Probabilidad y Estadística Objetivo de aprendizaje del tema

Probabilidad y Estadística
Probabilidad y
Estadística
Tema 7
Distribuciones de probabilidad
continuas
Objetivo de aprendizaje del tema
Al finalizar el tema serás capaz de:
•
•
Distinguir las características de las distribuciones de
probabilidad continuas.
Resolver problemas con distribuciones de probabilidad
continuas.
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Probabilidad y Estadística
Introducción al tema
En las distribuciones de probabilidad discretas existe la
posibilidad de crear una gráfica que nos permite
observar el comportamiento del experimento, ya sea a
través de un histograma de frecuencias o a través de
una simple gráfica de pastel, en donde se puede ver con
claridad las probabilidades de ocurrencia de un evento y
otro. Sin embargo, está comprobado que al aumentar el
número de datos, el histograma de frecuencias tiende a
convertirse en la gráfica de una función matemática.
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Introducción al tema
En este tema, aprenderás la distribución de probabilidad
uniforme, caracterizada por ser una gráfica de línea
recta con pendiente 0 y la distribución de probabilidad
exponencial, nombrada porque refleja el perfil de una
función exponencial.
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Probabilidad y Estadística
Distribución de Probabilidad Uniforme
La distribución de
probabilidad uniforme es
aquella que puede tomar
cualquier valor dentro de
un intervalo, todos ellos
con la misma
probabilidad.
Es una distribución continua
porque puede tomar
cualquier valor y no
únicamente un número
determinado
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Distribución de Probabilidad Uniforme
•
Se dice que una variable posee una distribución
uniforme X ~ D.U.(a,b), si su función de densidad es:
La probabilidad de que al hacer un experimento
aleatorio, el valor de X este comprendido en
cierto subintervalo de [a,b], depende
únicamente de la longitud del intervalo, no de
su posición.
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Distribución de Probabilidad Uniforme
•
Gráficamente, la distribución de probabilidad uniforme se
comporta de la siguiente manera:
f
a
b
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Distribución de Probabilidad Uniforme
•
•
De la gráfica, podemos determinar que la función de
distribución de probabilidad está dada por:
Resolviendo para X, tenemos entonces:
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Distribución de Probabilidad Uniforme
•
El valor esperado y la varianza en una distribución
uniforme está dada por:
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Distribución de Probabilidad Uniforme
•
•
Supongamos que el volumen de precipitaciones
estimado para el próximo año en la ciudad va a oscilar
entre 400 y 500 litros por metro cuadrado. Calcular la
función de distribución, la precipitación media esperada
y la varianza.
En este caso, la probabilidad de que la precipitación
estimada sea cualquier valor entre 400 y 500 litros, está
dada por:
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Distribución de Probabilidad Uniforme
•
•
Calculando el valor esperado y la varianza, tenemos
que:
Los resultados anteriores significan que:
– La probabilidad de que caigan 400 litros, 401, litros,
402.483 litros, y así sucesivamente, es de 1%.
– Se espera, en promedio, que lluevan 450 litros de
agua para el próximo año, con una desviación
estándar de 28.86 litros.
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Distribución de Probabilidad Exponencial
La distribución exponencial es el
equivalente continuo de la
distribución geométrica discreta.
Describe procesos en los que nos
interesa saber el tiempo hasta que
ocurre determinado evento.
El tiempo que pueda ocurrir desde
cualquier instante dado t, hasta que
ello ocurra es independiente del
tiempo transcurrido.
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Distribución de Probabilidad Exponencial
Ejemplos de la distribución de
probabilidad exponencial:
El tiempo que tarda una
partícula radiactiva en
desintegrarse.
El tiempo que puede transcurrir
en un servicio de urgencias,
para la llegada de un paciente.
El tiempo que transcurre entre
que sufrimos dos veces una
herida importante.
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•
Se dice que una variable posee una distribución
uniforme X ~ D.E.(x), si su función de densidad es:
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Distribución de Probabilidad Exponencial
•
Gráficamente, la distribución de probabilidad
exponencial se comporta de la siguiente manera:
f
X
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Distribución de Probabilidad Exponencial
•
•
De la gráfica, podemos determinar que la función de
distribución de probabilidad está dada por:
Resolviendo para X, tenemos entonces:
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Distribución de Probabilidad Exponencial
•
El valor esperado y la varianza en una distribución
exponencial está dada por:
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Distribución de Probabilidad Exponencial
•
Veamos el siguiente ejemplo:
– Se ha comprobado que el tiempo de vida de cierto
tipo de marcapasos sigue una distribución
exponencial con media de 8 años. ¿Cuál es la
probabilidad de que a una persona a la que se le ha
implantado este marcapasos se le deba reimplantar
otro antes de 10 años?
•
Sabemos que:
•
Despejando para λ, tenemos:
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Distribución de Probabilidad Exponencial
•
•
•
La probabilidad de que el marcapasos dure menos de 10
años, está dada por la función de distribución de
probabilidad:
Utilizando la fórmula para cuando X sea mayor a 0,
entonces:
El resultado indica que existe una probabilidad del
71.35% de que el marcapasos deba ser cambiado antes
de 8 años de uso.
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Cierre
Las distribuciones de probabilidad continuas describen el
comportamiento de un experimento en donde el número
de eventos posibles es infinito. Ejemplos de ello son los
experimentos en donde el tiempo está involucrado, como
en el caso de tiempos de llegada de un avión o el tiempo
de vida de un aparato electrónico, o como se vio en el
ejemplo, de un marcapasos.
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Cierre
La distribución de probabilidad uniforme nos ayuda a
resolver problemas con experimentos en donde la
probabilidad de ocurrencia es la misma para cada
evento del experimento, mientras que la distribución de
probabilidad exponencial, es útil para calcular
probabilidades donde el tiempo puede ser un factor.
En el siguiente tema, veremos la distribución de
probabilidad continua más conocida y utilizada, la
distribución de probabilidad normal estándar, pues es
una distribución que con frecuencia aparece en
fenómenos reales y en comportamientos humanos, tanto
sociales como psicológicos.
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Referencias bibliográficas
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Devore, J. (2008). Probabilidad y estadística para
ingeniería y ciencias. (7a. Ed.). México: Cengage
Learning. Capítulo: 4
Wakerly, D., Mendenhall, W. et al. (2002). Estadística
matemática con aplicaciones. (6a. Ed). México: Cengage
Learning.
Spiegel, M.(2004). Probabilidad y estadística (2a. Ed).
México: McGraw Hill.
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Créditos
Diseño de contenido:
Ing. Armando Calzada Mezura, MA, PMP
Coordinador académico:
Lic. José de Jesús Romero Álvarez, MC y MED.
Edición de contenido:
Lic. Verónica Montes de Oca Pinzón.
Edición de texto:
Lic. Arcelia Ramos Monobe, MEE
Diseño Gráfico:
Lic. Alejandro Calderas González, MATI
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