Cuestiones Tema 4

Ejercicio: 4.1
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
4.1 El intervalo abierto ( −2,1) es el conjunto de los números reales x que verifican:
a) −2 ≤ x ≤ 1 .
b) −2 < x < 1 .
c) x < −2 o x > 1 .
-2
1
Intervalo abierto (a,b) al conjunto de los números reales x, a < x < b.
4.2 El intervalo abierto ( −∞, 0 ) es el conjunto de los números reales x que verifican:
a) x ≤ 0 .
b) x > 0 .
c) x < 0 .
-∞
0
Intervalo abierto (a,b) al conjunto de los números reales x, a < x < b.
4.3 El conjunto de los números reales x que verifican 0 ≤ x < 1 , es igual al intervalo:
a)
b)
c)
[0,1) .
( 0,1) .
( 0,1] .
0
1
Intervalo semiabierto [a,b) al conjunto de los números reales x, a ≤ x < b.
Ejercicio: 4.4
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
4.4 La expresión f ( x ) =
1
define una función f : I → ℝ cuando:
x
a) I = ( −∞, 2] .
b) I = [ −1,1) .
c) I = (1, ∞ ] .
El dominio de definición de una función es el conjunto de elementos que tiene imagen.
1
La función f ( x ) = está definida en el intervalo I = (1, ∞ ] , porque el denominador se anula en x = 0 y
x
hay una asíntota vertical.
Asíntotas verticales, las asíntotas verticales se presentan en aquellos puntos que anulan el denominador.
Asíntotas horizontales, hay asíntota horizontal en las funciones racionales cuando el numerador tiene
grado menor o igual al denominador. lim f ( x )
x →∞
1
lim = 0
x →∞ x
f : I → ℝ , la función f está definida en un intervalo de ℝ , es decir de una parte de ℝ . Porque presenta
problemas en un punto.
La I representa cualquier intervalo donde no se presentan problemas. I {( −∞, 0 ) ∪ ( 0, +∞ )} .
Función: aplicación ℝ → ℝ . Una aplicación entre dos conjuntos A y B es una transformación que
convierte cada elemento del conjunto A en un único elemento del conjunto B.
Ejercicio: 4.5
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
Septiembre 2010 pregunta 1.
4.5 La expresión f ( x ) = 2 x − 1 define una función f : I → \ si
a) I = ( −1, ∞ ) .
b) I = [1, ∞ ) .
c) I = ( −∞, ∞ ) .
El dominio de definición de una función es el conjunto de elementos que tiene imagen.
La expresión f ( x ) = 2 x − 1 define una función f : I → R si: I = [1, ∞ ] , porque en el dominio de
definición de una raíz la expresión que está dentro de la raíz tiene que ser mayor o igual que 0, en el caso
que sea negativa no tiene imagen. Por lo tanto tenemos:
2x −1 = 0
1
x=
2
Para x ≥
1
la función f ( x ) = 2 x − 1 estará definida
2
Ejercicio: 4.6
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
4.6 La expresión f ( x ) =
x2 −1
define una función f : I → \ si
x−2
a) I = ( −∞, 2] .
b) I = ( −∞,8 ) .
c) I = ( 4, ∞ ) .
x2 −1
La expresión f ( x ) =
define una función f : I → R si: I = ( 4, ∞ ) , porque el denominador se anula
x−2
en x = 2 y hay una asíntota vertical.
Asíntotas verticales, las asíntotas verticales se presentan en aquellos puntos que anulan el denominador.
Asíntotas oblicuas, se presentan cuando el grado del numerador excede en una unidad del grado del
denominador, son incompatibles con las asíntotas horizontales.
Son rectas del tipo y = ax + b
f ( x)
; b = lim( f ( x) − ax)
x →∞
x
2
x −1
f ( x) x − 2
x2 −1
2x
2
Aplicamos L'hopital
a = lim
=
= 2
= =1
x →∞
x
x
x − 2x
2x − 2 2
2
x −1
2x −1 2
b = lim( f ( x) − ax) = ( 2
− 1⋅ x) =
= =2
x →∞
x − 2x
x−2 1
y = x + 2 , asíntota oblicua.
a = lim
x →∞
La expresión es continua en ( −∞, 2 ) ∪ ( 2, +∞ ) .
x=2
x2 −1
f ( x) =
x−2
y = x+2
Ejercicio: 4.7
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
4.7 El gráfico de la función f ( x ) = x 2 + x + 1 pasa por el punto
a) (2,5).
b) (2,3).
c) (2,7).
El gráfico de la función f ( x ) = x 2 + x + 1 pasa por el punto (2,7).
a) 5 ≠ 22 + 2 + 1
b) 3 ≠ 2 2 + 2 + 1
c) 7 = 22 + 2 + 1
Ejercicio: 4.8
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
4.8 El gráfico de la función f ( x ) = x3 − 2 x + 1 NO pasa por el punto
a) (2,5).
b) (-1,2).
c) (-2,3).
El gráfico de la función f ( x ) = x3 − 2 x + 1 NO pasa por el punto (-2,3).
a) 5 = ( 2 ) − 2 ⋅ ( 2 ) + 1
3
b) 2 = ( −1) − 2 ⋅ ( −1) + 1
3
c) 3 ≠ ( −2 ) − 2 ⋅ ( −2 ) + 1
3
Ejercicio: 4.9
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
4.9 El gráfico de la función f ( x ) =
1
definida en el intervalo ( 0, ∞ ) , pasa por los puntos:
x
a) (2, 0.5) y (4,1).
b) (2, 0.5) y (4, 0.25).
c) (0.5, 3) y (0.25, 4).
El gráfico de la función f ( x ) =
1
pasa por los puntos (2, 0.5) y (4, 0.25).
x
Ejercicio: 4.10
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
4.10 El gráfico de la función f = x 2 + 3 definida sobre ( −∞, ∞ ) , pasa por los puntos
a)
b)
c)
( 0, 3 ) y ( −1, 2 )
( 6,3) y ( 3, 6 )
( −1, 2 ) y ( 3, 3 )
El gráfico de la función f = x 2 + 3 definida sobre ( −∞, ∞ ) , pasa por los puntos
3=
6=
( 6)
2
+3
( 3)
2
+3
(
) (
6,3 y
3, 6
)
Ejercicio: 4.10
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
Junio 2007 Reserva pregunta 6.
El gráfico de la función f ( x ) = x 2 −
2
pasa por los puntos (-1,2) y (2,2)
x −1
Ejercicio: 4.11
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
Junio 2007 Reserva pregunta 6.
4.11 Si f es la función f ( x ) = x 2 − 4 definida en ( −∞, ∞ ) , el punto (2,1) está
a) Por encima de la gráfica de f.
b) Por debajo de la gráfica de f.
c) Sobre la gráfica de f.
f ( 2 ) = 22 − 4 = 0 , por lo tanto como f ( 2 ) = 0 < 1 , el punto (2,1) está por encima de la gráfica de f.
Ejercicio: 4.12
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
4.12 Si f es la función f ( x ) = x definida en ( 0, ∞ ) , el punto (3, 1.5) está
a) Por encima de la gráfica de f.
b) Por debajo de la gráfica de f.
c) Sobre la gráfica de f.
f ( 3) = 3 , por lo tanto como f ( 3) = 3 ≈ 1, 7320 > 1,5 , el punto (3, 1.5) está por debajo de la gráfica
de f.
Ejercicio: 4.13
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
4.13 Si f es la función f ( x ) = x 2 definida en ( −∞, ∞ ) , y g es la función g ( x ) = 2 x + 1 definida en
( −∞, ∞ ) el punto (2.5, 7) está
a) Por debajo de la gráfica de f y por encima de la gráfica de g.
b) Por debajo de la gráfica de f y por debajo de la gráfica de g.
c) Por encima de la gráfica de f y por encima de la gráfica de g.
f ( 2,5 ) = 6, 25 , por lo tanto como f ( 2,5 ) = 6, 25 < 7 , el punto (2.5, 7) está por encima de la gráfica de f.
g ( 2,5 ) = 6 , por lo tanto como g ( 2,5 ) = 6 < 7 , el punto (2.5, 7) está por encima de la gráfica de g.
Ejercicio: 4.14
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
Septiembre 2010 Reserva pregunta 1. Septiembre 2009 pregunta 6.
4.14 Las gráficas de las funciones f ( x ) = x 2 y g ( x ) = 2 x definidas en el intervalo ( −∞, ∞ ) , se cortan en
los puntos.
a) (2,4) y (1,1).
b) (1,2) y (0,0).
c) (0,0) y (2,4).
Para saber en que puntos se cortan igualamos las funciones, f ( x ) = g ( x )
x2 = 2 x
x2 − 2 x = 0
x ⋅ ( x − 2) = 0
x=0
x=2
f ( 0) = 0
f ( 2) = 4
Las gráficas de las funciones f ( x ) = x 2 y g ( x ) = 2 x se cortan en (0,0) y (2,4).
Ejercicio: 4.15
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
4.15 Las gráficas de las funciones f y g definidas en el intervalo  0,   por f  x   x y g  x  
cortan en:
a) Ningún punto.
b) Un único punto.
c) Dos puntos.
Para saber en que puntos se cortan igualamos las funciones, f  x   g  x 
x
x 1
2
2 x 
2
 x2  1  2x
4 x  x2  1  2 x  0
 x2 1  2x  0
 x2  2x 1  0
b  b 2  4ac
2a
2  4  4
2
2
1
2
f 1  1  1
Las gráficas de las funciones f  x   x y g  x  
x 1
se cortan en un único punto (1,1).
2
x 1
se
2
Ejercicio: 4.16
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
4.16 Si f es creciente en el intervalo (-3,0) se cumple:
a)
b)
c)
f ( −1) ≤ f ( −2 ) .
f ( −1) ≥ f ( −1 2 ) .
f ( −1 2 ) ≥ f ( −2 ) .
Función creciente, cuando x aumenta dentro de un intervalo también aumenta f ( x ) , f es creciente en el
intervalo si se verifica: f ( x1 ) ≥ f ( x2 ) siempre que x1 < x2 y x1 , x2 pertenecen al intervalo.
Función decreciente, cuando x aumenta dentro de un intervalo entonces f ( x ) disminuye, f es decreciente
en el intervalo si se verifica: f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) siempre que x1 < x2 y x1 , x2 pertenecen al intervalo.
f ( −2 ) = −2 y f ( −1) = −1 como x aumenta dentro del intervalo y f ( x ) aumenta, la función crece.
f ( −1) = −1 y f ( −1 2 ) = −1 2 , x aumenta dentro del intervalo y f ( x ) aumenta, la función crece.
f ( −2 ) = −2 y f ( −1 2 ) = −1 2 como x aumenta dentro del intervalo y f ( x ) aumenta, la función crece.
En la función f ( x ) = x vemos que en el intervalo (-3,0) es creciente y por lo tanto f ( −1 2 ) ≥ f ( −2 )
Ejercicio: 4.17
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
4.17 Si f es creciente en el intervalo (-4,1) no puede ser:
a)
b)
c)
f ( −3) > f ( −1) .
f (1 2 ) > f ( −1 2 ) .
f ( −3 ) = f ( −2 ) .
Función creciente, cuando x aumenta dentro de un intervalo también aumenta f ( x ) , f es creciente en el
intervalo si se verifica: f ( x1 ) ≥ f ( x2 ) siempre que x1 < x2 y x1 , x2 pertenecen al intervalo.
Función decreciente, cuando x aumenta dentro de un intervalo entonces f ( x ) disminuye, f es decreciente
en el intervalo si se verifica: f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) siempre que x1 < x2 y x1 , x2 pertenecen al intervalo.
f ( −3) = −3 y f ( −1) = −1 , x aumenta dentro del intervalo y f ( x ) aumenta, la función crece.
f ( −1 2 ) = −1 2 y f (1 2 ) = 1 2 , como x aumenta dentro del intervalo y f ( x ) aumenta, la función crece.
f ( −3) = −3 y f ( −2 ) = −2 como x aumenta dentro del intervalo y f ( x ) aumenta, la función crece.
En la función f ( x ) = x vemos que en el intervalo (-4,1) es creciente y por lo tanto f ( −3) < f ( −1)
Ejercicio: 4.18
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
4.18 Si f es decreciente en el intervalo (-2,2) tiene que ser:
a)
b)
c)
f ( −1) ≤ f ( 0 ) .
f ( −3 2 ) ≥ f ( −1 2 ) .
f ( −1 2 ) ≤ f (1 2 ) .
Función creciente, cuando x aumenta dentro de un intervalo también aumenta f ( x ) , f es creciente en el
intervalo si se verifica: f ( x1 ) ≥ f ( x2 ) siempre que x1 < x2 y x1 , x2 pertenecen al intervalo.
Función decreciente, cuando x aumenta dentro de un intervalo entonces f ( x ) disminuye, f es decreciente
en el intervalo si se verifica: f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) siempre que x1 < x2 y x1 , x2 pertenecen al intervalo.
f ( −1) = 1 y f ( 0 ) = 0 , x aumenta dentro del intervalo y f ( x ) disminuye, la función decrece.
f ( −3 2 ) = 3 2 y f ( −1 2 ) = 1 2 , x aumenta dentro del intervalo y f ( x ) disminuye, la función decrece.
f ( −1 2 ) = 1 2 y f (1 2 ) = −1 2 , x aumenta dentro del intervalo y f ( x ) disminuye, la función decrece.
La función f ( x ) = − x vemos que en el intervalo (-2,2) es decreciente y por lo tanto f ( −3 2 ) ≥ f ( −1 2 )
Ejercicio: 4.19
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
4.19 Si f es decreciente en el intervalo (-3,1) no puede ser:
a)
b)
c)
f ( −4 3 ) < f ( −2 3 ) .
f ( −4 3 ) < f ( −5 3 ) .
f ( −7 3 ) = f ( −4 3 ) .
Función creciente, cuando x aumenta dentro de un intervalo también aumenta f ( x ) , f es creciente en el
intervalo si se verifica: f ( x1 ) ≥ f ( x2 ) siempre que x1 < x2 y x1 , x2 pertenecen al intervalo.
Función decreciente, cuando x aumenta dentro de un intervalo entonces f ( x ) disminuye, f es decreciente
en el intervalo si se verifica: f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) siempre que x1 < x2 y x1 , x2 pertenecen al intervalo.
f ( −4 3) = 4 3 y f ( −2 3) = 2 3 , x aumenta dentro del intervalo y f ( x ) disminuye, la función decrece.
f ( −5 3) = 5 3 y f ( −4 3) = 4 3 , x aumenta dentro del intervalo y f ( x ) disminuye, la función decrece.
f ( −7 3) = 7 3 y f ( −4 3) = 4 3 , x aumenta dentro del intervalo y f ( x ) disminuye, la función decrece.
La función f ( x ) = − x vemos que en el intervalo (-3,1) es decreciente y por lo tanto f ( −4 3) < f ( −2 3)
⌢
f ( −2 3) = −0, 6
⌢
f ( −4 3 ) = −1, 3
⌢
f ( −5 3) = −1, 6
⌢
f ( −7 3) = −2, 3
Ejercicio: 4.20
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
4.20 La función f ( x ) = x 2 es:
a) Creciente en el intervalo (-2,-1).
b) Creciente en el intervalo (2,3).
c) Decreciente en el intervalo (1,2).
Función creciente, cuando x aumenta dentro de un intervalo también aumenta f ( x ) , f es creciente en el
intervalo si se verifica: f ( x1 ) ≥ f ( x2 ) siempre que x1 < x2 y x1 , x2 pertenecen al intervalo.
Función decreciente, cuando x aumenta dentro de un intervalo entonces f ( x ) disminuye, f es decreciente
en el intervalo si se verifica: f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) siempre que x1 < x2 y x1 , x2 pertenecen al intervalo.
f ( −2 ) = 4 y f ( −1) = 1 como x aumenta dentro del intervalo y f ( x ) disminuye, la función decrece.
f ( 2 ) = 4 y f ( 3) = 9 como x aumenta dentro del intervalo y f ( x ) aumenta, la función crece.
f (1) = 1 y f ( 2 ) = 4 como x aumenta dentro del intervalo y f ( x ) aumenta, la función crece.
Si f es una función definida y derivable en un intervalo I:
Los intervalos de crecimiento coinciden con los intervalos en que f ′ ≥ 0 .
Los intervalos de decrecimiento coinciden con los intervalos en que f ′ ≤ 0 .
f ′ ( x) = 2x
f ′ ( −2 ) = −4 < 0
f ′ ( −1) = −2 < 0 Como -4 y -2 son menores que 0, en este intervalo la función decrece.
f ′ (1) = 2 > 0
f ′ ( 2 ) = 4 > 0 Como 2 y 4 son mayores que 0, en este intervalo la función crece.
f ′ ( 2) = 4 > 0
f ′ ( 3) = 6 > 0 Como 4 y 6 son mayores que 0, en este intervalo la función crece.
Ejercicio: 4.21
4.21 La función f ( x ) =
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1
es:
x
a) Decreciente en el intervalo (-1,0).
b) Creciente en el intervalo (-2,-3).
c) Creciente en el intervalo (1,2).
Función creciente, cuando x aumenta dentro de un intervalo también aumenta f ( x ) , f es creciente en el
intervalo si se verifica: f ( x1 ) ≥ f ( x2 ) siempre que x1 < x2 y x1 , x2 pertenecen al intervalo.
Función decreciente, cuando x aumenta dentro de un intervalo entonces f ( x ) disminuye, f es decreciente
en el intervalo si se verifica: f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) siempre que x1 < x2 y x1 , x2 pertenecen al intervalo.
f ( −1) = −1 y f ( −0, 001) = −1000 , x aumenta dentro del intervalo y f ( x ) disminuye, la función decrece.
⌢
f ( −2 ) = −0,5 y f ( −3) = −0, 3 , x aumenta dentro del intervalo y f ( x ) disminuye, la función decrece.
f (1) = 1 y f ( 2 ) = 0,5 como x aumenta dentro del intervalo y f ( x ) disminuye, la función decrece.
Si f es una función definida y derivable en un intervalo I:
Los intervalos de crecimiento coinciden con los intervalos en que f ′ ≥ 0 .
Los intervalos de decrecimiento coinciden con los intervalos en que f ′ ≤ 0 .
−1
x2
−1
f ′ ( −1) =
= −1 < 0
1
−1
f ′ ( −2 ) =
<0
4
−1
f ′ (1) =
= −1 < 0
1
f ′( x) =
−1
= −∞ < 0
0
−1
f ′ ( −3 ) =
<0
9
−1
f ′ ( 2) =
<0
2
f ′ ( 0) =
Al ser los dos valores menores que 0 la función decrece.
Al ser los dos valores menores que 0 la función decrece.
Al ser los dos valores menores que 0 la función decrece.
Ejercicio: 4.22
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
4.22 El límite de lim f ( x ) = x 2 + x − 1 es:
x →−1
a) 0.
b) -1.
c) 3.
lim f ( x ) = x 2 + x − 1 = ( −1) − 1 − 1 = −1
2
x →−1
4.23 El límite de lim f ( x ) = x − 1 es:
x→2
a) 1.
b) -1.
c) No existe.
lim f ( x ) = x − 1 = 2 − 1 = 1
x→2
4.24 El límite de lim f ( x ) =
x →0
x 2 − x + 1 x3 + 1
−
es:
x
x
a) 1.
b) 0.
c) -1.
lim f ( x ) =
x →0
x 2 − x + 1 x 3 + 1 x 2 − x + 1 − x3 − 1
1
1
−
=
= x − 1 + − x 2 − = x − 1 − x 2 = −1
x
x
x
x
x
Ejercicio: 4.25
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1
4.25 La función lim f ( x ) =
( x − 1)
x →1
2
es:
a) Tiene límite 0.
b) Tiene límite ∞.
c) No tiene límite.
lim f ( x ) =
x →1
1
( x − 1)
2
1
= +∞
0
=
Vamos a ver cómo se comporta la función cuando nos aproximamos a 1 por la izquierda, es decir para
valores más pequeños que 1 pero muy próximos.
f ( 0, 9 ) =
1
( 0,9 − 1)
f ( 0,99 ) =
=
2
1
( 0,99 − 1)
2
1
( −0,1)
=
=
2
1
= 100
0, 01
1
( −0, 01)
2
=
1
= 10000
0, 0001
Como podemos ver cuanto más nos aproximamos a 1 con valores más pequeños la función se va a +∞ .
Vamos a ver cómo se comporta la función cuando nos aproximamos a 1 por la derecha, es decir para
valores más grandes que 1 pero muy próximos.
f (1,1) =
1
(1,1 − 1)
f (1, 01) =
2
=
1
(1, 01 − 1)
2
1
( 0,1)
=
2
=
1
= 100
0, 01
1
( 0, 01)
2
=
1
= 10000
0, 0001
Como podemos ver cuanto más nos aproximamos a 1 con valores más grandes la función se va a +∞ .
Ejercicio: 4.26
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
4.26 Si f es la función definida por f ( x ) =
x −1
se cumple:
x − x2
a) lim f ( x ) = 1 .
x →1
b) lim f ( x ) = −1 .
x →1
c) lim f ( x ) = ∞ .
x →1
f ( x) =
x −1 0
=
x − x2 0
f ( x) =
− (1 − x ) −1
x −1
=
=
Valor opuesto.
2
x−x
x ⋅ (1 − x ) x
−1
= −1
x →1 x
lim
Aplicamos L'hopital f ( x ) =
1
1
=
= −1
1 − 2 x −1
Ejercicio: 4.27
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
4.27 La función lim f ( x ) =
x →1
1 − x2
se cumple:
1− x
a) Tiene límite ∞.
b) No tiene límite.
c) Tiene límite 2.
1 − x 2 (1 − x ) ⋅ (1 + x )
f ( x) =
=
= 1+ x
1− x
1− x
lim f ( x ) = 1 + x = 2
x →1
1 − x2 0
−2 x −2
lim f ( x ) =
= Aplicamos L'hopital f ( x ) =
=
=2
x →1
1− x 0
−1 −1
Ejercicio: 4.28
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
4.28 Si f es la función definida por lim1 f ( x ) =
x→
a) lim1 f ( x ) = 3 .
x→
2
1
se cumple:
1 − 2x
2
b) lim1 f ( x ) = +∞ .
x→
2
c) No existe límite.
lim1 f ( x ) =
x→
2
1
1
= = ±∞
1 − 2x 0
Vamos a ver cómo se comporta la función cuando nos aproximamos a 0,5 por la izquierda, es decir para
valores más pequeños que 0,5 pero muy próximos.
1
1
1
=
=
=5
1 − 2 ⋅ ( 0, 4 ) 1 − 0,8 0, 2
1
1
1
f ( 0, 499 ) =
=
=
= 500
1 − 2 ⋅ ( 0, 499 ) 1 − 0,998 0, 002
Como podemos ver cuanto más nos aproximamos a 0,5 con valores más pequeños la función se va a +∞ .
f ( 0, 4 ) =
Vamos a ver cómo se comporta la función cuando nos aproximamos a 0,5 por la derecha, es decir para
valores más grandes que 0,5 pero muy próximos.
1
1
1
=
=
= −5
1 − 2 ⋅ ( 0,6 ) 1 − 1, 2 −0, 2
1
1
1
f ( 0,501) =
=
=
= −500
1 − 2 ⋅ ( 0,501) 1 − 1, 002 −0, 002
Como podemos ver cuanto más nos aproximamos a 0,5 con valores más grandes la función se va a −∞ .
f ( 0, 6 ) =
Ejercicio: 4.29
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
4.29 Si f tiene un mínimo relativo en x = 0 y existe lim f ( x ) , se verifica:
x →0
a) lim f ( x ) > f ( 0 ) .
x →0
b) lim f ( x ) = f ( 0 ) .
x →0
c) lim f ( x ) ≥ f ( 0 ) .
x →0
Como f ( x ) ≥ f ( 0 ) en algún intervalo
( a, b )
alrededor de 0, si existe lim f ( x ) , tiene que ser
x →0
lim f ( x ) ≥ lim f ( 0 ) = f ( 0 )
x →0
x →0
4.30 Si f tiene un máximo relativo en x = 0 y existe lim f ( x ) , se verifica:
x →0
a) lim f ( x ) ≤ f ( 0 ) .
x →0
b) lim f ( x ) = f ( 0 ) .
x →0
c) lim f ( x ) < f ( 0 ) .
x →0
Como f ( x ) ≤ f ( 0 ) en algún intervalo
lim f ( x ) ≤ lim f ( 0 ) = f ( 0 )
x →0
x →0
( a, b )
alrededor de 0, si existe lim f ( x ) , tiene que ser
x →0
Ejercicio: 4.31
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
4.31 La función f ( x ) = ( x − 1) :
2
a) Es continua en x = 1 y x = 2.
b) Es discontinua en x = 1 y continua en x = 2.
c) Es discontinua en x = 1 y x = 2.
Una función f es continua en el punto x0 si se verifica lim f ( x ) = f ( x0 ) .
x → x0
Tanto si el límite no existe como si no coincide con f ( x0 ) la función f es discontinua o tiene una
discontinuidad en x0 .
lim f ( x ) = ( x − 1) = 0 , Además f (1) = 0 y coincide con el valor del límite en 1 que es 0.
2
x →1
lim f ( x ) = ( x − 1) = 1 , Además f ( 2 ) = 1 y coincide con el valor del límite en 2 que es 1.
2
x→2
Ejercicio: 4.32
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
4.32 La función f ( x ) = x 2 + x + 1 :
a) Es continua en todos sus puntos.
b) Es discontinua en x = 0.
c) Es discontinua en x = 1.
Una función f es continua en el punto x0 si se verifica lim f ( x ) = f ( x0 ) .
x → x0
Tanto si el límite no existe como si no coincide con f ( x0 ) la función f es discontinua o tiene una
discontinuidad en x0 .
lim f ( x ) = x 2 + x + 1 = 1 , Además f ( 0 ) = 1 y coincide con el valor del límite en 0 que es 1.
x →0
lim f ( x ) = x 2 + x + 1 = 3 , Además f (1) = 3 y coincide con el valor del límite en 1 que es 3.
x →1
Ejercicio: 4.33
4.33 La función f ( x ) =
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1
1 + x2
a) Es continua en todos los puntos.
b) Es discontinua en x = 0 .
c) Es discontinua en x = −1 .
Una función f es continua en el punto x0 si se verifica lim f ( x ) = f ( x0 ) .
x → x0
Tanto si el límite no existe como si no coincide con f ( x0 ) la función f es discontinua o tiene una
discontinuidad en x0 .
1
= 1 , Además f ( 0 ) = 1 y coincide con el valor del límite en 1 que es 1.
x →0
1 + x2
1
1
1
1
= , Además f ( −1) = y coincide con el valor del límite en -1 que es .
lim f ( x ) =
2
x →−1
1+ x
2
2
2
lim f ( x ) =
Ejercicio: 4.33
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
Junio 2008 Reserva pregunta 3
x
La función f ( x ) = 4
, es continua en todos los puntos.
( x + 16 )
a) Es continua en todos los puntos.
b) Es discontinua en x = 0 .
c) Es discontinua en x = −2 .
Una función f es continua en el punto x0 si se verifica lim f ( x ) = f ( x0 ) .
x → x0
Tanto si el límite no existe como si no coincide con f ( x0 ) la función f es discontinua o tiene una
discontinuidad en x0 .
lim f ( x ) =
x
= 0 , Además f ( 0 ) = 0 y coincide con el valor del límite en 0 que es 0.
( x + 16 )
lim f ( x ) =
x
1
1
1
= − , Además f ( −1) = −
y coincide con el valor del límite en -1 que es − .
17
17
( x + 16 ) 17
x →0
x →−1
4
4
Ejercicio: 4.34
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
4.34 La función definida como f ( x ) =
1 − x2
para x ≠ 1 y f (1) = c .
1− x
a) Tiene una discontinuidad en x = 1, independientemente del valor de c.
b) Es continua en x = 1 si c = 2 .
c) Es continua en x = 1 si c = 0 .
Una función f es continua en el punto x0 si se verifica lim f ( x ) = f ( x0 ) .
x → x0
Tanto si el límite no existe como si no coincide con f ( x0 ) la función f es discontinua o tiene una
discontinuidad en x0 .
1 − x 2 (1 − x ) ⋅ (1 + x )
f ( x) =
=
= 1+ x
1− x
1− x
lim f ( x ) = 1 + x = 2 Además f (1) = 2 y coincide con el valor del límite en 1 que es 2.
x →1
Una función f(x) es continua en el punto a si cumple:
1. La función está definida en a, es decir existe f(a)
2. Tiene límite en el punto a
3. El límite es igual al valor de la función en el punto a lim f ( x) = f (a )
x →a
Si falla alguna de estas condiciones, la función no es continua en el punto a, diremos que es discontinua en
a, diremos que una función es continua cuando lo es en todos los puntos donde está definida.
Ejercicio: 4.35
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
4.35 La función definida por f ( x ) =
x
( x − 1)
2
, si x ≠ 1 y f (1) = 0 .
a) No tiene discontinuidades.
b) Tiene una única discontinuidad.
c) Tiene dos discontinuidades.
Una función f es continua en el punto x0 si se verifica lim f ( x ) = f ( x0 ) .
x → x0
Tanto si el límite no existe como si no coincide con f ( x0 ) la función f es discontinua o tiene una
discontinuidad en x0 .
lim f ( x ) =
x →1
x
( x − 1)
2
=
1
= ∞ , pero f (1) = 0 no coincide con el valor del límite en 1 que es ∞, así que
0
tenemos una discontinuidad.
Ejercicio: 4.36
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
4.36 La función definida por f (1) = 1 y f ( x ) =
x2 − 1
cuando x ≠ 1 .
x −1
a) No tiene discontinuidades.
b) Tiene una única discontinuidad.
c) Tiene dos discontinuidades.
Una función f es continua en el punto x0 si se verifica lim f ( x ) = f ( x0 ) .
x → x0
Tanto si el límite no existe como si no coincide con f ( x0 ) la función f es discontinua o tiene una
discontinuidad en x0 .
f ( x) =
x 2 − 1 ( x − 1) ⋅ ( x + 1)
=
= x +1
x −1
x −1
lim f ( x ) = lim ( x + 1) = 2 , Además el valor de f (1) = 1 no coincide con el valor del límite en 1 que es 2.
x →1
x →1
Ejercicio: 4.37
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
4.37 La función definida por f ( x ) =
1 − x2
, si x ≠ −1 y f ( −1) = c .
x +1
a) Tiene una discontinuidad en x = −1 , independientemente del valor que tome c.
b) Es continua en x = −1 si c = −2 .
c) Es continua en x = −1 si c = 2 .
Una función f es continua en el punto x0 si se verifica lim f ( x ) = f ( x0 ) .
x → x0
Tanto si el límite no existe como si no coincide con f ( x0 ) la función f es discontinua o tiene una
discontinuidad en x0 .
1 − x 2 (1 − x ) ⋅ ( x + 1)
f ( x) =
=
= 1− x
x +1
x +1
lim f ( x ) = lim (1 − x ) = 2 , Además si f ( −1) = 2 coincide con el valor del límite en -1 que es 2.
x →−1
x →−1
Ejercicio: 4.38
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
4.38 La función definida por f  x   x 2 , si x  1 y f  x   x  c si x  1 .
a) Tiene una discontinuidad en x  1 , independientemente del valor que tome c.
b) Es continua en x  1 si c  1 .
c) Es continua en x  1 si c  0 .
Hay que estudiar los límites laterales en el punto 1.
lim f  x   lim x 2  1
x 1
x 1
x 1
x 1
lim f  x   lim x  c  1  c
Como se puede ver coinciden los límites laterales si c  0 .
f  x   x2
x 1
x 1
f  x  x  c
Ejercicio: 4.39
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
4.39 La función f  x   3  x , si x  2 y f  x   cx si x  2 .
a) Tiene una discontinuidad en x  2 , independientemente del valor que tome c.
b) Es continua en x  2 si c  1 2 .
c) Es continua en x  2 si c  1 .
Hay que estudiar los límites laterales en el punto 2.
lim f  x   lim 3  x  1
x  2
x2
x  2
x 2
lim f  x   lim cx  2c
Como se puede ver coinciden los límites laterales si c  1 2 .
f  x  3  x
f  x   cx
x2
x2
Ejercicio: 4.40
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
4.40 La función f  x   1  x , si x  1 y f  x   x  1 si x  1 .
a) Es continua en todos los puntos.
b) Tiene una única discontinuidad.
c) Tiene dos discontinuidades.
Hay que estudiar los límites laterales en el punto 1.
lim f  x   lim1
x0

x 1
x 1
x 1
x 1
lim f  x   lim x  1  2
Como se puede ver no coinciden los límites laterales por lo tanto en x = 1 hay una discontinuidad.
f  x  1 x
f  x  x 1
x 1
x 1
Ejercicio: 4.41
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
4.41 La función f  x   x , que se define como f  x    x si x  0 y f  x   x si x  0 .
a) Es continua en todos los puntos.
b) Tiene una única discontinuidad.
c) Tiene dos discontinuidades.
Hay que estudiar los límites laterales en el punto 0.
lim f  x   lim  x  0
x  0
x 0
x 0
x 0
lim f  x   lim x  0
Como se puede ver coinciden los límites laterales por lo tanto es continua en todos sus puntos.
f  x  x
f  x  x
x0
x0
Ejercicio: 4.42
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
4.42 ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?
a) Toda función continua en un punto x0 es derivable en ese punto.
b) Toda función derivable en un punto x0 es continua en ese punto.
c) Algunas funciones derivables en un punto x0 no son continuas en ese punto.
Hay funciones continuas en un punto que no son derivables, por ejemplo, la función f ( x ) = x , que se
define
 x si x ≥ 0
f ( x) = 
− x si x < 0
Es continua en x0 = 0 , pero no es derivable en ese punto.
lim f ( x ) = lim+ x = 0 , Además f ( 0 ) = 0 y coincide con el valor del límite en 0 que es 0.
x → 0+
x→0
x → 0−
x →0
lim f ( x ) = lim− − x = 0 , Además f ( 0 ) = 0 y coincide con el valor del límite en 0 que es 0.
Una función f es continua en el punto x0 si se verifica lim f ( x ) = f ( x0 ) .
x → x0
Tanto si el límite no existe como si no coincide con f ( x0 ) la función f es discontinua o tiene una
discontinuidad en x0 .
f ( x) = −x
f ( x) = x
x<0
x≥0
Ejercicio: 4.43
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
4.43 La función f ( x ) = x 2 tiene derivada
a)
f ′ ( x ) = 2x2 .
b)
f ′( x ) = 2x .
c)
f ′( x) = 2 .
Solución: f ′ ( x ) = 2 x
4.44 La función f ( x ) = x 3 + x tiene derivada
a)
f ′ ( x ) = 3 x3 + x .
b)
f ′ ( x ) = 3x2 + x .
c)
f ′ ( x ) = 3x 2 + 1 .
Solución: f ′ ( x ) = 3 x 2 + 1
4.45 La función f ( x ) = x tiene derivada
a)
b)
c)
f ′( x) = 2 x .
1
x.
2
1
.
f ′( x) =
2 x
f ′( x) =
Solución: f ′ ( x ) =
1
2 x
4.46 La función f ( x ) = ( 2 − 3 x ) tiene derivada
3
a)
f ′ ( x ) = 3 ⋅ ( 2 − 3x ) .
b)
f ′ ( x ) = −9 ⋅ ( 2 − 3x ) .
c)
f ′ ( x ) = −6 ⋅ ( 2 − 3x ) .
2
2
2
Solución: f ′ ( x ) = 3 ⋅ ( 2 − 3x ) ⋅ ( −3) = −9 ⋅ ( 2 − 3x )
2
2
4.47 Para x ≠ 0 La función f ( x ) = 3 x tiene derivada
a)
f ′ ( x ) = −3 x 2 .
b)
f ′ ( x ) = 3 x2 .
c)
f ′ ( x ) = 2 x3 .
Solución: f ′ ( x ) =
0 ⋅ x − ( 3) ⋅1 −3
= 2
x2
x
4.48 Para x ≠ −3 La función f ( x ) = x ( x + 3) tiene derivada
a)
f ′ ( x ) = 3 ( x + 3) .
b)
f ′ ( x ) = −3 ( x + 3) .
c)
f ′ ( x ) = −1 ( x + 3) .
2
2
2
Solución: f ′ ( x ) =
1 ⋅ ( x + 3) − x ⋅1
( x + 3)
2
=
3
( x + 3)
2
4.49 La función f ( x ) = 1 ( x 2 + 1) tiene derivada
a)
f ′ ( x ) = 2 ( x 2 + 1) .
b)
f ′ ( x ) = 2 x ( x 2 + 1) .
c)
f ′ ( x ) = −2 x ( x 2 + 1) .
2
2
2
Solución: f ′ ( x ) =
0 ⋅ ( x 2 + 1) − 1 ⋅ 2 x
(x
2
+ 1)
2
=
−2 x
(x
2
+ 1)
2
4.50 La función f ( x ) = x 2 + 1 tiene derivada
a)
f ′ ( x ) = x ⋅ x2 + 1 .
b)
f ′ ( x ) = x2 + 1 .
c)
f ′( x) = x
Solución: f ′ ( x ) =
x2 + 1 .
1
2 x2 + 1
⋅ 2x =
x
x2 + 1
4.51 La función f ( x ) = ( x + 1) ⋅ ( x 2 + 1) tiene derivada
a)
f ′ ( x ) = 3x2 + 2 x + 1 .
b)
f ′ ( x ) = x2 + 2 x + 1.
c)
f ′ ( x ) = 2x2 + 2x + 1 .
Solución: f ′ ( x ) = 1⋅ ( x 2 + 1) + ( x + 1) ⋅ 2 x = x 2 + 1 + 2 x 2 + 2 x = 3 x 2 + 2 x + 1
4.52 La función f ( x ) = x x tiene derivada
a)
b)
c)
1
x x.
2
3
f ′( x) =
x.
2
f ′ ( x ) = 2x x .
f ′( x) =
Solución:
f ( x ) = x x = x ⋅ x1 2 = x 3 2
f ′( x) =
3 12 3
x =
x
2
2
Ejercicio: 4.53
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
4.53 La derivada de la función f ( x ) = x 3 − x 2 en el punto x = 3 , es igual a:
a) 27.
b) 1.
c) 21.
f ′ ( x ) = 3x 2 − 2 x
f ′ ( 3) = 3 ⋅ ( 3) − 2 ⋅ 3 = 21
2
( x ( f ( x ))) .
La ecuación de dicha recta tangente es y = f ′ ( x ) ⋅ ( x − x ) + f ( x ) y además pasa por el punto ( x ( f ( x ) ) ) .
La derivada f ′ ( x0 ) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto
0
Punto (3,18)
y = f ′ ( x0 ) ⋅ ( x − x0 ) + f ( x0 )
y = 21 ⋅ ( x − 3) + 18 = 21x − 45
0
0
0
0
0
0
Ejercicio: 4.54
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
4.54 Si f es la función f ( x ) =
5
, definida para x ≠ 1 , la derivada de f en x = 2 , es igual a:
(1 − x )
a) 5.
b) -5.
c) -2.
f ′( x) =
f ′ ( 2) =
−5 ⋅ ( −1)
(1 − x )
2
5
(1 − 2 )
2
=
=
5
(1 − x )
2
5
=5
1
( x ( f ( x ))) .
La ecuación de dicha recta tangente es y = f ′ ( x ) ⋅ ( x − x ) + f ( x ) y además pasa por el punto ( x ( f ( x ) ) ) .
La derivada f ′ ( x0 ) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto
0
Punto (2,-5)
y = f ′ ( x0 ) ⋅ ( x − x0 ) + f ( x0 )
y = 5 ⋅ ( x − 2 ) − 5 = 5 x − 15
0
0
0
0
0
0
Ejercicio: 4.55
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
4.55 La derivada de la función f ( x ) = x en el punto x = 1 , es igual a:
a) 0.
b) -1.
c) 1/2.
f ′( x) =
1
2⋅ x
1
1
f ′ (1) =
=
2⋅ 1 2
( x ( f ( x ))) .
La ecuación de dicha recta tangente es y = f ′ ( x ) ⋅ ( x − x ) + f ( x ) y además pasa por el punto ( x ( f ( x ) ) ) .
La derivada f ′ ( x0 ) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto
0
Punto (1,1)
y = f ′ ( x0 ) ⋅ ( x − x0 ) + f ( x0 )
1
1
1
y = ⋅ ( x − 1) + 1 = x +
2
2
2
0
0
0
0
0
0
Ejercicio: 4.56
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
4.56 La derivada de la función f ( x ) = x − x cumple:
a)
f ′ (1) = −5 6 .
b)
f ′ ( 4 ) = −3 4 .
c)
f ′ ( 9 ) = −1 2 .
f ′( x) =
f ′ ( 4) =
1
2⋅ x
−1
1
1
3
−1 = −1 = −
4
4
2⋅ 4
4.57 Si f es la función f ( x ) =
(1 + x ) , definida para
(1 − x )
x ≠ 1 , la derivada de f en x = 2 , es igual a:
a) 4.
b) 2.
c) 1.
f ′( x) =
f ′ ( 2) =
1⋅ (1 − x ) − (1 + x ) ⋅ ( −1)
(1 − x )
2
(1 − x )
2
=
2
2
(1 − 2 )
2
=
1− x +1+ x
(1 − x )
2
=
2
(1 − x )
2
=2
4.58 La derivada de la función f ( x ) = x 4 + 1 cumple:
a)
f ′ (0) = 2 .
b)
f ′ (1 2 ) = 1 17 .
c)
f ′ (1) = 3 .
f ′( x) =
a)
1
2 x4 + 1
f ′ ( 0) =
c)
2 x4 + 1
4 ⋅ 03
2 04 + 1
b) f ′ (1 2 ) =
f ′ (1) =
4 x3
⋅ 4 x3 =
=0
4 ⋅ (1 2 )
3
2 (1 2 ) + 1
4
4 ⋅13
2 1 +1
4
=
2
2
=
4 ⋅ (1 8 )
2 (1 16 ) + 1
=
12
2 (17 16 )
=
1
4 (17 16 )
=
1
4 (17 4
2
)
=
1
4
17
4
=
1
17
4.59 La derivada de la función f ( x ) = 1 + x + 1 − x cumple:
a)
f ′ (0) = 0 .
b)
f ′ ( 2) = 1 2 3 .
c)
f ′ ( 3) = 0,5 .
(
)
f ′( x) =
1
1
−
2 1+ x 2 1− x
f ′ ( 0) =
1
1
−
=0
2 1+ 0 2 1− 0
4.60 La derivada de la función f ( x ) =
a)
f ′ ( 0) = 1 .
b)
f ′ (1) = 2 .
c)
f′
f ′( x) =
f ′ ( 0) =
f ′ (1) =
x
no cumple:
x +1
2
( 3 ) = −1 8 .
1⋅ ( x 2 + 1) − x ⋅ 2 x
(x
+ 1)
2
−02 + 1
(0
2
+ 1)
−12 + 1
(12 + 1)
2
2
=
x2 + 1 − 2x2
(x
2
+ 1)
2
=
− x2 + 1
(x
2
+ 1)
2
=1
2
=0
( 3 ) + 1 = −3 + 1 = −2 = −1
f ′( 3) =
(( 3 ) + 1) (3 + 1) 16 8
2
−
2
2
2
4.61 La derivada de la función f ( x ) = 6 x 2 − ( x + 1) no cumple:
3
a)
f ′ ( 0 ) = −3 .
b)
f ′ (1) = 0 .
c)
f ′ ( −1) = −8 .
f ′ ( x ) = 12 x − 3 ⋅ ( x + 1)
2
f ′ ( 0 ) = 12 ⋅ 0 − 3 ⋅ ( 0 + 1) = −3
2
f ′ (1) = 12 ⋅1 − 3 ⋅ (1 + 1) = 0
2
f ′ ( −1) = 12 ⋅ ( −1) − 3 ⋅ ( −1 + 1) = −12
2
Ejercicio: 4.62
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
4.62 La posición de un móvil sobre una recta, el instante t, viene dada por la función f ( t ) = t 2 − t . La
velocidad del móvil en el instante t es:
a) v ( t ) = 2t − 1 .
b) v ( t ) = 2t − 2 t .
c) v ( t ) = t 2 − t .
La velocidad del móvil es la derivada de la función que describe su posición en función del tiempo, por lo
tanto:
v ( t ) = f ′ ( t ) = 2t − 1 .
4.63 La posición de un móvil sobre una recta, el instante t, viene dada por la función f ( t ) = t 2 + t . La
velocidad del móvil en el instante t=1 es:
a) 1.
b) 2.
c) 3.
La velocidad del móvil es la derivada de la función que describe su posición en función del tiempo, por lo
tanto:
v ( t ) = f ′ ( t ) = 2t + 1 .
La velocidad en el instante t = 1 es: v (1) = f ′ (1) = 2 ⋅1 + 1 = 3
4.64 La posición de un móvil sobre una recta, el instante t, viene dada por la función f ( t ) = 3t − t 2 . Su
posición en el instante en que su velocidad es 0 es:
a) 3 2 .
b) 9 4 .
c) 3 4 .
La velocidad del móvil es la derivada de la función que describe su posición en función del tiempo, por lo
tanto:
v ( t ) = f ′ ( t ) = 3 − 2t .
La velocidad es igual a 0 en el instante t que cumple 3 − 2t = 0 , es decir t = 3 2 .
En ese instante, la posición es f ( 3 2 ) = 9 2 − 9 4 = 9 4 .
4.65 La posición de un móvil sobre una recta, el instante t, viene dada por la función f ( t ) = 2t 3 − 3t . La
velocidad del móvil verifica:
a) v ( 0 ) = −3 .
b) v (1) = −3 .
c) v
( 2) = 8.
La velocidad del móvil es la derivada de la función que describe su posición en función del tiempo, por lo
tanto:
v ( t ) = f ′ ( t ) = 6t 2 − 3 .
v ( 0 ) = −3
v (1) = 3
v
( 2 ) = −9
La velocidad instantánea es el límite de la velocidad media cuando ∆t tiende a cero, es decir, la derivada
del espacio respecto al tiempo.
f ( t + ∆t ) − f ( t )
∆e
= lim
= e′ ( t )
∆t → 0 ∆t
∆t → 0
∆t
v ( t ) = lim
Aceleración instantánea
La aceleración instantánea es la derivada de la velocidad respecto al tiempo. a = v′ ( t )
Por tanto, la aceleración es la derivada segunda del espacio respecto al tiempo. a = e′′ ( t )
El espacio recorrido por un móvil viene dado por la función e ( t ) = 3t 2 − t + 1 . El espacio se mide en
metros y el tiempo en segundos.
Hallar la ecuación de la velocidad. v ( t ) = e′ ( t ) = 6t − 1
Hallar la velocidad en el instante t = 0. v ( 0 ) = e′ ( t ) = 6 ⋅ 0 − 1 = −1 m / s
Hallar la ecuación de la aceleración. a ( t ) = v′ ( t ) = e′′ ( t ) = 6 m / s 2
Ejercicio: 4.66
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
4.66 La pendiente de la tangente a la gráfica de la función f ( x ) = x 2 − x en el punto de abscisa x = 1
vale:
a) -1.
b) 1.
c) 2.
La pendiente de la recta tangente en un punto a la gráfica de una función f ( x ) es igual al valor de la
derivada en ese punto.
f ′ ( x) = 2x −1
f ′ (1) = 2 ⋅1 − 1 = 1
( x ( f ( x ))) .
La ecuación de dicha recta tangente es y = f ′ ( x ) ⋅ ( x − x ) + f ( x ) y además pasa por el punto ( x ( f ( x ) ) ) .
La derivada f ′ ( x0 ) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto
0
Punto (1,0)
y = f ′ ( x0 ) ⋅ ( x − x0 ) + f ( x0 )
y = 1 ⋅ ( x − 1) + 0 = x − 1
0
0
0
0
0
0
Ejercicio: 4.67
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
4.67 La pendiente de la tangente a la gráfica de la función f ( x ) = x 4 − x 3 en el punto de abscisa x = −1
vale:
a) 1.
b) -8.
c) -7.
La pendiente de la recta tangente en un punto a la gráfica de una función f ( x ) es igual al valor de la
derivada en ese punto.
f ′ ( x ) = 4 x3 − 3x 2
f ′ ( −1) = 4 ( −1) − 3 ( −1) = −7
3
2
( (
La derivada f ′ ( x0 ) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto x0 f ( x0 )
( (
)) .
La ecuación de dicha recta tangente es y = f ′ ( x0 ) ⋅ ( x − x0 ) + f ( x0 ) y además pasa por el punto x0 f ( x0 )
Punto (-1,2)
y = f ′ ( x0 ) ⋅ ( x − x0 ) + f ( x0 )
y = −7 ⋅ ( x + 1) + 2 = −7 x − 5
)) .
Ejercicio: 4.68
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
4.68 La gráfica de la función f ( x ) = x , definida para x ≥ 0 , tiene tangente de pendiente
a) 1 3 en el punto de abscisa x = 4 .
b) 1 2 en el punto de abscisa x = 1 .
c) 1 3 en el punto de abscisa x = 9 .
La pendiente de la recta tangente en un punto a la gráfica de una función f ( x ) es igual al valor de la
derivada en ese punto.
f ′( x) =
1
2 x
1
1
f ′ ( 4) =
=
2 4 4
1
1
f ′ (1) =
=
2 1 2
1
1
f ′ (9) =
=
2 9 6
4.69 La tangente a la gráfica de la función f ( x ) = ( 2 x + 3) tiene pendiente -2 en el punto de abscisa:
2
a) x = −5 4 .
b) x = −7 4 .
c) x = −3 2 .
f ′ ( x ) = 2 ⋅ ( 2 x + 3) ⋅ 2 = 8 x + 12
f ′ ( −5 4 ) = 8 ⋅ ( −5 4 ) + 12 = 2
f ′ ( −7 4 ) = 8 ⋅ ( −7 4 ) + 12 = −2
f ′ ( −3 2 ) = 8 ⋅ ( −3 2 ) + 12 = 0
4.70 La tangente a la gráfica de la función f ( x ) = x 2 + 1 tiene pendiente 1
a) x = 1 .
b) x = 2 .
c) x = −2 .
f ′( x) =
2x
2 x2 + 1
2 ⋅1
1
2
2 12 + 1
2⋅2
2
f ′ ( 2) =
=
2
5
2 2 +1
2 ⋅ ( −2 )
−2
=
f ′ ( −2 ) =
2
−3
2 −2 + 1
f ′ (1) =
=
2 en el punto de abscisa:
Ejercicio: 4.71
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
4.71 La tangente a la gráfica de la función f ( x ) = x 2 + x + 1 es paralela a la recta y = 2 x − 3 , en el punto
de abscisa:
a) x = −1 2 .
b) x = 1 2 .
c) x = −3 2 .
La recta y = 2 x − 3 , tiene como pendiente 2.
La derivada de la función f ( x ) = x 2 + x + 1 es:
f ′ ( x ) = 2 x + 1 Para encontrar los puntos en los que la pendiente vale 2, resolvemos la ecuación 2 x + 1 = 2
2x +1 = 2
1
x=
2
( x ( f ( x ))) .
La ecuación de dicha recta tangente es y = f ′ ( x ) ⋅ ( x − x ) + f ( x ) y además pasa por el punto ( x ( f ( x ) ) ) .
La derivada f ′ ( x0 ) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto
0
0
0
0
0
0
0
Punto (1/2, 7/4)
y = f ′ ( x0 ) ⋅ ( x − x0 ) + f ( x0 )
1⎞ 7
3
⎛
y = 2 ⋅ ⎜ x − ⎟ + = 2x +
2⎠ 4
4
⎝
f ( x ) = x2 + x + 1
y = 2x +
3
4
y = 2x − 3
Ejercicio: 4.72
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
4.72 La tangente a la gráfica de la función f ( x ) = 2 x definida para x > 0 es paralela a la recta
x − 3 ⋅ y + 1 = 0 en el punto de abscisa:
a) x = 1 .
b) x = 2 .
c) x = 3 .
La recta x − 3 ⋅ y + 1 = 0 , es igual a y =
x +1
1
tiene como pendiente
.
3
3
La derivada de la función f ( x ) = 2 x es:
f ′( x) =
x=3
2
2 x
=
1
1
Tenemos que buscar una pendiente igual a
, por lo tanto la respuesta correcta es
3
x
( x ( f ( x ))) .
La ecuación de dicha recta tangente es y = f ′ ( x ) ⋅ ( x − x ) + f ( x ) y además pasa por el punto ( x ( f ( x ) ) ) .
La derivada f ′ ( x0 ) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto
0
(
Punto 3, 2 3
0
0
0
0
0
0
)
y = f ′ ( x0 ) ⋅ ( x − x0 ) + f ( x0 )
y=
1
x
3
⋅ ( x − 3) + 2 3 =
+
3
3
3
y=
x
3
+
3
3
f ( x) = 2 x
Ejercicio: 4.73
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
4.73 La tangente a la gráfica de la función f ( x ) = 1 − x 2 es perpendicular a la recta y = x , en el punto de
abscisa:
a) x = 1 2 .
b) x = 3 2 .
c) x = −1 2 .
La recta y = x , tiene como pendiente 1.
La derivada de la función f ( x ) = 1 − x 2 es:
f ′ ( x ) = −2 x Para encontrar los puntos en los que la pendiente vale 1, resolvemos la ecuación −2 x = 1
x=
−1
2
( x ( f ( x ))) .
La ecuación de dicha recta tangente es y = f ′ ( x ) ⋅ ( x − x ) + f ( x ) y además pasa por el punto ( x ( f ( x ) ) ) .
La derivada f ′ ( x0 ) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto
0
0
0
0
0
0
Punto ( −1 2,3 4 )
y = f ′ ( x0 ) ⋅ ( x − x0 ) + f ( x0 )
1⎞ 3
5
⎛
y = 1⋅ ⎜ x + ⎟ + = x +
2⎠ 4
4
⎝
y = x+
f ( x ) = 1 − x2
5
4
0
Ejercicio: 4.74
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
4.74 La tangente a la gráfica de la función f  x  
x
es perpendicular a la recta x  1 en los puntos de
1  x2
abscisa:
a) x  1 2 y x  1 2 .
b) x  1 2 y x  2 .
c) x  1 y x  1 .
Para que la tangente a la gráfica sea perpendicular a la recta x  1 debe ser una recta horizontal, paralela al
eje de abscisas y tiene que tener pendiente igual a 0.
La derivada de la función f  x  
f  x 
1 1  x 2   x  2 x
1  x 
2 2

x
es:
1  x2
1  x2
1  x 
2 2
Tenemos que encontrar la pendiente igual a 0 de la ecuación 1  x 2 .
1  x2  0
x  1

 x  1
 
La derivada f   x0  es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto x0 f  x0 
 
 .
La ecuación de dicha recta tangente es y  f   x0    x  x0   f  x0  y además pasa por el punto x0 f  x0 
Punto  1, 1 2 
Punto 1,1 2 
y  f   x0    x  x0   f  x0 
y  f   x0    x  x0   f  x0 
y  0   x  1 
1
1

2
2
y  0   x  1 
 .
1 1

2 2
x 1
x 1 2
x 1 2
f  x 
x
1  x2
Ejercicio: 4.75
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
4.75 La tangente a la gráfica de la función f ( x ) = x 4 − 2 x en el punto de abscisa x = 1 tiene por ecuación:
a) y = x + 2 .
b) y = 2 x − 3 .
c) y = 3x − 1 .
La derivada de la función f ( x ) = x 4 − 2 x es:
f ′ ( x ) = 4 x3 − 2
f ′ (1) = 4 ⋅13 − 2 = 2
( x ( f ( x ))) .
La ecuación de dicha recta tangente es y = f ′ ( x ) ⋅ ( x − x ) + f ( x ) y además pasa por el punto ( x ( f ( x ) ) ) .
La derivada f ′ ( x0 ) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto
0
0
0
0
0
0
0
Punto (1, −1)
y = f ′ ( x0 ) ⋅ ( x − x0 ) + f ( x0 )
y = 2 ⋅ ( x − 1) − 1 = 2 x − 3
f ( x ) = x4 − 2x
y = 2x − 3
Ejercicio: 4.76
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
4.76 La tangente a la gráfica de la función f  x   x  x en el punto de abscisa x  1 tiene por ecuación:
a) y  2 x  1  0 .
b) 2 y  x  1  0 .
c) 2 y  x  1  0 .
La derivada de la función f  x   x  x es:
f  x  1
1
2 x
1
1
f  1  1 

2 1 2
La derivada f   x0  es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto x0  f  x0   .

 

La ecuación de dicha recta tangente es y  f   x0    x  x0   f  x0  y además pasa por el punto x0 f  x0 
 .
Punto 1, 0 
y  f   x0    x  x0   f  x0 
1
1
1
y    x  1  0  x 
2
2
2
Respuesta correcta 2 y  x  1  0  y 
1
1
x
2
2
f  x  x  x
y
1
1
x
2
2
Ejercicio: 4.77
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
4.77 La ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f  x   x 2  x  1 en el punto de abscisa
x  1 es:
a) 4 y  x  3  0 .
b) 4 x  3 y  5 2  0 .
c) 4 y  3x  1  0 .
La derivada de la función f  x   x 2  x  1 es:
f  x 
f  1 
2 x   x  1  x 2 1
 x  1
12  2 1
1  1
2

2

2 x2  2 x  x2
 x  1
2

x2  2x
 x  1
2
3
4
 
La derivada f   x0  es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto x0 f  x0 
 
 .
La ecuación de dicha recta tangente es y  f   x0    x  x0   f  x0  y además pasa por el punto x0 f  x0 
 .
 1
Punto  1, 
 2
y  f   x0    x  x0   f  x0 
3
1 3
3 1 3
1
y    x  1   x    x 
4
2 4
4 2 4
4
Respuesta correcta 4 y  3x  1  0  y 
3
1
x
4
4
f  x   x 2  x  1
y
3
1
x
4
4
Ejercicio: 4.78
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
4.78 La recta tangente a la gráfica de la función f  x   1 x definida en el intervalo  0,   , por el punto
en que la recta 2 x  2 y  3  0 corta a la gráfica de f  x  tiene por ecuación:
a) 4 y  x  3  0 .
b) 4 y  x  4  0 .
c) 4 x  y  4  0 .
Primero calcularemos el punto en que la recta 2 x  2 y  3  0 corta a la gráfica de la función y luego
trazaremos la tangente a la gráfica por ese punto.
Para hallar el punto de corte resolvemos el sistema de ecuaciones:
y 1 x

2 x  2 y  3  0
1
2x  2   3  0
x
2 x  2  3x  0
3  9  16  x  1 2

4
 x  2
Como el intervalo de definición es  0,   , comprobamos el punto de corte x  1 2 , f 1 2  
1
2
12
El punto de corte es 1 2, 2  .
La derivada de la función f  x   1 x es f   x   1 x 2
La pendiente de la tangente es f  1 2   1 1 2   4
2
1

La ecuación de la recta tangente es: y  2  4   x    4 x  y  4  0
2

2x  2 y  3  0
f  x  1 x
y  4 x  4
Ejercicio: 4.79
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
4.79 La recta tangente a la gráfica de la función f ( x ) = 1 x definida en el intervalo ( 0, ∞ ) , que es
paralela a la recta 9 x + y = 0 tiene por ecuación:
a) 9 x + y − 3 = 0 .
b) 9 x + y − 6 = 0 .
c) 9 x + y − 9 = 0 .
La recta 9 x + y = 0 tiene pendiente igual a -9.
Para hallar en qué punto la pendiente de la tangente a la gráfica tiene esa misma pendiente, hacemos:
La derivada de la función f ( x ) = 1 x es f ′ ( x ) = −1 x 2 = −9 → x = 1 3
Y el punto tiene coordenadas (1 3,3) .
1⎞
⎛
La ecuación de la recta tangente es: y − 3 = −9 ⋅ ⎜ x − ⎟ → 9 x + y − 6 = 0
3⎠
⎝
f ( x) = 1 x
y = −9 x + 6
Ejercicio: 4.80
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
4.80 La recta tangente a la gráfica de la función f  x   x , paralela a la recta x  y  2  0 tiene por
ecuación:
1
0.
4
1
b) x  y   0 .
2
1
c) x  y   0 .
2
a) x  y 
La recta x  y  2  0  y  x  2 tiene por pendiente 1.
Para hallar en que punto la pendiente de la tangente a la gráfica tiene esa misma pendiente hallamos la
derivada y la igualamos a 1.
La derivada de la función f  x   x es:
f  x 
1
2 x
1
2
1
1
1
 1  1  1 2 x  1  2 x   x     x  x 
2
4
2 x
2
1
 
La derivada f   x0  es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto x0 f  x0 
 
 .
La ecuación de dicha recta tangente es y  f   x0    x  x0   f  x0  y además pasa por el punto x0 f  x0 
 .
1
1
1 1
Punto  , 
Ecuación de la recta tangente: y   x 
2
4
4 2
y  f   x0    x  x0   f  x0 
1 1
1 1
1

y  1  x     x    x 
4 2
4 2
4

x y20
x y
f  x  x
1
0
4
Ejercicio: 4.81
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
4.81 Si la tangente a la gráfica de la función f ( x ) , en el punto de abscisa x = 2 , tiene por ecuación
3x − 2 y + 4 = 0 se verifica:
a)
f ( 2) = 5 y f ′ ( 2) = 1 2 .
b)
f ( 2) = 5 y f ′ ( 2) = 3 2 .
c)
f ( 2 ) = −5 y f ′ ( 2 ) = − 3 2 .
La abscisa del punto de tangencia es x = 2 .
La ecuación de la recta tangente: y − f ( 2 ) = f ′ ( 2 ) ⋅ ( x − 2 )
El valor de f ′ ( 2 ) es igual a la pendiente de la recta tangente f ′ ( 2 ) = 3 2
3
y − f ( 2) = ⋅ ( x − 2)
2
3x − 2 y − 6 + 2 f ( 2 ) = 0
−6 + 2 f ( 2 ) = 4
f ( 2) = 5
Ejercicio: 4.82
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
4.82 La función f ( x ) = x 3 − 3 x es decreciente en el intervalo:
a)
b)
c)
[ −1,1] .
[ −2, 0] .
[0,3] .
Si f es una función definida y derivable en un intervalo I:
ƒ
ƒ
Los intervalos de crecimiento coinciden con los intervalos en que f ′ ≥ 0 .
Los intervalos de decrecimiento coinciden con los intervalos en que f ′ ≤ 0 .
La derivada de la función f ( x ) = x 3 − 3 x es f ′ ( x ) = 3 x 2 − 3
3x 2 − 3 = 0
x = ±1
f ′ ( −3) = 3 ( −3) − 3 = 24 ⎪⎫
⎬ f′≥0
2
f ′ ( −2 ) = 3 ( −2 ) − 3 = 9 ⎪⎭
2
2
f ′ ( −1 2 ) = 3 ( −1 2 ) − 3 = − 9 4 ⎫⎪
⎬ f′≤0
2
f ′ (1 2 ) = 3 (1 2 ) − 3 = − 9 4 ⎪⎭
2
f ′ ( 2 ) = 3 ( 2 ) − 3 = 9 ⎫⎪
⎬ f′≥0
2
f ′ ( 3) = 3 ( 3) − 3 = 24 ⎪⎭
Ejercicio: 4.83
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
4.83 La función f ( x ) = 1 x , definida para x ≠ 0 , es:
a) Decreciente en el intervalo [1, 2] .
b) Creciente en el intervalo [ −2, −1] .
c) Creciente en el intervalo [1, 2] .
Si f es una función definida y derivable en un intervalo I:
Los intervalos de crecimiento coinciden con los intervalos en que f ′ ≥ 0 .
Los intervalos de decrecimiento coinciden con los intervalos en que f ′ ≤ 0 .
La derivada de la función f ( x ) = 1 x es f ′ ( x ) = −1 x 2
f ′ (1) = −1 12 = −1

 f ′ ≤ 0 Intervalos de decrecimiento
f ′ ( 2 ) = −1 22 = −0, 25
f ′ ( −2 ) = −1 ( −2 ) = −0, 25
 f ′ ≤ 0 Intervalos de decrecimiento
2
f ′ ( −1) = −1 ( −1) = −1

2
f ′ (1) = −1 12 = −1

 f ′ ≤ 0 Intervalos de decrecimiento
f ′ ( 2 ) = −1 22 = −0, 25
Ejercicio: 4.84
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
4.84 La función f ( x ) = ( 2 − 3 x ) es decreciente en los intervalos:
3
a)
b)
c)
( −∞, 2 3] y [ 2 3, ∞ ) .
( −∞, −2 3] y [ 2 3, ∞ ) .
( −∞, ∞ ) .
Si f es una función definida y derivable en un intervalo I:
ƒ
ƒ
Los intervalos de crecimiento coinciden con los intervalos en que f ′ ≥ 0 .
Los intervalos de decrecimiento coinciden con los intervalos en que f ′ ≤ 0 .
La derivada de la función f ( x ) = ( 2 − 3 x ) es f ′ ( x ) = −9 ( 2 − 3x ) , como es negativa cualquier valor de x
será negativa, además la función es continua en todos los puntos
3
2
2
f ′ ( −5 ) = −9 ( 2 − 3 ⋅ ( −5 ) ) = −1521⎫⎪
⎬ f ′ ≤ 0 Intervalos de decrecimiento
2
f ′ ( −3) = −9 ( 2 − 3 ⋅ ( −3) ) = −1089 ⎪⎭
f ′ ( 0 ) = −9 ( 2 − 3 ⋅ 0 ) = −36
⎫
⎪
2
⎪
′
f ( 3) = −9 ( 2 − 3 ⋅ ( 3) ) = −1089 ⎬ f ′ ≤ 0 Intervalos de decrecimiento
⎪
2
f ′ ( 5 ) = −9 ( 2 − 3 ⋅ ( 5 ) ) = −1521⎪⎭
2
Ejercicio: 4.85
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
4.85 La función f  x   1  x 
a)
b)
c)
 1,1 .
 1, 0  .
 2,3 .
1
es creciente en los intervalos:
x
Si f es una función definida y derivable en un intervalo I:
 Los intervalos de crecimiento coinciden con los intervalos en que f   0 .
 Los intervalos de decrecimiento coinciden con los intervalos en que f   0 .
1
1
es f   x   2  1
x
x
El intervalo  1,1 no es correcto ya que en el intervalo  1, 0  la función crece y en el intervalo  0,1 la
La derivada de la función f  x   1  x 
función también crece. Además en x  0 hay una asíntota vertical.
1

lim f  x   lim f 1  x    
x 0
x 0
x

1

lim f  x   lim f 1  x    
x 0
x 0
x


1
1
0
f   1 



2
 1


1

1
3
f   0,5  


 f   0 Intervalos de crecimiento
2
 0,5


1

f   0, 25  
1
2


2

 0, 25 
1
3
1   
2
2
4 
 f  0 Intervalos de decrecimiento
1
8
f   3  2  1  
3
9 
f   2 
Ejercicio: 4.86
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
4.86 La derivada segunda de la función f ( x ) = x3 − x 2 + x − 1 es igual a:
a) 3 x − 1 .
b) 6 x − 2 .
c) 3 x 2 − 2 x + 1 .
f ′ ( x ) = 3x 2 − 2 x + 1
f ′′ ( x ) = 6 x − 2
4.87 La derivada segunda de la función f ( x ) = 4 x − 1 definida para x > 1 es igual a:
a) 2 x −2 − 1 .
b) − ( x − 1)
−3 2
.
c) 4 ( x − 1) .
−2
4
=
2 x −1
f ′( x) =
f ′′ ( x ) =
0⋅
(
2
x −1
)
x −1 − 2 ⋅
(
x −1
)
1
2 x −1 =
2
−1
−1
−1
−1
−3 2
x −1 =
=
=
= −1 ⋅ ( x − 1)
12
32
( x − 1) ( x − 1) ⋅ x − 1 ( x − 1) ⋅ ( x − 1) ( x − 1)
(
)
4.88 La derivada segunda de la función f ( x ) = x (1 + x ) es igual a:
a)
b)
c)
( 2 x − 1) ⋅ (1 + x )
−3
x ⋅ (1 + x ) .
−3
−2 ⋅ (1 + x ) .
f ′( x) =
−3
.
1 ⋅ (1 + x ) − x ⋅1 1 + x − x
1
=
=
2
2
2
(1 + x )
(1 + x ) (1 + x )
f ′′ ( x ) =
0 ⋅ (1 + x ) − 1 ⋅ 2 (1 + x ) ⋅1
2
(1 + x )
4
=
−2 − 2 x
(1 + x )
4
(
= ( −2 − 2 x ) ⋅ (1 + x )
−4
) = −2 ( x + 1) ⋅ (1 + x )
−4
= −2 ⋅ (1 + x )
−3
4.89 La derivada segunda de la función f ( x ) = x − 4 x en el punto de abscisa x = 4 vale:
a) −1 2 .
b) −1 4 .
c) 1 8 .
f ′( x) = 1− 4 ⋅
f ′′ ( x ) = 0 −
1
= 1−
2 x
2
x
1
2 x = x = 1 = 1 =1
2
x
x⋅ x 4⋅ 4 8
x
0⋅ x − 2⋅
1
4.90 La derivada segunda de la función f ( x ) = x ( 2 x − 1) cumple:
d)
e)
f)
f ′( x) =
f ′′ ( 0 ) = 2 .
f ′′ (1) = 4 .
f ′′ ( 2 ) = 4 3 .
1 ⋅ ( 2 x − 1) − x ⋅ 2
( 2 x − 1)
f ′′ ( x ) =
a)
b)
c)
=
2x − 2x −1
( 2 x − 1)
2
=
−1
( 2 x − 1)
2
0 ⋅ ( 2 x − 1) − ( −1) ⋅ 2 ( 2 x − 1) ⋅ 2
2
−1
( 2 x − 1)
2
2
=
f ′′ ( 0 ) = 4 .
f ′′ (1) = 4 .
f ′′ ( 2 ) = 4 27 .
( 2 x − 1)
4
=
8x − 4
( 2 x − 1)
4
Ejercicio: 4.91
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
4.91 La función f ( x ) = x 2 − 3 x + 5 tiene un mínimo relativo en:
a) x = 2 .
b) x = 3 2 .
c) x = −1 2 .
f ′( x) = 2x − 3
2x − 3 = 0
3
x = = 1,5
2
En x = 1,5 tenemos un máximo o mínimo relativo, ahora hacemos la segunda derivada para comprobarlo.
f ′′ ( x ) = 2 > 0
Como 2 es mayor que 0 entonces tenemos un mínimo relativo.
Ejercicio: 4.92
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
4.92 La función f ( x ) = 2 x 3 − 3 x 2 − 12 x tiene un máximo relativo en:
a) x = 2 .
b) x = 0 .
c) x = −1 .
f ′ ( x ) = 6 x 2 − 6 x − 12
6 x 2 − 6 x − 12 = 0
−b ± b 2 − 4ac 6 ± 36 + 288 6 ± 18
=
=
2a
12
12
⎧x = 2
⎨
⎩ x = −1
⎧x = 2
En ⎨
tenemos un máximo o mínimo relativo, ahora hacemos la segunda derivada para comprobarlo.
⎩ x = −1
f ′′ ( x ) = 12 x − 6
f ′′ ( 2 ) = 12 ⋅ ( 2 ) − 6 = 18 > 0 Mínimo relativo
f ′′ ( −1) = 12 ⋅ ( −1) − 6 = −18 < 0 Máximo relativo
Ejercicio: 4.93
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
4.93 La función f ( x ) = x − x definida para x > 0 , tiene un máximo relativo:
a) x = 1 4 .
b) x = 1 2 .
c) x = 3 4 .
f ′( x) =
1
2 x
1
2 x
−1
−1 = 0
1−1 = 2 x
0=2 x
1
= x
2
2
⎛1⎞
⎜ ⎟ =x
⎝2⎠
1
x=
4
En x =
1
tenemos un máximo o mínimo relativo, ahora hacemos la segunda derivada para comprobarlo.
4
1 −3
f ′′ ( x ) = − x 2
4
−1
1 ⎛ 1 ⎞ −3 2
⎛1⎞
⎛1⎞ 2
f ′′ ⎜ ⎟ = − ⋅ ⎜ ⎟ = − ⎜ ⎟ = −2 < 0 Máximo relativo
4 ⎝4⎠
⎝4⎠
⎝4⎠
Ejercicio: 4.94
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
4.94 La función f ( x ) = x 3 − 3 x + 6 tiene un máximo relativo en:
a) x = 1 .
b) x = −1 .
c) x = 0 .
f ′ ( x ) = 6 x 2 − 6 x − 12
6 x 2 − 6 x − 12 = 0
−b ± b 2 − 4ac 6 ± 36 + 288 6 ± 18
=
=
2a
12
12
⎧x = 2
⎨
⎩ x = −1
⎧x = 2
En ⎨
tenemos un máximo o mínimo relativo, ahora hacemos la segunda derivada para comprobarlo.
⎩ x = −1
f ′′ ( x ) = 12 x − 6
f ′′ ( 2 ) = 12 ⋅ ( 2 ) − 6 = 18 > 0 Mínimo relativo
f ′′ ( −1) = 12 ⋅ ( −1) − 6 = −18 < 0 Máximo relativo
Ejercicio: 4.95
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
4.95 La función f ( x ) = 9 x − 3 x 2 − x 3 tiene un mínimo relativo en:
a) x = −3 .
b) x = 1 .
c) x = 0 .
f ′ ( x ) = 9 − 6 x − 3x 2
9 − 6 x − 3x 2
− x2 − 2x + 3 = 0
−b ± b 2 − 4ac 2 ± 4 + 12 2 ± 4
=
=
2a
−2
−2
⎧ x = −3
⎨
⎩x = 1
⎧ x = −3
En ⎨
tenemos un máximo o mínimo relativo, ahora hacemos la segunda derivada para comprobarlo.
⎩x = 1
f ′ ( x ) = −6 − 6 x
f ′′ ( −3) = −6 − 6 ⋅ ( −3) = 12 > 0 Mínimo relativo
f ′′ (1) = −6 − 6 ⋅ (1) = −12 < 0 Máximo relativo
Ejercicio: 4.96
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
4.96 La función f ( x ) = x 3 − 3 x 2 tiene un máximo relativo en:
a) x = 0 .
b) x = 2 .
c) x = 3 .
f ′ ( x ) = 3x 2 − 6 x
3x 2 − 6 x = 0
x2 − 2 x = 0
⎧x = 2
⎨
⎩x = 0
⎧x = 2
En ⎨
tenemos un máximo o mínimo relativo, ahora hacemos la segunda derivada para comprobarlo.
⎩x = 0
f ′′ ( x ) = 6 x − 6
f ′′ ( 2 ) = 6 ⋅ ( 2 ) − 6 = 6 > 0 Mínimo relativo
f ′′ ( 0 ) = 6 ⋅ ( 0 ) − 6 = −6 < 0 Máximo relativo
Ejercicio: 4.97
4.97 La función f ( x ) =
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
x +1
tiene un máximo relativo en:
x
2
a) x = 2 .
b) x = 1 .
c) x = −1 .
f ′( x) =
( 2 x ⋅ x ) − ( x 2 + 1)
x2
( 2x ) − ( x
=
2
2
+ 1)
x2
=
x2 −1
x2
x2 −1
=0
x2
1
1− 2 = 0
x
1
=1
x2
1 = x2
⎧x = 1
En ⎨
tenemos un máximo o mínimo relativo, ahora hacemos la segunda derivada para comprobarlo.
⎩ x = −1
f ′′ ( x ) =
( 2 x ) ⋅ x 2 − ( x 2 − 1) ⋅ 2 x
x4
2 x3 − 2 x3 + 2 x 2 x 2
=
= 4 = 3
x4
x
x
2
⋅ = 2 > 0 Mínimo relativo
13
2
f ′′ ( −1) = 3 ⋅ = −2 < 0 Máximo relativo
−1
f ′′ (1) =
Ejercicio: 4.98
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
4.98 La función f ( x ) = x 3 − x 2 en el intervalo [1, 2] :
a) Es convexa.
b) Es cóncava.
c) No es cóncava ni convexa.
Si f es una función definida y derivable en un intervalo I:
ƒ
ƒ
Los intervalos de crecimiento coinciden con los intervalos en que f ′ ≥ 0 .
Los intervalos de decrecimiento coinciden con los intervalos en que f ′ ≤ 0 .
f ′ ( x ) = 3x 2 − 2 x
f ′ (1) = 3 ⋅12 − 2 ⋅1 = 1 > 0
La pendiente de la recta tangente es 1
f ′ ( 2) = 3 ⋅ 2 − 2 ⋅ 2 = 8 > 0
La pendiente de la recta tangente es 8
2
Como la pendiente de la recta tangente crece en el intervalo [1, 2] la función es convexa.
f ′′ ( x ) = 6 x − 2
f ′′ (1) = 6 ⋅1 − 2 = 4 > 0
f ′′ ( 2 ) = 6 ⋅ 2 − 2 = 10 > 0
Como la segunda derivada es positiva en el intervalo [1, 2] y deducimos que la primera derivada es
creciente en el intervalo [1, 2] .
Ejercicio: 4.99
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
4.99 La función f ( x ) =
1
en el intervalo ( 0, ∞ ) :
1 + x2
a) Es convexa.
b) Es cóncava.
c) No es cóncava ni convexa.
Si f es una función definida y derivable en un intervalo I:
ƒ
ƒ
Los intervalos de crecimiento coinciden con los intervalos en que f ′ ≥ 0 .
Los intervalos de decrecimiento coinciden con los intervalos en que f ′ ≤ 0 .
−2 x
f ′( x) =
(1 + x )
2 ⋅ ( 3x − 1)
f ′′ ( x ) =
(1 + x )
2 2
2
2 3
Si la función que obtenemos de la segunda derivada la igualamos a 0 tenemos como soluciones:
2 ⋅ ( 3x 2 − 1)
⎧⎪ x = −1 3
⎨
⎪⎩ x = 1 3
=0
(1 + x )
2 3
Quiere decir que en estos dos puntos hay un punto de inflexión, es decir un cambio de curvatura, por lo
tanto vamos a ver cómo se comporta la función antes y después de este punto, en concreto en x = 1 3 ya
que el intervalo de definición es ( 0, ∞ ) .
Tomamos la primera derivada para hacer el estudio, f ′ ( x ) =
(
Primero miramos el intervalo 0,1
f ′ ( 0, 2 ) =
f ′ ( 0, 4 ) =
(
−2 ⋅ ( 0, 2 )
1 + ( 0, 2 )
(
)
= −0,3698
)
= −0,5945
2 2
−2 ⋅ ( 0, 4 )
1 + ( 0, 4 )
2 2
3
)
Como la pendiente decrece la función es cóncava.
(
Segundo paso miramos el intervalo 1
f ′ ( 0, 6 ) =
f ′ (1) =
f ′ ( 2) =
(
−2 ⋅ ( 0, 6 )
(1 + ( 0, 6) )
2 2
−2 ⋅ (1)
1 + (1)
)
2 2
−2 ⋅ ( 2 )
(1 + ( 2) )
2 2
3, +∞
)
= −0, 6487
= −0,5
= −0,16
Como la pendiente crece la función es cónvexa.
−2 x
(1 + x )
2 2
Ejercicio: 4.100
4.100 La función f ( x ) =
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1
en el intervalo ( 0, ∞ ) :
x
a) Creciente.
b) Es convexa.
c) Es cóncava
Si f es una función definida y derivable en un intervalo I:
ƒ Los intervalos de crecimiento coinciden con los intervalos en que f ′ ≥ 0 .
ƒ Los intervalos de decrecimiento coinciden con los intervalos en que f ′ ≤ 0 .
−1
x2
−1 −1
La pendiente de la recta tangente es -1
= −1 < 0
f ′ (1) = 2 =
x
1
)
)
−1 −1
= −0,1 < 0 La pendiente de la recta tangente es −0,1
f ′ ( 3) = 2 =
3
9
−1 −1
= −0, 04 < 0 La pendiente de la recta tangente es −0, 04
f ′ ( 5) = 2 =
5
25
f ′( x) =
2
x3
2
f ′′ (1) = 3 = 2 > 0
1
2
f ′′ ( 5 ) = 3 = 0, 016 > 0
5
Como la segunda derivada es positiva en el intervalo ( 0, ∞ ) y deducimos que la primera derivada es
f ′′ ( x ) =
creciente en el intervalo ( 0, ∞ ) .
La pendiente de la recta tangente a la gráfica de f ( x ) =
1
crece y la función es convexa
x