4. Simulaciones

Propagación lineal de pulsos en fibra óptica
4.- Simulaciones
4.1 Pulsos gaussianos
4.1.1 Pulsos gaussianos sin chirp
Nuestro primer banco de pruebas consistirá en medir la el ensanchamiento que se
acumula en el pulso óptico gaussiano con chirp=0 cuando este se propaga a distintas
longitudes (1,10,100,500,1000 Km) y para una anchura variable del pulso de entrada (1,
10,100,1000 ps). EL código en matlab que genera las simulaciones posee el siguiente
formato :
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% NOMBRE DEL ARCHIVO: pulso.m
NOMBRE DE LA FUNCION: pulso
%%%
%%%
%%%
%%% AUTOR: Francisco Cerezo Dominguez
FECHA:1-3-2006
%%%
%%%
%%%
%%% DESCRIPCION: La funcion calcula el ensanchamiento producido %%%
%%% en un pulso gaussiano de To ps (introducido por el teclado) %%%
%%% cuando se propaga en tercera ventana por una fibra optica de %%%
%%% ‘z’ Km ( indroducible por teclado) teniendo en cuenta los
%%%
%%% efectos de la segunda y la tercera derivada (obviaremos la %%%
%%% atenuacion y el retardo de grupo (primera derivada)
%%%
%%%
%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
function pulso
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% DATOS %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Distancia de propagacion (Km)
z=input(‘Distancia de propagación’)
% longitud de onda de trabajo (nm)
lambda=1550;
% c (nm/ps)
c=3*10^5;
% lambda a la que la dispersion es 0 (nm)
lambdao=1312;
% pendiente de la dispersion en lambdao en ps/nm^2*Km
So=0.090;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Caracterizamos nuestro pulso de entrada como una gausiana por una
% portadora:
% Amplitud de la gaussiana:
Ao=1;
% To del pulso gaussiano
Propagación lineal de pulsos en fibra óptica
To=input(‘Anchura del pulso To: ‘
% Vector de tiempos de la gaussiana
t=[-100000: 1/10:100000];
% Gaussiana, E(z=0,t):
Et=Ao*exp(-t.^2/(2*(To^2)));
subplot(3,1,1)
plot(t,Et);
title('Pulso a la entrada')
%ps
% Calculamos la transformada de fourier de la gaussiana
gaussfourier=fft(Et);
gaussfourier=fftshift(gaussfourier);
% Caracterizamos la fibra como un sistema lineal
% Calculamos alfa (No trabajaremos en este apartado con atenuacion)
alfa=0;
% Calculamos B1 (ps/Km)
B1=0;
% Calculamos B2 (ps^2/Km)
Dispersion=(So/4)*(lambda-(lambdao^4)/(lambda^3))
B2=(Dispersion*(lambda^2))/(2*pi*c)
% Calculamos B3
% Primero calculamos la derivada de la dispersion en lamda de trabajo
DerivDisp=(So/4)+((So*lambdao^4)/4)*3*lambda^-4;
% Sustituimos en la formula
B3=DerivDisp*((lambda^2)/(2*pi*c))^2
% Definimos un vector de frecuencias
Af=(0:(length(gaussfourier)-1))*100/(1*length(gaussfourier))-50;
% La expresion en frecuencia de nuestro filtro lineal que caracteriza
% la fibra teninendo en cuenta B1,B2 y B3 es H:
H1=exp(Af.*2*pi*-i*z*B1);
H2=exp((Af.^2)*(2^2)*(pi^2)*-i*z*B2/2);
H3=exp((Af.^3)*(2^3)*(pi^3)*-i*z*B3/6);
Haux=H1.*H2; % Haux: Respuesta impulsiva en W de la fibra con B2
H=Haux.*H3; % H: Respuesta impulsiva en W de la fibra con B2 y B3
% Calculamos la respuesta en frecuencia de la entrada multimplicando
% la transformada de fourier del pulso gaussiano x la respuesta en
% frecuencia del filtro:
resw1=gaussfourier.*Haux;
resw=gaussfourier.*H;
resw1=fftshift(resw1); % Respuesta a la gaussiana en W de la fibra
%con B2
resw=fftshift(resw);
% Respuesta a la gaussiana en W de la fibra
% con B2 y B3
% Pasamos al dominio del tiempo
rest1=ifft(resw1);
% Respuesta a la gaussiana en t de la fibra
% con B2
rest=ifft(resw);
% Respuesta a la gaussiana en t de la fibra
% con B2 y B3
% Dibujamos la respuesta a la gaussiana en t de la fibra con B2
subplot(3,1,2);
plot(t,abs(rest1));
title('Pulso a la salida con B2')
% Dibujamos la respuesta a la gaussiana en t de la fibra con B2 y B3
Propagación lineal de pulsos en fibra óptica
subplot(3,1,3);
plot(t,abs(rest));
title('Pulso a la salida con B2 y B3')
xlabel('t en picosegs')
El código corresponde a la simulación de un pulso de To ps cuando se propaga por
la fibra a una distancia de z km. En realidad, el código empleado en matlab cambia
ligeramente para las distintas anchuras y distancias. Además de modificar algunos
parámetros como la anchura y la distancia, en necesario modificar también el vector de
tiempos y de frecuencia, ya que la excursión en frecuencia que introduce el pulso de entrada
esta relacionada como veremos con el ancho del mismo. Por este motivo tuvimos algunos
problemas de cálculo con matlab cuando nos acercamos a pico cercanos a los picosegundos.
Los códigos fuente de todas las simulaciones se encuentran en el anexo final de este
documento.
Los resultados están ordenados por anchura de pulsos y distancia recorrida y se
observan en tres ventanas:
- Ventana superior: Envolvente del pulso a la entrada
- Ventana central: Envolvente del pulso de salida (con B2 y B3)
- Ventana inferior: Envolvente del pulso de salida (B3)
Hemos suprimido la portadora en las gráficas para poder apreciar mejor algún
cambio significativo en la anchura de la envolvente. En la ventana central podremos apreciar
la respuesta total de la fibra, mientras que en la ventana inferior intentaremos observar
cuando se hacen significativos los efectos de la tercera derivada.
Además de estas simulaciones, también se incluye un simulación completa de la
propagación del pulso por toda la fibra. El formato de código fuente de dicha simulación
seria el siguiente:
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% NOMBRE DEL ARCHIVO: prop100.m NOMBRE DE LA FUNCION: prop100 %%%
%%%
%%%
%%% AUTOR: Francisco Cerezo Domínguez
FECHA: 07-03-2006
%%%
%%%
%%%
%%% DESCRIPCION: La función dibuja los cambios producidos en la %%%
%%%
envolvente de un pulso gaussiano de To=50ps que %%%
%%%
se propaga por una fibra monomodo para distin- %%%
%%%
tas distancias. Tomaremos B1 y alfa nulas
%%%
%%%
%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
function prop100
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% DATOS %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Propagación lineal de pulsos en fibra óptica
% longitud de onda de trabajo (nm)
lambda=1550;
% c (nm/ps)
c=3*10^5;
% lambda a la que la dispersion es 0 (nm)
lambdao=1312;
% pendiente de la dispersion en lambdao en ps/nm^2*Km
So=0.090;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Caracterizamos nuestro pulso de entrada como una gausiana por una %
% portadora:
% Amplitud de la gaussiana:
Ao=1;
% To del pulso gaussiano
To=50; %ps
% Vector de tiempos de la gaussiana
t=[-10000: 1/10:10000];
% Gaussiana, E(z=0,t):
Et=Ao*exp(-t.^2/(2*(To^2)));
% Calculamos la transformada de fourier de la gaussiana
gaussfourier=fft(Et);
gaussfourier=fftshift(gaussfourier);
% Caracterizamos la fibra como un sistema lineal
% Calculamos alfa
alfa=0;
% Calculamos B1 (ps/Km)
B1=0;
% Calculamos B2 (ps^2/Km)
Dispersion=(So/4)*(lambda-(lambdao^4)/(lambda^3))
B2=(-Dispersion*(lambda^2))/(2*pi*c)
% Calculamos B3
% Primero calculamos la derivada de la dispersion a lamda de trabajo
DerivDisp=(So/4)+((So*lambdao^4)/4)*3*lambda^-4;
% Sustituimos en la formula
B3=DerivDisp*((lambda^2)/(2*pi*c))^2
% Definimos un vector de frecuencias
Af=(0:(length(gaussfourier)-1))*10/(1*length(gaussfourier))-5;
hold;
% Bucle que dibuja las distintas envolventes para las distintas
distancias
for(s=0:75:1000)
% La expresion en frecuencia de nuestro filtro lineal que
%caracteriza a la fibra es:
z=s;
H1=exp(Af.*2*pi*-i*z*B1);
H2=exp((Af.^2)*(2^2)*(pi^2)*-i*z*B2/2);
H3=exp((Af.^3)*(2^3)*(pi^3)*-i*z*B3/6);
Haux=H1.*H2; % Haux: Respuesta impulsiva en W de la fibra con B2
H=Haux.*H3; % H: Respuesta impulsiva en W de la fibra con B2 y B3
Propagación lineal de pulsos en fibra óptica
% Calculamos la respuesta
en
frecuencia
de la entrada
% multimplicando la transformada de fourier del pulso gaussiano
% x la respuesta en frecuencia del filtro:
Resw1=gaussfourier.*H;
resw1=fftshift(resw1);% Respuesta a la gaussiana en W
% Pasamos al dominio del tiempo
rest1=ifft(resw1);
% Respuesta a la gaussiana en t
% Dibujamos la salida
z=s*ones(length(t),1)
plot3(t,z,abs(rest1))
end
Para el caso de una anchura de entrada distinta bastaría modificar la variable To y el
vector de tiempos y de frecuencias. El código fuente de dichas ficheros se encuentra en el
anexo final del proyecto.
Cuando simulamos la fibra en matlab obtenemos los siguientes resultados:
Dispersión [ps/(nm-Km)]
B2
[ps^2/Km]
B3
16.9721
-21.6321
0.0928
Antes de pasar a comentar resultados de las distintas simulaciones conviene definir
el parámetro Ld que utilizaremos a la hora de comentar las simulaciones. Definimos Ld o
longitud de dispersión lineal como la longitud alrededor de la cual comienzan a percibirse
efectos de dispersión lineal en el pulso que se propaga. Se puede demostrar que:
Ld = To 2 / β 2 .
Es decir dicha longitud solo dependerá de las características dispersivas de la fibra y
de la anchura inicial del pulso estudiado.
En las próximas páginas se ofrecen los resultados de los bancos de pruebas
realizados a 1ns, 100, 10, 1ps y algunas observaciones que consideramos de interés.
Propagación lineal de pulsos en fibra óptica
Propagación pulso gaussiano 1ns
Para un pulso gaussiano de entrada del orden de 1ns los resultados que obtuvimos
fueron los siguientes:
Ld
Pulso de entrada
Ancho pulso
Longitud de onda
Distancia (Km)
11556 Km
Gaussiana
1 ns
1550 nm
1
Pulso de entrada
Ancho pulso
Longitud de onda
Distancia (Km)
Gaussiana
1 ns
1550 nm
10
Gaussiana
1 ns
1550 nm
500
Figura 16
Gaussiana
1 ns
1550 nm
100
Gaussiana
1 ns
1550 nm
1000
Propagación lineal de pulsos en fibra óptica
Observaciones:
No se observa ningún cambio en la envolvente en ninguna la las dos ventanas
inferiores a cualquiera de la distancias estudiada.
Si observamos el dato de la dispersión de la página anterior (16.9721 ps/(nm-Km))
y con la excursión en frecuencia que introduce el pulso calculamos analíticamente el
ensanchamiento teórico que se produce en el pulso, observaremos que este resultado era de
esperar, pues ni aun propagando el pulso a 1000 Km, la dispersión se hace comparable con
la duración del pulso, razón por la que por lo que no se aprecia el ensanchamiento en las
gráficas. Además si observamos Ld=11556 Km es mucho mayor que la distancia simulada.
En cuanto al efecto de la tercera derivada, como era de esperar también, es
inapreciable en este orden de magnitud
Distancia
en km
t en picoseg.
Figura 17
Propagación lineal de pulsos en fibra óptica
Propagación pulso gaussiano 100ps
Para un pulso gaussiano de entrada del orden de
obtuvimos fueron los siguientes:
Ld
Pulso de entrada
Ancho pulso
Longitud de onda
Distancia (Km)
Gaussiana
100 ps
1550 nm
1
Pulso de entrada
Ancho pulso
Longitud de onda
Distancia (Km)
100 ps los resultados que
115.56 Km
Gaussiana
100 ps
1550 nm
10
Gaussiana
100 ps
1550 nm
500
Figura 18
Gaussiana
100 ps
1550 nm
100
Gaussiana
100 ps
1550 nm
1000
Propagación lineal de pulsos en fibra óptica
Observaciones:
Como vemos en las gráficas, a partir de los 100 Km (Ld =115.56) el pulso comienza
a ensancharse por el fenómeno dispersivo. Como la anchura del pulso de entrada es inferior
que en el caso anterior, al calcular la transformada de fourier se introducirá una excursión en
frecuencia mayor que se traduce en un mayor ensanchamiento del pulso.
Además, como el pulso se ensancha y la energía debe de ser la misma en ambos ya
que consideramos la constante de atenuación 0, la amplitud máxima del pulso disminuye
para que el área encerrada bajo el mismo (energía) sea la misma.
Es cuanto a los efectos de la tercera derivada, de nuevo, no observamos nada
significativo.
Distancia
en km
t en picoseg.
Figura 19
Propagación lineal de pulsos en fibra óptica
Propagación pulso gaussiano 10ps
Para un pulso gaussiano de entrada del orden de 10 ps los resultados que obtuvimos
fueron los siguientes:
Ld
Pulso de entrada
Ancho pulso
Longitud de onda
Distancia (Km)
Gaussiana
10 ps
1550 nm
1
Pulso de entrada
Ancho pulso
Longitud de onda
Distancia (Km)
1.15 Km
Gaussiana
10 ps
1550 nm
10
Gaussiana
10 ps
1550 nm
500
Figura 20
Gaussiana
10 ps
1550 nm
100
Gaussiana
10 ps
1550 nm
1000
Propagación lineal de pulsos en fibra óptica
Observaciones:
En este caso el ensanchamiento comienza a producirse antes y a los 10 km el pulso
de salida es diez veces mayor que el de entrada. Como vemos se comprueba que a una
anchura menor del pulso de entrada le corresponde una excursión en frecuencia y
ensanchamiento mayores. Vemos que a los 100 y 1000Km la anchura es de pulso es del
orden de 100 y 1000 veces mayor respectivamente que el pulso de entrada.
En cuanto al a la amplitud del pulso esta va disminuyendo a mediada que se va
propagando por la fibra ya que, al igual que en el apartado anterior, el área que queda bajo la
curva (que se corresponde con la energía) no debe de cambiar en toda la fibra por estamos
trabajando con un factor de atenuación igual a cero.
Es cuanto a los efectos de la tercera derivada, de nuevo, no observamos nada.
t en picoseg.
Distancia
en km
Figura 21
Propagación lineal de pulsos en fibra óptica
Propagación pulso gaussiano 1ps
Para un pulso gaussiano de entrada del orden de 1 ps los resultados que obtuvimos
fueron los siguientes:
Ld
Pulso de entrada
Ancho pulso
Longitud de onda
Distancia (Km)
Gaussiana
1 ps
1550 nm
1
Pulso de entrada
Ancho pulso
Longitud de onda
Distancia (Km)
11.5 m
Gaussiana
1 ps
1550 nm
10
Gaussiana
1 ps
1550 nm
500
Figura 22
Gaussiana
1 ps
1550 nm
100
Gaussiana
1 ps
1550 nm
1000
Propagación lineal de pulsos en fibra óptica
Observaciones:
En esta última anchura de pulso estudiada los efectos de dispersión son aún más
significativos. Si observamos las gráficas vemos que a un Km la dispersión ya es
significativa (del orden de 10 veces el pulso de entrada), mientras que para 10, 100 y 500
Km ella anchura del pulso se multiplica por 100,1000 y 5000 respectivamente.
Como veníamos explicando en las gráficas anteriores, aquí el descenso en la
amplitud de la señal para mantener la energía del pulso es mas acusado ya que el
ensanchamiento es mayor
En este caso tampoco apreciamos efecto alguno de la tercera derivada en la gráfica
inferior por lo que tendremos que valernos de otro método para ver cual es el efecto que
introduce la tercera derivada en el pulso y a que órdenes de magnitud del pulso de entrada
comienza a hacerse significativa.
· Nota: En la última gráfica (distancia=1000Km) Matlab comienza a tener problemas de
memoria para calcular tantos puntos ya que: si bien necesitamos un vector de tiempo que
tenga 2 millones de puntos (uno para cada ps) para representar la entrada y la salida,
necesitamos también un periodo de muestreo de al menos 1/100 ps para poder representar la
excursión en frecuencia que introduce el pulso de entrada. Al final estamos trabajando con
un orden de 100000000 de puntos que es demasiado para un programa como matlab.
Propagación lineal de pulsos en fibra óptica
4.1.2 Pulsos gaussianos chirpeados
A la hora de trabajar con las simulaciones en Matlab lo haremos de forma similar al
método seguido hasta ahora: tomaremos un pulso gaussiano, lo propagaremos por una fibra
óptica monomodo (que previamente caracterizaremos como un sistema lineal) y
calcularemos la salida de la misma.
Comenzaremos pues, recordando la ecuación que describe a un pulso gaussiano
chirpeado:
t ⎤
⎡ 1
A(0, t ) = Ao exp⎢− (1 + iC )·( )⎥
To ⎦
⎣ 2
Si representamos el pulso con la portadora y damos valores positivos y negativoa a C
obtenemos:
C=-3
Figura 23
C=3
Como observamos en las graficas, el efecto que produce C (factor de chirp) en el es
una variación lineal de la frecuencia en un sentido o en otro según el signo de éste. En la
figura se a reducido notablemente la frecuencia de la portadora para poder observar con más
detalle el efecto del chirp.
Nosotros propagaremos la envolvente de este pulso a través de la fibra y
observaremos cuales son los efectos que se producen sobre la anchura y el factor de chirp.
El código fuente que utilizaremos en Matlab para la simulación será:
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% NOMBRE DEL ARCHIVO:chirpdist.m NOMBRE DE LA FUNCION:chirpdist %%%
%%%
%%%
%%% AUTOR: Francisco Cerezo Dominguez
FECHA:17-4-2006
%%%
%%%
%%%
%%% DESCRIPCION: La funcion calcula el ensanchamiento producido en %%%
%%%
un pulso gaussiano chirpeado de To=50ps cuando se %%%
%%%
propaga en tercera ventana por una fibra optica %%%
%%%
en funcion de la distacia normalizada (previament %%%
%%%
definida). Despreciaremos los efectos atenuacion %%%
%%%
y el retardo de grupo (primera derivada).
%%%
%%%
%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Propagación lineal de pulsos en fibra óptica
function chirpdist
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% DATOS %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% longitud de onda de trabajo (nm)
lambda=1550;
% c (nm/ps)
c=3*10^5;
% lambda a la que la dispersion es 0 (nm)
lambdao=1312;
% pendiente de la dispersion en lambdao en ps/nm^2*Km
So=0.090;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Caracterizamos nuestro pulso de entrada como una gausiana por una
% portadora:
% Amplitud de la gaussiana:
Ao=1;
% Anchura del pulso gaussiano To picoseg
To=50; %ps
% Vector de tiempos de la gaussiana
t=[-10000: 1/10:10000];
% Gaussiana-chirpeada, E(z=0,t):
chirp=1;
Effchirp=-(1/2)*(1+chirp*i);
Et=Ao*exp((t.^2/To^2)*Effchirp);
% Calculamos la transformada de fourier de la envolvente
gaussfourier=fft(Et);
gaussfourier=fftshift(gaussfourier);
% Caracterizamos la fibra como un sistema lineal
% Calculamos alfa
alfa=0;
% Calculamos B1 (ps/Km)
B1=0;
% Calculamos B2 (ps^2/Km)
Dispersion=(So/4)*(lambda-(lambdao^4)/(lambda^3));
B2=(-Dispersion*(lambda^2))/(2*pi*c)
% Calculamos B3
% Primero calculamos la derivada de la dispersion en lamda de
% trabajo
DerivDisp=(So/4)+((So*lambdao^4)/4)*3*lambda^-4;
% Sustituimos en la formula
B3=DerivDisp*((lambda^2)/(2*pi*c))^2;
% Definimos un vector de frecuencias
Af=(0:(length(gaussfourier)-1))*10/(1*length(gaussfourier))-5;
hold;
% Bucle que dibuja las distintas envolventes para las distintas
% distancias normalizadas:
for(s=0:0.25:2)
% Definimos la distancia normalizada
Dnorm=s;
Ld=(To^2)/abs(B2)
z=Dnorm*Ld;
% La expresion en frecuencia de nuestro filtro lineal que
Propagación lineal de pulsos en fibra óptica
% caracteriza a la fibra teninendo en cuenta B2 y B3 es H:
H1=exp(Af.*2*pi*-i*z*B1);
H2=exp((Af.^2)*(2^2)*(pi^2)*-i*z*-B2/2);
H3=exp((Af.^3)*(2^3)*(pi^3)*-i*z*-B3/6);
Haux=H1.*H2;
H=Haux.*H3;
% Calculamos la respuesta en frecuencia de la entrada multiplicando
% la transformada de fourier del pulso gaussiano x la respuesta en
% frecuencia del filtro:
resw=gaussfourier.*H;
resw=fftshift(resw);
% Pasamos al dominio del tiempo
rest=ifft(resw);
% Dibujamos el pulso a la salida
z=s*ones(length(t),1)
plot3(t,z,abs(rest))
end
Este ejemplo se corresponde con la simulación de un pulso gaussiano chirpeado con
C=-1 y To=50ps. Evidentemente habría que modificar el valor de algunas variables así
como el del vector de frecuencias y tiempos para el caso de diferentes anchuras y diferentes
valores de chirp. El código fuente de todas las simulaciones que expondremos se encuentran
en el anexo.
Si realizamos la simulación con un pulso gaussiano de To=50 ps y chip +2 y -2, los
resultados que obtenemos son los siguientes:
Ancho pulso
Longitud de onda
Distancia (Km)
Chirp
B2
-21.6321
Distancia
en km
B3
t en picoseg.
100ps
1550 nm
2.5 Ld
-2
100ps
1550 nm
2.5 Ld
2
0.0928
Ld
115.56 Km
Distancia
en km
C=-2
t en picoseg.
C=2
Figura 24
Propagación lineal de pulsos en fibra óptica
Como podemos extraer de las tablas, Ld (distancia la que los efectos de dispersión
comienzas a ser más significativos) es de unos 115 km. Lar gráficas están normalizadas con
respecto a esta distancia.
En la primera gráfica, C=-2 y el producto β 2·C > 0 . En ella podemos apreciar que el
pulso se ensancha más rápidamente que un pulso gaussiano no chirpeado de la misma
duración. En cambio en la segunda, C=2 ( β 2·C < 0 ), Al principio se observa una
compresión del pulso y cuando llegamos a 0.5 Ld comienza a ensancharse.
En el siguiente apartado haremos un análisis más exhaustivo de dicha propagación y
comentaremos con mayor detenimiento este fenómeno.
Pulso gaussiano con chirp negativo
En este apartado nos centraremos en la simulación un pulso gaussiano de anchura
100ps que se propaga con un factor de chirp inicial negativo c=-2, y compararemos los
resultados de dicha simulación con los que obtuvimos en teoría.
Si observamos con detenimiento como se modifica la envolvente del pulso,
simulando el código pertinente obtenemos :
t en picoseg.
Figura 25
En esta simulación β 2·C > 0 y se observa como el factor de anchura crece
linealmente con respecto a la distancia normalizada tal y como dedujimos en teoría. Como
podemos observar los resultados obtenidos en teoría concuerdas con los obtenidos en la
simulación
De la misma manera podemos hacer una comparativa simulación teoría con el chirp
del pulso. Para observar el efecto utilizaremos una portadora menor frecuencia que nos
Propagación lineal de pulsos en fibra óptica
premitirá verlo ya que si utilizásemos una frecuencia real (tercera ventana por
ejemplo) la frecuencia sería tan alta que no podríamos apreciar cambios en la misma:
Figura 26
En la simulación podemos observar como a medida que se propaga el pulso el chirp
se va modificando. Es decir, la variación lineal de la frecuencia es cada vez mayor a medida
que el pulso recorre la fibra. De nuevo la simulación cumple con el comportamiento que
predijimos en teoría.
Pulso gaussiano con chirp positivo
Si ahora simulamos el caso de un pulso gaussiano con C=2, es decir con β 2·C < 0 ,
los resultados obtenidos difieren claramente de los obtenidos en el apartado anterior de los
anteriores.
t en picoseg.
Figura 27
Propagación lineal de pulsos en fibra óptica
Vemos que al principio el puso comienza a estrecharse hasta que llegamos a
la mitad de la distancia normalizada. A partir de aquí la anchura comienza a crecer en de
forma lineal.
Si ahora simulamos el código para observar el efecto de chirp en el pulso, también
vemos cambios significativo con respecto al caso anterior:
t en picoseg.
Figura 28
El pulso de entrada posee un chirp inicial que se traduce en una variación lineal en la
frecuencia del mismo en torno a la frecuencia central de la portadora. Si observamos la
primera gráfica la frecuencia es mayor en el extremo inicial que en el final. A medida que el
pulso se propaga por la fibra este introduce otra variación lineal en la frecuencia opuesta a la
que tenia el pulso inicial.
A una distancia de aproximadamente 0.5 Ld la fibra ha sido capaz de compensar
totalmente el chirp inicial de forma que obtenemos un pulso con una frecuencia constante
idéntica a la portadora, al tiempo que el pulso se ha comprimido.
En las gráficas posteriores el pulso se va chirpeando a la inversa, es decir
experimenta una variación lineal de la frecuencia central opuesta a la que teníamos al
principio y que crece con la distancia de propagación. Vemos que en las últimas gráficas el
extremo de mayor frecuencia es el inverso al anterior.
Pulsos de distintas anchuras
De forma similar a la que vimos al comienzo de éste apartado, podemos comparar la
propagación de pulsos de distinta anchura que se propagan con el mismo factor inicial de
chirp.
Propagación lineal de pulsos en fibra óptica
Antes de presentar los resultados obtenidos recordaremos que en estos se representan
el factor de anchura con respecto a la Ld. Esta Ld es menor cuanto menor sea la anchura del
pulso. En las gráficas que presentamos podría parecer que el pulso se ensancha más con
respesto a la distancia recorrido para pulsos de mayor anchura es al contrario ya que si
recordamos las Ld para cada anchura de pulso:
Anchura
Ld
1ns (Fig. a)
11556 Km
100ps (Fig b)
115Km
10ps (Fig c)
1.15Km
1ps (Figs. d)
0.016Km
Luego como quedo claro en el apartado 1.2.2 el pulso se ensancha mas cuanto menor
sea su anchura.
Una vez hecha esta aclaración, si simulamos los códigos para anchuras de 1000, 100,
10 y 1 ps obtenemos las siguientes gráficas:
t en picoseg.
(a)
(b)
t en picoseg.
(c)
t en picoseg.
t en picoseg.
Figura 29
(d)
Los pulsos que se propagan en el conjunto de figuras de arriba tienen chirp inicial=2.
El pulso se va chirpeando en sentido inverso conforme se propaga. Como explicamos
anteriormente, esto se transmite en una compresión de la envolvente del puso en torno a
0.5Ld y a partir de aquí el purso comienza a ensancharse.
Propagación lineal de pulsos en fibra óptica
Para el caso de chirp inicial negativo c=-2 obtenemos el siguiente conjunto de
gráficas:
(a)
t en picoseg.
(b)
t en picoseg.
En este caso el chip inicial del pulso es C=-2. Ahora, el pulso no se comprime como en el
caso anterior. Por el contrario se ensancha más rápidamente que si no estuviera chirpeado.
t en picoseg.
(c)
t en picoseg.
Figura 30
(d)
En este caso el chirp inicial del pulso se suma al que sufre el propio pulso al
propagarse, y la anchura de la envolvente crece de mayor manera con la distancia que si el
pulso no estuviera linealmente chirpeado.
Propagación lineal de pulsos en fibra óptica
4.1.3 Efecto de la tercera derivada
Con las simulaciones realizadas hasta ahora, no hemos conseguido observar el efecto
que añade la tercera derivada a la salida del pulso gaussiano. Esto es debido a que, si
calculamos analíticamente las ecuaciones, los efectos dispersivos del término de tercera
derivada son significativos cuando tiene un β ' ' valor próximo a cero o trabajamos con
pulso inferiores al picosegundo.
Nosotros hemos siempre hemos trabajado hasta ahora en tercera ventana (1550 nm)
y con una fibra monomodo estándar, con lo que obteníamos una β ' ' igual a
-21.6321 bastante alejada de 0 y con pulsos superiores o iguales al picosegundo. Luego el
hecho de no apreciar ningún efecto dispersivo correspondiente a la tercera derivada
concuerda con lo expuesto en el párrafo anterior.
Para observar cual es el efecto que β ' ' ' introduce y distinguir cuando
comienza a hacerse significativa β ' ' ' con respecto a β ' ', trabajaremos a una longitud de
onda cercana al cero de dispersión de la fibra de manera que sea pequeña y no enmascare el
efecto de la tercera derivada. Además utilizaremos con pulsos cortos para acentuar aún más
este los resultados.
Puesto que la fibra con la que estamos trabajando posee el cero de dispersión cuando
lambda es 1312, debemos trabajar a una longitud cercana a ella y con pulsos del orden de los
ps. Para un pulso de 1ps, longitud de onda 1314 y distancia recorrida 100 Km la salida seria
algo parecido a:
t en picoseg.
Figura 31
Vamos a intentar caracterizar un poco mejor el efecto de la tercera derivada. Para
ello fijaremos una distancia (z=100km) y representaremos la salida para distintas longitudes
de onda para ver cuando comienza a hacerse significativo. El código fuente que genera
dicha simulación sería:
Propagación lineal de pulsos en fibra óptica
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% NOMBRE DEL ARCHIVO:derivada3.m NOMBRE DE LA FUNCION:derivada3 %%%
%%%
%%%
%%% AUTOR: Francisco Cerezo Dominguez
FECHA:23-04-2006
%%%
%%%
%%%
%%% DESCRIPCION: Fijada una distancia z=100Km la funcion muestra %%%
%%%
la salida de una fibra optica de dicha longitud %%%
%%%
para distintas longitudes de onda y un pulso
%%%
%%%
gaussiano con To=0.5ps, con el fin de observar %%%
%%%
los efectos de la tercera derivada
%%%
%%%
%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
function derivada3
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% DATOS %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Distancia de propagacion (Km)
z=100;
% c (nm/ps)
c=3*10^5;
% lambda a la que la dispersion es 0 (nm)
lambdao=1312;
% pendiente de la dispersion en lambdao en ps/nm^2*Km
So=0.090;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Caracterizamos nuestro pulso de entrada como una gausiana por una
portadora:
% Amplitud de la gaussiana:
Ao=1;
% Anchura del pulso gaussiano
To=0.5; %ps
% Vector de tiempos de la gaussiana
t=[-1000: 1/100:1000];
% Gaussiana, E(z=0,t):
Et=Ao*exp(-t.^2/(2*(To^2)));
% Calculamos la transformada de fourier de la gaussiana
gaussfourier=fft(Et);
gaussfourier=fftshift(gaussfourier);
for(lambda=1312:1:1320);
% Caracterizamos la fibra como un sistema lineal
% Calculamos alfa
alfa=0;
% Calculamos B1 (ps/Km)
B1=0;
% Calculamos B2 (ps^2/Km)
Dispersion=(So/4)*(lambda-(lambdao^4)/(lambda^3))
B2=(-Dispersion*(lambda^2))/(2*pi*c)
% Calculamos B3
% Primero calculamos la derivada de la dispersion en lamda de
% trabajo
DerivDisp=(So/4)+((So*lambdao^4)/4)*3*lambda^-4;
% Sustituimos en la formula
B3=DerivDisp*((lambda^2)/(2*pi*c))^2
% Definimos un vector de frecuencias
Propagación lineal de pulsos en fibra óptica
Af=(0:(length(gaussfourier)-1))*100/(1*length(gaussfourier))-50;
% La expresion en frecuencia de nuestro filtro lineal que
% caracteriza a
% la fibra teninendo en cuenta B1,B2 y B3 es H:
H1=exp(Af.*2*pi*-i*z*B1);
H2=exp((Af.^2)*(2^2)*(pi^2)*-i*z*B2/2);
H3=exp((Af.^3)*(2^3)*(pi^3)*-i*z*B3/6);
Haux=H1.*H2;
H=Haux.*H3;
% Calculamos la respuesta en frecuencia de la entrada
% multimplicando la transformada de fourier del pulso
% gaussiano x la respuesta en frecuencia del filtro:
resw=gaussfourier.*H;
resw1=gaussfourier.*Haux;
resw=fftshift(resw);
resw1=fftshift(resw1);
% Pasamos al dominio del tiempo
rest=ifft(resw);
rest1=ifft(resw1);
% Dibujamos el pulso a la salida con B2
hold on;
figure(1);
s=lambda*ones(length(t),1)
plot3(t,s,abs(rest1))
hold off;
% Dibujamos el pulso a la salida con B2 y B3
hold on;
figure(2);
s=lambda*ones(length(t),1)
plot3(t,s,abs(rest))
hold off;
end
Y la gráficas obtenidas:
t en picoseg.
t en picoseg.
Figura 32
Propagación lineal de pulsos en fibra óptica
Para analizar lo que ocurre es necesario que conozcamos algunos datos más que se
tabulan a continuación:
Parámetros para las distintas longitudes de onda
Longitud de onda
(nm)
1312
1313
1314
1315
1316
1317
1318
1319
1320
Dispersión
[ps/(nm-Km)]
0
0.0899
0.1796
0.2691
0.3584
0.4474
0.5363
0.6250
0.7135
B2
[ps^2/Km]
0
-0.0822
-0.1645
-0.2468
-0.3293
-0.4117
-0.4943
-0.5769
0.6595
B3
0.0751
0.0751
0.0752
0.0752
0.0753
0.0753
0.0754
0.0755
0.0755
Si observamos la gráfica de la derecha (simulación en la que hemos suprimido B3),
observamos que a medida que nos alejamos de la longitud de onda que se corresponde con
dispersión 0 (1312nm), el ensanchamiento del pulso es mayor. Esto mismo se pone de
manifiesto si observamos la tabla adjunta, en la que podemos ver que a medida que nos
alejamos de 1312, tanto la dispersión como B2 aumenta produciendo el efecto de
ensanchamiento que observamos en la gráfica.
Si ahora prestamos atención a la segunda gráfica, en la que hemos incluido el efecto
de B3, podemos apreciar que a longitudes de onda cercanas al 0 de dispersión B3 es mas
significativa que B2 y que medida que nos alejamos de, B2 comienza a crecer más rápido
que B3 hasta hacerse ostensiblemente mayor. Observamos que a partir de 1318 ambas
gráficas coinciden. Esto quiere decir que a partir de aquí B2 prevalece frente a B3.
No debemos olvidarnos de que estamos trabajando con una distancia de fibra
arbitraria de 100Km. Para ver como influye el efecto de la tercera derivada con respecto a la
distancia, podemos fijada una longitud de onda, observar el efecto a distintas distancias.
Fijaremos la longitud de onda a dos valores arbitrarios:
Distancia
en km
Distancia
en km
t en picoseg.
1312
t en picoseg.
1316
Figura 33
Propagación lineal de pulsos en fibra óptica
Como podemos observar en ambas gráficas el efecto de la tercera derivada se
acentúa más con la distancia. En la segunda grafica, casi no se observa el efecto a los 80km,
sin embargo a los 1000 Km casi el efecto es notoriamente mayor. Esto quiere decir que el
efecto que B3 introduce sobre el pulso crece más rápidamente con respecto a la distancia
que el ensanchamiento producido por B2.
Por último nos quedaría ver la relación del efecto de B3 con respecto al pulso. Si
rehacemos las simulaciones anteriores para pulso de 10,100 o 1000 ps los resultados son
claros: El efecto de la tercera deriva es despreciable.
A modo de conclusión podemos resumir que el efectote B3 sobre la propagación
depende de tres factores: la anchura del pulso, la distancia de propagación y la longitud de
onda de trabajo.
•
En cuanto a la anchura del pulso B3 es despreciable si trabajamos con pulsos
superiores en orden al pico segundo. Evidentemente el efecto sera mayor cuanto
menor sea el pulso
•
El efecto de B3 será mas significativo conforme la longitud de trabajo se acerque a la
longitud de dispersión 0 de la fibra, ya que esta se hará comparable e incluso
superior a B2.
•
Para una longitud de onda y anchuras fijadas, el efecto que introduce la tercera
derivada crece más rápidamente con la distancia que el ensanchamiento producido
por B2.
Propagación lineal de pulsos en fibra óptica
4.1.4 Propagación de 2 pulsos
Es obvio que como consecuencia del ensanchamiento temporal de los pulsos al
propagarse por la fibra óptica tendremos un problema de limitación de tiempo entre pulsos,
que será mayor cuanto mas se ensanche el pulso (duración menos de pulsos) y a mayor
distancia recorrida.
A continuación estudiaremos como interfieren entre si dos pulsos que se propagan
por una fibra monomodo. Haremos simulaciones para distintas longitudes y distintas
distancias a fin de caracterizar este proceso. El código fuente base para estas simulaciones es
el siguiente:
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% NOMBRE DEL ARCHIVO: sep100.m
NOMBRE DE LA FUNCION: sep100
%%%
%%% AUTOR: Francisco Cerezo Dominguez
FECHA:14-05-2006
%%%
%%%
%%%
%%% DESCRIPCION: la funcion dibuja los cambios producidos en la
%%%
%%%
envolvente de dos pulsos gaussianos de To=500,50, %%%
%%%
5 o 0.5 ps que se propagan por una fibra monomodo %%%
%%%
separados 100 ps entre si.
%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
function sep100
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% DATOS %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% longitud de onda de trabajo (nm)
lambda=1550;
% c (nm/ps)
c=3*10^5;
% lambda a la que la dispersion es 0 (nm)
lambdao=1312;
% pendiente de la dispersion en lambdao en ps/nm^2*Km
So=0.090;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Caracterizamos nuestro pulso de entrada como una gausiana por una
% portadora:
% Amplitud de la gaussiana:
Ao=1;
% To del pulso gaussiano
To=input('To= (Valores permitidos: 0.5,5,50,500 (ps))')
% Vector de tiempos de la gaussiana
switch To
case 500,
m=[-10000: 1/10:10000];
case 50,
m=[-10000: 1/10:10000];
case 5 ,
%ps
Propagación lineal de pulsos en fibra óptica
m=[-300: 1/10:300];
case 0.5,
m=[-150:1/10:150];
end
% Dibujamos las dos Gaussianas, E(z=0,t):
Et=Ao*exp(-(m-50).^2/(2*(To^2)))+Ao*exp(-(m+50).^2/(2*(To^2)))
% Calculamos la transformada de fourier de las gaussianas
gaussfourier=fft(Et);
gaussfourier=fftshift(gaussfourier);
% Caracterizamos la fibra como un sistema lineal
% Calculamos alfa
alfa=0;
% Calculamos B1 (ps/Km)
B1=0;
% Calculamos B2 (ps^2/Km)
Dispersion=(So/4)*(lambda-(lambdao^4)/(lambda^3))
B2=(-Dispersion*(lambda^2))/(2*pi*c)
% Calculamos B3
% Primero calculamos la derivada de la dispersion en lamda de trabajo
DerivDisp=(So/4)+((So*lambdao^4)/4)*3*lambda^-4;
% Sustituimos en la formula
B3=DerivDisp*((lambda^2)/(2*pi*c))^2
% Definimos un vector de frecuencias
Af=(0:(length(gaussfourier)-1))*10/(1*length(gaussfourier))-5;
switch To
case 500,
hold;
% Bucle que dibuja las distintas envolventes para las
% distintasdistancias
for(s=0:75:1000)
% La expresion en frecuencia de nuestro filtro lineal que
% caracteriza a la fibra
z=s;
H1=exp(Af.*2*pi*-i*z*B1);
H2=exp((Af.^2)*(2^2)*(pi^2)*-i*z*B2/2);
H3=exp((Af.^3)*(2^3)*(pi^3)*-i*z*B3/6);
Haux=H1.*H2;
H=Haux.*H3;
% Calculamos la respuesta en frecuencia de la entrada
% multimplicando la transformada de fourier deambos pulsos
% gaussianos x la respuesta en frecuencia del filtro:
resw1=gaussfourier.*H;
resw1=fftshift(resw1);
% Pasamos al dominio del tiempo
rest1=ifft(resw1);
% Dibujamos la salida
z=s*ones(length(m),1)
plot3(m,z,abs(rest1))
end
case 50,
hold;
Propagación lineal de pulsos en fibra óptica
% Bucle que dibuja las distintas envolventes para las
% distintas distancias
for(s=0:75:1000)
% La expresion en frecuencia de nuestro filtro lineal que
% caracteriza a la fibra es H:
z=s;
H1=exp(Af.*2*pi*-i*z*B1);
H2=exp((Af.^2)*(2^2)*(pi^2)*-i*z*B2/2);
H3=exp((Af.^3)*(2^3)*(pi^3)*-i*z*B3/6);
Haux=H1.*H2
H=Haux.*H3; % H: Respuesta impulsiva en W
% Calculamos la respuesta en frecuencia de la entrada
% multimplicando la transformada de fourier de ambos
% pulsos gaussianos x la resp. en frecuencia del filtro:
resw1=gaussfourier.*H;
resw1=fftshift(resw1); % Respuesta a la gaussiana en W
% Pasamos al dominio del tiempo
rest1=ifft(resw1);
% Respuesta a la gaussiana en t
% Dibujamos la salida
z=s*ones(length(m),1)
plot3(m,z,abs(rest1))
end
case 5 ,
hold;
% Bucle que dibuja las distintas envolventes para las
% distintas distancias
for(s=0:0.625:10)
% La expresion en frecuencia de nuestro filtro lineal que
% caracteriza a la fibra es H:
z=s;
H1=exp(Af.*2*pi*-i*z*B1);
H2=exp((Af.^2)*(2^2)*(pi^2)*-i*z*B2/2);
H3=exp((Af.^3)*(2^3)*(pi^3)*-i*z*B3/6);
Haux=H1.*H2;
H=Haux.*H3; % H: Respuesta impulsiva en W de la fibra
% Calculamos la respuesta en frecuencia de la entrada
% multimplicando la transformada de fourier de ambos
% pulsos gaussianos x la resp. en frecuencia del filtro:
resw1=gaussfourier.*H;
resw1=gaussfourier.*H;
resw1=fftshift(resw1); % Respuesta a la gaussiana en W
% Pasamos al dominio del tiempo
rest1=ifft(resw1);
% Respuesta a la gaussiana en t
% Dibujamos la salida
z=s*ones(length(m),1)
plot3(m,z,abs(rest1))
end
case 0.5,
hold;
Propagación lineal de pulsos en fibra óptica
% Bucle que dibuja las distintas envolventes para las
% distintas distancias
for(s=0:0.053:0.8)
% La expresion en frecuencia de nuestro filtro lineal que
% caracteriza a la fibra es H:
z=s;
H1=exp(Af.*2*pi*-i*z*B1);
H2=exp((Af.^2)*(2^2)*(pi^2)*-i*z*B2/2);
H3=exp((Af.^3)*(2^3)*(pi^3)*-i*z*B3/6);
Haux=H1.*H2;
H=Haux.*H3; % H: Respuesta impulsiva en W
% Calculamos la respuesta en frecuencia de la entrada
% multimplicando la transformada de fourier de ambos
% pulsos gaussianos x la resp. en frecuencia del filtro:
resw1=gaussfourier.*H;
resw1=fftshift(resw1);
% Pasamos al dominio del tiempo
rest1=ifft(resw1);
% Respuesta a la gaussiana en t
% Dibujamos la salida
z=s*ones(length(m),1)
plot3(m,z,abs(rest1))
end
end
El código simula la propagación de dos pulsos gaussianos de anchura 1,10,100 y
1000 ps separados 100 ps, que se propagan por una fibra monomodo.
Como en anteriores ocasiones, los códigos fuente de las simulaciones son algo
distintos ya que dependen de la duración de los pulsos y la excursión que éstos producen en
frecuencia. En el anexo se pueden encontrar los códigos para todas y cada una de las
simulaciones que se exponen a continuación
Propagación lineal de pulsos en fibra óptica
Separación entre pulsos 10ns
Los resultados obtenidos en el caso de dos pulsos separados 10 ns, para distintas
longitudes y duración de pulsos quedan recogidas en las siguientes gráficas:
Distancia
en km
Distancia
en km
t en picoseg.
(b)
Propagación lineal de pulsos en fibra óptica
Distancia
en km
t en picoseg.
(a)
t en picoseg.
Figura 34
Observaciones:
Distancia
en km
· La figura (a) se corresponde con
dos pulsos de anchura 1ns y separados 10ns
que se propagan por una fibra óptica
monomodo. Observamos como ninguna de
las dos gaussianas se modifica hasta
pasados los 10000Km. Esto es debido a
que no hemos superado la longitud de
dispersión Ld (longitud la que los efectos
de dispersión comienzan a percibirse). Por
lo tanto podemos afirmar que ambos pulsos
se propagan durante más de 10000 Km sin
Distancia
en km
t en picoseg.
(c)
t en picoseg.
(d)
interferir uno con el otro. Si calculamos la longitud
de dispersión Ld=(To^2)/abs(B2):
11556 Km
Ld
En la figura podemos observar como ambos
pulsos comienzan a interferir alrededor de los
35000 Km, y a partir de aquí dicha interferencia
será mayor hasta que ambos pulsos sean casi
indistinguibles.
· La figura (b) se corresponde con dos
pulsos de anchura 100ps y separados 10ns que se
propagan por una fibra óptica monomodo. Si
calculamos Ld para este caso tenemos que:
115 Km
Ld
Como se observa en la simulación a partir de aquí ambos pulsos comienzan a
ensancharse como consecuencia de la dispersión al propagarse, y comienzan a interferir a
los 3500 o 4000Km. De manera similar a la figura anterior esta interferencia se ira haciendo
mayor cuanto mayor se la distancia de propagación.
Propagación lineal de pulsos en fibra óptica
· La figura (c) se corresponde con dos
dos pulsos de anchura 10ps y separados 10ns que
se propagan por una fibra óptica monomodo. Aquí la Ld es mucho menor:
Ld
1.15 Km
Como consecuencia ambos pulsos comienzan a ensancharse antes y a la distancia de
unos 350 km comienzan a interferir. La consecuencia de esta interferencia es clara y simple:
la envolvente gaussiana de ambos pulsos se pierde en la parte de la interferencia, perdiendo
asi la señal de información.
· Las figuras (d.1) y (d.2) corresponden a dos pulsos de anchura 1 ps separados
10ns. La Ld em este caso sería:
Ld
11.6 m
En la primer
primeraa figura se observa como los dos pulsos se ensanchan rápidamente y
comienzan a interferir alrededor de los 35Km. La segunda (d.2) es un “zoom” de la zona en
la que comienzan a interferir ambos pulsos.
Propagación lineal de pulsos en fibra óptica
Separación entre pulsos: 1ns
Antes de comentar los resultados obtenidos, recordaremos las distintas longitudes de
dispersión obtenidas en el apartado anterior y que seguirán siendo válidas en este apartado.
Anchura
Ld
1ns (Fig. a)
11556 Km
100ps (Fig b)
115Km
10ps (Fig c)
1.15Km
1ps (Figs. d)
0.016Km
Los resultados obtenidos en el caso de dos pulsos separados 10 ns, para distintas
longitudes y duración de pulsos quedan recogidos en las siguientes gráficas:
Distancia
en km
Distancia
en km
t en picoseg.
t en picoseg.
(a)
Distancia
en km
(b)
Distancia
en km
t en picoseg.
(c)
t en picoseg.
Figura 35
(d)
Observaciones:
· La figura (a) se correspondería con dos pulsos de anchura 1 ns y separados 1ns que
se propagan por una fibra óptica monomodo. Como el orden de la anchura de los pulsos es
similar a la separación entre los mismos los dos pulsos se confunden en uno por lo que
existe interferencia desde el principio. Por otro lado no existe ensanchamiento de los
Propagación lineal de pulsos en fibra óptica
mismos ya que no hemos llegado a la longitud característica de dispersión que según la tabla
de arriba sería: 11556 Km
· En la figura (b) la anchura de los pulsos es de 100 ps. Los pulsos comienzan a
ensancharse al superar la longitud de dispersión (115Km según tabla superior) Y se
observan las primeras interferencias entorno a los 350 Km. Si observamos la salida a los 10
Km ambos pulsos son prácticamente irreconocibles.
· En la figura (c) la anchura de los pulsos es de 10 ps. La longitud de dispersión es
de 1.15 por lo que el ambos pulsos comienzan a ensancharse antes e interfieren alrededor de
los 35 Km. Como se observa en la figura, en apenas 100 o 200 Km diferencias ambos pulsos
se hace casi imposible.
· En la figura (d) hemos modificado la anchura de los pulsos a 1ps. Como podemos
observar en la tabla de arriba, Ld también disminuye, lo que se traduce en ensanchamiento
mayor de los pulsos con respecto a la distancia. Ahora las primeras interferencias entre los
pulsos se observan sobre los 3,5 Km.
Propagación lineal de pulsos en fibra óptica
Separación entre pulsos 100ps
Antes de comentar los resultados obtenidos, recordaremos las distintas longitudes de
dispersión obtenidas en el apartado anterior y que seguirán siendo válidas en este apartado.
Anchura
Ld
1ns (Fig. a)
11556 Km
100ps (Fig b)
115Km
10ps (Fig c)
1.15Km
1ps (Figs. d)
0.016Km
Los resultados obtenidos en el caso de dos pulsos separados 10 ns, para distintas
longitudes y duración de pulsos quedan recogidas en las siguientes gráficas:
Distancia
en km
Distancia
en km
t en picoseg.
t en picoseg.
(a)
(b)
Distancia
en km
Distancia
en km
t en picoseg.
(c)
t en picoseg.
Figura 36
(d)
Observaciones:
· Las figuras (a) y (b) representa a pulsos de anchura 1ns y 100ps respectivamente
separados en ambos casos 100ps. Como observamos, en orden de la distancia de separación
Propagación lineal de pulsos en fibra óptica
es igual o inferior a la anchura de los pulsos por lo que los pulsos interfieren desde el
comienzo de la simulación.
· En la figura (c) la anchura de los pulsos es de 10 ps y las interferencias comienzan
a producirse sobre los 3.5 Km.
· Por último en la figura (d) la Ld es mucho menor y las interferencias se producen
a partir de los 350 metros.
Propagación lineal de pulsos en fibra óptica
Separación entre pulsos: 10ps
En esta ocasión solo estudiaremos el caso de pulsos de anchura 1ps yaque para
anchuras superiores se producirá interferencia entre ambos pulsos antes de la entrada en la
fibra óptica. Si recordamos la longitud de dispersión para este caso:
11.6 m
Ld
La simulación para este caso se recoge en la gráfica que se expone a continuación:
Distancia
en km
t en picoseg.
Figura 37
En este caso las interferencia comienzan a producirse alrededor de los 35 o 40
metros.
Propagación lineal de pulsos en fibra óptica
Conclusiones:
A continuación se expondrán los resultados obtenidos agrupándolos en una tabla. En
ella se indican los Km a los que comienzan a producirse interferencias entre los pulsos en
función de la anchura y a separación de los mismos. En las casillas marcadas con “-----“ la
interferencia se produce antes de entrar los pulsos en las fibra ya que la anchura de estos es
igual o superior a distancia de separación por lo que los pulsos se solapan.
La tabla que recoge dichos resultados es la siguiente:
Separación
pulsos
Anchura de los pulsos
1ns
100ps
10ps
1ps
10ns
35000Km
3500Km
350Km
35Km
1ns
-----
350Km
35Km
3.5Km
100ps
-----
-----
3.5Km
0.35Km
10ps
-----
-----
-----
0.035Km
Si observamos los datos de las tablas es fácil deducir una linealidad en los resultados
que nos permiten sistematizar el sistema e incluso aventurarnos a predecir resultados que no
hemos simulado.
Propagación lineal de pulsos en fibra óptica
4.2 Pulsos supergaussianos
4.2.1 Pulso supergaussiano sin chirp
A la hora de simular en matlab, procederemos de forma similar a como hemos
venido trabajando hasta ahora: tomaremos un pulso gaussiano, lo propagaremos por una
fibra óptica monomodo (que previamente caracterizaremos como un sistema lineal) y
calcularemos la salida de la misma.
Un ejemplo del formato de código fuente utilizado sería:
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%
NOMBRE DEL ARCHIVO: sgp100.m
NOMBRE DE LA FUNCION: sgp100
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AUTOR: Francisco Cerezo Dominguez
FECHA:18-4-2006
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DESCRIPCION: La funcion calcula el ensanchamiento producido en %%%
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un pulso supergaussiano chirpeado de To=50 ps y %%%
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m= 2 o 3 (dependiendo del valor)cuando se propaga %%%
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en tercera ventana por una fibra optica en funcion %%%
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de la distacia. Despreciaremos los efectos ate- %%%
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nuacion y el retardo de grupo (primera derivada).
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function sgp100
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% DATOS %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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longitud de onda de trabajo (nm)
lambda=1550;
% c (nm/ps)
c=3*10^5;
% lambda a la que la dispersion es 0 (nm)
lambdao=1312;
% pendiente de la dispersion en lambdao en ps/nm^2*Km
So=0.090;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Caracterizamos nuestro pulso de entrada como una gausiana por una
% portadora:
% Amplitud de la gaussiana:
Ao=1;
% Anchura del pulso gaussiano To picoseg
To=50; %ps
% Vecto de tiempos de la gaussiana
t=[-5000: 1/10:5000];
% Calculamos la expresion de la supergauusiana, E(z=0,t):
m=3;
chirp=0;
Propagación lineal de pulsos en fibra óptica
Effchirp=-(1/2)*(1+chirp*i);
Et=Ao*exp((t.^(2*m)/To^(2*m))*Effchirp);
% Calculamos la transformada de fourier de la envolvente
gaussfourier=fft(Et);
gaussfourier=fftshift(gaussfourier);
% Caracterizamos la fibra como un sistema lineal
% Calculamos alfa
alfa=0;
% Calculamos B1 (ps/Km)
B1=0;
% Calculamos B2 (ps^2/Km)
Dispersion=(So/4)*(lambda-(lambdao^4)/(lambda^3));
B2=(-Dispersion*(lambda^2))/(2*pi*c)
% Calculamos B3
% Primero calculamos la derivada de la dispersion en lamda de trabajo
DerivDisp=(So/4)+((So*lambdao^4)/4)*3*lambda^-4;
% Sustituimos en la formula
B3=DerivDisp*((lambda^2)/(2*pi*c))^2;
% Definimos un vector de frecuencias
Af=(0:(length(gaussfourier)-1))*10/(1*length(gaussfourier))-5;
hold;
% Bucle que dibuja las distintas envolventes para las distintas distancias
for(z=0:50:1000);
% La expresion en frecuencia de nuestro filtro lineal que caracteriza a
% la fibra teninendo en cuenta B1,B2 y B3 es H:
H1=exp(Af.*2*pi*-i*z*B1);
H2=exp((Af.^2)*(2^2)*(pi^2)*-i*z*-B2/2);
H3=exp((Af.^3)*(2^3)*(pi^3)*-i*z*-B3/6);
Haux=H1.*H2;
H=Haux.*H3;
% Calculamos la respuesta en frecuencia de la entrada multimplicando la
% transormada de fourier del pulso gaussiano x la respuesta en
% frecuencia del filtro:
resw=gaussfourier.*H;
resw=fftshift(resw);
% Pasamos al dominio del tiempo
rest=ifft(resw);
% Dibujamos el pulso a la salida
z=z*ones(length(t),1);
plot3(t,z,abs(rest))
end
Este ejemplo se corresponde con un pulso supergaussiano con m=3 y chirp 0 que se
propaga 1000Km por una fibra monomodo. En el anexo del proyecto podemos encontrar
otras simulaciones para distintas anchuras de pulsos.
Propagación lineal de pulsos en fibra óptica
Antes de presentar los resultados obtenidos conviene recordar el valor característico
de la longitud de dispersión lineal que ya calculamos en apartados anteriores y con el fin de
facilitar el análisis de dichos datos. Las longitudes características de dispersión lineal
Anchura
Ld
1ns (Fig. a)
11556 Km
100ps (Fig b)
115Km
10ps (Fig c)
1.15Km
1ps (Figs. d)
0.016Km
En primer lugar presentamos las simulaciones correspondientes a un pulso
supergaussiano con m=2 para distintad anchuras del pulso:
Distancia
en km
t en picoseg.
(a)
Distancia
en km
Distancia
en km
t en picoseg.
(b)
t en picoseg.
t en picoseg.
(d)
Figura 38
En la figura (a) la anchura inicial del pulso es 1ns. Como podemos apreciar la
envolvente es ligeramente más cuadrada que en el caso de la gaussiana y no se observa
cambio alguno en la anchura de esta. Esto es debido a que no hemos llegado a la Ld que
como sabemos es de unos 11000 Km.
En la figura (b) si se observan cambios es la envolvente en torno a los 100 Km
(Ld=115). Además del conocido y esperado ensanchamiento, se observan oscilaciones a
ambos lados del lóbulo central, cuya anchura crece a medida que el pulso se propaga.
Propagación lineal de pulsos en fibra óptica
En la figura (c) una vez hemos superado Ld (1 Km) el pulso se ensancha a la vez
que aparece la oscilación. Como comentamos para el caso c la dispersión de esta oscilación
también crece a medida que se propaga el pulso
Por último en la figura (d) se observan los fenómeno anteriormente mencionados
pero a menor distancia como era de esperar.
Si ahora simulamos los distintos pulsos pero con m=3 los resultados que obtenemos
son los siguientes:
Distancia
en km
Distancia
en km
t en picoseg.
t en picoseg.
(a)
Distancia
en km
(b)
t en picoseg.
(c)
Distancia
en km
Figura 39
t en picoseg.
(d)
Podemos apreciar como para este caso las oscilaciones crecen en número y
magnitud. Incluso en la figura (a) comienzan a producirse pequeñas modificaciones en la
forma de la envolvente.
Propagación lineal de pulsos en fibra óptica
4.2.2 Pulsos supergaussianos chirpeados
Si recordamos la expresión genera del pulso supergaussiano teníamos que:
⎡ 1 + jC ⎛ t ⎞ 2 m ⎤
A(0, t ) = Ao exp ⎢−
⎜ ⎟ ⎥
2 ⎝ To ⎠ ⎥⎦
⎢⎣
En el apartado anterior supusimos que el factor de chirp C era cero a la hora de
realizar las simulaciones. De manera similar a como hicimos en el caso de pulsos gaussianos
chirpeados, tomaremos valores arbitrarios para C y estudiaremos que sucede. Los valores
que daremos al factor de chirp serán -2 y 2. Si representamos ambos pulsos con sus
respectivas portadoras a la entrada de la fibra óptica en Matlab tendremos:
t en picoseg.
t en picoseg.
Figura 40
En este caso hemos tomado m=4 para observar más claramente las diferencias con la
gaussiana. Como observa en la primera figura (C=-2) la frecuencia no es constante sino que
crece de forma lineal desde el pcomienzo hasta el final del pulso. Para el caso de la figura b
(C=2) ocurre el fenómeno contrario. Tenemos que la frecuencia decrece linealmente desde
el comienzo hasta el final del pulso.
Para simular la propagación de u pulso supergaussiano linealmente chirpeado que se
propaga por una fibra óptica actuamos de forma similar a como hemos venido actuando
hasta ahora.
El formato de código fuente para simular dicha propagación sería:
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NOMBRE DEL ARCHIVO: sgp100chirp NOMBRE DE LA FUNCION:sgp100chirp %%%
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%%%
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AUTOR: Francisco Cerezo Dominguez
FECHA:10-10-2006
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DESCRIPCION: La funcion calcula el ensanchamiento producido en %%%
Propagación lineal de pulsos en fibra óptica
%%%
un pulso supergaussiano chirpeado de To=50 ps y %%%
%%%
m= 2 o 3 (dependiendo del valor)cuando se propaga %%%
%%%
en tercera ventana por una fibra optica en funcion %%%
%%%
de la distacia. Despreciaremos los efectos ate- %%%
%%%
nuacion y el retardo de grupo (primera derivada).
%%%
%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
function sgp100chirp
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% DATOS %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%longitud de onda de trabajo (nm)
lambda=1550;
% c (nm/ps)
c=3*10^5;
% lambda a la que la dispersion es 0 (nm)
lambdao=1312;
% pendiente de la dispersion en lambdao en ps/nm^2*Km
So=0.090;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Caracterizamos nuestro pulso de entrada como una gausiana por una
% portadora:
% Amplitud de la gaussiana:
Ao=1;
% Anchura del pulso gaussiano To picoseg
To=50; %ps
% Vecto de tiempos de la gaussiana
t=[-10000: 1/5:10000];
% Calculamos la expresion de la supergauusiana, E(z=0,t):
m=input('Introduce m: ')
chirp=input('Introduce el factor de chirp inicial: ')
Effchirp=-(1/2)*(1+chirp*i);
Et=Ao*exp((t.^(2*m)/To^(2*m))*Effchirp);
% Calculamos la transformada de fourier de la envolvente
gaussfourier=fft(Et);
gaussfourier=fftshift(gaussfourier);
% Caracterizamos la fibra como un sistema lineal
% Calculamos alfa
alfa=0;
% Calculamos B1 (ps/Km)
B1=0;
% Calculamos B2 (ps^2/Km)
Dispersion=(So/4)*(lambda-(lambdao^4)/(lambda^3));
B2=(-Dispersion*(lambda^2))/(2*pi*c)
% Calculamos B3
% Primero calculamos la derivada de la dispersion en lamda de trabajo
DerivDisp=(So/4)+((So*lambdao^4)/4)*3*lambda^-4;
% Sustituimos en la formula
B3=DerivDisp*((lambda^2)/(2*pi*c))^2;
% Definimos un vector de frecuencias
Af=(0:(length(gaussfourier)-1))*5/(1*length(gaussfourier))-2.5;
Propagación lineal de pulsos en fibra óptica
hold;
% Bucle que dibuja las distintas envolventes para las distintas distancias
for(s=0:75:1000);
% Definimos la distancia normalizada
z=s
% La expresion en frecuencia de nuestro filtro lineal que caracteriza a
% la fibra teninendo en cuenta B1,B2 y B3 es H:
H1=exp(Af.*2*pi*-i*z*B1);
H2=exp((Af.^2)*(2^2)*(pi^2)*-i*z*-B2/2);
H3=exp((Af.^3)*(2^3)*(pi^3)*-i*z*-B3/6);
Haux=H1.*H2;
H=Haux.*H3;
% Calculamos la respuesta en frecuencia de la entrada multimplicando la
% transormada de fourier del pulso gaussiano x la respuesta en
% frecuencia del filtro:
resw=gaussfourier.*H;
resw=fftshift(resw);
% Pasamos al dominio del tiempo
rest=ifft(resw);
% Dibujamos el pulso a la salida
z=s*ones(length(t),1);
plot3(t,z,abs(rest))
end
Este código fuente se corresponde con un pulso supergaussiano con m introducido
por el usuario y chirp inicial 2 de anchura 1 ns que se propaga por una fibra óptica.
Modificando alguno de los parámetros en el código fuente podemos realizar un
banco de pruebas para observar como se modifica la envolvente del pulso cuando se
propaga. Además podemos comparar los resultados obtenido para cada anchura de pulso de
entra en función del chirp. Representaremos la propagación en función de Ld, que calculada
para cada anchura de pulso es:
Anchura
Ld
1ns (Fig. a)
11556 Km
100ps (Fig b)
115Km
10ps (Fig c)
1.15Km
1ps (Figs. d)
0.016Km
En primer lugar simularemos la propagación de pulsos con m=2 y Chirp=-2
con distintas anchuras iniciales.
Propagación lineal de pulsos en fibra óptica
Distancia
en km
Distancia
en km
(a)
Distancia
en km
(b)
t en picoseg.
t en picoseg.
Distancia
en km
(c)
Figura 41
(d)
t en picoseg.
t en picoseg.
Si ahora los simulamos con chirp positivo=2
Distancia
en km
Distancia
en km
t en picoseg.
t en picoseg.
Propagación lineal de pulsos en fibra óptica
Distancia
en km
Distancia
en km
t en picoseg.
Figura 42
t en picoseg.
Los resultados obtenidos vienen a corroborar lo que la vimos para el caso de los
pulsos gausianos chirpeados. En las 4 primeras simulaciones, β 2·C > 0 lo que se traduce en
una mayor dispersión en la envolvente del pulso si la comparamos con un pulso que no
estuviera chirpeado. A igual que vimos para el caso del pulso gaussiano el crecimiento del
factor de anchura es prácticamente lineal.
Si por el contrario observamos las 4 últimas gráficas , donde con β 2·C < 0 , los
resultados obtenidos difieren claramente de los anteriores. Se observa que en un principio es
pulso se estrecha y luego el factor de achura crece de forma lineal (este fenómeno se observa
con mayor claridad en las figra b) por lo que el factor de anchura siempre sera algo menor
que en el caso anterior.
En el caso a apenas observamos diferencias ya que no hemos llegado a Ld, aunque se
aprecian diferencias en la envolvente.
Además observamos que para los casos c y d apenas hay diferencia entre las
simulaciones del chirp positivo y chirp negativo. Esto es debido a que hemos superado con
creces Ld en la simulación y la anchura del pulso en tan grande comparada con la del inicial
que apenas influye el chirp inicial
Propagación lineal de pulsos en fibra óptica
4.3 Solitones
Hasta ahora en las simulaciones anteriores, sólo habíamos tenido en cuenta los efectos
lineales y los efectos de tercera derivada a la hora de simular la propagación del pulso a
través de la fibra óptica. Si embargo en la práctica también se producen no linealidades en la
durante la propagación del pulso que hemos obviado hasta ahora.
Como vimos en el punto 1.7, la dispersión cromática y SPM, tienen como resultado la
aparición de chirp en los pulsos transmitidos, es decir, los pulsos adquieren un exceso de
ancho espectral. Es posible demostrar que, en el régimen anómalo (y despreciando la
atenuación de la fibra), los efectos de GVD y SPM pueden cancelarse exactamente para un
pulso cuya forma inicial es de la forma secante hiperbólica Ap*(sech(T/To)) y cuando la
relación entre los parámetros iniciales satisface:
LD = LNL
γPo =
β2
To
2
Si tenemos en cuenta lo expuesto en el párrafo anterior y el algoritmo de simulación
de efectos no lineales descrito en el punto 2.2 podemos simular la propalación de un pulso
soliton ajustando los parámetros de manera que se cumpla la ecuación anterior.
El código de que nos valdremos para simular el solitón es el siguiente:
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%%% NOMBRE DEL ARCHIVO: soliton.m NOMBRE DE LA FUNCION: soliton %%%
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%%%
%%% AUTOR: Francisco Cerezo Dominguez
FECHA:01-03-2006
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%%%
%%% DESCRIPCION: La funcion dibuja los cambios producidos en la %%%
%%%
envolvente de un pulso gaussiano de To=50ps que %%%
%%%
se propaga por una fibra monomodo
%%%
%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
function soliton
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% DATOS %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% longitud de onda de trabajo (nm)
lambda=1562.5;
% c (nm/ps)
c=3*10^5;
% lambda a la que la dispersion es 0 (nm)
lambdao=1312;
% pendiente de la dispersion en lambdao en ps/nm^2*Km
So=0.090;
% Potencia emitida en W
P=5;
% Factor de no linealidad en 1/(W*Km):
Gamma=2
Propagación lineal de pulsos en fibra óptica
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Caracterizamos nuestro pulso de entrada como una gausiana por una
% portadora:
% Caracterizamos la fibra como un sistema lineal
% Calculamos alfa
alfa=0;
% Calculamos B1 (ps/Km)
B1=0;
% Calculamos B2 (ps^2/Km)
Dispersion=(So/4)*(lambda-(lambdao^4)/(lambda^3))
B2=(-Dispersion*(lambda^2))/(2*pi*c)
% Calculamos B3
% Primero calculamos la derivada de la dispersion a lamda de trabajo
DerivDisp=(So/4)+((So*lambdao^4)/4)*3*lambda^-4;
% Sustituimos en la formula
B3=DerivDisp*((lambda^2)/(2*pi*c))^2
% Vector de tiempos de la gaussiana
t=[-60:1/2000:60];
% Calculamos la anchura necesaria To Ap con las condiciones
% necesarias para que se cancelen GVD y SPM
To=(abs(B2)/(Gamma*P))^(1/2)
Ap=1/To*(abs(B2)/(Gamma))^(1/2)
% Calculamos la longitud caracteristica a la que empiezan a
% manifestarse los efectos no lineales
LNL=1/(Gamma*P)
Ld=(To^2)/abs(B2)
pause
% Ahora calculamos la expresion de la envolvente soliton
% Expresion para la envolvente soliton
Et=Ap*sech(t/To)
% Expresion para la envolvente gaussiana
%Et=Ap*2*exp(-t.^2/(2*(To^2)));
Et=Et.*exp(j*2*pi*192*t)
% Calculamos la transformada de fourier de la gaussiana
gaussfourier=fft(Et);
gaussfourier=fftshift(gaussfourier);
% Definimos un vector de frecuencias
Af=(0:(length(gaussfourier)-1))*2000/(1*length(gaussfourier))-1000;
Ut=Et;
hold;
% Bucle que dibuja las distintas envolventes para las distintas distancias
Az=LNL/50;
for(s=0:1:100)
Afase=-(Az/LNL)*abs(Ut).^2;
faseaux=angle(Ut)+Afase; %tengo que quitarle uno al vector por el
diff
Ut=abs(Ut).*cos(faseaux)+i*abs(Ut).*sin(faseaux);
gaussfourier=fft(Ut);
gaussfourier=fftshift(gaussfourier)
% La expresion en frecuencia de nuestro filtro lineal que caracteriza a
% la fibra teninendo en cuenta B1,B2 y B3 es H:
Propagación lineal de pulsos en fibra óptica
%
%
%
%
H1=exp((Af-192).*2*pi*-i*Az*B1);
H2=exp(((Af-192).^2)*(2^2)*(pi^2)*-i*Az*B2/2);
%H3=exp(((Af-0.2).^3)*(2^3)*(pi^3)*-i*Az*B3/6);
Haux=H1.*H2;
H=Haux.*1;
en
frecuencia
de la entrada
Calculamos la respuesta
multimplicando la transformada de fourier del pulso gaussiano
x la respuesta en frecuencia del filtro:
resw1=gaussfourier.*H;
resw1=fftshift(resw1);% Respuesta a la gaussiana en W
Pasamos al dominio del tiempo
% Respuesta a la gaussiana en t
Ut=ifft(resw1);
% Dibujamos la salida
if(rem(s,5)==0)
z=(s+1)*Az*ones(length(t),1);
plot3(t,z,abs(Ut));
end
end
Para simular este código se necesita una cantidad de memoria mucho mayor a la que
necesitábamos en el caso de la simulación lineal ya que necesitamos trabajar con la
frecuencia de la portadora. Por ello los parámetros están ajustados de forma que se ejecuten
la minima cantidad de operaciones en la simulación. Pese a ello y tras múltiples intentos
solo he conseguido simular el código anterior (Con otros parámetros la memoria de mi
ordenador (2 GB) se colapsaba)
Los parámetros calculados y simulados se recogen en la siguiente tabla:
B2
Dispersión
Longitud de onda
Dispersión
Ap
Potencia
-22.8987
0.0940
B3
17.6796
1550 nm
17.6796
-2.2361
5W
LNL=Ld
El resultado de la simulación se expone en la siguiente gráfica:
Figura 43
0.1 Km
Propagación lineal de pulsos en fibra óptica
Como vemos los resultados de la simulación vuelven a corroborar la teoría. Bajo las
condiciones anteriormente descritas la dispersión cromática y SPM se anulan de forma que
la envolvente del pulso permanece invariante a lo largo de un fragmento de fibra en éste
caso de longitud Ld.
En la simulación observamos como al principio el pulso se estrecha a consecuencia
de la automodulación de fase (SPM) es el fenómeno que predomina ya que pero después la
dispersión cromática empieza a hacerse comparable y acaba por devolver al pulso a su
forma inicial transcurrida na distancia Ld=LNL.
Aunque este apartado del proyecto se escapa un poco del objetivo del proyecto,
resulta interesante reflexionar acerca del resultado obtenido ya que, obviando la atenuación
de la fibra, nos sugiere que bajo estas circunstancias podríamos propagar un pulso
indefinidamente a través de una fibra óptica sin que se produjeran en el modificaciones en
su envolvente.
Como mera curiosidad se simula a continuación el mismo caso anterior usando
como envolvente una gaussiana. El resultado se recoge en la gráfica que se expone a debajo
de estas líneas:
Figura 44
Aunque la imagen ofrece poca claridad, si que se observa que la gaussiana pierde
parte de su energía para ir pareciéndose cada vez más a lo que parece un solitón que si
parece mantenerse constante a la largo de la propalación.
De todas formas necesitaríamos comprobar esto con más simulaciones pero como ya
mencionamos mas arriba la complejidad de calculo de estás simulaciones hace imposible
realizar más simulaciones de este tipo con el equipo del que dispongo, y además escapa a
los objetivos del poyecto