OPERADORES PARANORMALES

Re.v.u.u Co.iomb.w.M. de. Matemauc.a.6
Vol.
XXI
pcigJ.i. 135-140
(1987),
OPERADORES PARANORMALES
par
Ouggirala
§l. Introducci6n.
Un operador
(abreviadamente p.n.) si
IITx~
para todo x
E:
2
~
RAO
Y en B(H) se llama pa~ano~ma.i
2
[r x] [x]
H, donde H es un espacio de Hilbert.
Los operadores paranormales fueron introducidos, con
el nombre de "operadores de clase ,[N]", por Istratescu, Saito y Yoshino [5]. Los operadores quaJ.i~h~pono~ma.ie.J.i
fueron
introdu cidos por Devi [2J. Un operador T se llama quasihiponormal (abreviadamente q.h.n.) si
para todo x~ H. Ambas. clases son generalizaciones de los
operadores h~pono~ma.ie.J.i
(abreviadamente h.n.), caracterizados par la desiguadad:
fIT * x]
~ II Txll
para todo x E H.
Se sigue de las definiciones
que
135
T es h.n. ~T
es q.h.n. ~T
es p.n.
Los operadores quasihiponormales
pueden ser caracterizados
en terminos de formas quadraticas: T es q.h.n. sf y solamente si
Los operadores
paranormales
no cumplen
rior. Sin embargo, Ando demostr6
mente si para cada numero real
En este articulo
[1]:
contestaremos
la desigualdad
ante-
T.es p.n. si y sola-
las siguientes
pregun-
tas:
1) Si T es p.n.
les necesario que T - CL sea p.n. para cada
n6mero complejo CL? (Stampfli [6] ) .
2) lLos operadores p.n. son convexoides?
(Furuta [3] ) .
3)
lLos puntas
un operador
Anotamos
extremes de la clausura del rango numerica
p.n. pertenecen al espectro puntual?
que en el caso de un operador
ta para todas estas preguntas
§2. Proposiciones
utiles.
de
h.n. la respues-
es afirmativa.
En esta seccion presentaremos
dos
resultados que facilitan la construccion de ejemplos concretos de operadores. La proposicion 2.1 exhibe una caracterizacion util de los operadores q.h.n. y la proposicion 2.2.
localiza
el espectro
de un operador
triccion
del operador
a su rango.
en terminos
de la res-
B(H), M = R(T), N = N(T*),
A
TIM ~ B = TIN. Entonee~ T e~ q.h.n. ~~ ~ ~ol~mente ~~
A e~ h.n. (B(M)) ~ B* (en B(M,N)) eump.e.e.e.ade~~gua.e.dad
PROPOSICION 2.1. Se~ T
E
IB * x i 2 ~ i Ax I 2 - IA * x I 2
136
(2.1)
palta to do x e:: M.
Demo e t ra o ion ,
'" x]
Z e::H~>IT
que
H
=
MEllN,
Si
ra
todo
Z
II AZI .
T es
Z
-::: ITxl
Y
para
q.h.n.
el
del c.onjul1to
vexa
de
Sea
A e:: a
tal
que
T,
(T).
ap
ITxn-AX!
~
-::: !T(ZEllO)!Z,
2
IIT(Z Ell0)11
pa=
Enton(2.Z)
Co (L)
eJ.l la.
el1vo.tvente
C.OYl-
L.
Demo e ti r ao i on ,
aproximado
Ob s e r vemos
U {O}}
T y
de
h.n.
todo
y S
B(H)
e::
para
Ze:: M.
+ IIB*ZI1
Co {a(S)
eJ.>pec.tlto
para
2
Z
IA"'ZII
c:
es
IT"'(ZEllO)112
2.2. Sea T
Co aCT)
es
x e:M-A
A'" Z+B '" Z
entonces
tanto
PROPOSICION
do nd e aCT)
IiT"'TZIl ~ ITZZI
todo
T '" (ZEllO) =
M, por
e::
T q.h.n.4=i>
Es
a
suficiente
(T),
es
ap
Entonces
demostrar
un
subconj
existe
~ O. Sea
x
n
una
=
y
n
+z
que
sucesi6n
n
,
V
<n
el
de a (S)
unto
{x
M, z
e::
n
n
I,
e::
espectro
U {O}.
Ix n II =
N.
1
Se
tiene:
2
IITxn-Axnll
-AY n I
IT(y n +z)n
pues
se
§3.
ta
x
Y
n
sigue
e::
M. Entonces
que
ITz
n
M.
a la
Para
II (B
que
'"
-aI)xll
2
+ IAI
2
Iz"n
A # 0 implica
I ~ O.
Contraejemplos.
inmediata
e::
= HT(y n +z n ) -Ay n } - AZn II
Asi,
pregunta
T-a
2
sea
1).
Sea
~ O. Como T
e::
B(H)
que
(2.1)
q.h.n.
~ II (A-aI)xl
,
Iznl
tenemos
La desigualdad
2
Z
nos
da
a un numero
una
respues-
complejo,
necesitaremos
2
'"
- II (A -aI)xll
2
137
N6tese que
Entonces
rio.
la desigualdad
Consideremos
(2.1) no se cumple para a arbitra-
el siguiente
ejemplo para contestar
gativamente a la pregunta 2).
Sea M = t2, N = R2. Sea A
definida
e::
Se sabe que
E::
IZ-11 ~
[,
por
M, f = (£1 '£2'£3"")'
i
a(S)
r,
Co a (T)
Entonces
Co aCT)
Entonces
tenemos que
T es q.h.n. por la proposici6n
y consecuentemente
{Z
S+1, donde S:M ~ M esta
por
y B:N • M esta definida
Sea f
=
= {Z
Podemos
c:
{Z
E
e: [,
IZI ~ l l . As I ,
concluir
que
c , IZ - 1 ~
~
no contiene
Re(Z) < O. Ahora demostraremos
co
Sea
138
2.1.
(A)
=
1}.
ningun numero
complejo
que el rango numerico
n t i.ene un nume ro complejo Z con Re(Z)
da demostrado que T no es convexoide.
WeT)
ne-
< O.
Z con
de T,
As I. ,
que-
x =
(t,o,o,o,
... ) e
--i-) ,
(0,
entonces
3
= (-4
Tx
(Tx,x)
= -81
E
+
1
1
2"' 4' 0, ...
+
(0,0),
[x]
WeT).
Podemos contestar negativamente
la pregunta 3) facil-
mente con el ejemplo anterior. Sea Z E WTf), ReZ ~ ReZ' para todo Z' E WeT). Es evidente que Z es un punto extrema de
wrrr,
y
Z ¢ aCT).
Concluimos esta secci6n con la siguiente pregunta:
~Existe un operador p.n.T, con RTfT = H, Y T no es inyectiva (es decir, en el estado espectral
113, ver [4J)?
REFERENCIAS
[ 1]
[2]
[ 3]
[4]
[5 ]
[6]
Ando, T., Ope.ltatoltJ.> with
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Abstract N~ 166.
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Apalttado AlJte.o 2188
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139