E3Jun05

Departamento de Física Aplicada III
Escuela Superior de Ingenieros
Ingeniero Industrial
Fundamentos Físicos de la Ingeniería (2004/2005)
EXAMEN FINAL. Convocatoria de Junio–Julio. 28/Junio/2005
MECÁNICA (Primer Cuatrimestre)
APELLIDOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
NOMBRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DNI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
EJERCICIO 3.
M OVIMIENTO
Valor: 3 puntos (1er cuatrimestre).
Duración: 1 hora.
RELATIVO .
Sobre dos paredes perpendiculares, se han colocado sendos ventiladores planos (sólidos “0” y “2”) de orientación fija,
ambos a la misma altura, y con sus respectivos centros (A y B) equidistantes (distancia L) de la esquina (punto O). Los
dos ventiladores rotan con velocidad angular de módulo constante igual a ω, si bien lo hacen con las orientaciones y
sentidos respectivamente indicados en la figura.
Definido el triedro fijo OXY Z (sólido “1”) del esquema, y considerando, como movimiento-problema, el movimiento
relativo entre ambos ventiladores (movimiento {20}), determine:
20 .
a) ω20 y α
O
O
y a20
.
b) v20
c) Eje instantáneo de rotación (E.I.R.) del movimiento {20}.
Nota: Se recomienda la utilización del triedro “1” para la descomposición del movimiento-problema, ası́ como el uso de
su base vectorial para resolver el ejercicio.
SOLUCIÓN (sólo se corregirá, como máximo, una hoja adicional a la suministrada con este enunciado):
Los movimientos {21} y {01} son sendas rotaciones de eje fijo, cuya caracterización cinemática es
directa a partir de la lectura del enunciado y de la
inspección de la figura:
Z
L
2
L
1
0
OY
A
X
B
O
OX
Y
−→
⎪
⎪
⎪
B
⎪
(t) = 0
⎩ v 21
−→
⎧
⎪
⎪
ω (t) = −ω j
⎪
⎪
⎨ 01
w
⎪
⎪
⎪
A
⎪
(t) = 0
⎩ v 01
w
ω 20 .
Apartado (a.1): Determinación de Ley composición velocid. angulares
⎧
⎪
⎪
ω (t) = ωı
⎪
⎪
⎨ 21
−→
Apartado (a.2): Determinación de α
20 .
−→
−→
dω 21 α
21 =
= 0
dt 1
B
dv 21
B
= 0
a21 =
dt 1
α
01
A
a01
dω 01 =
= 0
dt 1
A
dv 01
= 0
=
dt 1
(Valor máximo: 0.5 puntos)
01
ω 21 = ω 20 + ω
=⇒
ω 20 = ω
21 − ω 01 = ω (ı + j )
(Valor máximo: 0.5 puntos)
Ley composición acelerac. angulares −→ α
21 = α
20 + α
01 + ω 01 ∧ ω 20 =⇒
α
20 = α
21 − α
01 − ω 01 ∧ ω 20 = − ω 2 k
O
Apartado (b.1): Determinación de v 20
.
Ecuación campo velocid. {21}
−→
Ecuación campo velocid. {01}
−→
−−→
O
B
v 21
= v 21
+ω
21 ∧ BO = −ωL k
−→
O
A
v 01
= v 01
+ ω 01 ∧ AO = −ωL k
O
O
O
= v 20
+ v 01
v 21
−→
Ley composición velocid.
(Valor máximo: 0.75 puntos)
O
Apartado (b.2): Determinación de a 20
.
Ecuación campo acelerac. {21}
−→
Ecuación campo acelerac. {01}
−→
−→
Ley composición acelerac.
=⇒
E.I.R.{20}
O
O
O
v 20
= v 21
− v 01
= 0
(Valor máximo: 0.75 puntos)
−−→
−−→
O
B
= a 21
+α
21 ∧ BO + ω 21 ∧ (ω 21 ∧ BO ) = ω 2 L j
a 21
−→
−→
O
A
= a 01
+α
01 ∧ AO + ω 01 ∧ (ω 01 ∧ AO ) = ω 2 Lı
a 01
O
O
O
O
a 21
= a 20
+a 01
+2 ω 01 ∧ v 20
Apartado (c): Determinación del E.I.R.{20}.
Se sabe que el
−−→
(donde se ha tenido en cuenta que BO = −L j )
−→
(donde se ha tenido en cuenta que AO = −Lı )
O
O
O
O
a 20
= a 21
−a 01
−2 ω 01 ∧ v 20
= ω 2 L(−ı + j )
=⇒
(Valor máximo: 0.5 puntos)
O
pasa por el punto O(0, 0, 0) (pues v 20
= 0) y tiene la dirección del vector ω 20 = ω (ı + j). Sus
ecuaciones son:
y
z
x
= =
ω
ω
0
−→
y=x
z=0
Otra posibilidad para determinar el E.I.R.{20} es utilizar la expresión teórica de su ecuación vectorial paramétrica (llamando
I(x, y, z) a un punto genérico de dicho eje):
⎧
⎪
⎨ x = λω
O
−→ ω 20 ∧ v 20
y = λω
OI =
+ λω
20 = λ ω (ı + j) −→
⎪
|
ω 20 |2
⎩ z=0
Z
L
2
L
1
0
O
a 20
w01
X
A
a20O
w20
B
w21
w10
E.I.R.{20}
Y