce a second particle
of mass m2 , space-time will be deformed and the perturbation (which is equivalent to a wave
on a lake) will propagate at the speed of light, c. Therefore, the first particle does not feel the
presence of the second instantaneously. These space-time perturbations, which propagate as
waves, are called gravitational waves. Furthermore, in the classical theories of gravitation, the
concept of the gravity speed is interpreted as the speed that the gravitational field propagates.
In other words, it is the propagation speed of any change in the distribution of energy or
momentum of the matter caused by the gravitational field. In a physical sense, gravity velocity
refers to the velocity of a gravitational wave. So, any change in the distribution of energy or
matter can produce gravitational waves.
This propagation is radically different from the classical theory. In the Newton’s law
Universal Gravitation, a particle interacts instantly with any other particle independently of
the distance that separates them. Gravitation is classically described by a scalar potential
which satisfies the Poisson equation and fits instantly in case of any change in the mass
distribution. This means that it is assumed that the propagation velocity is infinite. This
assumption helped to clarify many phenomena of the epoch, although it was not until the
nineteenth century, when an astronomical anomaly in the Mercury’s motion was observed
that could not be explained by the Newtonian model of instant action. Finally, in 1859, the
French astronomer Urbain Le Verrier determined that the elliptical orbit of Mercury has a
perihelion precession which differs from the prediction of Newtonian theory.
Another interesting aspect of the General Relativity occurs when we have very compact
and massive particles. In the case of supermassive stars (about 30 times the mass of the Sun),
they die and generate a supernova explosion or a gravitational collapse. Both processes lead
to the formation of black holes, although there is no evidence of any of them nowadays. A
black hole 2 is a region of space-time which has an attractive gravitational force such that
no particle nor electromagnetic radiation (light) can escape from it. The theory of General
Relativity predicts that if there exists a certain body whose mass density is high enough,
2
Notice that it is not necessary to define black holes in General Relativity, since this idea comes from the
concept of escape velocity in Classical Mechanics. A dark star is a very massive object, whose escape velocity
is equal or greater than the speed of light.
Introduction
8
it can deform spacetime and become a black hole. The boundary of the region where it
is possible to escape is called the event horizon. The event horizon is a boundary of the
spacetime where the events can not affect to external observers. It is the point of no return,
that is, the point where the gravitational is strong enough that it is impossible to escape.
In the black hole, the light emitted can never escape or reach an external observer. Similarly, any object which approaches to the event horizon near the outside observer, it seems
to go slow and never cross the horizon at a finite time. Nevertheless, this object does not
experience strange effects, so it crosses the horizon at a finite time and finally it will be
caught by the central singularity.
There is a theorem called the no-hair theorem which characterises the black holes in terms
of three classic parameters: mass, electric charge and angular momentum. The physicist John
Archibald Wheeler expressed this idea in the phrase: black holes have no-hair, who was the
creator of the name of this theorem. Since there is still no rigorous proof of the theorem,
mathematicians refer to it as the no-hair conjecture. In case that there is only gravity (without electric fields), this conjecture has been partially proven by Stephen Hawking, Brandon
Carter, and David C. Robinson, under the hypothesis that event horizons are not degenerate
and the assumption of real analyticity of the continuous space-time.
In this work, we will focus on the study of the Schwarzschild black hole. According to
Birkhoff’s theorem, the Schwarzschild metric is the most general and spherically symmetric
solution of the Einstein field equations in vacuum (the electric charge of the mass, the angular momentum of the mass and the cosmological constant are all zero). This solution is
useful to describe astronomical objects with a slow rotation and its name comes from Karl
Schwarzschild, the first one who published it in 1916. Thus, a Schwarzschild black hole is
a static black hole which has no charge or angular momentum and it is described by the
Schwarzschild metric,
−1
2M
2M
2
2
dt − 1 −
dr2 − r2 dφ2 − r2 sin2 φ dθ2 .
(2)
dτ = 1 −
r
r
This kind of black hole can not be distinguished by another Schwarzschild one, except for its
mass.
The Schwarzschild solution is valid for any radial coordinate r > 0 and has some peculiar
properties. When we are in the black hole, r < 2M , the coordinate r is time-like and the
t coordinate becomes space-like. Thus, a constant curve r is not a world-line of particles or
observers. This is because the space-time is curved, so that the direction of cause and effect
(future light cone of the particle) points to the central singularity. The surface r = 2M is
what we have called the event horizon of the black hole. We will study more properties of
this solution in Chapter 3.
To summarize, we can say that General Relativity is a successful model for gravity and
the description of our Universe. Up to now, it has passed positively and predicted many
observational and experimental evidences. However, there are some hints pointing out that
the theory is still incomplete. The problem of quantum gravity and questions about spacetime
singularities have not been answered yet. In addition, some experimental evidences about the
existence of dark energy and dark matter could indicate us the need for a new physical theory.
Many physicists and mathematicians are trying to understand the nature of gravitational
9
Introduction
interaction and go beyond the Einstein’s equations, having it as a essential ingredient of the
new ones. The struggle in the detection of gravitational waves still continues by means of
some experiments as LISA, LIGO, BICEP. Exactly 100 years after its publication, General
Relativity is and will be a very active area of research.
Finally, let us summarize this work, which is divided in 3 chapters. In the first chapter,
we review the basic theoretical concepts for the development of the theory. We start by
introducing the ideas of tensors and Lorentzian manifolds, where we stress the concepts of
metric tensor and proper time. Then, we indicate how it is possible to establish a geometric
system of units in General Relativity. Closing this chapter, the orbits of planets that rotate
around others will be calculated in the context of classical gravity.
In the second chapter, the Einstein field equations are introduced. Then, we will obtain
these equations from the minimization of an action. Finally, we will study how the metric
tensor is related to the gravitational potential of Newton’s theory in a limiting case.
In order to end this work, we will obtain the Schwarzschild metric under certain assumptions and we will study some of its features of this solution. In particular, we will focus
in those that are a consequence of the curvature of this model. Once the metric has been
obtained, we will close the work with the study of the orbits of material and light particles.
Finally, some aspects like the perihelion precession and the bending of light will be explained.
Introducción
El objetivo del presente trabajo es el estudio de las órbitas de partı́culas en la métrica de
Schwarzschild. Esta métrica es una solución de las ecuaciones de campo de Einstein de tipo
agujero negro. Para llevarlo a cabo, estudiaremos las órbitas en la teorı́a clásica de Newton
y repasaremos los principales aspectos de la teorı́a de la Relatividad General.
En 1915, Albert Einstein publicó la teorı́a de la Relatividad General, una teorı́a del
campo gravitatorio y de los sistemas de referencia generales. Einstein afirmó que en un punto
concreto no se puede distinguir experimentalmente entre un cuerpo acelerado uniformemente
y un campo gravitatorio uniforme. Su nombre se debe a que generaliza la teorı́a Especial de
la Relatividad. Sus ideas más importantes son: la curvatura del espacio-tiempo, el principio
de covariancia generalizado y el principio de equivalencia.
La curvatura del espacio-tiempo se interpreta como una consecuencia de la atracción
gravitatoria. Es decir, la gravedad hace que la geometrı́a del espacio-tiempo no sea plana
sino curva. Los cuerpos dentro de un campo gravitatorio siguen una trayectoria espacial
curva, aunque sus lı́neas de universo sean lo más rectas posibles. Estas lı́neas se llaman
geodésicas y son lı́neas de curvatura mı́nima. Como decı́a el fı́sico teórico estadounidense
John Archibald Wheeler: ((El espacio-tiempo le dice a la materia cómo moverse y la materia
le dice al espacio-tiempo cómo curvarse)).
Basado en el principio de covariancia especial que exhibı́a la Relatividad Especial, Einstein
buscaba extender este tipo de invariancia a sistemas de referencia no-inerciales. Es decir, él
buscaba una teorı́a cuyas ecuaciones tuvieran la misma forma para cualquier observador,
fuese inercial o no. Para ello, introdujo el principio de covariancia general.
El principio de covariancia general establece que las leyes fı́sicas (ecuaciones) deben ser
las mismas para cualquier sistema de referencia. Es decir, deben quedar invariantes bajo
cualquier tipo de transformación de coordenadas. Podemos interpretar este principio como
el hecho de que la Naturaleza no tiene ningún sistema de referencia privilegiado. Además,
el concepto de coordenada no existe a priori en la naturaleza y, por tanto, el sistema de
coordenadas elegido no debe jugar ningún papel fundamental en la formulación de las leyes
fı́sicas. Einstein pensaba que este principio debı́a ser uno de los ingredientes fundamentales
en la formulación de una nueva teorı́a para sistemas de referencia acelerados.
Puesto que las leyes de la fı́sica deben quedar invariantes bajo transformaciones generales
de coordenadas, Einstein formuló su teorı́a en términos de tensores. Debido a sus propiedades,
los tensores transforman de una manera determinada bajo cualquier transformación general
de coordenadas.
11
Introducción
12
Una vez introducido el principio de covariancia general y la no existencia de sistemas de
referencia privilegiados, podemos entender de manera natural el principio de equivalencia:
El resultado de cualquier experimento no gravitacional en un laboratorio que se desplace
en un sistema de referencia inercial es independiente de la velocidad del laboratorio o de su
localización en el espacio-tiempo.
Este principio fı́sico afirma que si fijamos un evento instantáneo p en un campo gravitatorio, éste puede ser descrito por un observador con aceleración que se encuentre en dicho
punto. En otras palabras, existe un observador acelerado que no tiene forma de distinguir si
las partı́culas se mueven o no dentro del campo gravitatorio. Por tanto, de forma local, las
leyes de la Fı́sica son las mismas para todos los observadores. Por ejemplo, si cayéramos a la
vez que una piedra desde un acantilado, verı́amos que la piedra caerı́a a velocidad constante,
es decir, como si no existiese el campo gravitatorio que causa la caı́da. Exactamente lo mismo
les ocurre a los astronautas cuando están en su nave espacial, pues ellos pueden pensar que
todo flota e imaginar que no sufren la atracción hacia la Tierra u otro planeta.
Analicemos ahora las herramientas matemáticas con las que se construye la teorı́a y
sus implicaciones locales y globales. La teorı́a se formula en términos de campos tensoriales
definidos en un espacio-tiempo que se representa con una variedad de Lorentz. Esto es debido
a, como mencionamos anteriormente, la condición de covariancia general de la teorı́a. Es decir,
los tensores admiten las transformaciones generales de coordenadas que la teorı́a precisa para
quedar invariante. El elemento principal de la teorı́a es el tensor métrico gµν . La métrica es
un tensor de orden 2 que se utiliza para definir conceptos métricos como distancia, ángulo y
volumen en un espacio localmente euclı́deo.
El núcleo fundamental de dicha teorı́a son las ecuaciones de campo de Einstein,
1
Rµν − gµν R = Tµν ,
2
(3)
donde, Rµν es el tensor de Ricci, R es el escalar de curvatura, gµν es la métrica y Tµν es
el tensor energı́a-momento. Básicamente, estas ecuaciones de Einstein son un sistema de 10
ecuaciones en derivadas parciales no lineales en las variables gµν , que describen la interacción
gravitatoria como resultado de que el espacio-tiempo está siendo deformado por la materia
y la energı́a.
En Fı́sica y Matemáticas, es importante distinguir estructuras locales de globales. Ya que
las mediciones se realizan en una región relativamente pequeña del espacio-tiempo, ésta es
una de las razones por las que hacer un estudio local del espacio-tiempo. La determinación
de la estructura global es importante en problemas cosmológicos.
A la hora de afirmar si dos espacio-tiempos son el mismo, esto supone un gran problema
a nivel local en Relatividad General. Previamente en la teorı́a de variedades, ya se querı́a
determinar si dos variedades de Riemann de mismas dimensiones eran localmente isométricas.
Este problema ha sido resuelto y se adapta a la Relatividad General mediante un algoritmo3 .
Volviendo a (3), observamos que la parte izquierda de la ecuación está escrita en términos
puramente geométricos, mientras que en la parte derecha tenemos el tensor energı́a-momento,
3
Dicho algoritmo es el algoritmo de Cartan-Karlhede (cf. [5]).
13
Introducción
que parametriza el contenido de materia y energı́a de nuestro espacio-tiempo. Es decir, matemáticamente, Einstein conjeturó que la geometrı́a del Universo deja de ser plana por la
presencia de masa. Por ello, pensó que el Universo era un tipo de espacio-tiempo curvo dado por una variedad pseudoriemanniana y cuyas ecuaciones de campo establecen que en un
punto la curvatura seccional se relaciona con el tensor de energı́a-momento. Dicho tensor
describe el contenido de energı́a y materia de nuestro espacio-tiempo. Ası́, las trayectorias
de las partı́culas se ven afectadas por la curvatura y, recı́procamente, la presencia de muchas
partı́culas afecta a la curvatura.
A pesar de la dificultad para obtener soluciones a dichas ecuaciones, se conocen algunas, aunque muy pocas tienen aplicaciones fı́sicas directas. Algunas soluciones que describen
agujeros negros con diferentes propiedades son: la solución de Schwarzschild, la solución de
Reissner-Nordström y la métrica de Kerr. Por último, es importante remarcar la solución de
Robertson-Friedmann-Walker-Lemaı̂tre, que describe un universo homogéneo, isótropo y en
expansión (o contracción). Este tipo de solución es utilizada en Fı́sica para la descripción de
nuestro Universo.
A menudo, es frecuente apoyarse en la integración numérica de las ecuaciones. En la
Relatividad numérica, existen potentes ordenadores para simular la geometrı́a del espaciotiempo y ası́ resolver las ecuaciones de Einstein en situaciones interesantes, como es el caso
de dos agujeros negros en colisión.
Estudiemos ahora qué significa la interacción gravitatoria en Relatividad General y sus
diferencias con respecto a la teorı́a de Newton. Supongamos una partı́cula fija de masa m1
en un cierto espacio-tiempo. Dicha partı́cula curvará el espacio de acuerdo a su masa m1 .
Si ahora introducimos una segunda partı́cula de masa m2 , el espacio-tiempo se deformará y
dicha perturbación (equivalente a una ola en un lago) se propagará a una velocidad c. Por
tanto, la primera partı́cula no sentirá la presencia de la segunda de manera instantánea. Estas
perturbaciones del espacio-tiempo, que se propagan como ondas, reciben el nombre de ondas
gravitacionales.
Por otro lado, en las teorı́as clásicas de gravitación, el concepto de velocidad de la gravedad
se entiende como la velocidad con la que su campo gravitatorio se propaga. Es decir, es la
velocidad de propagación de cualquier cambio en la distribución de energı́a o impulso de la
materia causado por el campo gravitacional. En un sentido más fı́sico, la velocidad de la
gravedad se refiere a la velocidad de una onda gravitacional. Es decir, cualguier cambio en
la distribución de energı́a o materia genera ondas gravitacionales.
Este concepto de propagación es radicalmente diferente al de la teorı́a clásica. En la ley de
Gravitación Universal de Newton, estas interaccionan instantáneamente con cualquier otra
independientemente de la distancia que las separe. Es decir, la gravitación se describe clásicamente mediante la ecuación de Poisson, cuyo campo gravitatorio se ajusta instantáneamente
en caso de algún cambio en la distribución de masa. Por lo tanto, se asume que la velocidad
de propagación sea infinita. Esta suposición ayudó a precisar muchos fenómenos de la época, aunque no fue hasta el siglo XIX, cuando se observó una anomalı́a en las observaciones
astronómicas que no pudo ser relacionada con el modelo newtoniano de acción instantánea.
Finalmente, ya en 1859, el astrónomo francés Urbain Le Verrier determinó que la órbita
elı́ptica de Mercurio tiene una precesión del perihelio que difiere de la predicción de la teorı́a
newtoniana.
Introducción
14
Otro aspecto interesante de la Relatividad General ocurre cuando tenemos partı́culas muy
compactas y muy masivas, dándose situaciones interesantes. En el caso de estrellas supermasivas (de unas 30 veces la masa del Sol), éstas acaban su vida bien mediante una explosión
como supernova o bien mediante un colapso gravitatorio. Ambos procesos conducen a la formación de agujeros negros, aunque hasta ahora no se tenı́an pruebas de ninguno de ellos. Un
agujero negro 4 es una región del espacio-tiempo que posee una fuerza gravitatoria tan atractiva que ninguna partı́cula puede escapar de ella. La teorı́a de la Relatividad General predice
que una masa lo suficientemente compacta puede deformar el espacio-tiempo y convertirse
en un agujero negro. El lı́mite de la región de la que es posible escapar se llama el horizonte
de sucesos. Un horizonte de sucesos es un lı́mite en el espacio-tiempo donde los eventos no
pueden afectar a observadores externos. Es el punto de no retorno, es decir, el punto en el
que la atracción gravitatoria es tan grande como para que sea imposible escapar.
Desde el agujero negro, la luz que se emita nunca puede escapar ni alcanzar a un observador externo. Del mismo modo, cualquier objeto que se aproxima al horizonte de sucesos
cerca del observador externo, parece ir más despacio y nunca cruza el horizonte en un tiempo
finito. Sin embargo, este objeto no experimenta efectos extraños, esto es, cruza el horizonte
en una cantidad finita de tiempo, para finalmente ser atrapado por la singularidad central.
Existe un teorema que se llama el teorema sin pelo, que caracteriza los tipos de agujeros
negros en función de tres parámetros clásicos: masa, carga eléctrica, y momento angular. El
fı́sico John Archibald Wheeler expresó esta idea en la frase: ((los agujeros negros no tienen
pelo)), que fue quien originó el nombre de este teorema. Aún no hay una prueba rigurosa del
teorema, por lo que los matemáticos se refieren a ella como la conjetura sin cabello. En caso
de que sólo haya gravedad (sin campos eléctricos), esta conjetura se ha resuelto parcialmente
gracias a Stephen Hawking, Brandon Carter, y David C. Robinson, bajo las hipótesis de que
los horizontes de eventos sean no degenerados y la asunción de analiticidad real del continuo
espacio-tiempo.
En este trabajo, nos centraremos en el estudio del agujero negro de Schwarzschild. De
acuerdo con el teorema de Birkhoff, la métrica de Schwarzschild es la solución más general y
esféricamente simétrica de las ecuaciones de campo de Einstein en el vacı́o (la carga eléctrica
de la masa, el momento angular de la masa y la constante cosmológica asumimos que son
cero). Esta solución es útil para describir objetos astronómicos de lenta rotación y su nombre
proviene de Karl Schwarzschild, el primero que la publicó en 1916. Ası́, un agujero negro
de Schwarzschild es un agujero negro estático que no tiene carga ni momento angular y se
describe por la métrica de Schwarzschild,
−1
2M
2M
2
2
dt − 1 −
dr2 − r2 dφ2 − r2 sin2 φ dθ2 .
(4)
dτ = 1 −
r
r
Este tipo de agujero negro no puede distinguirse de cualquier otro de Schwarzschild, excepto
por su masa.
La solución de Schwarzschild es válida para cualquier coordenada radial r > 0 y tiene
algunas propiedades peculiares. Cuando nos encontramos en el agujero negro, r < 2M , la
4
Nótese que para definir los agujeros negros no es necesaria la Relatividad General, pues esta idea surge
con el concepto de velocidad de escape en la Mecánica Clásica. Una estrella oscura es un objeto compatible
con la mecánica de Newton de gran masa, cuya velocidad de escape es igual o superior a la velocidad de la
luz.
15
Introducción
coordenada r se hace temporal y la coordenada t se hace espacial. Por ello, una curva con
r constante ya no es una lı́nea temporal de una partı́cula u observador. Esto se debe a que
el espacio-tiempo se ha curvado tanto que la dirección de causa y efecto (cono de luz futuro
de la partı́cula) apunta hacia la singularidad central. La superficie r = 2M es lo que hemos
denominado el horizonte de sucesos de este agujero negro. Estudiaremos más propiedades de
esta solución en el capı́tulo 3.
En resumen, podemos decir que la Relatividad General es un modelo de gran éxito en la
gravitación y descripción de nuestro Universo. Hasta hoy, ha pasado positivamente muchas
pruebas observacionales y experimentales inequı́vocas. Sin embargo, hay indicios de que la
teorı́a está incompleta. El problema de la gravedad cuántica y las preguntas acerca de las
singularidades del espacio-tiempo están aún sin responder. Además, las evidencias experimentales de la existencia de energı́a oscura y materia oscura podrı́an indicar la necesidad de
una nueva teorı́a fı́sica. Numerosos fı́sicos y matemáticos tratan de comprender la naturaleza
de la interacción gravitatoria o ir más allá de las ecuaciones de Einstein, teniéndolas como
ingrediente fundamental. La lucha por la detección de las ondas gravitacionales continúa con
experimentos como LISA, LIGO, BICEP. Justamente 100 años después de su publicación, la
Relatividad General sigue siendo y será un área muy activa de investigación.
Finalmente, resumamos este trabajo, que está estructurado en 3 capı́tulos. En el primer
capı́tulo, repasamos los conceptos teóricos fundamentales para su desarrollo. Comenzamos
con las ideas de tensores y variedades lorentzianas, donde hay que destacar el concepto de
tensor métrico y de tiempo propio. A continuación, se indicará cómo establecer un sistema
de unidades geométricas en la Relatividad General. Y para cerrar el capı́tulo, se calcularán
las órbitas de planetas que giran en torno a otros, en el marco de la teorı́a clásica de Newton.
En el segundo capı́tulo, se presentarán las ecuaciones de campo de Einstein. A continuación, se obtendrán estas ecuaciones a partir de la minimización de una acción. En último
lugar, se estudiará cómo el tensor métrico se relaciona con el potencial gravitatorio de la
teorı́a de Newton en un caso lı́mite.
Para cerrar este trabajo, se obtendrá la métrica de Schwarzschild bajo ciertas asunciones
y se estudiarán algunas de las propiedades de su espacio-tiempo. En particular, destacamos
aquellas que son debidas a la curvatura de esta solución. Una vez obtenida la métrica, se cierra
el trabajo con el estudio de las órbitas de partı́culas materiales y luminosas en este modelo.
Finalmente, se abordarán algunos aspectos como el avance del perihelio y la curvatura de la
luz.
Capı́tulo 1
Nociones básicas
Desde una perspectiva histórica, la geometrı́a riemanniana surge de manera natural en el
desarrollo de la geometrı́a diferencial clásica. Como bien es conocido, toda superficie regular S
en el espacio euclı́deo hereda una manera natural de medir longitudes de vectores tangentes a
S, por restricción del producto escalar euclı́deo. Esta regla de medida se denomina la primera
forma fundamental y nos permite, entre otras cosas, definir longitudes de curvas dentro de
S.
El punto clave en este desarrollo fue la aportación de Gauss en la que se afirma que
la geometrı́a intrı́nseca de una superficie S depende única y exclusivamente de la primera
forma fundamental. En otros términos, la geometrı́a de una superficie S puede considerarse
independiente de la geometrı́a del espacio euclı́deo que contiene a la superficie, ya que aquella
solo requiere de la definición de un producto escalar para vectores tangentes a la superficie1 .
Este descubrimiento de Gauss se dio en una época en la que no se disponı́an de las
herramientas matemáticas necesarias: variedades y tensores. Ası́ que no fue hasta la mitad
del siglo XIX, cuando Riemann recogió el legado de Gauss y desarrolló estas geometrı́as
abstractas. Riemann introdujo el concepto de variedad diferenciable y asoció a cada punto
de la variedad una forma cuadrática fundamental. Además, generalizó la idea de curvatura
a este nuevo contexto.
El desarrollo de la geometrı́a riemanniana se dio muy lentamente debido a la falta de
herramientas adecuadas. Un hecho decisivo en este crecimiento fue la irrupción de la Teorı́a
de la Relatividad de Einstein. Ası́, ante las necesidades de las ciencias aplicadas, aparecieron
nuevas generalizaciones de la geometrı́a de Riemann como, por ejemplo, la consideración de
formas cuadráticas no degeneradas en lugar de definidas positivas.
1
Por geometrı́a intrı́nseca se refiere a la geometrı́a percibida por habitantes de S, teniendo en cuenta todas
las medidas que se puedan realizar dentro de la propia superficie S, como ángulos, longitudes y áreas. Otra
lectura adicional de la aportación de Gauss es que dos superficies del espacio euclı́deo (posiblemente distintas
en su aspecto extrı́nseco) que tengan la misma primera forma fundamental, son indistinguibles desde un
punto de vista intrı́nseco, pues sus habitantes miden los mismos ángulos, longitudes y áreas.
17
CAPÍTULO 1. NOCIONES BÁSICAS
1.1.
18
Tensores y variedades
En Matemáticas y en Fı́sica, un tensor es cierta clase de entidad algebraica de varias
componentes, que generaliza los conceptos de escalar, vector y matriz de una manera que
sea independiente de cualquier sistema de coordenadas elegido. A menudo, la palabra tensor
se utiliza como abreviatura de campo tensorial, un valor tensorial definido en cada punto en
una variedad.
Desde un punto de vista práctico, un tensor es un objeto matemático representado por
un cierto conjunto de componentes. Para definir un tensor es necesario partir de un espacio
fı́sico o variedad diferenciable que define cuál es el espacio vectorial base V sobre el que se
construirán tensores de diferente tipo y orden. En Mecánica Clásica el espacio es R3 , aunque
en la Teorı́a de la Relatividad Especial, el espacio base es R4 y en la Teorı́a de la Relatividad
General es el espacio tangente a una variedad lorentziana de 4 dimensiones. En Matemáticas,
lo más usual es construirlos sobre una variedad riemanniana o variedad pseudoriemanniana
n-dimensional.
Definición 1.1.1. Sea V un espacio vectorial real de dimensión n y V ∗ el dual de V . Se
dice que T es un tensor covariante de orden s (resp. contravariante de orden r) si es
multilineal y de la forma T : V s → R (resp. T : (V ∗ )r → R).
En el campo de la geometrı́a diferencial, un tensor métrico es un tensor covariante de
orden 2, esto es, una función definida en una variedad que toma dos vectores tangentes
v, w en p y obtiene un número real gp (v, w). De alguna manera, generaliza muchas de las
propiedades conocidas del producto escalar de los vectores en el espacio euclidiano, además
de definir longitudes y ángulos entre vectores tangentes.
Dada una variedad diferenciable M y un punto p ∈ M de la misma, denotaremos por
gp al producto escalar sobre el tangente Tp M , esto es gp : Tp M × Tp M → R una forma
bilineal
p simétrica y no degenerada. Definimos la norma de un vector v como el número real
|v| = |g(v, v)|.
Definición 1.1.2. Se define el ı́ndice de un producto escalar como la dimensión del subespacio de mayor dimensión sobre el que el producto escalar es definido negativo.
Como en todo espacio vectorial V con un producto escalar, existen bases ortonormales, es
decir, vectores ortogonales entre sı́ y de norma la unidad. Esto se puede conseguir mediante
el proceso de ortogonalización de Gram–Schmidt.
Definición 1.1.3. Un tensor métrico o métrica g es un tensor covariante de grado 2
sobre M de forma que para cada p ∈ M :
gp es un producto escalar sobre Tp M
gp tiene ı́ndice constante
En un sistema de coordenadas (U, x) la métrica g puede escribirse como:
g=
n
X
i,j=1
gij dxi ⊗ dxj
19
CAPÍTULO 1. NOCIONES BÁSICAS
donde gij = g(∂i, ∂j) = h∂i, ∂ji.
Definición 1.1.4. Una variedad pseudo-riemanniana es un par (M, g) formado por una
variedad diferenciable M y una métrica g definida sobre M .
Ejemplo 1.1.5. La variedad pseudo-riemanniana (Rn , gν ) ≡ Rnν se conoce como el espacio
pseudo-euclı́deo de dimensión n e ı́ndice ν. Teniendo en cuenta que:

 0 si i 6= j
−1 si i = j y 1 6 i 6 ν
(gν )ij =
(1.1)

1 si i = j y ν + 1 6 i 6 n
con (u1 , u2 , ..., un ) las coordenadas naturales y i := gii , escribimos la métrica como
gν =
n
X
i dui ⊗ duj = −du21 − ... − du2ν + du2ν+1 + ... + du2n .
i=1
Como casos particulares, cuando ν = 0, se tiene que (Rn , g0 ) ≡ Rn0 es el espacio euclı́deo
de dimensión n. Por otro lado, si ν = 1, (Rn , g1 ) ≡ Rn1 ≡ Ln es el espacio de LorentzMinkowski de dimensión n. De hecho, L4 es la variedad de Lorentz que modela la Relatividad
Especial.
Definición 1.1.6. Una variedad de Lorentz o lorentziana es una variedad pseudoriemanniana donde su métrica tiene ı́ndice 1.
De aquı́ en adelante trabajaremos con variedades lorentzianas, o sea, productos escalares
de ı́ndice uno definidos sobre los espacios tangentes a la variedad. Veamos algunas propiedades
para los mismos.
Definición 1.1.7. Sea (M, g) una variedad lorentziana y sea p ∈ M . El carácter causal
de un vector v ∈ Tp M se dice que es:
espacial si gp (v, v) > 0 ó v = 0,
temporal si gp (v, v) < 0,
nulo, luminoso o de tipo luz si gp (v, v) = 0 y v 6= 0.
Diremos que el vector es causal cuando sea temporal o nulo.
Análogamente, el carácter causal de un subespacio del espacio tangente, se define como:
Definición 1.1.8. Sea W ⊂ Tp M subespacio vectorial, decimos que es:
espacial si g es definido positivo en W ,
temporal si g tiene ı́ndice uno sobre W ,
nulo, luminoso o de tipo luz en cualquier otro caso.
CAPÍTULO 1. NOCIONES BÁSICAS
20
Observación 1.1.9. Apréciese que W es temporal (resp. espacial) si, y solo si, W ⊥ es
espacial (resp. temporal).
El subconjunto de los vectores temporales de Tp M tiene dos componentes conexas que
llamaremos conos temporales. Una orientación temporal del Tp M es una elección de uno
de estos dos conos temporales, denotando por T al futuro y a −T como el pasado.
De igual manera, el subconjunto de los vectores nulos está formado por dos componentes
que llamaremos conos de luz. Ası́ que si unimos los conos temporales y de luz, tendremos
los conos causales, que denotaremos como T y −T .
Figura 1.1. Conos de luz futuro y pasado en un punto.
Proposición 1.1.10. Sean v, w ∈ Tp M dos vectores temporales. Entonces:
i) v y w están en el mismo cono temporal si, y solo si, gp (v, w) < 0.
ii) si v y w están en el mismo cono temporal, λv + µw es un vector temporal y está en el
mismo cono para cualesquiera λ, µ ∈ (0, +∞).
iii) se da la desigualdad inversa de Cauchy-Schwarz: |gp (v, w)| > |v| |w| dándose la igualdad
si, y solo si, v y w son colineales.
iv) |v| + |w| ≤ |v + w|
Definición 1.1.11. Una variedad lorentziana M es orientable temporalmente si existe
una aplicación que asigna a cada p ∈ M un cono temporal Tp de forma diferenciable. Diferenciable de forma que para cada p ∈ M existe un campo de vectores X en un entorno U de
p tal que para cada q ∈ U , Xq ∈ Tp .
Además, cuando la orientación temporal esté fijada, diremos que M está orientada
temporalmente y llamaremos conos futuro y pasado a T y −T respectivamente.
Siempre supondremos que nuestra variedad de Lorentz es orientable temporalmente, algo que no es muy exigente, pues toda variedad de Lorentz posee una métrica orientable
21
CAPÍTULO 1. NOCIONES BÁSICAS
temporalmente. Además, en toda variedad diferenciable que admita un campo de vectores
diferenciable que no se anule, existe una métrica de Lorentz orientable temporalmente.
Desde el punto de vista topológico, que una variedad sea lorentziana es muy restrictivo,
ya que salvo homeomorfismos, las únicas superficies compactas lorentzianas son el toro T2 y
la botella de Klein K.
Definición 1.1.12. Dada M variedad lorentziana orientada temporalmente y p ∈ M , se
dice que un vector causal v ∈ Tp M apunta hacia el futuro (resp. pasado) si v ∈ Tp (resp.
v ∈ −Tp ).
Definición 1.1.13. Dada α : I → M curva diferenciable en M , se dice que la curva
apunta hacia el futuro (resp. pasado) si α0 (t) es un vector que apunta hacia el futuro
para todo t ∈ I (resp. pasado).
Definición 1.1.14. Sea M una variedad de Lorentz orientada temporalmente, un evento es
un punto p ∈ M . Una partı́cula material en M es una curva diferenciable α : I → M
temporal y apuntando hacia el futuro, o sea, α0 (u) es un vector temporal situado en el cono
futuro para cada u ∈ I.
Figura 1.1. Ejemplo de partı́cula material en un espacio-tiempo.
La traza de una partı́cula en un espacio-tiempo se conoce como la lı́nea del universo de
esta partı́cula, que es una visión global e instantánea de toda su vida.
Definición 1.1.15. Dada M una variedad de Lorentz orientada temporalmente, una partı́cula
material está en caı́da libre si es una geodésica. Una partı́cula luminosa o de tipo luz
en M es una geodésica nula γ : I → M que apunta hacia el futuro. La denotaremos como
γ(s).
Ejemplos de partı́culas luminosas pueden ser fotones, neutrinos, gravitones... En el caso
de la Relatividad Especial, M ∼
= L4 se tiene que las geodésicas coinciden con las lı́neas rectas.
CAPÍTULO 1. NOCIONES BÁSICAS
22
Observación 1.1.16. Para fijar una notación con respecto a la coordenada temporal, indicaremos con un subı́ndice dónde se encuentra la componente de la métrica con ı́ndice
negativo. Por ejemplo, en el espacio de Lorentz-Minkowski L4 = R1 × R3 con la métrica
−dt2 + dx2 + dy 2 + dz 2 tendrı́amos que la primera coordenada es la temporal.
Desde ahora en adelante, M será una variedad de Lorentz orientada temporalmente e
isométrica a L4 , esto es, existe una isometrı́a global φ : M → L4 . Por otro lado, si tomamos
en L4 la carta identidad idR4 : L4 → R4 , podemos cubrir M con una única carta
x := idR4 ◦ φ : M −→ R4
p
x(p) = (x0 (p), x1 (p), x2 (p), x3 (p))
Proposición 1.1.17. En L4 , toda partı́cula material α(u) = (x0 (u), x1 (u), x2 (u), x3 (u))
cumple que x0 (u) es estrictamente creciente respecto de u.
Demostración.
Si derivamos la curva α:
0
α (u) =
dx1
dx2
dx4
dx0
(u),
(u),
(u),
(u)
du
du
du
du
(1.2)
que, por definición, es un vector temporal que apunta al futuro. Ya que e0 = (1, 0, 0, 0) es un
vector temporal en el mismo cono que α0 (u), podemos aplicar el apartado i) de la proposición
1.1.10, obteniendo que, para todo u:
0 > gα(u) (α0 (u), e0 ) = −
dx0
(u)
du
=⇒
dx0
(u) > 0
du
(1.3)
es decir, x0 (u) es estrictamente creciente respecto de u.
Esta propiedad de las curvas materiales indica que la partı́cula siempre ha de estar en el
cono futuro, nunca puede viajar al pasado, por lo que el tiempo solo viaja en un sentido.
El tiempo es un factor muy importante en la lı́nea del universo de cualquier partı́cula. Es
inimaginable un universo sin tiempo. Gracias a esta nueva teorı́a de Einstein, cada punto del
espacio tiene un tiempo propio, tirando por tierra la idea de tiempo absoluto.
Seguidamente, demos una definición que permite describir el curso que una partı́cula,
observador o reloj mide al viajar por un espacio-tiempo, ası́ como la estructura métrica de
ese espacio-tiempo en particular.
Definición 1.1.18. Sean M una variedad de Lorentz y α : I → M una partı́cula material.
Llamaremos reparametrización por tiempo propio α(τ (u)) a la reparametrización por
el arco de la curva α:
Z u
τ (u) =
|α0 (u)| du
(1.4)
u0
fijado u0 ∈ I. Al parámetro τ se le llama tiempo propio.
23
CAPÍTULO 1. NOCIONES BÁSICAS
Observación 1.1.19. Apréciese que la longitud de la curva α coincide con el tiempo propio,
ya que está p.p.a.:
Z τ1
τ1
|α0 (u)| du = τ1 − τ0
(1.5)
Lτ0 (α) =
τ0
es decir, la longitud mide tiempo y no espacio (en el caso euclı́deo). Hay que pensar que cada
partı́cula lleva su propio reloj que va marcando el valor de este parámetro τ .
Observación 1.1.20. Realmente es un cambio de parámetro. Como α0 (u) es temporal, entonces, para cada u se tiene:
q
0
|α (u)| = −gα(u) (α0 (u), α0 (u)) > 0
(1.6)
Por tanto, aplicando el teorema fundamental del cálculo sobre τ (u), obtendrı́amos:
dτ
(u) = |α0 (u)| > 0
du
(1.7)
donde también se aprecia que el tiempo propio es creciente en u.
El tiempo propio es el tiempo medido por un observador que está viajando por el espaciotiempo a cierta velocidad. Este concepto es necesario para describir efectos tales como la
dilatación del tiempo. La dilatación del tiempo revela que el tiempo que mide un observador
en movimiento uniforme respecto a otro mide un intervalo de tiempo más pequeño que el que
está en reposo.
Ejemplo 1.1.21. Dados los eventos A = (0, 0, 0, 0) y B = (50, 0, 0, 0), definimos la partı́cula material α : [0, 1] → M que une A y B como
α(u) = (1 − u)A + uB = uB
donde |α0 (u)| = 50, por lo que podemos escribir que:
Z u
Z u
0
50 du = 50 u
|α (u)| du =
τ (u) =
0
0
para u ∈ [0, 1]. Ası́, tendrı́amos que:
u(τ ) =
τ
50
donde τ ∈ [0, 50]
para terminar escribiendo la reparametrización por tiempo propio de la curva α:
α(τ ) = α(u(τ )) = u(τ ) B =
τ
B = (τ, 0, 0, 0)
50
Ası́, por ejemplo, si τ = 20, se tiene que α(20) = (20, 0, 0, 0) y en la coordenada temporal
apreciamos el transcurso de 20 unidades temporales medido por α. Es decir, el tiempo propio
es el tiempo que mide un reloj solidario que viaja con la partı́cula.
Por otro lado, sea C = (25, 24, 0, 0) otro evento y consideramos la curva β que pasa por
A, C y B en este orden. La longitud de esta curva serı́a
~ + |BC|
~ = |(25, 24, 0, 0)| + |(25, −24, 0, 0)| = 7 + 7 = 14.
L(β) = |CA|
(1.8)
CAPÍTULO 1. NOCIONES BÁSICAS
24
Apoyándonos en la desigualdad de Cauchy-Schwarz inversa de 1.1.10, se obtiene
~ ≥ |CA|
~ + |BC|
~ = L(β) = 14.
50 = L(α) = |AB|
(1.9)
Es decir, el segmento que une los eventos A y B es la curva temporal y que apunta hacia el
futuro de mayor longitud.
Teorema 1.1.22. Propiedad maximizante del tiempo propio. Sean A y B dos eventos
~ temporal que apunta al futuro. Entonces:
con AB
~ ≥ L(γ)
|AB|
(1.10)
para toda curva temporal γ que une A con B.
Además, se da la igualdad si, y solo si, γ es el segmento que une A con B.
Demostración.
~
~ temporal y futuro. Llamamos ~e0 := AB al vector unitario
Dados A, B ∈ L4 con el vector AB
|AB|
~
en la dirección de AB. A continuación, completamos una base ortonormal {~e0 , ~e1 , ~e2 , ~e3 },
donde ~e1 , ~e2 , ~e3 son vectores espaciales. Esta será nuestra base elegida.
Sin pérdida de generalidad, suponemos que A = (0, 0, 0, 0), es decir, hacemos una traslación. Entonces, tomamos el otro punto B como B = (tB , 0, 0, 0) donde tB > 0 y donde el
~ es |AB|
~ = tB .
módulo del vector AB
Tomamos γ un curva temporal cuyas coordenadas son
γ(u) = (x0 (u), x1 (u), x2 (u), x3 (u))
(1.11)
y que además pasa por A y B, esto es, con γ(0) = A y γ(uB ) = B.
La longitud de esta curva es
Z uB p
Z uB
0
L(γ) =
|γ (u)| du =
−hγ 0 (u), γ 0 (u)i du
0
0
s
Z uB 0 2 1 2 2 2 3 2
dx
dx
dx
dx
=
−
−
−
du
du
du
du
du
0
s
Z uB 0 2
Z uB
dx
dx0
≤
du =
|
| du
du
du
0
0
por 1.1.17
Z
=
0
uB
dx0
du = x0 (uB ) − x0 (0) = tB − 0 = tB
du
(1.12)
Por tanto,
L(γ) ≤ tB
dándose la igualdad si, y solo si, xi (u) ≡ 0 para las coordenadas espaciales i = 1, 2, 3.
(1.13)
25
CAPÍTULO 1. NOCIONES BÁSICAS
1.2.
Unidades Geométricas
Al elegir la velocidad de la luz c y la constante gravitacional G como constantes e iguales
a 1, se obtiene un eficiente sistema de unidades en el que trabaja la Relatividad General, el
sistema de unidades geométricas. De esta forma, cualquier unidad puede ser escrita en una
única unidad previamente seleccionada. En esta sección se detallará cómo convertir cualquier
magnitud en este sistema de unidades geométricas.
La conversión a este sistema de unidades geométricas está basado en los valores que tengan
c y G en este sistema. Por ejemplo, si:
cconv = 3 · 1010 cm/s,
Gconv = 6.67 · 10−8
cm3
g s2
Puesto que c = 1, distancia y tiempo se miden en las mismas unidades espaciales, bien es
conocido el caso de medir la distancia en años luz. Por lo tanto, para calcular el tiempo en
unidades geométricas, se hará:
tgeo = tconv · cconv
(1.14)
o en caso de dar una distancia, por ejemplo xconv = 1.5 · 1013 cm la distancia entre el Sol y
la Tierra en segundos, harı́amos:
1.5 · 1013 cm
xconv
=
cm = 500 s
cconv
3 · 1010
s
Por consiguiente, la velocidad será una magnitud que no tiene dimensión con:
vconv
vgeo =
cconv
xgeo =
(1.15)
Es decir, que vgeo = 0.8 se interpreta como:
vconv = 0.8 · cconv = 0.8 · 3 · 1010 = 2.4 · 1010 cm/s
La masa también será medida en las mismas unidades que la distancia y el tiempo. El
factor de conversión lo obtenemos haciendo Gconv /c2conv = 7.42 · 10−29 cm/g. Si pasamos la
masa del Sol mconv = 2 · 1033 g a unidades geométricas, obtendrı́amos que:
mgeo =
Gconv
· mconv = 14.8 · 104 cm
2
cconv
y usando el segundo como unidad geométrica mgeo =
14.8 · 104 cm
= 4.9 · 10−6 s.
3 · 1010 cm/s
Del mismo modo, la fuerza, medida en cm g/s2 , al ser multiplicada por el factor de
conversión G/c4 en s2 /cm g, pasarı́a a ser adimensional. Y por último, la energı́a, medida en
cm2 g/s2 y usando el mismo factor de conversión G/c4 , su unidad geometrı́ca serı́a el cm.
Las unidades geométricas son significativas y de gran utilidad, pues nos sirven para comparar distintas magnitudes de una misma partı́cula. En el caso del Sol2 , se tiene que la masa
del Sol es menor que su radio, ya que m = 1.48 km r = 7 · 105 km.
2
En todo el trabajo, se denotará con el subı́ndice a todas aquellas magnitudes o medidas que sean
relativas al Sol. Por ejemplo, para hablar del radio del Sol, lo denotaremos como R .
CAPÍTULO 1. NOCIONES BÁSICAS
Magnitud
Tiempo (s)
Velocidad (cm/s)
Aceleración (cm/s2 )
Masa (g)
Fuerza (cm g/s2 )
Energı́a (cm2 g/s2 )
1.3.
26
Factor de conversión Unidad Geométrica
c
cm
1/c
adimensional
1/c2
cm−1
G/c2
cm
4
G/c
adimensional
G/c4
cm
Órbitas en Gravedad Clásica
En este apartado, apoyándonos en las Leyes de Newton, se desarrollará el cálculo para
conseguir las órbitas de un planeta de masa m que gira alrededor de otro planeta de mayor
masa M .
Supondremos que la masa del planeta en órbita es muchı́simo más pequeña m M con
respecto a la del otro planeta. Tal y como Newton nos habı́a enseñado, una masa esféricamente
simétrica actúa como un punto de masa gravitacionalmente hablando, de tal manera que
toda su materia estuviera concentrada sobre su centro. Entonces, usaremos r para llamar a
la distancia entre los centros de ambos planetas.
Denotemos como
~
X(t)
= (x1 (t), x2 (t), x3 (t)),
al vector posición del planeta en órbita de masa m respecto del otro de masa M en función
del tiempo t.
Antes de entrar de lleno en el cálculo de las órbitas del planeta de menor masa m, hay
que tener en cuenta algunos aspectos del problema. Como hipótesis previas se asumen que:
H1) Se ignora la presencia del resto de planetas.
H2) M es puntual en relación a la distancia entre M y m.
H3) El centro de masas del sistema coincide con el centro de masas de M , ya que m M ,
entonces M apenas se ve desplazado.
A continuación, vamos a probar que el planeta de masa m describe una órbita plana. Para ello, comenzamos denotando a la fuerza resultante que actúa sobre la masa m por F~ que
sabemos que tiene una expresión de la forma:
2~
~ 00 = m d X .
F~ = mX
dt2
(1.16)
Debido a que la única fuerza que actúa sobre m es la gravitatoria y que es una fuerza
~ y su vector aceleración son
central, entonces se puede afirmar que el vector de posición X
~ || X
~ 00 , o equivalentemente, proporcionales. Por tanto, en términos de productos
paralelos X
vectoriales, se tiene que:
~ ∧X
~ 00 = 0.
X
(1.17)
27
CAPÍTULO 1. NOCIONES BÁSICAS
Lo que nos conduce a escribir que
d ~
0
~0 ∧ X
~0 +X
~ ∧X
~ 00 = 0,
~
X ∧ X =X
dt
(1.18)
~ ∧ X
~ 0 son constantes. Más aún, podemos
es decir, que las componentes del vector ~a := X
escribir que:
~ · ~a = X
~ · (X
~ ∧X
~ 0) = X
~ 0 · (X
~ ∧ X)
~ = 0.
X
(1.19)
~ se encuentra en el plano cuyo vector normal es
Esto nos indica que el vector posición X
0
~ ∧X
~ .
~a = X
De este modo, podemos orientar nuestros ejes de coordenadas de manera que el planeta
se mueva en el x1 x2 -plano. Si (r, θ) son las coordenadas polares, podemos escribir el vector
posición en función de estas como
~
~
X(t)
≡ X(r(t),
θ(t)) = (r(t) cos θ(t), r(t) sin θ(t)),
(1.20)
donde r y θ son funciones del tiempo t.
Tras derivar con respecto a r y θ este vector de posición en (1.20), se obtienen dos vectores
en este nuevo sistema de coordenadas que son
~
~ r = (cos θ, sin θ) = 1 X,
X
r
~ θ = (−r sin θ, r cos θ) ⊥ X,
~ X
~ r.
X
(1.21)
(1.22)
Derivando una vez más, llegamos a
~ rr = (0, 0),
X
~ rθ = (− sin θ, cos θ) ⊥ X,
~
X
~ θθ = (−r cos θ, r sin θ) = −X.
~
X
(1.23)
(1.24)
(1.25)
Estos cálculos nos permiten expresar los vectores velocidad y aceleración que describen
el movimiento del planeta de masa m como:
~ 0 = dr X
~ r + dθ X
~ θ,
X
dt
dt
2
2
~ 00 = d r X
~ r + dr (X
~ rr dr + X
~ rθ dθ ) + d θ X
~ θ + dθ (X
~ rθ dr + X
~ θθ dθ ),
X
2
2
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
2
2
2
2
dr~
dθ~
dr
~ rr + 2 dr dθ X
~ rθ + dθ X
~ θθ .
= 2X
Xθ +
X
r +
2
dt
dt
dt
dt dt
dt
(1.26)
(1.27)
CAPÍTULO 1. NOCIONES BÁSICAS
28
~ 00 también lo es. Entonces:
Puesto que la fuerza es un vector radial, entonces el vector X
~ θ, X
~ 00 i,
0 = hX
2
2
d2 r ~
d2 θ ~
dr
dr dθ ~
dθ
~
~
~ θθ i,
= h Xθ , 2 Xr + 2 Xθ +
Xrr + 2
Xrθ +
X
dt
dt
dt
dt dt
dt
d2 θ ~ ~
dr dθ ~ ~
hXθ , Xrθ i,
= 2 hX
θ , Xθ i + 2
dt
dt dt
d2 θ
dr dθ
= 2 r2 + 2
r,
dt
dt dt
podemos reescribir esta expresión como una derivada total,
2
d
dr dθ
2 dθ
2d θ
r
= r 2 + 2r
= 0,
dt
dt
dt
dt dt
(1.28)
(1.29)
de manera que obtenemos el producto constante
r2
dθ
= h ≡ constante.
dt
(1.30)
Consideramos ahora la curva positiva y diferenciable r ≡ r(θ) con θ0 ≤ θ ≤ θ1 , donde
θ(t = 0) = θ0 y θ(t) = θ1 con t fijo. El Teorema Fundamental del Cálculo nos dice que el área
bajo la curva anterior, A(θ), satisface que
r(θ)2
dA
=
.
dθ
2
(1.31)
El área total vendrá dada por la integral
Z
θ1
A=
θ0
r(θ)2
dθ.
2
Haciendo un cambio de variable θ ←→ t, reescribimos la integral como
Z
Z
1 t 2 dθ
1 t
1
A(t) =
r
dt =
h dt = ht,
2 0
dt
2 0
2
(1.32)
(1.33)
donde vemos que no hay dependencia de las condiciones iniciales y sı́ del tiempo que se tarda
en ir desde θ0 hasta θ1 . O en otras palabras, el radiovector r(θ) barre áreas iguales en tiempos
iguales. Este fenómeno es bien conocido como la Segunda Ley de Kepler.
De acuerdo con la Ley de Gravitación Universal, la fuerza ejercida en el planeta que
está girando es
Mm ~
F~ = − 2 X
r
r
~ 00 e igualamos ambas ecuaciones se obtiene
y si aplicamos la Segunda Ley de Newton, F~ = mX
que el vector aceleración es
~ 00 = M X
~ r.
X
(1.34)
r2
29
CAPÍTULO 1. NOCIONES BÁSICAS
Si igualamos esta expresión a la que hemos obtenido anteriormente en (1.27), establecemos
M
d2 r
− 2 = 2 −r
r
dt
dθ
dt
2
.
Usando (1.30) en (1.35) y multiplicando ambos miembros por r2 /h2 resulta
2
r2
M
dr
h2 r2
− 2 =
−r 4
,
h2
r
dt2
r
h2
(1.35)
(1.36)
que simplificando nos conduce a
M
r 2 d2 r 1
=− 2 2 + .
h2
h dt
r
(1.37)
Es decir, se ha obtenido una ecuación diferencial de 2o orden, no lineal, con incógnita r(t) y
con constante M/h2 .
Aunque r depende del tiempo t y de algún modo t depende de θ, podemos hacer que r
también dependa de θ. Está claro que esto tiene sentido, pues sólo deja fuera órbitas en las
que θ ≡ constante, es decir, órbitas radiales. Como r > 0, introducimos el cambio de variable
u(θ) = 1/r(θ) que conlleva
1 dr
1 dr dt
1 dr
du
=− 2
=− 2
=−
,
dθ
r dθ r dt dθ hdt
d2 u
1 d dr
1 d dr dt
r 2 d2 r
=−
=−
= − 2 2,
dθ2
h dt dθ
h dt dθ dθ
h dt
(1.38)
(1.39)
de manera que al sustituir en (1.37), la ecuación de la órbita queda escrita en función de u
como
M
d2 u
+u = 2.
(1.40)
2
dθ
h
La función constante up (θ) = M/h2 es una solución particular de la ecuación (1.40). Esta
solución trivial hace referencia a que el planeta describe una órbita circular de radio
r=
1
h2
=
.
up
M
(1.41)
La solución general de (1.40), de acuerdo con la teorı́a de las ecuaciones diferenciales lineales, se obtiene sumándole a la solución particular la solución correspondiente a su ecuación
homogénea. La ecuación homogénea viene dada por
d2 u
+ u = 0,
dθ2
(1.42)
1
uh (θ) = cos(θ − θ0 ),
d
(1.43)
por lo que una solución homogénea es
CAPÍTULO 1. NOCIONES BÁSICAS
30
donde d y θ0 son constantes de integración. Entonces, la solución general de (1.40) es la suma
de ambas
M
1
u(θ) = up (θ) + uh (θ) = 2 + cos(θ − θ0 ).
(1.44)
r
d
Haciendo un cambio de orientación de nuestros ejes de coordenadas, podemos tomar como
θ0 = 0 y d > 0, para ası́ escribir la ecuación orbital de una forma más simplificada como
u(θ) =
M
h2 1
M
cos θ) = 2 (1 + e cos θ),
(1
+
2
h
Md
h
(1.45)
donde se toma
h2
.
e :=
Md
Deshaciendo el cambio de variable y utilizando que M/h2 = 1/ed, nos quedarı́a
1
M
= 2 (1 + e cos θ)
r
h
⇔
ed = r(1 + e cos θ).
(1.46)
(1.47)
Esta expresión se puede reescribir como
r = e(d − r cos θ),
(1.48)
que es la ecuación de una cónica de excentricidad e donde F es el origen de la cónica, P es
la localización del planeta de masa m y D es el punto de corte de la perpendicular que va
desde P a la lı́nea x1 = d como muestra la siguiente imagen:
Figura 1.3. Visualización gráfica de la cónica de excentricidad e y foco F .
A partir de que
x1 = r cos θ,
d − x1 = |P~D|,
(1.49)
(1.50)
la ecuación (1.48) es equivalente a la ecuación de una sección cónica de foco F y excentricidad
e.
|P~F | = e|P~D|.
(1.51)
Si la excentricidad vale
31
CAPÍTULO 1. NOCIONES BÁSICAS
0 < e < 1, la órbita de m es una elipse,
e = 1, describirı́a una parábola,
e > 1, estarı́amos ante una hipérbola.
Es evidente que para una órbita planetaria, que es una curva cerrada, la excentricidad ha de
ser e < 1. Para el caso de un cometa, e < 1 o e ≥ 1 en función de si tiene suficiente energı́a
o no para escapar de la fuerza gravitatoria del planeta de masa M .
En el caso de que e < 1, la ecuación (1.48) se puede expresar en términos de coordenadas
cartesianas (x, y) = (r cos θ, r sin θ) como
(x + c)2 y 2
+ 2 = 1,
a2
b
(1.52)
que es la ecuación de una elipse de semiejes a y b y un foco c en el origen que valen
a=
ed
,
1 − e2
√
b = a 1 − e2 ,
c = ae.
(1.53)
Derivando con respecto de t, en la ecuación (1.33), se obtiene que
d 1
h
d
(A(t)) = ( ht) = .
dt
dt 2
2
Por otro lado, el área de una elipse de semiejes a y b es
√
A = πab = πa2 1 − e2 .
Dividiendo la expresión del área en (1.55) por h/2, se obtiene que
√
2πa2 1 − e2
A
=
.
T =
h/2
h
(1.54)
(1.55)
(1.56)
Como se tiene que
a(1 − e2 ) = ed =
h2
M
⇒
√
h
1 − e2 = √
,
aM
(1.57)
la ecuación (1.56) puede ser reescrita como
2
2πa2 h
2πa 3
√
T =
= √ .
h
aM
M
(1.58)
Esta relación entre el periodo y uno de los semiejes de la elipse es justamente la Tercera Ley
de Kepler. Esta ley afirma que el periodo del planeta es directamente proporcional al eje
mayor de la órbita elevado a 32 . Exactamente coincide con nuestra última igualdad, donde,
en este caso, la constante de proporcionalidad es
2π
√ .
M
Capı́tulo 2
Ecuaciones de movimiento
2.1.
Ecuaciones de campo
Con la afirmación de que la materia se mueve siguiendo geodésicas en el espacio-tiempo,
describimos cómo la geometrı́a del espacio-tiempo influye en la materia. Para completar la
teorı́a, es necesario describir el proceso inverso: cómo la materia determina la geometrı́a. Para
ello, nos apoyaremos en unas ecuaciones que relacionan los coeficientes de la métrica gµν con
la distribución de la materia.
Dadas por primera vez en 1915 en The Foundation of the General Theory of Relativity, son
las famosas ecuaciones de campo de Albert Einstein. En esta sección, se tratará de esbozar
algunas de las razones que guiaron a Einstein a escribir dichas ecuaciones.
Para abordarlas, nos inspiraremos únicamente en el caso clásico y en la situación más
simple: una masa M que sea estática y esféricamente simétrica. Interpretaremos su campo
gravitacional externo y aislado, como puede ser el producido por el Sol. Además, serán ignorados los efectos de los planetas en este campo gravitacional. Debemos ser capaces de resolver
las ecuaciones de campo en este caso, además de calcular la órbita de un planeta y la curva
de un rayo de luz.
Antes de hacernos una idea de por qué Einstein eligió estas ecuaciones en concreto, hemos
de echar otro vistazo a las Leyes de Newton. Por lo que consideramos una masa puntual M
en el origen de un sistema de coordenadas cartesiano 3-dimensional (x, y, z) o (x1 , x2 , x3 )
~ = (x, y, z) con
con la métrica euclı́dea. Sea X
p
~ = x2 + y 2 + z 2
(2.1)
r = ||X||
~ el vector unitario en la coordenada r. Por la ley de Gravitación Universal de
y sea ~ur = 1r X
~ viene dada por
Newton, la fuerza F~ sobre una partı́cula de masa m localizada en X
Mm
F~ = − 2 ~ur
(2.2)
r
en unidades geométricas. Si la combinamos con la Segunda Ley de Newton, obtenemos que
~
d2 X
M
= − 2 ~ur .
2
dt
r
33
(2.3)
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
34
Definimos la función potencial Φ como
Φ(r) = −
M
,
r
donde r > 0.
(2.4)
En realidad, Φ ≡ Φ(x, y, z), pero lo hacemos depender únicamente de r por la simetrı́a
esférica del planet de masa M . Su gradiente tiene la forma
∇Φ(x, y, z) = (
∂Φ ∂Φ ∂Φ
,
,
),
∂x ∂y ∂z
(2.5)
y como
∂Φ
M xi
∂Φ ∂r
M xi
= 3
=
= 2
∂xi
∂r ∂xi
r r
r
para cada i = 1, 2, 3, entonces el gradiente es
∇Φ(x, y, z) = (
~
M
M
d2 X
Mx My Mz
,
,
)
=
(x,
y,
z)
=
~
u
=
−
.
r
r3
r3
r3
r3
r2
dt2
(2.6)
(2.7)
Esto sinifica que la aceleración está en la dirección en la que Φ decrece más rápido por unidad
de espacio. Si lo expresamos en coordenadas, queda:
∂Φ
M xi
=
∂xi
r3
con i = 1, 2, 3.
Si derivamos una vez más, se obtiene
3
∂ 2Φ
r − 3(xi )2 r
M 2
=
M
(r − 3(xi )2 )
=
i
2
6
5
(∂x )
r
r
(2.8)
(2.9)
y entonces sumando
∂ 2Φ ∂ 2Φ ∂ 2Φ
+
+ 2,
∂x2
∂y 2
∂z
M
M
M
M
= 5 (r2 − 3x2 ) + 5 (r2 − 3y 2 ) + 5 (r2 − 3z 2 ) = 5 (3r2 − 3r2 ) = 0,
r
r
r
r
∇2 Φ =
(2.10)
se obtiene la ecuación de Laplace. Esta ecuación, válida en todo el espacio excepto en el
origen donde se encuentra M , es la ecuación para la función potencial en un espacio vacı́o
alrededor de una masa puntual aislada.
En caso de tener un número finito de masas puntuales, las ecuaciones (2.8) y (2.10) son
válidas en la región entre estas masas, aunque ahora la función potencial Φ es una suma de
tantos términos como masas haya.
Para una distribución continua de materia a lo largo de una región del espacio, la ecuación
de Laplace se reemplaza por la ecuación de Poisson
∇2 Φ = 4πρ,
(2.11)
~ es la densidad de materia que se encuentra en X.
~ Estas son las ecuaciones
donde ρ = ρ(X)
de campo en el caso de un espacio vacı́o y exterior a una distribución de masa que relacionan
la función potencial con la distribución de la materia.
35
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Una vez que esta ecuación es resuelta para el potencial Φ, tarea difı́cil excepto para
ciertos casos especiales, la aceleración de cualquier partı́cula en caı́da libre puede obtenerse
de (2.8). Estas ecuaciones que contienen las primeras derivadas parciales del potencial Φ, son
reemplazadas por las ecuaciones de las geodésicas que introduciremos posteriormente.
Los coeficientes de la métrica juegan el papel de la función gravitacional del potencial
en la teorı́a de Einstein, pues los sı́mbolos de Christoffel contienen las primeras derivadas
parciales de estos coeficientes.
Siguiendo esta analogı́a, debemos de esperar que las ecuaciones de campo en un espacio
vacı́o sean un sistema de ecuaciones de la forma
G = 0,
(2.12)
donde G es una expresión que relaciona las segundas derivadas parciales de las funciones
“potenciales”gµν . Esta ecuación debe ser invariante mediante cambios de coordenadas, es
decir, siempre tiene la misma forma independientemente de cada sistema de coordenadas. G
es un tensor y es conocido como el tensor curvatura de Einstein. Por ello, este sistema de
ecuaciones también se puede ver como una ecuación tensorial
1
Gµν = Rµν − Rgµν + Λgµν = 0,
2
(2.13)
donde Rµν es el tensor de curvatura de Ricci, R es el escalar de curvatura de Ricci y Λ es la
constante cosmológica.
Además, las ecuaciones de campo deberı́an de tener como posible solución, el espaciotiempo llano de la Relatividad Especial. Por ello, en coordenadas adecuadas, ya sean las de
Lorentz por ejemplo, todas las gµν son constantes. Como el tensor curvatura tiene la forma
λ
Rµνσ
=
3
∂Γλµσ ∂Γλµν X
β
λ
β
λ
−
+
Γ
Γ
−
Γ
Γ
µσ
νβ
µν
βσ
∂xν
∂xσ
β=0
(2.14)
y los sı́mbolos de Christoffel son las primeras derivadas parciales de la métrica que son
constantes, entonces, en cada sistema de coordenadas se tendrı́a
λ
= 0,
Rµνσ
con λ, µ, ν, σ = 0, 1, 2, 3.
(2.15)
Se suponı́a que era un buen candidato para expresar las ecuaciones de campo en el vacı́o,
sin embargo, imponerle esta última condición era algo muy restrictivo y se pensó en añadir
una condición menos restrictiva. Si hacemos σ = λ y sumamos en λ, se obtiene el conocido
tensor de Ricci
3
X
λ
(Ric)µν =
Rµνλ
.
(2.16)
λ=0
Finalmente, Einstein seleccionó como las ecuaciones de campo para un campo gravitatorio
en el vacı́o
1
(2.17)
(Ric)µν − gµν R = 0, µ, ν = 0, 1, 2, 3.
2
Se trata de un sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden en donde hay que hallar
los coeficientes de la métrica gµν .
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
36
Observación 2.1.1. Veamos que la ecuación (2.17) puede simplificarse. En primer lugar, al
multiplicarla por el inverso de la métrica g µν , queda que
1
1
1
(Ric)µν g µν − gµν Rg µν = R − δµµ R = R − 4R = −R = 0,
2
2
2
(2.18)
es decir, que el tensor curvatura escalar es R = 0. Ası́ que, sustituyendo en (2.17), se llega
a la simplificación
(Ric)µν = 0 µ, ν = 0, 1, 2, 3.
(2.19)
En el caso en el que estuviéramos ante una distribución continua de materia por el espacio,
el segundo miembro de (2.17) se sustituirı́a por las componentes de un tensor que mida la
energı́a, densidad y presión de la materia. A este tensor se le llama tensor momento-energı́a
o energı́a-impulso y se denota con la letra mayúscula T . De una forma más general, las
ecuaciones de campo tienen la forma:
8πG
Tµν .
(2.20)
c4
Estas ecuaciones relacionan la presencia de materia con la curvatura del espacio-tiempo.
Cuanto mayor sea la concentración de materia, representada por el tensor T , mayores serán
las componentes del tensor de curvatura de Ricci.
Gµν =
En el lı́mite clásico no-relativista, es decir, cuando se manejan velocidades muy pequeñas
comparadas con la luz y campos gravitacionales débiles, las ecuaciones del campo de Einstein
se reducen a la ecuación de Poisson para el campo gravitatorio que es equivalente a la ley de
gravitación de Newton. Tema que será tratado con posterioridad.
2.2.
Acción de Einstein-Hilbert
En esta sección, vamos a obtener las ecuaciones de campo a partir de la minimización de
una acción, S. Esto nos permitirá formular la teorı́a de la Relatividad General del mismo modo
en que otras teorı́as de campos clásicas son formuladas en Fı́sica. Introduzcamos brevemente
la noción de acción.
Definición 2.2.1. En una teorı́a de campos φi (x), una acción S[φi (x)] es un funcional de
las variables (x, φi , ∂µ φi (x)) ,
Z ∂φi (x) µ
,x
dn x
(2.21)
S [φi ] = L φi (x),
µ
∂x
donde x = {xµ } es el conjunto de n variables independientes del sistema, con µ = 1, . . . , n.
En el caso de la Relatividad General, obtendremos las ecuaciones de campo de Einstein a
partir de la minimización de la acción de Einstein-Hilbert, que es un funcional de la métrica.
Es decir,
δS[g]
= 0 =⇒ Gµν = 0 .
(2.22)
δg µν
La acción propuesta por David Hilbert en 1915, fue la siguiente:
37
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Definición 2.2.2. La acción de Einstein-Hilbert es el funcional
Z
√
1
S=
R −g d4 x,
2κ
(2.23)
donde g = det(gµν ) es el determinante del tensor métrico, R es la curvatura escalar y κ =
8πGc−4 .
Si igualamos a 0 una variación de esta acción con respecto a la inversa de la métrica, se
obtiene que
0 = δS
√
Z 1 δ( −gR)
δg µν d4 x
=
2κ δg µν
√ Z √
1
δR
R δ −g
µν
√
=
δg
−g d4 x.
+
2κ δg µν
−g δg µν
(2.24)
Como esta ecuación se mantendrı́a para cualquier variación δg µν , entonces, escribimos la
ecuación de movimiento
√
R δ −g
δR
+√
=0
(2.25)
δg µν
−g δg µν
Por consiguiente, para calcular el primer miembro de la ecuación (2.25), antes hay que obtener
las variaciones de R y del determinante de la métrica.
Para calcular la variación de R, primero calcularemos la variación del tensor curvatura
de Riemann y posteriormente, la del tensor de Ricci. Ası́, el tensor curvatura de Riemann es
Rρ σµν = ∂µ Γρνσ − ∂ν Γρµσ +
3
X
(Γρµλ Γλνσ − Γρνλ Γλµσ ).
(2.26)
λ=0
Ya que el tensor curvatura de Riemann depende sólo de la conexión de Levi-Civita, su variación puede calcularse como
δR
ρ
σµν
=
∂µ δΓρνσ
−
∂ν δΓρµσ
3
X
+
(δΓρµλ Γλνσ + Γρµλ δΓλνσ − δΓρνλ Γλµσ − Γρνλ δΓλµσ ).
(2.27)
λ=0
Ya que δΓρνµ es una diferencia de dos conexiones, es un tensor. Por ello podemos calcularle
su derivada covariante,
∇λ (δΓρνµ ) = ∂λ (δΓρνµ ) + Γρσλ δΓσνµ − Γσνλ δΓρσµ − Γσµλ δΓρνσ .
(2.28)
Se puede observar que la expresión de la variación del tensor de Riemann es igual a la
diferencia de las conexiones
δRρ σµν = ∇µ (δΓρνσ ) − ∇ν (δΓρµσ ).
(2.29)
A continuación, pasemos a calcular la variación del tensor de Ricci. Contrayendo dos
ı́ndices en el tensor de Riemann, se obtiene la identidad de Palatini
δ(Ric)µν ≡ δRρ µρν = ∇ρ (δΓρνµ ) − ∇ν (δΓρρµ ).
(2.30)
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
38
que es la variación del tensor de Ricci.
Si a la curvatura escalar R,
R = g µν (Ric)µν ,
(2.31)
le calculamos su variación con respecto a la inversa de la métrica g µν , se obtiene que
δR = (Ric)µν δg µν + g µν δ(Ric)µν
= (Ric)µν δg
µν
+ ∇σ g
µν
δΓσνµ
(2.32)
−g
µσ
δΓρρµ
.
(2.33)
donde en la segundad igualdad, se ha usado (2.30) y la compatibilidad de la métrica de la
derivada
∇σ g µν = 0,
(2.34)
ya que se puede introducir dentro por la definición de la derivada del producto.
El último sumando,
∇σ (g µν δΓσνµ − g µσ δΓρρµ ),
√
al multiplicarlo por −g, se puede escribir como una derivada total
√
√
−g∇σ g µν δΓσνµ − g µσ δΓρρµ = ∂σ −g g µν δΓσνµ − g µσ δΓρρµ
δΓρρµ
δΓσνµ
√
µσ
µν
δg − g
δg .
−g g
= ∂σ
δg
δg
(2.35)
(2.36)
(2.37)
A esta derivada total, le aplicamos el Teorema de Stokes sobre nuestro Universo M . Se
tiene la igualdad de integrales
Z
δΓσνµ µν
δΓρρµ µν
√
µν
µσ
∂σ
−g g
δg − g
δg
d4 x
(2.38)
µν
µν
δg
δg
M
Z
δΓρρµ µν
δΓσνµ µν
√
µσ
µν
δg − g
δg
−g g
d3 y = 0.
(2.39)
=
µν
µν
δg
δg
∂M
Esta última integral se anula ya que la métrica en la frontera de nuestro Universo ∂M es
constante (Minkowski en el infinito). Por tanto, la variación de una métrica constante es 0.
Y finalmente, la inversa de la métrica también: δg µν = 0.
Teniendo en cuenta ésto en la variación de R (2.33), se obtiene la igualdad
δR
= (Ric)µν .
δg µν
(2.40)
En segundo lugar, vayamos a calcular la variación del determinante de la métrica. Aplicando la Fórmula de Jacobi, regla de derivación del determinante, se tiene que
δg = δ det(gµν ) = g g µν δgµν .
(2.41)
gµν δg µν = −g µν δgµν ,
(2.42)
Por otro lado, se tiene que
39
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
por la regla de derivación de la inversa de una matriz
δg µν = −g µα (δgαβ )g βν .
(2.43)
Usando (2.41) y (2.42), podemos escribir
√
1
1√
1√
−g(g µν δgµν ) = −
−g(gµν δg µν ).
δ −g = − √ δg =
2 −g
2
2
Para concluir finalmente con la variación
√
1 δ −g
1
√
= − gµν .
µν
−g δg
2
(2.44)
(2.45)
Sustituyendo en la ecuación de movimiento (2.25), las variaciones (2.40) y (2.45) obtenidas, se obtiene
1
(2.46)
(Ric)µν − gµν R = 0,
2
que son las ecuaciones de campo de Einstein en el vacı́o, como querı́amos conseguir.
2.3.
Partı́cula a velocidad baja en un campo débil
Para cerrar el capı́tulo, se pretende conseguir una caracterización de las partı́culas que
viajan a velocidades no relativistas. Esto nos será de gran utilidad en el siguiente capı́tulo,
para ası́ obtener la métrica de Schwarzschild como solución a las ecuaciones de campo en el
vacı́o.
Sea M 4 un espacio-tiempo formado por una variedad lorentziana 4-dimensional y una
métrica g con coordenadas (x0 , x1 , x2 , x3 ) en donde la única masa está situada en el origen.
La coordenada x0 será la temporal y las otras 3 restantes serán las espaciales. Consideramos
una partı́cula material α : I → M 4 cuya expresión es
α(τ ) = (x0 (τ ), x1 (τ ), x2 (τ ), x3 (τ )).
Al reparametrizar por el tiempo propio τ . Su derivada
0
dx1
dx2
dx3
dx
0
(τ ),
(τ ),
(τ ),
(τ ) ,
α (τ ) =
dτ
dτ
dτ
dτ
(2.47)
(2.48)
ha de ser un vector temporal, es decir, hα0 , α0 i < 0. Al estar parametrizada por el arco
s
2 1 2 2 2 3 2
dx0
dx
dx
dx
0
1 = |α | =
−
−
−
.
(2.49)
dτ
dτ
dτ
dτ
La condición de que α viaje a velocidad baja, significa en términos de coordenadas de la
velocidad newtoniana de la partı́cula que
i
dx (2.50)
dτ ≈ 0 para i = 1, 2, 3.
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
40
Si planteamos las ecuaciones de las geodésicas
3
d2 xk X k dxi dxj
= 0 con k = 0, 1, 2, 3,
+
Γij
dτ 2
dτ
dτ
i,j=0
(2.51)
teniendo en cuenta que la partı́cula tiene velocidad no relativista, nos quedarı́an reducidas a
0 2
d2 xk
dx
(2.52)
+
Γk00 = 0 con k = 0, 1, 2, 3,
dτ 2
dτ
de forma que la obtención de las geodésicas en estas condiciones queda reducido al cálculo
de Γk00 para ciertos valores de k. Por definición
Γk00
3
3
∂g0m ∂g00
1 X km
1 X km ∂g0m ∂g0m ∂g00
2 0 − m .
g
g
=
+
− m =
2 m=0
∂x0
∂x0
∂x
2 m=0
∂x
∂x
(2.53)
Si suponemos que el campo gravitatorio ejercido por la única masa situada en el origen es
estático, es decir, la métrica no depende del tiempo. En esta situación, gij no depende de
∂g
tiempo x0 = t, por consiguiente ∂xij0 = 0. De esta forma, Γk00 se puede reescribir como
Γk00
3
1 X km ∂g00
=−
.
g
2 m=0
∂xm
(2.54)
A continuación, exigimos que el campo sea débil, que en términos métricos se puede
traducir en la igualdad métrica siguiente
gij = ηij + hij ,
donde hij ≈ 0 y la métrica η tiene la matriz

−1
0
ηij = 
0
0
.
(2.55)
siguiente

0 0 0
1 0 0
 = η ij
0 1 0
0 0 1
Al calcular las inversas de las métricas anteriores, podemos plantear la ecuación métrica
g ij = η ij + `ij ,
(2.56)
para cierta métrica `ij ≈ 0. Si reescribimos estos sı́mbolos de Christoffel, nos queda
Γk00
3
3
1 X km ∂h00
1
1 X km
∂h00
km ∂(η00 + h00 )
=−
(η + ` )
≈−
η
= − η kk k .
m
m
2 m=0
∂x
2 m=0
∂x
2
∂x
Si ahora sustituimos en (2.52), planteamos la ecuación
0 2 d 2 xk
dx
1
∂h00
+
−
η kk k = 0 con k = 0, 1 2, 3.
2
dτ
dτ
2
∂x
(2.57)
(2.58)
41
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Cuando k = 0, viendo x0 = t, se deduce que
2 d2 t
1
∂h00
dt
−
(−1)
=0
+
2
dτ
dτ
2
∂t
⇔
d2 t
= 0,
dτ 2
(2.59)
donde esta última equivalencia se basa en la condición de que el campo es estático. Pues
como g no depende del tiempo t, entonces por la igualdad (2.55), h tampoco depende. Por
tanto, se tiene que
∂h00
= 0.
(2.60)
∂t
Ası́ que si resolvemos esta primera ecuación diferencial, concluimos que la solución será t(τ ) =
λτ donde λ es una constante.
Vayamos ahora a estudiar los ecuaciones cuando k = 1, 2, 3. Las ecuaciones quedarı́an
como
2
1 dt
∂h00
d 2 xk
=
.
(2.61)
2
dτ
2 dτ
∂xk
Retomando la Gravedad Clásica que también explica el movimiento a baja velocidad, esto
nos conduce a
∂φ
d2 xk
− k =
=
∂x
dt2
d2 xk
dτ 2
dt 2
dτ
=
1 ∂h00
2 ∂xk
⇔
∂h00
∂φ
= −2 k
k
∂x
∂x
(2.62)
para cada k = 1, 2, 3, donde φ = −2/r. Integrando con respecto a xk , obtenemos que
h00 = −2φ + C
(2.63)
para cierta constante C. Como sabemos que en el infinito, h00 y φ se anulan:
lı́m h00 (r) = lı́m φ(r) = 0
r−→∞
r−→∞
=⇒
C ≡ 0.
(2.64)
Una vez conocido el valor de la constante, finalmente podemos concluir con la obtención
de g00 como sigue
)
h00 = −2φ
2M
=⇒ g00 = −1 +
,
(2.65)
r
g00 = η00 + h00
resultado que nos ayudará en la obtención de la solución de Schwarzschild en el próximo
capı́tulo, como vamos a ver a continuación.
Capı́tulo 3
La solución de Schwarzschild
En primer lugar, se procederá a obtener la métrica de un espacio-tiempo que satisfaga las
ecuaciones de campo en el vacı́o. Una vez obtenida, se estudiarán algunas de las propiedades
de este espacio-tiempo. Finalmente, como punto y final al capı́tulo, se concluirı́a con la
adquisición de las órbitas de partı́culas materiales y luminosas con esta nueva métrica.
3.1.
Obtención de la métrica
El objetivo es resolver las ecuaciones de campo de Einstein en el vacı́o,
(Ric)µν = 0
µ, ν = 0, 1, 2, 3,
(3.1)
para un campo gravitacional exterior a una masa aislada M esféricamente simétrica y estacionaria en el origen de coordenadas de nuestro sistema de referencia. Nos encontramos
con un sistema de 16 ecuaciones en derivadas parciales de 2o orden, aunque se reduce a 10
ecuaciones por la simetrı́a de las mismas.
Para ello, se empezará con la métrica de Minkowski,
dτ 2 = dt2 − dx2 − dy 2 − dz 2 ,
(3.2)
con la intención de modificarla hasta obtener una métrica que sea solución de (3.1).
Por la simetrı́a esférica del problema, será conveniente reemplazar las coordenadas espaciales cartesianas (x, y, z) por las coordenadas esféricas (ρ, φ, θ)
x = ρ sin φ cos θ,
y = ρ sin φ sin θ,
z = ρ cos φ.
Si denotamos X := (x, y, z), tal y como se aprecia en la figura 3.1, se tiene que ρ = ||X||,
φ es el ángulo entre X y el eje positivo z (colatitud), y finalmente, θ es el ángulo entre el
vector (x, y, 0) y el eje positivo x (longitud).
43
CAPÍTULO 3. LA SOLUCIÓN DE SCHWARZSCHILD
44
Figura 3.1. Interpretación geométrica del cambio de coordenadas.
Si derivamos las ecuaciones del cambio de coordenadas anterior, obtendrı́amos:
dx = sin φ cos θ dρ + ρ cos φ cos θ dφ − ρ cos φ sin θ dθ,
dy = sin φ sin θ dρ + ρ cos φ sin θ dφ + ρ cos φ cos θ dθ,
dz = cos φ dρ − ρ sin φ dφ,
y sustituyendo en la expresión anterior de la métrica, esta se puede reescribir como
dτ 2 = dt2 − dρ2 − ρ2 dφ2 − ρ2 sin2 φ dθ2 .
(3.3)
La intención es modificar esta métrica para obtener la métrica de un espacio-tiempo curvo
alrededor de la masa M previa. Teniendo en cuenta que la métrica debe de ser estática, es
decir, coeficientes independientes de t, además de esféricamente simétrica, es razonable asumir
que es de la forma
dτ 2 = U (ρ) dt2 − V (ρ) dρ2 − W (ρ) ρ2 (dφ2 + sin2 φ dθ2 ),
(3.4)
donde U , V y W son funciones tales que
sólo dependen del radio ρ, es decir, U, V, W son constantes si ρ es constante por la
simetrı́a esférica y por ser estática la métrica,
son casi 1 a distancias grandes, ya que deben ser Minkowski a distancias importantes
(ρ M ).
p
A continuacón, hacemos el cambio de variable r = ρ W (ρ), donde r ≈ ρ a distancias
grandes. Además, definimos

 A(r) := U (ρ(r)),
2
(3.5)
dρ
1
 B(r) := dr 2 V (ρ(r)) =
V (ρ(r)),
( dρ )
dr
2
2
dρ
dr
2
2
2
ya que de dr = dρ dρ tenemos que dρ =
dr2 .
dr
45
CAPÍTULO 3. LA SOLUCIÓN DE SCHWARZSCHILD
Si denotamos como dσ 2 = dφ2 + sin2 φ dθ2 la métrica en la 2-esfera, podemos reescribir la
métrica anterior como
dτ 2 = A(r)dt2 − B(r)dr2 − r2 dσ 2 ,
(3.6)
donde queremos determinar las funciones A y B. De esta forma, reducimos de 3 a 2 el número
de funciones desconocidas a determinar, es decir, pasamos de {U, V, W } a {A, B}.
Ya que U, V, W son positivas, entonces también A(r) y B(r) > 0. Por tanto, podemos
escribirlas como
A(r) = e2m(r) ,
B(r) = e2n(r) ,
(3.7)
donde ahora hay que obtener las funciones m(r) y n(r). Equivalentemente, la métrica se
puede escribir como
dτ 2 = e2m(r) dt2 − e2n(r) dr2 − r2 dφ2 − r2 sin2 φdθ2 .
(3.8)
Si denotamos como (x0 , x1 , x2 , x3 ) = (t, r, φ, θ), teniendo en cuenta la expresión general
de la métrica dτ 2 = gµν dxµ dxν tendrı́amos que la matriz de la métrica serı́a de la forma
 2m(r)

e
0
0
0
 0

−e2n(r) 0
0
,
(gµν ) = 
2
 0

0
−r
0
2
2
0
0
0 −r sin φ
(3.9)
g = det(gµν ) = −e2(m(r)+n(r)) r4 sin2 φ.
(3.10)
cuyo determinante es
Para calcular las funciones m(r) y n(r), calcularemos los sı́mbolos de Christoffel en función
de estas dos funciones. Debido a que nuestro sistema de coordenadas es ortogonal (gµν = 0
si µ 6= ν), se tiene que la métrica inversa, g µν , viene dada por

 0 si µ 6= ν,
1
g µν =
si µ = ν.

gµν
Recordemos que los sı́mbolos de Christoffel tienen la siguiente expresión genérica
3
Γλµν
1 X λβ
=
g
2 β=0
∂gµβ ∂gνβ ∂gµν
+
−
∂xν
∂xµ
∂xβ
,
para cada µ, ν, λ = 0, 1, 2, 3. Por tanto, en nuestro caso, tendrı́amos que
1
∂gµλ ∂gνλ ∂gµν
λ
Γµν =
+
−
,
2gλλ ∂xν
∂xµ
∂xλ
(3.11)
(3.12)
que no es una suma, pues al ser diagonal, nos quedamos con uno de los 4 sumandos anteriores,
únicamente cuando β = λ.
Llegado a este punto, se pueden considerar 3 casos:
CAPÍTULO 3. LA SOLUCIÓN DE SCHWARZSCHILD
46
Caso 1: Si µ, ν, λ son todos distintos entre sı́:
Γλµν ≡ 0.
Caso 2: Si λ = ν, tendremos que:
Γλµν = Γλµλ =
1 ∂gλλ
.
2 ∂xµ
Caso 3: Si µ = ν 6= λ, resulta que:
Γλµν = Γλµµ = −
1 ∂gµµ
.
2gλλ ∂xλ
En cada una de las expresiones anteriores, si las interpretáramos como sumas cometerı́amos un grave error, pues en este caso ha desaparecido el sumatorio y queda más simplificado.
Desde ahora en adelante, no se escribirá la dependencia de r en las funciones m y n, es
decir, escribiremos m(r) ≡ m y n(r) ≡ n. De una manera simple y algo tediosa, los sı́mbolos
de Christoffel no nulos que han sido obtenidos son los siguientes:
Γ010 = Γ001 = m0
Γ111 = n0
1
Γ212 = Γ221 =
r
1
Γ313 = Γ331 =
r
2
Γ33 = − sin φ cos φ
Γ100 = m0 e2(m−n)
Γ122 = −re−2n
Γ133 = −re−2n sin2 φ
Γ323 = Γ332 = cot φ
(3.13)
Adicionalmente, recordemos la siguiente expresión para las componentes del tensor de Ricci
que nos será útil más adelante:
(Ric)µν =
3
X
λ,β=0
∂Γλµν
∂Γλλν
−
+ Γβµν Γλλβ − Γβλν Γλµβ
β
µ
∂x
∂x
!
.
(3.14)
Antes de calcular las componentes del tensor de Ricci, enunciamos un lema que facilita
este cálculo al relacionar dichas componentes con el logaritmo neperiano del determinante de
la métrica.
Lema 3.1.1. Fijados λ y β, se tiene que para cada µ
g λβ
∂gλβ
1 ∂g
∂
=
=
ln|g|
µ
µ
∂x
g ∂x
∂xµ
Demostración. Consultar la referencia [3].
(3.15)
47
CAPÍTULO 3. LA SOLUCIÓN DE SCHWARZSCHILD
Ası́ que, aplicando este Lema 3.1.1, tendrı́amos que las ecuaciones de campo de Einstein
se escribirı́an como:
(Ric)µν =
∂
∂2
ln|g|1/2 − Γβµλ Γλνβ − Γβµν β ln|g|1/2 = 0,
µ
ν
∂x ∂x
∂x
(3.16)
1
ln(e2m+2n r4 sin2 φ) = m + n + 2 ln r + ln sin φ.
2
(3.17)
donde se tiene que:
ln|g|1/2 =
Por ejemplo, en caso de que quisiéramos calcular cuál es la componente (Ric)00 , tendrı́amos
que:
∂2
∂Γλ00
∂
1/2
ln|g|
−
+ Γβλ0 Γλβ0 − Γβ00 β ln|g|1/2
2
λ
∂t
∂x
∂x
∂
∂
= 0 − (m0 e2(m−n) + (Γ010 Γ100 + Γ100 Γ010 ) − Γ100 ln|g|1/2
∂r
∂r
R00 =
2
= [−m00 − m0 (2m0 − 2n0 )] e2m−2n + 2m02 e2m−2n − m0 e2m−2n (m0 + n0 + )
r
0
2m
= −m00 + m0 n0 − m02 −
e2m−2n
(3.18)
r
Ası́, las componentes del tensor de Ricci y las ecuaciones de campo de Einstein son
2m0
1
00
0 0
02
(Ric)00 2m−2n = −m + m n − m −
= 0,
(3.19)
e
r
2n0
= 0,
(3.20)
(Ric)11 = m00 − m0 n0 + m02 −
r
(Ric)22 = e−2n (1 + rm0 − rn0 ) − 1 = 0,
(3.21)
−2n
2
0
0
(Ric)33 = sin φ e (1 + rm − rn ) − 1 = 0,
(3.22)
donde el resto de componentes del tensor de Ricci son idénticamente nulas, es decir, si µ 6= ν,
entonces (Ric)µν ≡ 0.
Vayamos al fin a resolver el sistema de ecuaciones anterior de incógnitas las funciones m
y n. Si ahora sumamos las ecuaciones (3.19) y (3.20), obtendrı́amos que
2
d
− (m0 + n0 ) = 0 =⇒ m0 + n0 = (m + n) = 0,
r
dr
2
ya que el factor − r 6= 0, por lo tanto, se deduce que
m + n = c ≡ constante.
(3.23)
(3.24)
Por otro lado, debido a la definición que hemos dado de las funciones A(r) y B(r) junto
con la condición de que la métrica sea Minkowskiana en el infinito, se han de cumplir las
siguientes dos condiciones:
lı́m A(r) := lı́m e2m(r) = 1
⇔
lı́m B(r) := lı́m e2n(r) = 1
⇔
r→∞
r→∞
r→∞
r→∞
lı́m m(r) = 0,
(3.25)
lı́m n(r) = 0.
(3.26)
r→∞
r→∞
CAPÍTULO 3. LA SOLUCIÓN DE SCHWARZSCHILD
48
En último lugar, juntándolo todo obtenemos el valor de la constante c como
c = lı́m c = lı́m (m(r) + n(r)) = lı́m m(r) + lı́m n(r) = 0,
r→∞
r→∞
r→∞
r→∞
(3.27)
o equivalentemente, que m(r) y n(r) son funciones opuestas.
Entonces, si escribimos (Ric)22 en (3.21) en función de m, se reescribirı́a como
e−2(−m) (1 + rm0 − r(−m0 )) − 1 = 0
⇔
1 = (1 + 2rm0 )e2m =
d
(re2m ).
dr
(3.28)
Por lo que, al integrar con respecto a r, como m ≡ m(r), expresamos
re2m(r) = r + C
(3.29)
para cierta constante C de integración. O de otro modo, podemos reescribirla al dividir por
r en cada uno de los miembros:
g00 = e2m(r) =
C
r+C
=1+ .
r
r
(3.30)
Y es ahora cuando aplicamos el resultado obtenido en la sección anterior cuando el campo
es débil. Es decir, se ha de cumplir que muy lejos de la masa M , exactamente donde el campo
es débil y se sigue cumpliendo la teorı́a de Newton, que
g00 = 1 −
2M
,
r
(3.31)
por lo tanto, se puede deducir de la expresión (3.29) que el valor de esa constante es C = −2M .
Hemos obtenido una solución de las ecuaciones de campo que llamaremos la solución de
Schwarzschild y cuya métrica es
2
dτ =
2M
1−
r
−1
2M
dt − 1 −
dr2 − r2 dφ2 − r2 sin2 φ dθ2 .
r
2
(3.32)
Esta solución fue obtenida en Enero de 1916 justo unos pocos meses después de la publicación de los papeles de Einstein sobre la Teorı́a de la Relatividad General en Noviembre de
1915.
Observación 3.1.2. En primer lugar, pedı́amos que este modelo fuera estático, es decir,
que no hubiera ninguna dependencia del tiempo a la hora de hacer geometrı́a. Observando la
métrica, podemos confirmar que no hay dependencia temporal, ya que los coeficientes de la
métrica no son funciones de la coordenada temporal t.
Por otro lado, también confirmamos la condición de modelo esféricamente simétrico tal
y como exigı́amos previamente. De nuevo, mirando los coficientes temporal −h(r) y radial
h(r)−1 de la métrica, podemos observar la independencia de los mismos con respecto a las
coordenadas φ y θ.
49
CAPÍTULO 3. LA SOLUCIÓN DE SCHWARZSCHILD
En Relatividad General, el Teorema de Birkhoff establece que cualquier solución esféricamente simétrica de las ecuaciones de campo en el vacı́o ha de ser estática y ası́ntoticamente
llana. Esto significa que la solución exterior debe venir dada por la métrica de Schwarzschild1 .
La idea intuitiva de este teorema es que un campo gravitatorio con simetrı́a esférica debe
ser producido por un objeto masivo en el origen. En caso de que hubiera otra concentración
de masa-energı́a en otro lugar, esto perturbarı́a la simetrı́a esférica. De modo que, el campo
debe desaparecer a grandes distancias, es decir, la solución es asintóticamente plana. Por lo
tanto, esta parte del teorema es justo lo que se espera del hecho de que la Relatividad General
se reduce a la gravitación newtoniana en el lı́mite newtoniano.
3.2.
Espacio-tiempo de Schwarzschild
En Enero de 1916, Karl Schwarzschild proporcionó como solución particular de las ecuaciones de campo de Einstein el espacio-tiempo de Schwarzschild. Al mes después, Einstein
decı́a que:
“No esperaba que nadie pudiera formular una solución exacta del problema de una manera
tan simple.”
Este modelo de espacio-tiempo es el modelo más simple de un universo con una única
estrella que no rota, esto es, permanece estática y su campo gravitatorio es el mismo para
todos los cuerpos que estén a la misma distancia con respecto a la estrella. Este modelo es
aplicable en el Sistema Solar y es mucho más preciso que el modelo de Newton. Además, nos
permite explicar algunos fenómenos como el avance del perihelio y la curvatura de la luz,
entre otros.
Las principales propiedades de la solución de Schwarzschild son las siguientes:
1. Universo estático. Asumiremos que sea un universo estático, es decir, la métrica no
depende del tiempo y obliga a que la estrella no rote sobre sı́ misma. Esto encaja con
la idea de que la atracción gravitatoria depende únicamente de la posición y no del
tiempo en este caso.
2. Simetrı́a esférica. En otras palabras, dados un instante y una distancia radial (t, r),
la métrica es la misma independientemente de donde estemos en la S2 .
3. Vacı́o. Nuestro espacio-tiempo ha de ser vacı́o, pues la única fuente de gravedad es la
estrella y no se incluye en el modelo. Consecuentemente, el tensor de Ricci es nulo, ya
que si el tensor energı́a-momento, T , es nulo, entonces también lo es Gµν .
4. Minkowski en el infinito. Cuando nos situemos muy lejos de la fuente de gravedad,
su influencia será despreciable, es decir, la métrica de Schwarzschild se parece a la
métrica de Minkowski cuando r −→ ∞. Esto se conoce como métrica asintóticamente
plana.
1
El Teorema de Birkhoff fue probado en 1923 por G. D. Birkhoff, autor del teorema ergódico puntual que
es la base de la teorı́a ergódica. Sin embargo, Stanley Deser apuntó que fue demostrado dos meses antes por
el noruego y poco conocido Jørg Tofte Jebsen.
CAPÍTULO 3. LA SOLUCIÓN DE SCHWARZSCHILD
50
Este modelo es válido para describir universos vacı́os en el que hay una única fuente de
gravedad estática puntual y que afecta de igual manera a los objetos que se encuentren a la
misma distancia. Se consigue ası́ un espacio-tiempo de 4 dimensiones con dos componentes
conexas dotado de la métrica de Schwarzschid.
Definición 3.2.1. Llamamos función de Schwarzschild a la función
h(r) = 1 −
2M
,
r
donde r ∈ (0, +∞).
Definición 3.2.2. Sea L1 = R1 el espacio de Minkowski y R+ = (0, +∞) semieje real positivo. Se define el plano de Schwarzschild de masa M como la variedad semi-riemanniana
P = R1 × R+ junto con la métrica
−h(r) dt2 +
1
dr2 .
h(r)
Llamaremos a la coordenada temporal t tiempo de Schwarzschild y a r como el radio de
Schwarzschild o coordenada radial.
En el espacio-tiempo de Schwarzschild que se definirá a continuación, las distancias entre
dos puntos del espacio son medidas mediante el radio r y tiempo t de Schwarzschild (tiempo
medido por un observador en el infinito o tiempo en el infinito). Geométricamente, (t, r) se
interpreta como el tiempo y la distancia entre dos eventos que son medidos desde el infinito.
Por otro lado, utilizaremos las coordenadas (θ, φ) para denotar las variables en la esfera S2 .
Por tanto, podemos definir el espacio-tiempo de Schwarzschild como:
Definición 3.2.3. Si S2 es la esfera unidad 2-dimensional, llamaremos espacio-tiempo de
Schwarzschild de masa M al producto cartesiano P × S2 con la métrica
−h(r) dt2 +
1
dr2 + r2 dφ2 ,
h(r)
donde dφ2 es la métrica en la esfera.
Denotaremos por N = {r > 2M } al espacio-tiempo exterior de Schwarzschild y
por B = {r < 2M } al agujero negro de Schwarzschild.
La componente temporal será la primera coordenada y las otras tres serán las espaciales.
Ası́ que la parte espacial del modelo será R+ × S2 .
Observación 3.2.4. Nótese que cuando r → ∞, la función de Schwarzschild cumple que
h(r) → 1. En otras palabras, la métrica de Schwarzschild tiende asintóticamente a la métrica
de Minkowski −dt2 + dr2 + r2 dφ2 . El espacio es llano, pues queda libre de toda gravedad al
ser minkowskiano.
Además, si M ≈ 0, la función de Schwarzschild h(r) ≈ 1 y se darı́a lo mismo que antes,
es decir, si el cuerpo no tiene mucha masa, la métrica es Minkowskiana. Por ejemplo, en
unidades geométricas, la Tierra tiene una masa de MT ierra = 4, 44 · 10−3 m y por lo anterior,
la métrica de Schwarzschild serı́a minkowskiana sobre la Tierra.
51
CAPÍTULO 3. LA SOLUCIÓN DE SCHWARZSCHILD
A pesar de ello, hay que tener muy en cuenta cuál es la relación entre el radio r y la
masa M , pues aunque la masa sea pequeña, si el radio es mucho menor, los efectos de esta
métrica serı́an importantes. Por tanto, el factor determinante es el cociente 2M/r, para poder
diferenciar lo significante o no que es la métrica de Schwarzschild.
3.2.1.
Espacio-tiempo no conexo
Todo hace indicar que esta métrica encaja con la idea que tenemos de nuestro Universo
con una única estrella, sin embargo, hemos de estudiar con más detenimiento la función de
Schwarzschild
2M
h(r) = 1 −
.
r
Como bien comentamos anteriormente, la solución de Schwarzschild solo modela el espaciotiempo en el exterior de nuestra estrella. Por ello, veamos qué sucede en casos particulares y de
especial interés, en los que el radio de la estrella sea muy pequeño y el radio de Schwarzschild
se aproxime notablemente al origen. Ante de ello, veamos qué es una singularidad.
Una singularidad gravitacional es una zona del espacio-tiempo donde no se puede
definir alguna magnitud fı́sica relacionada con los campos gravitatorios. Es decir, es un punto que no pertenece al espacio-tiempo en que el tensor métrico no está definido o no es
diferenciable.
¿Qué le sucede a la métrica cuando r → 0? Como la función de Schwarzschild se hace tan
pequeña como se quiera, h(r) → −∞, la métrica se comporta de la siguiente manera
− h(r) dt2 +
1
dr2 + r2 dφ2
h(r)
−→
+∞ dt2 .
(3.33)
Es decir, la parte espacial y radial se anula y la parte temporal se hace infinita. Estamos ante
una singularidad esencial en r = 0. ¿Qué interpretación fı́sica le podemos dar? Básicamente,
se puede interpretar como que la diferencia entre los tiempos de un reloj situado muy cerca
de esta singularidad y otro en el exterior, puede hacerse tan grande como se desee.
Estudiaremos ahora el hiperplano H := {r = 2M } que separa N y B y que se define
como el horizonte de sucesos o de eventos y veamos que cuando la coordenada radial se
aproxima a este hiperplano, la métrica tiene una singularidad.
¿Qué le sucede a la métrica cuando r = 2M ? Evaluando la función de Schwarzschild para
este valor de r, vemos que h(2M ) = 0. Ası́, si r → 2M , la métrica vale:
− h(r) dt2 +
1
dr2 + r2 dφ2
h(r)
−→
+∞ dr2 + 4M 2 dφ2 .
(3.34)
Como veremos en la próxima sección, se da
r
dτ 2M
= 1−
−→ 0,
dt r=2M
r
(3.35)
CAPÍTULO 3. LA SOLUCIÓN DE SCHWARZSCHILD
52
que cuando r → 2M se anula, esto quiere decir que el tiempo en el infinito se hace infinitamente grande.
Imaginemos una partı́cula que se aproxima a la singularidad r = 2M . Su tiempo de Schwarzschild se harı́a infinito para intentar recorrer una distancia finita. Es decir, un observador
en el infinito, pensarı́a que la partı́cula nunca atraviesa esta singularidad y se quedarı́a muy
próximo a la misma. Por el contrario, el tiempo propio de la partı́cula dirı́a lo contrario: ésta
atravesarı́a la singularidad en un tiempo finito y seguirı́a aproximándose a la estrella.
Si calculamos lı́mites laterales a la derecha e izquierda de r = 2M :
2M
2M
= −∞,
lı́m
1−
= +∞,
lı́m
1−
r→2M +
r→2M −
r
r
(3.36)
vemos que hay un cambio de signo en h(r) y por tanto, la métrica queda dividida en dos
métricas diferentes según r < 2M o r > 2M . Entonces, tendrı́amos dos espacio-tiempos en
vez de uno, es decir, un espacio-tiempo no conexo.
Pero, ¿qué sucede con el tiempo de Schwarzschild cuando se hace infinito al acercarnos
a r = 2M ? Cuando Schwarzschild, en 1916, escribió este modelo, no tuvo en cuenta esta
patologı́a. Esto es debido a que, por aquellos tiempos, las masas de los cuerpos gravitatorios
conocidos tenı́an un radio r∗ muy superior a r = 2M (r∗ ≫ 2M ). De hecho, para el caso del
Sol, se cumple que
∗
r
= 696 600 km ≫ r = 2M = 2.95 km
Con la introducción de mejoras en las técnicas astrofı́sicas de observación y detección, se
fueron descubriendo cuerpos con un volumen mucho más pequeño y una masa mucho mayor:
cuerpos gravitatorios nuevos como estrellas de neutrones o supernovas con densidades mucho
mayores de los conocidos hasta entonces. En el caso de las estrellas de neutrones, sus radios
suelen estar próximos a r∗ ≈ 8M . Entonces surgió la pregunta de qué sucederı́a al acercarnos
a r = 2M e incluso situaciones en las que r < 2M . El agujero negro de Schwarzschild, una
deducción matemática de un sistema de ecuaciones en derivadas parciales, ya comenzaba a
mostrar su más que posible aplicación en nuestro universo.
Afortunadamente, más adelante se dio con el modelo de Kruskal. Este modelo introducı́a
un cambio de coordenadas que solucionaba el problema de la singularidad r = 2M y permitı́a
trabajar al fin en un espacio-tiempo conexo.
3.2.2.
Espacio-tiempo curvo
¿Existe alguna diferencia entre el espacio-tiempo de Schwarzschild y el espacio-tiempo de
Minkowski? Sı́, la gran diferencia entre ellos es la curvatura. Mientras que el espacio-tiempo
de Minkowski tiene curvatura nula (isométrico a R4 ), el espacio-tiempo de Schwarzschild
tiene curvatura. Veámoslo, calculando las componentes del tensor curvatura de Riemann.
Si volvemos a los sı́mbolos de Christoffel obtenidos en (3.13) y consideramos las igualdades
e2m = 1 −
2M
,
r
n = −m,
(3.37)
53
CAPÍTULO 3. LA SOLUCIÓN DE SCHWARZSCHILD
al derivar con respecto de r considerando m0 ≡ m0 (r) y despejar posteriormente, que
e2m 2m0 =
2M
r2
⇔
m0 =
r2
M
.
− 2M r
(3.38)
De forma análoga, se obtedrı́a que n0 = −m0 .
De esta manera, los sı́mbolos de Christoffel pueden ser escritos sin la dependencia de m
ni n como:
Γ010 = Γ001 =
M
,
−2M r + r2
Γ100 =
M
,
2M r − r2
1
= Γ221 = ,
r
1
= Γ331 = ,
r
= − sin φ cos φ,
M (−2M + r)
,
r3
Γ111 =
Γ122 = 2M − r,
Γ212
Γ133 = (2M − r) sin2 φ,
Γ313
Γ233
Γ323 = Γ332 = cot φ.
(3.39)
Finalmente, si recordamos la expresión del tensor curvatura de Riemann en función de
los sı́mbolos de Christoffel,
ρ
Rσµν
ρ
= ∂µ Γ
νσ
− ∂ν Γ
ρ
µσ
+
3
X
(Γρ µλ Γλ νσ − Γρ νλ Γλ µσ ),
(3.40)
λ=0
sustituyendo lo obtenido en (3.39), llegamos a que las componentes no-nulas del tensor curvatura de Riemann son
M
,
r
2M (−2M + r)
,
=
r4
2M sin2 φ
=−
,
r
M
=
,
(2M − r)r2
M (2M − r)
=
,
r4
M
=− ,
r
M sin2 φ
,
r
M
,
=
(2M − r)r2
M (2M − r)
=
,
r4
2M
=
,
r
2M
= 2
,
r (−2M + r)
M sin2 φ
=−
.
r
1
R221
=
1
R331
=
1
R441
2
R121
2
R332
3
R131
3
R443
4
R242
2
R442
3
R232
4
R141
4
R343
(3.41)
Por tanto, tal y como querı́amos ver, el espacio-tiempo de Schwarzschild tiene curvatura
no-nula. Además, se aprecia con solo mirar sus componentes la fuerte dependencia de dicho
tensor con respecto a la coordenada radial r, pues casi todas ellas son funciones de r.
CAPÍTULO 3. LA SOLUCIÓN DE SCHWARZSCHILD
54
A continuación, estudiaremos algunas consecuencias que provienen del hecho de poseer
curvatura no-nula.
Antes, nuestra intuición fallaba al pensar que el tiempo y radio de Schwarzschild (t, r)
se podı́an interpretar como el tiempo propio y la distancia medida. La razón de por qué no
podemos interpretarla de este modo, se debe a la curvatura del modelo.
1) El espacio influye en el tiempo.
Centrémonos en un primer ejemplo de una partı́cula material cuyas coordenadas espaciales
(r, θ, φ) no varı́en, es decir, la trayectoria de la partı́cula α es de la forma
α(τ ) = (τ, r0 , θ0 , φ0 ),
en donde τ es el tiempo propio de la partı́cula y toma valores entre dos instantes de tiempo
t1 y t2 medidos por la propia partı́cula, o sea, τ ∈ [t1 , t2 ]. Asumamos, además, que r0 6= 2M .
Como α0 (τ ) = (1, 0, 0, 0) = ∂t (α(u)), el tiempo propio entre los dos eventos cuyos instantes de tiempo de Schwarzschild son t1 y t2 serı́a
r
Z t2 r
Z t2 q
2M
2M
t2
dt = 1 −
(t1 − t0 ).
(3.42)
gα(τ ) (α0 (τ ), α0 (τ )) dt =
1−
τt1 =
r
r
t1
t1
Por la continuidad del tiempo propio y del tiempo de Schwarzschild, aplicando el Teorema
Fundamental del Cálculo, podemos escribir
r
2M
dτ = 1 −
dt.
(3.43)
r
p
Como r0 > 2M , esto implica que h(r0 ) > 1 y consecuentemente h(r0 ) > 1, es decir,
el tiempo en el infinito es mayor que el tiempo propio de la partı́cula en esta situación.
→ 0, es decir, el tiempo transcurrido para la
Además, si hacemos r → 2M + , se tiene que dτ
dt
partı́cula es muy pequeño en comparación con el tiempo de Schwarzschild.
Tal y como se anunció antes, el tiempo de Schwarzschild t representa el tiempo en el
infinito o bien el tiempo que marcan relojes lo suficientemente alejados de la masa M . Imaginemos que situamos dos relojes a alturas r0 = 4M y r1 = 8M , donde este segundo está más
alto que el primero. La expresión (3.43), nos permite comparar ambos relojes de la forma
siguiente
q
q
r
2M
2M
1
−
1 − 4M
r0
dτ0
2
=q
=q
=
< 1.
(3.44)
dτ1
3
1 − 2M
1 − 2M
r1
8M
Es decir, el tiempo propio del reloj situado en r0 = 4M es mucho más pequeño que el tiempo
propio del reloj situado en r1 = 8M . De otro modo, lo podemos ver como que por cada
unidad de tiempo dτ0 = 1, se ha de dar que
dτ1 =
r !−1
2
1 ∼
∼
=
= 1.25.
3
0.8
(3.45)
55
CAPÍTULO 3. LA SOLUCIÓN DE SCHWARZSCHILD
¿Qué quiere decir esto? Que el tiempo no transcurre igual para todos, sino de forma muy
diferente en función de donde estemos situados en el espacio.
O bien, desde otro punto de vista, si el reloj situado en r0 emite un pulso cada segundo
(1 Hz), entonces el reloj más alto recibirı́a un pulso cada 1.25 segundos (0.8 Hz), esto es,
el reloj más alto recibe una frecuencia 1.25 veces más pequeña. Este fenómeno es conocido
como el corrimiento hacia el rojo gravitacional.
2) r no es el radio euclı́deo.
En segundo lugar, veamos qué es exactamente la coordenada r. Fijado r0 , primeramente
partimos de la curva α(τ ) = (t0 , r0 , θ0 = π2 , u) con u ∈ [0, 2π], es decir, la curva situada en
una esfera imaginaria concéntrica sobre nuestra masa M .
Si derivamos, obtenemos que α0 (u) = (0, 0, 0, 1) = ∂θ (α(u)) y si le calculamos el módulo,
obtenemos que
|α0 (u)| = gα(u) (∂θ, ∂θ) = r sin2 θ(α(u)) = r0 sin2
π
= r0 .
2
Entonces, si queremos calcular la longitud de esta curva, obtendrı́amos que
Z 2π
L(α) =
|α0 (u)| = 2π r0 ,
(3.46)
(3.47)
0
donde, aparentemente, la coordenada r del radio de Schwarzschild parece ser el radio de dicha
esfera. Veamos que no es ası́.
Sin embargo, si A = (t0 , r0 , π2 , 0) y B = (t0 , r1 , π2 , 0) y consideramos la curva γ que une
ambos como
π
γ(s) = (t0 , s, , 0), donde s ∈ [r0 , r1 ] ,
2
esta curva es una geodésica espacial que realiza la distancia entre los eventos A y B.
Observación 3.2.5. Antes de continuar con este desarrollo, veamos por qué la curva γ es una
geodésica. Esta prueba se basa en un argumento de simetrı́a, pues la métrica de Schwarzschild
queda invariante frente a simetrı́as de los 3 hiperplanos {t = t0 }, {φ = π2 } y {θ = 0} tal y
como vamos a ver a continuación.
Para ello, abordaremos la prueba en R2 junto con las coordenadas polares (r, θ) y la
métrica dr2 + r2 dθ2 . Tendremos en cuenta la aplicación Sθ0 tal que a cada par lo lleva a su
simétrico con respecto de la recta θ = θ0 . Es decir, la simetrı́a definida como
(r, θ)
7−→
(r, 2θ0 − θ)
(3.48)
Dada la simetrı́a anterior, tomamos la geodésica α(u) = (r(u), θ(u)) con condiciones
iniciales
i) α(0) = (r(0), θ0 )
ii) α0 (0) = (r0 (0), 0) con r0 (0) > 0.
CAPÍTULO 3. LA SOLUCIÓN DE SCHWARZSCHILD
56
Veamos que α permanece siempre en la misma recta. Para ello, definimos la curva
β := Sθ0 ◦ α
con condiciones iniciales
i) β(0) = Sθ0 (α(0)) = Sθ0 (r0 , θ0 ) = (r0 , θ0 ) = α(0)
0 1 0
r (0)
0
0
ii) β (0) = dSθ0 (α (0)) =
= (r0 (0), 0) = α0 (0)
0 −1
0
iii) β = Sθ0 ◦ α es geodésica por serlo α y porque Sθ0 es una simetrı́a.
En conclusión, como tenemos dos geodésicas con las mismas condiciones iniciales, ambas han
de ser la misma, esto es
(r(u), θ(u)) =: α(u) = β(u) = (r(u), 2θ0 − θ(u)).
(3.49)
Entonces, al igualar la segunda coordenada, se tiene que
θ(u) = 2θ0 − θ(u)
=⇒
θ(u) = θ0 ,
(3.50)
es decir, para cada u del dominio de la curva α se tiene que el ángulo θ no varı́a. Tal y como
querı́amos probar, la geodésica α permanece siempre en la recta θ = θ0 .
Volviendo a la métrica de Schwarzschild y sus coordenadas, enunciamos el siguiente resultado:
Proposición 3.2.6. En el espacio-tiempo de Schwarzschild, la curva α(u) = (t0 , r(u), π2 , 0),
con r(u) una función tal que |α0 (u)| = constante 6= 0, es una geodésica espacial.
Demostración.
Para probarlo, en primer lugar, tendremos en cuenta las aplicaciones
i) simetrı́a respecto de t0 :
t 7−→ 2t0 − t,
ii) simetrı́a respecto de φ0 = π2 :
φ 7−→ π − φ,
iii) simetrı́a respecto de θ0 = 0:
θ 7−→ −θ,
que son simetrı́as por dejar invariante la métrica de Schwarzschild en los 3 hiperplanos.
Por tanto, se tiene que
α(u) ∈ {t = t0 } ∩ {φ =
π
} ∩ {θ = 0}.
2
Como hemos visto antes, las curvas que pertenecen a la intersección de estos 3 hiperplanos
son geodésicas. Por tanto, α ha de ser una geodésica, tal y como querı́amos probar.
57
CAPÍTULO 3. LA SOLUCIÓN DE SCHWARZSCHILD
Volviendo al desarrollo anterior, si ahora calculamos la distancia entre A y B, se tiene
que
√
Z r1
Z r1
Z r1
1
r
0
r1
q
√
|γ (s)| ds =
dr =
d(A, B) = Lr0 =
dr.
(3.51)
2M
r
−
2M
r0
r0
r
0
1− r
√
Haciendo el cambio de variable t = r con dr = 2t dt, reescribimos la integral anterior (con
el respectivo cambio en los ı́ndices de integración) como:
Z t1
h√
it2
√
2t2
√
d(A, B) =
dt = t t2 − 2M + 2M ln|t + t2 − 2M | .
(3.52)
t1
t2 − 2M
t0
Deshaciendo el cambio de variable anterior, quedarı́a finalmente que
hp
i√r2
√
√
r1
r(r − 2M ) + 2M ln| r + r − 2M | √ 6= r1 − r0 .
Lr0 =
(3.53)
r1
Por tanto, ambas esferas concéntricas no están separadas por la diferencia de sus radios de
Schwarzschild r1 −r0 , sino por algo totalmente distinto como se puede apreciar en esta última
igualdad (3.53). Consecuentemente, concluimos con que la coordenada radial r no puede ser
el radio de una esfera arbitraria.
3) Espacio-tiempo no homogéneo.
En tercer lugar, destacar que dentro del espacio-tiempo de Schwarzschild existen numerosos métodos tales como medir longitudes, cronometrar tiempos, etc, que nos permiten
diferenciar dos puntos cualesquiera del mismo. A continuación, introduzcamos el concepto
de homogeneidad.
Definición 3.2.7. Dada una variedad semi-riemanniana (M, g) se dice que es homogénea
si para cada par de puntos p, q ∈ M existe una isometrı́a global A : M → M que cumpla
que A(p) = q.
Esta definición se puede interpretar como que al elegir dos puntos de la variedad es
imposible distinguirlos dentro de la variedad desde un punto de vista métrico. Ejemplos de
espacios homogéneos son Rn con la métrica euclı́dea dxn1 + ... + dxnn , la esfera Sn o bien el
espacio proyectivo Pn . Pero, ¿es el espacio-tiempo de Schwarzschild un espacio homogéneo?
La respuesta es obvia tras lo sucedido anteriormente. No es un espacio homogéneo. En
algunas ocasiones no es posible encontrar una isometrı́a que una dos puntos arbitrarios en
el espacio-tiempo de Schwarzschild. Anteriormente, cogı́amos dos puntos con distintas coordenadas radiales, que a su vez implicaba que ambos puntos tenı́an curvatura distinta y no
nula. Como sabemos que las isometrı́as conservan la curvatura, entonces no podrı́amos dar
tal isometrı́a global en dos puntos de radios de Schwarzschild distintos.
4) Conos de luz del modelo.
En cuarto y último lugar, denotemos como β a una geodésica de condiciones iniciales
φ(0) = π2 y θ(0) = 0 en donde sabemos que siempre se mantendrá por la proposición 3.2.6
anterior. Esto nos permite reescribir β como sigue
π
β(s) = (t(s), r(s), , 0).
2
CAPÍTULO 3. LA SOLUCIÓN DE SCHWARZSCHILD
58
Si queremos que β sea un pulso de luz, entonces su velocidad,
β 0 (s) = (t0 (s), r0 (s), 0, 0),
(3.54)
ha de ser un vector de tipo luz, es decir, por definición se tiene que cumplir que
1
2M
0
0
t0 (s)2 +
r0 (s)2 ,
0 = gβ(s) (β (s), β (s)) = − 1 −
2M
r(s)
1 − r(s)
(3.55)
o equivalentemente que
2
2M
1−
t0 (s)2 = r0 (s)2 .
r(s)
(3.56)
Y por último, al introducir raı́ces, queda que
2M
0
r (s) = ± 1 −
t0 (s).
r(s)
(3.57)
Gracias a este pequeño cálculo, disponemos de las herramientas necesarias para conocer
cuáles son las direcciones luminosas en cada punto del plano de Schwazschild. Si reescribimos
de nuevo la velocidad de la curva β junto con lo obtenido en (3.57)
2M
2M
0
0
0
0
t (s), 0, 0) = t (s) (1, ± 1 −
, 0, 0).
(3.58)
β (s) = (t (s), ± 1 −
r(s)
r(s)
Para
llevar a cabo el estudio de las direcciones de β, podemos hacerlo con el vector
2M
(1, ± 1 − r(s)
, 0, 0), pues está en la misma dirección. Por tanto, elegimos t0 (s) = 1 por
simplificación.
¿Qué sucede cuándo r se hace muy grande? Como es de suponer, debido a que este
espacio-tiempo es de Minkowski en el infinito, las direcciones luminosas han de coincidir con
las de este último espacio-tiempo. Efectivamente, como
2M
0
, 0, 0) = (1, ± 1, 0, 0) = ∂t ± ∂r,
(3.59)
lı́m β (s) = (1, lı́m ± 1 −
r−→∞
r−→∞
r(s)
entonces en el infinito, la curva tiene dos direcciones luminosas que son perpendiculares entre
sı́. Entre ambas direcciones se forma un ángulo de 45o con respecto al eje de abscisas r como
se puede visualizar en la figura 3.2.2 de más abajo.
Por otro lado, si para cierto s0 fijo, obligamos a que la curva no esté en el agujero negro,
ha de cumplir que su coordenada radial en s0 es r(s0 ) = r0 > 2M , entonces la segunda
coordenada de β 0 ,
r0 > 2M
=⇒
2M
>1
r0
=⇒
0<1−
2M
<1
r0
(3.60)
también es positiva. En comparación con la situación anterior, β 0 no cambia su coordenada
temporal y sı́ su coordenada radial que ha disminuido. Antes, ambas direcciones formaban
59
CAPÍTULO 3. LA SOLUCIÓN DE SCHWARZSCHILD
un ángulo de 45o con respecto al eje de abcisas r, sin embargo, ahora ha aumentado. Es decir,
ambas direcciones están más juntas, como se puede apreciar en la misma figura.
¿Y cuándo la curva se aproximase al horizonte de sucesos? Eligiendo r(s) = r = 2M
constante y al sustituir en (3.58), se obtiene que
r = 2M
−→
0
β (s) = (1, ±
2M
1−
2M
, 0, 0) = (1, 0, 0, 0) = ∂t,
(3.61)
es decir, sólo habrı́a una dirección de tipo luz en r = 2M y serı́a el propio hiperplano de
sucesos. Desde otro punto de vista, las únicas curvas que pueden nacer en el horizonte de
sucesos y no ser atrapadas por el agujero negro son las de tipo luz. Además, estas curvas
estarı́an destinadas a no cambiar su coordenada radial y por tanto, permanecer eternamente
en el horizonte de sucesos. El más mı́nimo cambio, las mandarı́a al agujero negro.
Figura 3.2.2. Direcciones luminosas en el espacio-tiempo de Schwarzschild.
Gráficamente se aprecia que los conos de luz se van cerrando conforme disminuye la
coordenada r hasta que en r = 2M llegan a ser únicamente el horizonte de sucesos.
¿Qué sucede dentro de agujero negro? Cuando r < 2M , de forma análoga, se tiene que
r < 2M
=⇒
2M
<1
r
=⇒
1−
2M
< 0,
r
(3.62)
es decir, la coordenada radial de β 0 apuntarı́a siempre hacia dentro del agujero negro. Es
decir, el radio, r, pasa a ser temporal y, recı́procamente, el tiempo en el infinito, t, pasa a ser
espacial. De manera que ninguna partı́cula material ni luminosa puede escapar del agujero
negro B, ya que las únicas direcciones posibles serı́an las de viajar hacia dentro del mismo.
Además, dicha partı́cula en el interior del agujero negro llegarı́a a la singularidad central
r = 0 en una cantidad de tiempo finito medido por la propia partı́cula. Por el contrario, si
se considera un observador en el infinito, éste observarı́a que nunca la partı́cula llega a dicha
singularidad central.
CAPÍTULO 3. LA SOLUCIÓN DE SCHWARZSCHILD
3.3.
60
Órbitas en Relatividad General
Después de haber calculado la órbita de un planeta aplicando las Leyes de la Gravitación
de Newton en el primer capı́tulo, repitamos esto haciendo uso de la Relatividad General.
De estas dos teorı́as tan distintas y aparentemente no muy relacionadas, no confiábamos en
llegar a ecuaciones orbitales parecidas. A pesar de esto, las predicciones de las dos teorı́as
están sorprendentemente relacionadas, con datos experimentales abrumadoramente en favor
de Einstein.
Consideramos una partı́cula material cuya trayectoria es α, parametrizada por τ , su tiempo propio. Si ésta se mueve afectada únicamente por su inercia y por el campo que crea una
masa M esféricamente simétrica y situada en el origen, entonces α describe una geodésica en
la métrica de Schwarzschild.
Al igual que en el caso newtoniano, veremos al planeta de mayor masa M como un punto
y despreciaremos los efectos en la órbita de los otros planetas. Como propone Einstein, un
planeta sigue una geodésica temporal dada por las ecuaciones
3
µ
ν
X
d 2 xλ
λ dx dx
+
Γµν
= 0,
λ = 0, 1, 2, 3,
(3.63)
dτ 2
dτ dτ
µ, ν=0
donde trabajaremos con las coordenadas de Schwarzschild (x0 , x1 , x2 , x3 ) = (t, r, φ, θ). Recuérdese que los sı́mbolos de Christoffel ya han sido calculados en secciones previas.
En cuanto a las condiciones iniciales de curva, por la rotación espacial, en τ = 0, se
(0) = 0. Por la simetrı́a esférica del campo gravitatorio, el planeta
tiene que φ(0) = π2 y dφ
dτ
debe permanecer en el plano {φ = π2 }, como vio anteriormente. Por lo tanto, para cada τ ,
φ(τ ) = π2 . Entonces, sustituyendo esto en la ecuación de la geodésica obtenemos
d2 t
dr dt
+ 2m0
= 0,
2
dτ
dτ dτ
2
2
2
d2 r
dt
dr
dθ
0 2(m−n)
0
−2n
+me
+n
− re
= 0,
2
dτ
dτ
dτ
dτ
d2 θ 2 dr dθ
+
= 0,
dτ 2 r dτ dτ
que es un sistema de 3 ecuaciones diferenciales de 2o orden con las 3 incógnitas t(τ ),
θ(τ ).
(3.64)
(3.65)
(3.66)
r(τ ) y
Utilzando la igualdad ,
dr
dm dr
dm
=
=
,
dτ
dr dτ
dτ
en la ecuación (3.64) y dividiendo por dt/dτ , nos queda
d2 t
dm
d
dt
dm
dτ 2
=0 ⇔
ln
= −2
.
+2
dt
dτ
dτ
dτ
dτ
dτ
m0
(3.67)
(3.68)
Integrando respecto de τ se obtiene que para cierta constante c
ln
dt
= −2m + c.
dτ
(3.69)
61
CAPÍTULO 3. LA SOLUCIÓN DE SCHWARZSCHILD
Al tomar exponenciales, se llega a
dt
b
= e−2m+c = e−2m ec = ,
dτ
γ
donde
(3.70)
2M
= e2m
b := ec .
(3.71)
r
una constante positiva que indica cuál es la energı́a en el infinito. Retoecuación puede ser reescrita como
2
dr dθ
2 dr dθ d2 θ
2 dθ
2d θ
2
r
= 2r
+r
+ 2 = 0,
(3.72)
=r
dτ
dτ dτ
dτ 2
r dτ dτ
dτ
γ := 1 −
En particular, b es
mando (3.66), esta
d
dτ
dθ
≡ constante cosa que nos recuerda a lo ya
es decir, si λ = 3 obtenemos que h := r2 dτ
obtenido en la sección 1.3.
Utilicemos ahora la condición de que α(τ ) por ser una curva material tal que |α0 (τ )| = 1
cuya forma es α(τ ) = (t(τ ), r(τ ), π2 , θ(τ )). En términos del tensor métrico, esto equivale a
2 −1 2
2
2M
dt
2M
dr
dθ
2
− 1−
−r
1= 1−
r
dτ
r
dτ
dτ
2
2
2
dt
1 dr dθ
dθ
=γ
−
− r2
dτ
γ dθ dτ
dτ
2
2
2
b
1 dr h
h
=γ 2 −
− r2
,
2
γ
γ dθ r
r4
(3.73)
donde la última igualdad se obtuvo utilizando (3.70) y (3.72). Si multiplicamos por γ ambos
miembros, nos queda
2
dr h
h2
2
γ=b −
.
(3.74)
−
γ
dθ r2
r2
Escribiendo γ = 1 −
2M
r
y reordenando, se llega a
h dr
r2 dθ
2
+
h2
2M
2M h2
2
=
b
−
1
+
+
r2
r
r r2
(3.75)
El cambio de variable u = 1/r junto con
du
du dr
1 dr
dr
=
=− 2
= −u2 ,
dθ
dr dθ
r dθ
dθ
(3.76)
ya realizado en la sección 1.3, nos permite reescribirla, tras reagrupar sus términos como
2
du
2
+ h2 u2 = b2 − 1 + 2M u + 2M h2 u3 ,
(3.77)
h
dθ
y al dividir por h2 , queda
du
dθ
2
b2 − 1 2M u
+u =
+ 2 + 2M u3 .
2
h
h
2
(3.78)
CAPÍTULO 3. LA SOLUCIÓN DE SCHWARZSCHILD
62
Si ahora derivamos la ecuación (3.78), se llega a
2
du
du d2 u
2M du
du
= 2
+ 2M 3u2 ,
+ 2u
2
dθ dθ
dθ
h dθ
dθ
(3.79)
y al dividir por 2du/dθ, se consigue obtener
d2 u
M
+ u = 2 + 3M u2 ,
2
dθ
h
(3.80)
donde u = 1/r y h es una constante al igual que anteriormente. Esta ecuación diferencial es
muy similar a la ecuación de la órbita de un planeta obtenida para la teorı́a de Newton (1.40),
excepto por el término relativista 3M u2 . Estudiemos este término y veamos que normalmente
es menor en comparación con M/h2 . Por ejemplo, en el caso de Mercurio orbitando alrededor
del Sol, este factor serı́a de
3M u2
≈ 7.4 · 10−8 .
(3.81)
M /h2
Entonces, la órbita que predice la gravedad de Einstein debe de diferir muy poco de la
clásica de Newton. Ası́, una primera aproximación como solución a la ecuación (3.80) es la
función
M
(3.82)
u1 (θ) = 2 (1 + e cos θ)),
h
donde al igual que en (1.45), e es una constante. Para obtener una aproximación mejor,
sustituimos u1 en (3.80) para relacionarlo con el término relativista 3M u2 y si además consideramos la identidad trigonométrica
cos2 θ =
1 + cos 2θ
,
2
(3.83)
se tiene que,
M
3M 3
d2 u
+
u
=
+
(1 + 2e cos θ + e2 cos2 θ)
dθ2
h2
h4
=
M
3M 3 6M 3 e
3M 3 e2 3M 3 e2
+
+
cos
θ
+
+
cos 2θ.
h2
h4
h4
2h4
2h4
Antes de resolver (3.84), enunciemos un lema previo que nos ayudará a ello.
Lema 3.3.1. Sea A un número real. Entonces
i) u = A es solución de
ii) u =
A
θ sin θ
2
d2 u
dθ2
+ u = A,
es solución de
d2 u
dθ2
iii) u = − A3 cos 2θ es solución de
+ u = A cos θ,
d2 u
dθ2
+ u = A cos 2θ.
(3.84)
63
CAPÍTULO 3. LA SOLUCIÓN DE SCHWARZSCHILD
Si aplicamos este Lema 3.3.1 para cada uno de los 4 sumandos en (3.84), es decir, para
2
cada término T , resolvemos ddθu2 + u = T mediante el lema anterior
uLema (θ) =
M
3M 3 3M 3 e
3M 3 e2 M 3 e2
+
+
θ
sin
θ
+
−
cos 2θ.
h2
h4
h4
2h4
2h4
Finalmente, para llegar a la mejor solución, sacamos factor común
M
h2
(3.85)
y le sumamos u1
u(θ) = uLema (θ) + u1 (θ) =
M
3M 2
e2
3M 2 e
M 2 e2
= 2 1+ 2
1+
+
θ sin θ −
cos 2θ + e cos θ
h
h
2
h2
2h2
(3.86)
donde e es una constante.
A continuación, vamos a determinar cómo estos términos extra que no se encuentran en
(1.45) modifican la ecuación de la órbita. La constante
3M 2 (1 +
h2
e2
)
2
es muy pequeña en comparación con la unidad. Por ejemplo, en el caso de Mercurio,
3M 2 (1 +
h2
e2
)
2
≈ 8 · 10−8 .
Este sumando tiene un efecto despreciable sobre la órbita del planeta. De hecho, si llamamos
3M 2
e2
α=1+ 2
≈1
(3.87)
1+
h
2
y definimos e0 := e/α, para poder escribir (3.86) como
u(θ) =
Mα
(1 + e0 cos θ).
h2
(3.88)
Esta función es similar a la formada en (3.82). Ya que α ≈ 1, el efecto de este término
constante añadido va a suponer un cambio despreciable en la excentricidad y distancia perihélica de la órbita. No hay efecto precesional del perihelio aquı́.
Por otro lado, el término proporcional a cos 2θ es de nuevo muy pequeño y produce una
variación periódica en la posición del perihelio que se puede despreciar. Veamos qué sucede
con el término proporcional a θ sin θ. Por la presencia del factor θ en este sumando, habrá un
efecto acumulativo en cada una de las vueltas, pues θ va creciendo. O sea,
3M 2 e
θ sin θ
h2
(3.89)
es el efecto acumulativo que es el avance del perihelio que se va observando.
Consecuentemente, la ecuación relativista de la órbita tiene la forma
M
3M 2 e
u(θ) ≈ 2 1 + e cos θ +
θ sin θ .
h
h2
(3.90)
CAPÍTULO 3. LA SOLUCIÓN DE SCHWARZSCHILD
Además, como 3M 2 θ/h2 ≈ 0, añadimos las aproximaciones
3M 2 θ
3M 2 θ
3M 2 θ
cos
≈
1,
sin
≈
,
h2
h2
h2
que son válidas porque M 2 /h2 ≈ 10−8 . Esto nos permite desarrollar
3M 2
3M 2
3M 2
3M 2
cos θ + 2 θ sin θ ≈ cos θ cos
θ + sin θ sin
θ = cos θ − 2 θ ,
h
h2
h2
h
y ası́ poder escribir la ecuación de la órbita de la siguiente forma
3M 2
M
u(θ) ≈ 2 1 + e cos θ − 2 θ .
h
h
64
(3.91)
(3.92)
(3.93)
Si el perihelio ocurre cuando r toma el mı́nimo valor, entonces u = 1/r lo hará cuando
alcance su valor máximo. Fijándonos en (3.93), vemos que tenemos dos perihelios, es decir,
que cuando
3M 2
cos θ − 2 θ = 1,
(3.94)
h
entonces
3M 2
θ=0
h2
3M 2
θ − 2 θ = 2π
h
θ−
=⇒
=⇒
θ = 0,
θ=
2π
2
1 − 3M
h2
(3.95)
3M 2
6πM 2
≈ 2π 1 + 2
.
= 2π +
h
h2
(3.96)
1
≈ 1 + x. El
En la segunda lı́nea, se ha utilizado que si x es muy pequeño, se tiene que 1−x
término
6πM 2
rad,
(3.97)
∆θ =
h2
indica lo que avanza el perihelio por vuelta. Esta precesión del perihelio va en la dirección
en la que gira el planeta. Si n es el número de vueltas de un planeta por siglo, entonces el
Figura 3.3. Precesión del perihelio en cada vuelta.
aumento de la precesión del perihelio en 100 años es de
∆θsiglo
6πM 2 n
6πM n
= n∆θ =
=
rad,
2
h
a(1 − e2 )
(3.98)
65
CAPÍTULO 3. LA SOLUCIÓN DE SCHWARZSCHILD
, podemos expresar radianes en
donde h2 /M = ed = a(1 − e2 ). Multiplicando por 3600 180
π
segundos de arco por siglo.
Finalmente, en la siguiente tabla se muestra una comparativa de las predicciones de Einstein y las observaciones realizadas sobre la precesión del perihelio de los planetas Mercurio,
Venus y Tierra y el asteroide Ícaro. Para ello, se tendrá en cuenta el semieje mayor a de la
órbita, la excentricidad e y el número de vueltas n que se dan. En las dos últimas columnas,
se puede comparar el avance del perihelio ∆θsiglo medido en segundos de arco por siglo en
las dos situaciones anteriores.
Planeta a (1011 cm)
Mercurio
57.91
Venus
108.21
Tierra
149.60
Ícaro
161.0
e
n ∆θsiglo (s)-R.G.
0.2056 415
43.03
0.0068 149
8.6
0.0167 100
3.8
0.827 89
10.3
∆θsiglo (s)-obs.
43.11± 0.45
8.4± 4.8
5.0± 1.2
9.8± 0.8
En el caso de Mercurio, su avance del perihelio fue notado en el siglo XIX por la lenta
precesión de la órbita del planeta alrededor del Sol, la cual no se explicaba completamente por
las leyes de Newton ni por perturbaciones por planetas conocidos (trabajo del matemático
francés Urbain Le Verrier). Se supuso que otro planeta, en una órbita más interior al Sol, era
el causante de estas perturbaciones e incluso se consideró un leve achatamiento de los polos
solares.
Fue a comienzos del siglo XX, cuando Albert Einstein explicaba la precesión observada,
descartando al inexistente planeta. El efecto de dicha Relatividad en el avance del perihelio
mercuriano excede en justo 42.98 arcosegundos por siglo, tanto que necesita 12 millones de
órbitas para exceder un turno completo. De manera abrumadora, los datos observacionales
eran confirmados en la teorı́a de la Relatividad General de Albert Einstein.
3.4.
La curvatura de la luz
Debido a que las masas deforman el espacio-tiempo, cualquier partı́cula que pase cerca de
un objeto masivo cambiará su trayectoria por esta deformación del espacio. Por tanto, a los
fotones también les debe pasar lo mismo. O sea, Einstein predijo que la luz se desvı́a cuando
viaja cerca de un objeto masivo.
De acuerdo con la teorı́a de la Relatividad General, un rayo de luz sigue una geodésica
luminosa, aunque τ no puede ser usado como el parámetro debido al hecho de que el tiempo
propio sobre una curva luminosa es 0. Si usamos el parámetro ρ como el parámetro de la
geodésica α, con dτ /dρ, las ecuaciones son de la forma
µ
ν
d 2 xλ
λ dx dx
+
Γ
= 0,
µν
dρ2
dρ dρ
λ = 0, 1, 2, 3.
(3.99)
Al igual que en la sección 3.3, orientamos nuestro sistema de coordenadas para que la
curva esté en el plano {φ = π2 } y las ecuaciones son las mismas para nuestro parámetro ρ.
CAPÍTULO 3. LA SOLUCIÓN DE SCHWARZSCHILD
66
Figura 3.4. Desviación de la luz al viajar cerca de un objeto masivo.
Es decir:
λ = 0,
λ = 1,
λ = 3,
d2 t
dr dt
+ 2m0
= 0 =⇒
2
dρ
dρ dρ
2
d2 r
dt
0 2(m−n)
+ n0
+me
2
dρ
dρ
d2 θ 2 dr dθ
+
=0
=⇒
dρ2 r dρ dρ
dt
b
= ,
dρ
γ
2
2
dr
dθ
−2n
− re
= 0,
dρ
dρ
dθ
r2
= h.
dρ
(3.100)
(3.101)
(3.102)
Si imponemos la condición |dα/dρ| = 0 (este proceso es similar al de (3.73), aunque esta
vez igualamos a 0 ya que estamos asumiendo que es una geodésica de tipo luz),
2
2
1 dr h
b2
h
2
0=γ 2 −
−r
.
(3.103)
2
γ
γ dθ r
r4
De forma análoga, llegamos a la ecuación diferencial, con u = 1/r,
d2 u
+ u = 3M u2 .
2
dθ
(3.104)
Sea R la distancia mı́nima desde la masa M a la órbita luminosa, o sea, el perihelio. Sin
pérdida de generalidad, suponemos que nuestro sistema de coordenadas está orientado de tal
manera que el perihelio se da cuando θ = 0.
Observación 3.4.1. Si resolvemos la ecuación homogénea, es decir, con M = 0, la solución
a (3.104) serı́a
1
1
uh (θ) =
= cos θ,
(3.105)
r(θ)
R
o equivalentemente,
R
x = r cos θ =
cos θ = R,
(3.106)
cos θ
que se trata de una lı́nea recta. El término 3M u2 representa la desviación con respecto a
la lı́nea recta. En la mayorı́a de los casos, este término es pequeño con respecto a R. De
hecho, para un rayo de luz que pasa muy cerca del Sol, se tiene que R ≈ 6.96 · 10−17 cm y
M ≈ 1.48 · 105 cm y 3M u2 ≈ 9.2 · 10−17 .
67
CAPÍTULO 3. LA SOLUCIÓN DE SCHWARZSCHILD
Por tanto, podemos esperar que u(θ) ≈ cos θ/R debe ser aproximadamente una solución
a (3.104). Sustituyendo u en esta ecuación, llegamos a
d2 u
3M
3M
+ u ≈ 2 cos2 θ =
(1 + cos 2θ).
2
dθ
R
2R2
Por el Lema 3.3.1, una solución particular es
u1 (θ) =
M
(2 − cos2 θ).
R2
(3.107)
(3.108)
Finalmente, si le sumamos a u1 la solución homogénea uh , tenemos una solución general
aproximada
M
1
1
= u(θ) = u1 (θ) + uh (θ) = 2 (2 − cos2 θ) + cos θ.
(3.109)
r(θ)
R
R
Muy lejos de M , cuando r → ∞, el espacio-tiempo es llano y la curva se hace prácticamente recta (u = 0). Entonces, la curva tiene 2 lı́neas asintóticas y el ángulo ∆θ entre estas
rectas mide cuánto se curva la luz.
Figura 3.4. Lı́neas asintóticas de la curva luminosa.
Como se observa en la figura 3.4, cuando r → ∞, entonces
π ∆θ
lı́m θ = ±
+
.
r→∞
2
2
(3.110)
Además si ∆θ se hace muy pequeño, cos2 θ se puede despreciar en comparación con los
demás sumandos (cos θ ≈ cos π2 ). Introduciendo lı́mites en (3.109), ya que u = 1/r, se deduce
que
1
π ∆θ
2M
0 = lı́m u(θ) = cos
+
+ 2.
(3.111)
r→∞
R
2
2
R
CAPÍTULO 3. LA SOLUCIÓN DE SCHWARZSCHILD
Esto nos lleva a
2M
= − cos
R
π ∆θ
+
2
2
= sin
68
∆θ
∆θ
≈
.
2
2
(3.112)
Despejando, se obtiene ∆θ = 4M/R. En particular, en el caso del Sol, se tiene que
∆θ =
4M
≈ 8.51 · 10−6 rad ≈ 1.75 00 siglo−1 .
R
Es decir, los cálculos de Einstein indican que la luz de una estrella que roce el Sol debe de ser
desviada 1, 75 segundos de arco. Esto se comprobó durante el eclipse total de 1919 y durante
la mayor parte de los que han ocurrido desde entonces.
En realidad, la mecánica newtoniana también predice esta desviación de la luz, siempre
y cuando asumamos que los fotones de luz son influenciados por la gravedad al verlos como
partı́culas materiales. La curva que describe tal fotón es la rama de una hipérbola dada por
la ecuación (1.45) con e > 1:
M
1
= 2 (1 + e cos θ),
r
h
donde
h = r2
dθ
.
dt
(3.113)
Consideremos ahora el caso de un rayo que roce la superficie del Sol con θ = 0. Justamente
cuando más cerca se encuentre, es decir, cuando r = R , la componente radial de la velocidad
del fotón es 0. Ası́, podemos escribir la velocidad al igual que en (1.26) como
α0 =
dr
dθ
dθ
α
~r + α
~θ = α
~ θ,
dt
dt
dt
(3.114)
donde
α
~θ =
dα
d
= (r cos θ, r sin θ) = (−r sin θ, r cos θ)
dθ
dθ
=⇒
|~
αθ | = r.
(3.115)
Ası́ que el módulo de la velocidad de α va a ser, aplicando esta última deducción
1 = |~
α0 | = r
dθ
.
dt
(3.116)
Ası́, se tiene que
dθ
= r = R ,
dt
y sustituyendo θ = 0, M = M y r = R = h en (3.113), se obtiene
h = r2
e=
R
R
−1≈
≈ 4.7 · 105 .
M
M
(3.117)
(3.118)
Sea ∆θN el ángulo agudo entre las dos ası́ntotas. Anteriormente ya hemos visto que cuando
r → ∞, entonces θN → ± π2 + ∆θ2N . Por lo que, metiendo lı́mites en (3.113),
M
π ∆θN
0 = 2 1 + e cos
+
,
(3.119)
R
2
2
69
CAPÍTULO 3. LA SOLUCIÓN DE SCHWARZSCHILD
o bien, como
1
= − cos
e
π ∆θN
+
2
2
= sin
∆θN
∆θN
≈
.
2
2
(3.120)
Vemos que e es inversamente proporcional a ∆θ. Consecuentemente, el ángulo de curvatura
de la luz newtoniana es
2
2M
∆θN ≈ =
,
(3.121)
e
R
es decir, exactamente la mitad de la predicción hecha por la Relatividad General. Mediciones de posiciones aparentes de estrellas durante eclipses solares desde 1919 y más recientes
observaciones de fuentes de radio han confirmado todas estas predicciones de Einstein.
Bibliografı́a
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