MAT-DIF-GUI-APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 3

UNIVERSIDAD
LIBRE
FACULTAD DE INGENIERÌA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
TALLER N°
NOMBRE DE LA
ASIGNATURA:
TÍTULO:
DURACIÓN:
BIBLIOGRAFÍA
SUGERIDA:
CALCULO DIFERENCIAL
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
Problemas de Optimización
3:
CALCULO,
Trascendentes
Tempranas.
James Stewart. Editorial Thomson.
CALCULO, con Geometría Analítica (Calculo
1). Larson, R. , Hosteller, R. y Edwards, B. .
Editorial McGraw Hill. Octava Edicion.
1.
OBJETIVO: Ilustrar al estudiante las utilidades y posibilidades de
aplicación de los conceptos y procesos del calculo en el análisis y solución de
problemas que involucran situaciones donde se desea la obtención de resultados
óptimos.
2.
CONCEPTUALIZACION Y EJEMPLOS.
Generalmente por razones de resultados económicos favorables o mas
convenientes, muchas de las situaciones problemáticas que abordamos en la
cotidianidad, particularmente en el campo de la ingeniería, requieren de análisis
que conduzcan a resultados óptimos, esto es, valores máximos o mínimos para
las variables de interés (la variable de interés es aquella que se pide ser
optimizada): máxima utilidad, mínima perdida, máxima resistencia, área o
volumen, mínimo esfuerzo, ... Dado que estas variables de interés dependen de
otras variables que están involucradas en la situación problema, el proceso a
desarrollar se orienta hacia la determinación de los valores que deben tomar esas
otras variables que hacen que la variable de interés tome el (los) valor(es)
optimo(s).
De hecho, en una situación particular, la relación entre las variables involucradas
(la de interés y otras asociadas a ella) no esta siempre expresada explícitamente,
y debe ser determinada dentro del proceso de análisis. Generalmente su
determinación depende del conocimiento de características geométricas, físicas u
otras que estén contenidas en la situación problemática. Además, la variable de
interés debe ser expresada en función de las otras variables, mas exactamente,
en función de una sola de las otras variables, Esto exige analizar características
particulares del problema y hacer procesos de substitución para obtener una
expresión algebraica de la variable de interés en función de una sola de las otras
variables. Obtenida esta expresión, se aplican en ella los procesos de
optimización, que es el mismo utilizado para determinar los máximos y mínimos de
una función (ver TALLER DE CLASE. APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS 1.
ANÁLISIS DE FUNCIONES).
En forma similar a los procesos de análisis y solución de problemas de Razones
de cambio relacionadas, James Stewart en su Calculo, Conceptos y Contextos
(ver Bibliografía Sugerida) propone una estrategia para analizar y resolver
problemas de Optimización (el lector notara que son prácticamente idénticas):
1.
Lea el problema con cuidado.
2.
Si es posible, dibuje un diagrama.
3.
Introduzca la notación adecuada. Asigne símbolos a todas las
cantidades y variables, mayúsculas para la variable de interés (es
recomendable usar un sentido nemotécnico: A para área, V para
volumen, R para resistencia, etc.), y minúsculas para las otras
variables.
4.
Exprese la variable de interés en función de las otras variables definidas
en el paso 3.
5.
Si en el paso 4. la variable de interés se ha expresado en función de
varias variables, utilice la información dada para hallar relaciones entre
las variables que permita hacer substituciones y expresar la variable de
interés en función de solo una de las variables auxiliares.
6.
Aplique los métodos desarrollados en la aplicación relativa a Análisis de
funciones, para hallar los valores máximo o mínimo absolutos.
Selecciones aquellos valores resultantes que estén contenidos dentro
del dominio definido por el problema.
Veamos el desarrollo del proceso descrito en los siguientes ejemplos:
EJEMPLO 1.De las esquinas una lamina rectangular de hierro de 12 cm. por
20 cm. se deben recortar cuadrados de tal modo que al doblar los lados se
forme una caja. De que medida debe ser el cuadrado que se recortara en las
esquinas, y que dimensiones tendrá la caja, de tal forma que su volumen sea el
máximo posible.
SOLUCIÓN. Se entiende que diversos tamaños del cuadrado a recortar dará
como resultado cajas de diferentes dimensiones, con diferentes formas y
volúmenes. Se desea diseñar aquella que tenga volumen máximo.
Sea V el volumen de la caja, la variable de interés que va a ser maximizada (se
pide calcular las dimensiones de la caja de volumen máximo). Sea x la medida
del lado del cuadrado que va a ser recortado en las esquinas de la lamina.
x
x
12 – 2x
12
x
x
x
20 – 2x
x
12 – 2x
20 – 2x
20
Se entiende entonces que las dimensiones de la caja son: largo 20 – 2x,
ancho 12 – 2x, y alto x. Entonces, el volumen V de la caja esta dado por la
expresión algebraica
V = (20 – 2x) * (12 – 2x) * x = 4x3 – 64x2 + 240x
Observe que en esta expresión del volumen, V = 4x3 – 64x2 + 240x, el volumen
V esta solo en función del lado x del cuadrado a recortar como señala el paso
5. del proceso. Por tanto podemos proceder a aplicar el proceso de
optimización señalado en el paso 6. consistente en derivar V con respecto a
x, igualar a 0 la derivada y resolver la ecuación V’ = 0 para la variable x.
Veamos:
Derivando V con respecto a x e igualando a 0 tenemos:
V’ = 12x2 – 128x + 240 = 0
Resolviendo esta ecuación se obtienen las soluciones
X = 8.2392, y x = 2.4274
Como el ancho de la lamina es de 12 cm., el lado máximo posible debe ser
inferior a 6 cm., por lo que la primera solución, X = 8.2392, no es valida. La
medida optima del lado del cuadrado a recortar es x = 2.4274 cm. Las
dimensiones de la caja para tener un volumen máximo deben ser:
Largo = 20 – 2x = 20 – 2 * 2.4274 = 15.1452 cm.,
Ancho = 12 – 2x = 12 – 2 * 2.4274 = 7.1452 cm.,
Alto = x = 2.4274 cm.
EJEMPLO 2.Se va a producir un envase de lata de forma cilíndrica con tapa
para que contenga 1 Litro (1000 cm3) de aceite. Encuentre las dimensiones del
envase que minimizara el costo del metal para fabricar la lata.
SOLUCIÓN. La construcción del envase implica recortar una pieza rectangular
de lata a partir de la cual se fabricara el cuerpo cilíndrico del envase, y dos
piezas circulares que serán sus tapas superior e inferior. Ademas, el costo
mínimo de material se asocia a la cantidad mínima del mismo.
Asignamos A al área total del envase, At al área de las tapas, Ac al área del
cuerpo del envase, r al radio del cuerpo cilíndrico y h a su altura.
radio r
At = π r2
radio r
h
Ac = 2 π r h
h
radio r
At = π r2
2πr
El área total A esta dada como
A = At + At + Ac = 2 At + Ac = 2 π r2 + 2 π r h
Como el área A esta en función de 2 variables, el radio r y la altura h, se debe
buscar la forma de eliminar una de esas 2 variables y dejar una sola. Para eso
podemos usar la información del problema en el sentido de que el volumen del
envase es de 1 litro (1000 cm3.). Esto es,
Volumen = π r2 h = 1000
De esta expresión se concluye que
h = 1000 / (π r2)
Substituyendo esta expresión de h en la expresión del área A tenemos
A = 2 π r2 + 2 π r h = 2 π r2 + 2 π r (1000 / (π r2)) = 2 π r2 + 2000 / r
Así, tenemos una expresión de A en función de una sola variable, r:
A(r) = 2 π r2 + 2000 / r, con la condición r > 0
Aplicando el proceso de optimización sobre esta función tenemos:
A’ (r) = 4 π r – 2000 / r2 = 4 (π r3 – 500) / r2
Haciendo A’ (r) = 0 y resolviendo para r, se obtiene que r = 3√(500 / π) cm.
Substituyendo este valor de r en h = 1000 / (π r2), se obtiene que
h = 2 3√(500 / π) = 2 r cm.
EJEMPLO 3.Un trozo de alambre de 10 m. se corta en dos partes. Una se
dobla para formar un cuadrado y la otra para formar un triangulo equilátero.
Como debe cortarse el alambre de modo que el área total encerrada sea: a)
máxima, b) mínima.
SOLUCIÓN. Se trata de cortar el alambre en dos partes y formar con cada
parte una figura, una para formar un cuadrado y la otra para formar un triangulo
equilátero. Cual medida del corte nos produce una medida total del área
máxima o mínima?.
Sea x la medida del trozo para formar el triangulo. Luego la medida del trozo
para formar el cuadrado será 10 – x.
10 m.
x
10 - x
Como el triangulo es equilátero, cada lado tendrá medida de x/3. Igualmente,
cada lado del cuadrado tendrá medida de (10 – x)/4.
(10 – x)/4
x/3
x/3
(10 – x)/4
x/3
Sea At el área del triangulo, Ac el área del cuadrado y A el area total de las
dos figuras.
El área At del triangulo se calcula como (base * altura) / 2. La base es x/3, y la
altura (sen 60º) * (x/3), ya que, como el triangulo es equilátero, sus ángulos
interiores miden 60o. Así,
At = (x/3 * (sen 60º) * (x/3)) / 2 = (sen(60o)/18) * x2
El área Ac del cuadrado se calcula como lado * lado, por lo que
Ac = ((10 – x)/4)2 = (100 – 20x + x2)/16
El área total, dada por la suma de las áreas At y Ac es
A = At + Ac = (sen(60o)/18) * x2 + (100 – 20x + x2)/16
A= ((sen 60º)/18 + 1/16) * x2 - 5/4 x + 25/4
A = 0.110612 x2 – 1.25 x + 6.25
La expresión anterior para el área es una función cuadrática que representa
una parábola que abre hacia arriba (ya que el valor a = 0.110612 >0), por lo
que el valor critico de la función hace referencia a un mínimo. Como x puede
tomar un valor que va desde mínimo 0 hasta máximo 10, el valor máximo de la
función lo tomara en alguno de estos valores extremos de x. Aplicando el
proceso de minimización,
A’ = 0.221225 x – 1.25 = 0
x = 1.25 / 0.221225 = 5.65
El anterior es el valor de x para el cual el área es mínima, lo cual ocurre
tomando 5.65 cm. de alambre para hacer el triangulo, y el resto para hacer el
cuadrado. En efecto, si evaluamos A en ese valor obtenemos
A(5.65) = 2.7185 cm2.
El área máxima se obtiene en alguno de los valores extremos de x, bien sea x
= 0, o x = 10. Evaluando A en esos valores de x obtenemos
A(0) = 6.25 cm2
A(10) = 4.8112 cm2
De lo anterior concluimos que el área máxima se obtiene cuando x = 0, esto
es, cuando todo el alambre se usa para hacer el cuadrado, de lado 2.5 cm.
3. EJERCICIOS
1. Si se cuenta con 1200 cm2. de material para hacer una caja con base
cuadrada y la parte superior abierta, encuentre el volumen máximo posible
de la caja.
2. Una caja con base cuadrada y parte superior abierta debe tener un volumen
de 32000 cm3. Encuentre las dimensiones de la caja que minimicen la
cantidad de material usado.
3. Encuentre los puntos sobre la hipérbola y2 – x2 = 4 que están mas próximos
al punto (2. 0).
4. Halle las dimensiones del rectángulo de área máxima que se pueda inscribir
en un círculo de radio r.
5. Halle el punto de la recta y = 2x – 3 mas cercano al origen.
6. Halle el área del rectángulo mas grande que se pueda inscribir en un
triangulo rectángulo con catetos cuyas longitudes son 3 cm. y 4 cm.
respectivamente, si dos de los lados del rectángulo se encuentran a lo largo
de los catetos.
7. Se inscribe un cilindro circular recto en una esfera de radio r. Encuentre el
volumen mas grande posible de ese cilindro.
8. Una ventana tiene forma de rectángulo rematada por un semicírculo (por
consiguiente el diámetro del semicírculo es igual al ancho del rectángulo).
Si el perímetro de la ventana es de 4.3 m., encuentre las dimensiones de la
ventana de modo que entre la mayor cantidad posible de luz.
9. Una cerca de 2.7 m. de altura esta situada paralela a un edificio a una
distancia de 3.2 m. de este. Cual es la longitud de la escalera mas corta
que llegara desde el suelo, pasando por encima de la cerca, hasta la pared
del edificio?
10. Un bote sale de un muelle a las 2:00 p. m. y viaja hacia el sur a una
velocidad de 20 Km./h.. Otro bote ha estado viajando hacia el este a 15
km./h. y llega al mismo muelle a las 3 p. m.. En que momento estuvieron los
dos botes mas próximos?