Probabilidad y Estadística Objetivo de aprendizaje del tema

Probabilidad y Estadística
Probabilidad y
Estadística
Tema 3
Técnicas de Conteo
Objetivo de aprendizaje del tema
Al finalizar el tema serás capaz de:
•
•
Analizar los principios de conteo utilizados en
probabilidad.
Aplicar las técnicas de conteo en experimentos con
resultados finitos.
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Derechos Reservados. Universidad Tec Milenio.
Probabilidad y Estadística
Introducción al tema
El problema principal en la
probabilidad consiste en determinar
el espacio muestral que tiene
nuestro experimento. Mientras más
grande es el experimento, mayor
será el espacio muestral que
presentará.
En la vida real determinar el
espacio muestral puede ser
imposible de representar o incluso,
de contabilizar.
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Introducción al tema
Dada la magnitud de posibilidades, resultaría casi
imposible poner por escrito todas las posibles
combinaciones y de ahí, tomar aquellas que cumplen
con nuestro experimento. ¿Cómo le haríamos para
determinar el número de posibles eventos que cumplen
nuestro requerimiento, aún sin describir el total del
espacio muestral?
El desarrollo de técnicas de conteo ha permitido a los
estadistas determinar probabilidades sin necesidad de
describir el total del espacio muestral. Durante el tema,
exploraremos las principales técnicas de conteo y
resolveremos problemas de conteo utilizando estas
herramientas.
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Probabilidad y Estadística
Principio multiplicativo
•
•
En algunos experimentos, el número de eventos
posibles en un experimento es relativamente pequeño,
por lo que resulta sencillo enlistarlos, como el tirar un
dado balanceado.
Existen experimentos en donde describir eventos
posibles resultaría tedioso el enlistar y contar todas las
formas posibles de obtener los eventos, pues la cantidad
de posibles combinaciones puede llegar a ser enorme.
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Principio multiplicativo
•
•
El principio multiplicativo establece que si hay m formas
de hacer una cosa y n formas de hacer otra, existen m x
n formas de realizar ambas.
Matemáticamente, se expresa así:
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Principio multiplicativo
•
•
•
De cuántas maneras puede ir vestido una persona si
cuenta con:
– Cuatro trajes (a1)
– Siete camisas de vestir (a2)
– Cinco corbatas (a3)
Aplicando la fórmula, tenemos que:
Entonces:
Número total de arreglos = a1 * a2 * a3 = 4 * 7 * 5 = 140
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Principio aditivo
•
•
El principio aditivo establece que si existen dos
actividades en donde la primera tiene M formas de ser
realizada y la segunda N formas de ser realizadas,
entonces el conjunto de actividades puede ser llevado a
cabo de M + N formas.
La expresión matemática es :
Donde cada Ai es un resultado de una serie de
combinaciones.
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Permutaciones
La fórmula de la multiplicación nos ayuda
a determinar la cantidad de arreglos
posibles en dos o más grupos.
Existen experimentos en donde sólo se tiene
un grupo de donde se seleccionarán una serie
de elementos y queremos determinar el
número de arreglos posibles en la selección.
La permutación nos ayuda a determinar
el número posible de arreglos cuando sólo
hay un grupo de elementos.
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Permutaciones
La permutación es la
disposición en orden de
un conjunto de objetos en
el que hay un primero, un
segundo, un tercero, etc.,
hasta n.
Cada elemento es
distinguible y no se
puede repetir la
selección de un
objeto.
Supone que primero se
obtiene un elemento,
después el segundo y así
sucesivamente hasta
obtener el total de objetos
requeridos del grupo en
cuestión.
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Permutaciones
•
Matemáticamente, la expresión es:
Donde:
P = Número de permutaciones
n = Número total de objetos en el conjunto
r = Número de objetos a seleccionar del conjunto
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Permutaciones
En un evento de caridad,
existe una urna con 10
pelotas diferentes e
identificables entre sí.
Suponga que el
presidente de la
institución de caridad
desea obtener tres
pelotas que definirán a
los ganadores de una rifa
del primero, segundo y
tercer premio
respectivamente.
¿Cuál es la cantidad de
permutaciones posibles
al seleccionar tres
ganadores de un total de
10?
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Permutaciones
•
Aplicando la fórmula, tenemos que:
Donde:
n = 10 pelotas
r = 3 pelotas
•
Se tienen 720 diferentes formas de obtener tres
ganadores seleccionando 3 pelotas en una urna de 10.
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Permutaciones
•
•
En el planteamiento original, la permutación obtiene r
elementos de un conjunto de n, en donde no se puede
volver a seleccionar más de una vez un elemento dado.
Cuando en un experimento pueden existir repeticiones,
la fórmula de las permutaciones es:
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Permutaciones
•
•
Supongamos que en el alfabeto solo existen 5 letras,
¿cuántas palabras de tres letras podrían formarse con 5
letras?
En este caso, las letras pudieran repetirse al ir formando
palabras, por tanto, se aplica la fórmula de la
permutación con repeticiones
Donde:
n = 5 letras disponibles
r = 3 letras a seleccionar
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Permutaciones
•
Aplicando la fórmula, tenemos que:
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Combinaciones
En las permutaciones importa el orden en
que se obtienen los objetos del conjunto.
En el ejemplo de obtener dos pelotas de una urna de
10, no es lo mismo obtener primero la pelota A y en
segundo lugar la pelota B que obtener primero la
pelota B y en segundo lugar la pelota A.
En este caso, la permutación contaría dos
veces el obtener la pelota A y B.
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Combinaciones
Cuando en el experimento no importa el orden en
que se obtienen los objetos, o bien, cuando los
arreglos de objetos obtenidos son iguales no
importando el orden en que se seleccionaron, se
usa la fórmula de la combinación, que es la
siguiente:
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Combinaciones
Supongamos que
en la rifa efectuada
en el evento de
caridad, el premio
para cada uno de
los tres elegidos es
el mismo sin
importar quién
salga en primero,
quién en segundo y
quién en tercero.
¿Cuál es la cantidad
de combinaciones
posibles al
seleccionar tres
pelotas de un total
de 10?
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Combinaciones
•
Aplicando la fórmula, tenemos que:
Donde:
n = 10 pelotas
r = 3 pelotas
•
Se tienen 120 diferentes formas de obtener tres pelotas
en una urna de 10 pelotas sin importar el orden en que
se seleccionen.
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Diagrama de árbol
G
G
E
P
G
E
G
E
P
G
Una forma
gráfica para
obtener el
total de
eventos
resultado de
un
experimento
es a través de
un diagrama
de árbol.
Veamos un
ejemplo: En el
mundial de
futbol del 2010,
la Selección
Mexicana deberá
enfrentar a tres
rivales en la
primera fase y
obtener la
mayor cantidad
de puntos
posibles para
acceder a la
siguiente fase.
Considerando
únicamente la
primera fase,
¿cuántas
posibles
combinaciones
de resultados
puede obtener
la Selección
Mexicana?
P
E
P
G
G
E
P
G
E
E
E
P
G
P
E
P
G
G
E
P
G
P
E
E
P
G
P
E
P
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Cierre
Como podemos observar, algunos experimentos tienen
un gran número de posibles resultados y resulta de
utilidad saber el total de eventos que pueden generarse,
para así obtener una probabilidad de ocurrencia de
eventos que cumplan con algún requerimiento.
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Cierre
Las técnicas de conteo nos permiten determinar la
cantidad de eventos que tiene un experimento sin tener
que describir por completo el espacio muestral del
mismo.
El principio matemático y el principio aditivo son las dos
técnicas de conteo básicas y están presentes en nuestra
vida diaria, como por ejemplo, al momento de
seleccionar nuestra ropa para el día o bien, cuando
tomamos una decisión de hacia a dónde ir de
vacaciones y cómo transportarnos hacia el lugar
decidido.
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Cierre
Sin embargo, cuando se tiene un problema de selección
de un subconjunto de resultados o eventos, las técnicas
de permutación y combinación son de gran utilidad.
Ambas determinan el total de eventos posibles para un
experimento, sin embargo presentan una diferencia
fundamental.
En las permutaciones, el orden en que se seleccionan
los objetos es importante, mientras que en las
combinaciones importa el resultado final sin considerar
el orden. Esto es trascendental en la determinación de
qué fórmula utilizar en un experimento, como el ejemplo
del sorteo visto en la sesión.
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Referencias bibliográficas
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Devore, J. (2008). Probabilidad y estadística para
ingeniería y ciencias. (7a. Ed.). México: Cengage
Learning. Capítulo: 2.
Wakerly, D., Mendenhall, W. et al. (2002). Estadística
matemática con aplicaciones. (6a. Ed). México: Cengage
Learning.
Spiegel, M.(2004). Probabilidad y estadística (2a. Ed).
México: McGraw Hill.
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Créditos
Diseño de contenido:
Ing. Armando Calzada Mezura, MA, PMP
Coordinador académico:
Lic. José de Jesús Romero Álvarez, MC y MED.
Edición de contenido:
Lic. Verónica Montes de Oca Pinzón.
Edición de texto:
Lic. Arcelia Ramos Monobe, MEE
Diseño Gráfico:
Lic. Alejandro Calderas González, MATI
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