Polinomios

Ampliación Matemática Discreta
Justo Peralta López
U  Aı́
D  Á  A́ M́
Polinomios
1
Introducción
2
Anillos de polinomios
3
Mı́nimo Común Divisor y Mı́nimo Común Múltiplo
Algoritmo de Euclides
Algoritmo de Euclides Extendido
4
Anillo cociente
5
Algoritmo Chino del Resto
6
Polinomios Irreducibles
Ampliación Matemática Discreta
Polinomios
Polinomios
Introducción
Definiciones
1
Sea R un anillo cualquiera. Un polinomio sobre R es una expresión de la forma
f (x ) =
n
X
ai x i = a0 + a1 x + · · · + an x n
i =0
donde n es un entero no negativo, los coeficientes ai ,0 ≤ i ≤ n, son elementos de R, y
x es la indeterminada sobre R.
2
3
Dos polinomios f (x ) =
0 ≤ i ≤ n.
Pn
i =o
ai x i y g (x ) =
Pn
i =0
bi x i sobre R son iguales si ai = bi para
Definimos la suma de f (x ) y g (x ) como
f (x ) + g (x ) =
n
X
(ai + bi )x i
i =0
4
Si f (x ) =
Pn
i =o
ai x i y g (x ) =
f (x )g (x ) =
Pm
nX
+m
i =0
bi x i definimos el producto como
X
ck x k , donde ck =
k =0
Ampliación Matemática Discreta
i+j =k
0 ≤ i ≤ n, 0 ≤ j ≤ m
Polinomios
ai bj
Polinomios
Anillos de polinomios
1
Con estas operaciones, los polinomios sobre R es un anillo al cual llamaremos el
anillo de polinomios sobre R y lo notaremos por R [x ].
2
El cero en R [x ] es el polinomio con todos sus coeficientes nulos y lo representaremos
por 0.
3
Si f (x ) = f0 + f1 x + . . . fm x m es un polinomio sobre R y fm , 0, entonces m es llamado
el grado de f (x ), y a fm se le llama el lı́der del polinomio. Si fm = 1, entonces decimos
que el polinomio es mónico.
Teorema
Sea f , g ∈ R [x ]. Entonces
gr (f + g ) ≤ max (gr (f ), gr (g ))
gr (fg ) ≤ gr (f ) + gr (g )
Si R es un dominio de integridad, entonces
gr (fg ) = gr (f ) + gr (g )
Ampliación Matemática Discreta
Polinomios
Polinomios
Anillos de polinomios
Teorema
1
R [x ] es un anillo conmutativo si y sólo si lo es R.
2
R [x ] es un anillo con identidad si y sólo si R posee identidad.
3
R [x ] es un dominio de integridad si y sólo si R es un dominio de integridad.
Definiciones
1
Sea F un cuerpo. Un polinomio b (x ) es divisible por d (x ) y d (x ) es un factor de b (x ) si
existe un q(x ) tal que b (x ) = q(x )d (x ). Si d (x ) es un factor de b (x ), entonces cd (x )
también es un factor para c , 0 ∈ F.
2
Las unidades de F[x ] son los divisores del polinomio 1 que son todos los elementos
no nulos de F.
Teorema
Sea g , 0 un polinomio en F[x ]. Entonces para todo f ∈ F[x ] existen dos polinomios
q, r ∈ F[x ] tal que
f = qg + r , donde gr (r ) < gr (g )
El hecho de que F[x ] permita un algoritmo de división implica que todo ideal de F[x ] es
principal.
Ampliación Matemática Discreta
Polinomios
Polinomios
Mı́nimo Común Divisor y Mı́nimo Común Múltiplo
Teorema
F[x ] es un dominio de ideales principales y cualquier ideal J ∈ F[x ] es generado por un
único polinomio mónico de menor grado de J.
Teorema
Sean f1 , f2 , . . . , fn ∈ F[x ] con alguno de ellos no nulos. Entonces existe un único polinomio
mónico d ∈ F[x ] con las siguientes propiedades:
1
2
d divide a cada fj , 1 ≤ j ≤ n.
Cualquier polinomio c ∈ F[x ] que divida a fj , 1 ≤ j ≤ n, divide a d. Es más, d se puede
expresar como
d = b1 f1 + · · · + bn fn
con b1 , . . . , bn ∈ F[x ].
Ampliación Matemática Discreta
Polinomios
Polinomios
Mı́nimo Común Divisor y Mı́nimo Común Múltiplo
Algoritmo de Euclides
Algoritmo de Euclides
Sean f , g ∈ F[x ], el mı́nimo común divisor se puede obtener gracias al algoritmo de
Euclides de la siguiente forma:
f = q1 g + r1
g = q2 r1 + r2
r1 = q3 r2 + r3
0 ≤ gr (r1 ) < gr (g )
0 ≤ gr (r2 ) < gr (r1 )
0 ≤ gr (r3 ) < gr (r2 )
rs −2 = q2 rs −1 + r2
rs −1 = qs +1 rs
0 ≤ gr (rs ) < gr (rs −1 )
.
.
.
donde q1 , . . . , qs +1 , r1 , . . . , rs ∈ F[x ]. El mı́nimo común divisor viene dado por
mcd (f , g ) = b −1 rs
donde b es el coeficiente lı́der de rs
Ampliación Matemática Discreta
Polinomios
Polinomios
Mı́nimo Común Divisor y Mı́nimo Común Múltiplo
Algoritmo de Euclides
Teorema
Sean f1 , f2 , . . . , fn ∈ F[x ] con alguno de ellos no nulos. Entonces existe un único polinomio
mónico m ∈ F[x ] con las siguientes propiedades:
1
m es múltiplo de cada fj , 1 ≤ j ≤ n.
2
Cualquier polinomio b ∈ F[x ] múltiplo fj , 1 ≤ j ≤ n, es un múltiplo de m.
Además,
a −1 fg = mcm(f , g )mcd (f , g )
donde a es el coeficiente lı́der de fg.
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Polinomios
Polinomios
Mı́nimo Común Divisor y Mı́nimo Común Múltiplo
Algoritmo de Euclides Extendido
Algoritmo de Euclides Extendido
Entrada: p1 (x ), p2 (x ) ∈ J [x ], p2 (x ) , 0, m = gr (p1 (x )) ≥ gr (p2 (x )) = n; J un
cuerpo.
Salida: ph (x ), f (x ), g (x ) ∈ J [x ] tal que
gr (f (x )) < gr (p1 (x ) − gr (ph (x )),gr (g (x )) < gr (p2 (x ) − gr (ph (x )) y
ph (x ) = p1 (x )g (x ) + p2 (x )f (x )
1. [Inicio ] [p0 (x ), p1 (x )] := [p1 (x ), p2 (x )];[g0 (x ), g1 (x )] := [1, 0];
2. [Ciclo ] While p1 (x ) , 0 do
q(x ) := Cociente(p0 (x ), p1 (x ));
[p0 (x ), p1 (x )] := [p1 (x ), p0 (x ) − p1 (x )q(x )]
[g0 (x ), g1 (x )] := [g1 (x ), g0 (x ) − g1 (x )q(x )]
[f0 (x ), f1 (x )] := [f1 (x ), f0 (x ) − f1 (x )q(x )]
3.[Salida ] Return [ph (x ), g (x ), f (x )] := [p0 (x ), g0 (x ), f0 (x )]
Ampliación Matemática Discreta
Polinomios
Polinomios
Mı́nimo Común Divisor y Mı́nimo Común Múltiplo
Algoritmo de Euclides Extendido
Ejemplo
Sea p1 (x ) = 7x 5 + 4x 3 + 2x + 1 y p2 (x ) = 5x 3 + 2 sobre el cuerpo Z11
Iteración
0
1
2
3
4
q (x )
−
8x 2 + 3
10x + 4
8x + 7
7x
p0 (x )
7x 5 + 4x 3 + 2x + 1
5x 3 + 2
6x + 2x + 6
9x
6
p1 (x )
5x 3 + 2
2
6x + 2x + 6
9x
6
0
Ampliación Matemática Discreta
g0 (x )
1
0
1
x +7
3x 2 + 8
g1 (x )
0
1
x +7
3x 2 + 8
−
Polinomios
f 0 (x )
0
1
3x 2 + 8
3x 3 + 10x 2 + 8x + 2
9x 4 + 4x 2 + 3x + 10
f1 (x )
1
3x 2 + 8
3x 3 + 10x 2 + 8x + 2
9x 4 + 4x 2 + 3x + 10
−
Polinomios
Anillo cociente
Definición
Un polinomio p ∈ F[x ] es irreducible sobre F si p tiene grado positivo y si p = bc con
b , c ∈ F[x ] implica que b o c es una constante.
Lema
Si un polinomio irreducible p ∈ F[x ] divide al producto f1 . . . fm de polinomios en F[x ],
entonces como mı́nimo un factor fj es divisible por p.
Teorema (Factorización Única)
Cualquier polinomio f ∈ F[x ] de grado positivo se puede expresar como
e
e
f = ap1 1 . . . pk k
con a ∈ F y p1 , . . . , pk ∈ F[x ] son polinomios mónicos irreducibles distintos y e1 , . . . , ek
enteros positivos. Además, dicha factorización es única.
Ampliación Matemática Discreta
Polinomios
Polinomios
Anillo cociente
Teorema
Para todo f ∈ F[x ], el anillo cociente F[x ]/(f ) es un cuerpo si y sólo si f es irreducible sobre
F.
Definición
Dos polinomios g (x ), h (x ) en Fq [x ], se dicen que son congruentes módulo f (x ), y se denota
por
g (x ) ≡f (x ) h (x )
si y sólo si g (x ) − h (x ) es divisible por f (x ).
Ampliación Matemática Discreta
Polinomios
Polinomios
Anillo cociente
Ejemplo
1
2
Sea f (x ) = x ∈ F2 [x ]. Entonces F2 [x ]/(x ) = {[0], [1]}.
Sea f (x ) = x 2 + x + 1 ∈ F2 [x ]/(f ). Entonces F2 [x ]/(f ) = {[0], [1], [x ], [x + 1]} y la tabla
de operaciones viene dado por
+
[0]
[1]
[x ]
[x + 1]
×
[0]
[1]
[x ]
[x + 1]
[0]
[0]
[1]
[x ]
[x + 1]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
Ampliación Matemática Discreta
[1]
[1]
[0]
[x + 1]
[x ]
[1]
[0]
[1]
[x ]
[x + 1]
[x ]
[x ]
[x + 1]
[0]
[1]
[x ]
[0]
[x ]
[x + 1]
[1]
Polinomios
[x + 1]
[x + 1]
[x ]
[1]
[0]
[x + 1]
[0]
[x + 1]
[1]
[x ]
Polinomios
Anillo cociente
Definición
Un elemento b ∈ F es una raı́z de f ∈ F[x ] si f (b ) = 0.
Teorema
Un elemento b ∈ F[x ] es una raı́z de f ∈ F[x ] si y sólo si x − b divide a f (x ).
Definición
Sea b ∈ F una raı́z de f ∈ F[x ]. Si k es un entero positivo tal que f (x ) es divisible por
(x − b )k pero no por(x − b )k +1 , entonces llamamos a k la multiplicidad de b. Si k = 1
entonces decimos que b es de multiplicidad simple.
Teorema
Un elemento b ∈ F es una raı́z múltiple de f ∈ F si y sólo si es raı́z de f y f 0 .
Teorema
El polinomio f ∈ F[x ] de grado 2 o 3 es irreducible en F[x ] si y sólo si no posee raices en
F[x ]
Ampliación Matemática Discreta
Polinomios
Polinomios
Algoritmo Chino del Resto
Congruencias módulo un polinomio p (x ) ∈ F[x ] verifican las mismas propiedades que para
enteros. Por ejemplo:
1
Si f ≡m g, entonces fk ≡m kg.
2
Si f1 ≡m g1 y f2 ≡m g2 , entonces f1 + g1 ≡m g1 + g2 y f1 g1 ≡m g1 g2
3
Si f ≡m g y g ≡m h entonces f ≡m h.
Teorema (Resto Chino)
Sea F un cuerpo y a1 (x ), a2 (x ), . . . , an (x ), m1 (x ), m2 (x ), . . . , mn (x ) ∈ F[x ], tal que mi (x ) y
mj (x ) sean coprimos . Entonces existe un f (x ) ∈ F[x ] tal que
f (x ) ≡m1 (x ) a1 (x )
f (x ) ≡m2 (x ) a2 (x )
.
.
.
f (x ) ≡mn (x ) an (x )
Si f( x ), f2 (x ) son dos soluciones, entonces f1 (x ) ≡M (x ) f2 (x ) con M (x ) =
Ampliación Matemática Discreta
Polinomios
Q
mi (x )
Polinomios
Algoritmo Chino del Resto
Algoritmo del Resto Chino
Las fórmulas para el algoritmo del resto chino para i = 1, . . . , n
M1 (x ) = 1
Q
Mi (x ) = ij =1 mj (x )
Ui (x )Mi (x ) ≡mi (x ) 1
b1 (x ) = a1 (x )
wi (x ) = (ai (x ) − bi −1 (x ))Ui (x ) mı̈¿ 12 ulo mi (x )
bi (x ) = bi −1 (x ) + wi (x )Mi (x )
Ejemplo
f (x ) ≡x 2 +x x y f (x ) ≡x 2 +x +1 1 en Z2 [x ] poseen la tabla
ai
x
1
mi
x2 + x
x2 + x + 1
Mi
1
x2 + x
Ampliación Matemática Discreta
Ui
1
1
Polinomios
wi
−
1+x
bi
x
x3
Polinomios
Polinomios Irreducibles
Definición
Sea m ∈ Z+ . La función de Mobiuis se define por


1, si m = 1



0, si m es divisible por el cuadrado de un primo
µ(m) = 


 (−1)k , si m es el producto de k primos diferentes
Ejemplo
m
1
1
1
2
−1
3
−1
4
0
5
−1
6
1
7
−1
8
0
9
0
10
1
El número de polinomios mónicos irreducibles de grado m en Zp [x ] para p primo
viene dado por
1 X
Np ( m ) =
µ(d )p m/d
m
d |m
2
La probabilidad de que un polinomio aleatorio mónico sea irreducible es
aproximadamente 1/m.
Ampliación Matemática Discreta
Polinomios
Polinomios
Polinomios Irreducibles
Teorema
Sea p un primo y k ∈ Z+
1
El producto de todos los polinomios mónicos irreducibles en Zp [x ] de grado un divisor
de k es igual a
k
xp − x
2
Sea f (x ) un polinomio de grado m en Zp [x ]. Entonces f (x ) es irreducible sobre Zp [x ]
si y sólo si
i
m
mcd (f (x ), x p − x ) = 1 ∀i , 1 ≤ i ≤ b c
2
Test polinomio irreducible
Entrada: Un primo p y un polinomio mónico de grado m ∈ Zp [x ]
Salida: Respuesta a , es f (x ) irreducible en Zp [x ] ?.
1. u(x ) := x
2. For i = 1 to b m
2 c do
2.1 u(x ) := u(x )p mod f (x )
2.2 d (x ) := mcd (f (x ), u(x ) − x )
2.3 if d (x ) , 1 then Return(Reducible”)
3. Return(”Irreducible”)
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Polinomios
Polinomios
Polinomios Irreducibles
Generación de polinomios irreducibles
Entrada: Un primo p y un m ∈ Z+
Salida: f (x ) mónico irreducible de grado m en Zp [x ]
1. Generar a0 , a1 , . . . , am−1 de forma aleatoria con 0 ≤ ai ≤ p − 1 y
a0 , 0
2. f (x ) := a0 + a1 x + a2 x 2 + · · · + am−1 x m−1 + x m
3. Testear si f (x ) es irreducible
3.1 Si f (x ) es irreducible Return(f (x ))
3.2 Si f (x ) no es irreducible ir a 1.
Ampliación Matemática Discreta
Polinomios