Probabilidad y Estadística Objetivo de aprendizaje del tema

Probabilidad y Estadística
Probabilidad y
Estadística
Tema 5
Distribuciones de probabilidad
discretas
Objetivo de aprendizaje del tema
Al finalizar el tema serás capaz de:
•
•
Distinguir las características de las distribuciones de
probabilidad discretas.
Resolver problemas con distribuciones de probabilidad
discretas.
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Probabilidad y Estadística
Introducción al tema
Cuando compramos un aparato electrónico buscamos
aquellas marcas cuya reputación es de certidumbre en el
correcto funcionamiento y calidad del producto. Las
compañías gastan miles de dólares en garantizar tanto
el proceso de producción como la calidad del producto
final.
De igual forma, las empresas que producen alimentos
para niños buscan que el producto le guste a la mayor
proporción de niños en el mercado donde se distribuirá
el producto.
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Introducción al tema
Existen otras situaciones en donde el tiempo es
esencial, como por ejemplo, la puntualidad de las líneas
aéreas tanto en la salida como en la llegada.
Ahora podemos preguntarnos, ¿cómo determinamos la
probabilidad de que al comprar un aparato funcione a la
primera?, ¿cómo determinamos la probabilidad de que el
avión despegue a tiempo? Las distribuciones de
probabilidad subyacentes en este tipo de experimentos
nos darán una respuesta.
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Probabilidad y Estadística
Distribución de probabilidad de Bernulli
Distribución de
probabilidad
discreta que
asigna un valor
de 1 al éxito en
un experimento y
un valor de 0 al
fracaso
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Distribución de probabilidad Bernulli
Es un experimento que
se realiza una sola vez.
Tiene dos posibles
resultados, éxito o
fracaso.
Los resultados son
mutuamente
excluyentes.
Para calcular la probabilidad
con la distribución de
Bernulli, la fórmula es:
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Probabilidad y Estadística
Distribución de probabilidad Bernulli
•
En el experimento de lanzar un dado balanceado, ¿cuál
es la probabilidad de obtener un 6?
Sea X el evento de obtener un 6, entonces:
Éxito p = 1 / 6
Fracaso q = 1 – p = 5 / 6
Aplicando la fórmula:
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Distribución de probabilidad Binomial
Distribución de
probabilidad
discreta
Extensión de la
distribución de
probabilidad de
Bernulli.
Distribución de
Bernulli se realiza
una sola vez el
experimento.
Distribución de
probabilidad binomial,
el experimento puede
realizarse varias de
veces.
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Probabilidad y Estadística
Distribución de probabilidad Binomial
El resultado del experimento solo puede ser éxito o fracaso.
Los resultados son mutuamente excluyentes.
Los datos recopilados son resultado de múltiples conteos.
La probabilidad de éxito permanece igual de un experimento a otro.
El resultado de un ensayo no afecta el resultado de algún otro.
Debemos conocer el número de ensayos y la probabilidad de éxito de
cada ensayo.
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Distribución de probabilidad Binomial
•
La distribución de probabilidad binomial puede
describirse mediante la siguiente fórmula:
Donde:
n = Número de ensayos.
r = Número de éxitos observados.
p = Probabilidad de éxito en cada ensayo.
q = Probabilidad de fracaso en cada ensayo=(1- p)
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Probabilidad y Estadística
Distribución de probabilidad Binomial
•
•
•
En una línea de ensamble se encuentra que una de
cada 5 partes producidas tiene un milímetro más de lo
deseado.
¿Cuál es la probabilidad de que en las siguientes 7
partes producidas, se encuentren dos cuya longitud es
un milímetro mayor de la esperada?
Consideremos:
n=7
r =2
p = 0.20 (1 de cada 5 piezas)
q = (1 – p) = (1 – 0.20) = 0.80
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Distribución de probabilidad Binomial
•
•
Aplicando la fórmula:
La probabilidad de encontrar 2 partes con un milímetro
de más es de 0.2752.
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Probabilidad y Estadística
Distribución de probabilidad de Poisson
Distribución que mide la
probabilidad de éxito o
fracaso en un intervalo
definido.
Es el límite de la
distribución binomial
cuando n ≥ 20 y p ≤ 0.05
o bien, cuando el valor
esperado n * p ≤ 10
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Aplicaciones de la distribución de Poisson
La distribución de errores en captura de
datos.
El número de rayones y otras imperfecciones
en piezas.
El número de piezas defectuosas en embarques
de salida.
El número de clientes en espera de un servicio
en un restaurante.
El número de accidentes en una carretera durante
un periodo de tres meses.
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Probabilidad y Estadística
Distribución de probabilidad Poisson
•
La distribución de probabilidad de Poisson puede
describirse mediante la siguiente fórmula:
Donde:
μ = Media aritmética del número de ocurrencia en
un intervalo.
e = Constante 2.71828
x = Número de ocurrencias.
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Distribución de probabilidad Poisson
•
•
•
Una muestra aleatoria de 100 facturas reveló 30 errores,
¿cuál es la probabilidad de que en una factura
seleccionada al azar no se encuentren dos errores?
Consideremos:
μ = 0.3
e = Constante 2.71828
x=2
La probabilidad de encontrar 2 errores en una factura
seleccionada al azar es de 0.033336827.
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Probabilidad y Estadística
Aproximación de Poisson a Binomial
La distribución de probabilidad
binomial es buena para
determinar probabilidades en
donde:
Al intentar calcular
probabilidades con
probabilidad de éxito menor a
0.05 y n mayor a 20, la
distribución de probabilidades
se vuelve cada vez más
sesgada.
Cuando n ≥ 20 y p ≤ 0.05
Cuando el valor esperado
n * p ≤ 10
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Aproximación de Poisson a Binomial
•
•
Matemáticamente, podemos decir que:
En donde el valor esperado o media aritmética de
ocurrencia en un intervalo puede determinarse, en
situaciones binomiales, por medio de la siguiente
fórmula:
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Probabilidad y Estadística
Aproximación de Poisson a Binomial
Considerando el
ejemplo de los
errores en las
facturas visto
anteriormente
Se sabe que la
cantidad de
errores
promedio es de
0.3 errores por
factura.
La probabilidad de
encontrar un
error,
considerando
fórmula del valor
esperado para la
distribución
binomial:
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Aproximación de Poisson a Binomial
•
Aplicando la fórmula de la distribución binomial, donde:
n = 100
r =2
p = 0.003
q = (1 – p) = (1 – 0.003) = 0.997
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Probabilidad y Estadística
Aproximación de Poisson a Binomial
La probabilidad de encontrar 2 errores en una factura
seleccionada al azar, utilizando la fórmula de la distribución
binomial es de 0. 033187399.
Al comparar los resultados de las probabilidades calculadas por la
distribución de Poisson y la distribución binomial, observamos que
la diferencia entre un cálculo y otro es de tan solo 0.000149427.
Podemos concluir que la aproximación de Poisson también es
una buena opción para calcular probabilidades binomiales.
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Cierre
Las distribuciones de
probabilidad discretas describen
comportamientos en
experimentos que son comunes
en nuestra vida diaria, tal es el
caso de los defectos en una
línea de ensamble o la cantidad
de ocurrencias en un intervalo
dado de tiempo, espacio o
cantidad.
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Cierre
Las distribuciones binomiales reciben su nombre debido
a la cantidad de resultados posibles: el éxito o fracaso
de un experimento dado.
Si el experimento consiste de un solo ensayo en donde
existe un éxito o fracaso, entonces aplicamos la fórmula
para la distribución Bernulli.
Si se requiere conocer la cantidad de éxitos o fracasos
en múltiples ensayos, aplicamos la fórmula para la
distribución Binomial.
En el extremo de la distribución Binomial, para
probabilidades pequeñas y número de observaciones
grandes, podemos aplicar la fórmula para la distribución
Poisson.
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Cierre
Las probabilidades binomiales tienen como fundamento
que los eventos son independientes, es decir, el
resultado de un evento no afecta a los resultados en
eventos subsecuentes. Sin embargo existe una pregunta
pendiente: ¿cómo podemos calcular probabilidades en
donde los eventos no son independientes?, ¿cómo
calcular probabilidades cuando se realizan experimentos
con reposición, en donde el resultado de un evento
afecta el resultado de otro evento?
En el siguiente tema veremos cómo calcular este tipo de
probabilidades.
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Probabilidad y Estadística
Referencias bibliográficas
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Devore, J. (2008). Probabilidad y estadística para
ingeniería y ciencias. (7a. Ed.). México: Cengage
Learning. Capítulo: 3
Wakerly, D., Mendenhall, W. et al. (2002). Estadística
matemática con aplicaciones. (6a. Ed). México: Cengage
Learning.
Spiegel, M.(2004). Probabilidad y estadística (2a. Ed).
México: McGraw Hill.
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Créditos
Diseño de contenido:
Ing. Armando Calzada Mezura, MA, PMP
Coordinador académico:
Lic. José de Jesús Romero Álvarez, MC y MED.
Edición de contenido:
Lic. Verónica Montes de Oca Pinzón.
Edición de texto:
Lic. Arcelia Ramos Monobe, MEE
Diseño Gráfico:
Lic. Alejandro Calderas González, MATI
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