Matemáticas

Matemáticas
MATEMÁTICAS
Sesión No. 7
Nombre: Sistemas de ecuaciones lineales
Contextualización
En un principio debemos de saber que en realidad para resolver adecuadamente
un sistema de ecuaciones lineales consideremos que esto es un proceso que
consta de dos fases: discusión y resolución.
La discusión que es antes que la resolución se basa en saber y analizar si el
sistema tiene solución o no, y si la tiene iniciaremos el proceso de decidir por
cuál de los métodos lo realizaremos.
Los métodos que se tienen pueden ser analíticos o gráficos, en esta sesión
aprenderemos a resolver un sistema a través de los analíticos, que iremos
conociendo uno por uno, los cuales son los mayormente utilizados: sustitución
e igualación.
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Introducción al Tema
¿Podre conocer la base y la altura de un rectángulo si solamente conozco su
área y su perímetro?
Fuente: http://www.mathematicsdictionary.com/spanish/vmd/images/a/areaofasquareorarectangle.gif
La resolución de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas es
comúnmente utilizado al tener dos conceptos que tienen relación entre sí, tal es
el caso del área y el perímetro de un rectángulo, en los dos se utiliza la base y la
altura para el cálculo de ellos, si estos valores llegaran a no ser conocidos pero
se conoce el área y perímetro podemos encontrar estos valores desconocidos
tomándolos como las incógnitas de nuestro sistema de ecuaciones y dar
solución a través de cualquiera de sus métodos.
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Explicación
Sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con 2 o más
incógnitas y se requiere de encontrar los valores de estas incógnitas que
satisfacen dichas ecuaciones.
Solución de sistemas de dos ecuaciones lineales en dos incógnitas.
Existen algunos métodos para la solución de este tipo de sistemas, a
continuación se explicara cada uno de ellos.
Método de sustitución.
Para resolver un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas se siguen
los siguientes pasos:
1. Se despeja una de las variables de cualquiera de las ecuaciones.
2. Se sustituye el despeje en la otra ecuación y se resuelve la ecuación de
que resulta de esta sustitución.
3. Una vez encontrado el valor de la primera variable, se calcula la otra en la
ecuación despejada obtenida en el primer paso.
2𝑥 + 𝑦 = 7
Ejemplo: Resuelve �
𝑥 + 3𝑦 = 11
Paso 1:
y= 7-2x
Paso 2: x+ 3(7-2x) = 11
Se multiplica el 3.
x + 21 -6x = 11
x -6x = 11- 21
-5x = -10
Se juntan términos semejantes.
El -5 pasa dividiendo al otro lado de la igualdad
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x= 2
Paso 3. y= 7-2x
y= 7 -2(2) = 7- 4 -- y = 3
Por lo tanto la solución del sistema es: (2,3)
Método de igualación.
Para utilizar este método hay que despejar una variable, la misma, en las dos
ecuaciones y se igualan ambos despejes, con lo que se obtiene una ecuación de
primer grado. Los pasos a seguir son:
1. Se despeja la misma variable en ambas ecuaciones.
2. Se igualan los despejes obtenidos y se resuelve la ecuación lineal.
3. Se calcula el valor de la otra variable sustituyendo el valor de la que ya se
tiene en una de las ecuaciones despejadas de primer paso.
2𝑥 + 𝑦 = 7
Ejemplo: Resuelve �
𝑥 + 3𝑦 = 11
Paso 1. 2x + y = 7
𝑥=
Paso 2.
7−𝑦
x + 3y = 11
x = 11 – 3y
2
7−𝑦
2
𝑦
= 11 − 3𝑦
3𝑦 − = 11 −
2
5𝑦
2
=
15
2
7
2
10𝑦 = 30
Se juntan términos semejantes
Se saca factor común en 2 y se
resuelve la resta
Se multiplica por 2 cada lado
y=3
Paso 3. x = 11 – 3y
 x = 11 – 3(3)
Por lo tanto la solución del sistema es: (2,3)

X=2
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Solución de sistemas de tres ecuaciones lineales en tres incógnitas
Los métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos variables
también pueden ser utilizados para resolver sistemas de tres variables. Una
ecuación lineal general con tres variables x, y y z tiene la forma:
Ax + By + Cz = D
Ejemplo Resolución de un sistema lineal con tres variables
2x + y + z = 3
-x + 2y + 2z = 1
x – y - 3z = -6
De la tercera ecuación se despeja x quedando x = y+3z-6 y se sustituye en las
otras dos ecuaciones:
2(y + 3z - 6) + y + z = 3
-(y + 3z – 6) + 2y + 2z = 1
Simplificando nos queda:
3y + 7z = 15
y–z=-5
De la segunda ecuación se despeja y quedando y = z – 5 y se sustituye en la
otra ecuación:
3( z – 5) + 7z = 15
Despejamos en z dando como resultado z = 3
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Sustituimos en y = z – 5 = 3 – 5 = -2, por lo tanto z = 3, y = -2. Ahora estos dos
valores los sustituimos en nuestro primer despeje en x = y + 3z – 6 dando como
resultado x = 1. Podrás comparar en cada ecuación para verificar que se cumpla
la igualdad en cada caso.
Solución: X = 1, y = -2 y z = 3
 2(1) +(-2) + 3 = 3
2x + y + z = 3
2 -2 +3 = 3
3=3
-x + 2y + 2z = 1 
-(1) + 2(-2) +2(3) = 1
-1 -4 + 6 = 1
1=1
x – y - 3z = -6

(1) – (-2) -3(3) = -6
1 + 2 – 9 = -6
-6 = -6
En las tres ecuaciones se cumplió la igualdad, la solución es correcta.
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Conclusión
Como nos habremos dado cuenta no importa el método que se utilice para la
solución a un sistema de ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas, todos
nos llevaran a la misma solución pero con diferentes procedimientos es de
elección particular el elegir cual método utilizar.
La siguiente sesión iniciaremos el uso de los determinantes los cuales
representan un sistema de ecuaciones y aprenderemos a dar solución a los
sistemas de ecuaciones lineales con 3 incógnitas.
Extraído de: http://webdelprofesor.ula.ve/ciencias/lico/algebralineal/determinante1.GIF solo para fines educativos.
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Para aprender más
En este apartado encontrarás más información acerca del tema para enriquecer
tu aprendizaje.
Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet.
•
Vitutor. (2010). Sistemas de dos ecuaciones. Recuperado
de: http://www.vitutor.net/1/36.html
•
Duarte, J. (s.f). Métodos analíticos de resolución: Sustitución. Recuperado
de: http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-004501/secciones/sustitucion.html
•
Duarte, J. (s.f). Métodos analíticos de resolución: Igualación. Recuperado
de: http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-004501/secciones/igualacion.html
Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te permitirá
desarrollar los ejercicios con más éxito.
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Actividad de Aprendizaje
Con lo aprendido en esta sesión acerca de los métodos para la solución a los
sistemas de ecuaciones con dos incógnitas, resuelve los siguientes ejercicios
por medio del método que más te convenga.
𝑥 + 2𝑦 = 9
1. �
3𝑥 − 𝑦 = 20
3𝑥 − 2𝑦 = 8
2. �
𝑥+𝑦 =6
Entregar esta actividad en formato de Práctica de Ejercicios y súbelo a la
plataforma. Recuerda que la actividad vale el 5% de la calificación final.
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Bibliografía
Haussler, E. (1997). Matemáticas para admón., economía, ciencias sociales
y de la vida. Edo. México, México. Prentice Hall hispanoamericana, S.A.
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