Tarea de Combinatoria Entrenamiento XXVII OMM Zacatecas

Tarea de Combinatoria
Entrenamiento XXVII OMM Zacatecas
Fernando Ibarra Tejeda
Aqui les dejo los problemas de la tarea de combinatoria que se entregará el
16 de agosto. Son 22 problemas y hay que hacerlos todos, si uno se les atora
escriban todo lo que puedan y entreguenlo, recuerden que la argumentación
vale mas que el resultado, ası́ que algo incompleto vale mas que nada, también
les pido que al escribir ordenen todas sus ideas y expliquenlas tanto como
puedan, en las tareas pasadas hubo quien entregó hojas con solo dibujos y
operaciones pero recuerden que en la olimpiada lo que escriban es lo que los
defenderá ante el jurado, es muy dificil darle puntos a algo poco entendible y
dicho esto quiero decirles que pienso tomar en cuenta la claridad, firmeza y
orden de sus argumentos a la hora de asignar los 2 puntos de combinatoria.
Bueno, echenle ganas y disfruten sus vacaciones ;)
Problema 1.- En una habitación de área 5 se colocan 9 alfombras, cada
una de área 1 y forma arbitraria. Prueba que hay dos alfombras que se
traslapan por lo menos 19 .
Problema 2.- Consideremos un polı́gono regular de diecisiete lados. Cada una de sus diagonales (incluyendo los lados) se pintan con alguno de
tres colores distintos (digamos rojo, azul y verde). Demuestre que hay un
triángulo cuyos vértices son vértices del poligono y tal que sus tres lados
están pintados del mismo color.
Problema 3.- En una mesa de un restaurant seis personas ordenan arrachera, tres piden enchiladas, dos piden pollo y uno pide pasta.
(a)¿De cuántas maneras pueden servirse los 12 platillos de modo que
todos reciban lo que ordenaron?
(b)¿De cuántas maneras pueden servirse de modo que nadie reciba lo que
ordenó?
Problema 4.- Cada uno de los lados de un pentágono convexo se divide
en siete partes. ¿Cuántos triángulos se pueden construir usando tres de estos
puntos de división como vérties?
Problema 5.- Dados 12 enteros cualesquiera, prueba que se pueden escoger 2 de tal forma que su diferencia sea divisible entre 11.
Problema 6.- Se dan cinco puntos sobre una circunferencia. Se seleccio1
nan al azar cuatro de las cuerdas que unen dos de los cinco puntos. ¿Cuál es
la probabilidad de que las cuatro cuerdas formen un cuadrilátero convexo?
Problema 7.- Los doce números de un reloj se desprendieron y al colocarlos de nuevo, se cometieron algunos errores. Demuestre que en la nueva
colocación hay al menos un número que al sumarle los dos números que
quedaron a sus lados, se obtiene un resultado mayor o igual a 20.
Problema 8.- ¿Es posible cubrir una cuadrı́cula de 2011 × 2011 con
rectángulos de 1 × 2 colocados horizontalmente y con rectángulos de 1 × 3
colocados verticalmente?
Problema 9.- ¿Es posible pintar cada lado y cada diagonal de dodecágono regular usando 12 colores, de tal manera que para cualesquiera
3 colores exista un triángulo con vértices del polı́gono de lados pintados con
los 3 colores?
Problema 10.- Cada casilla de un tablero de 100 × 100 se pinta con
uno de cuatro colores de tal manera que hay exactamente 25 casillas de cada
color en cada columna y cada renglón. Denuestre que hay dos columnas y
dos renglones que se intersectan en cuatro casillas pintadas de distinto color.
Problema 11.- Demuestre que
( )
n
k
=
∑n
r=k
(
)
r−1
k−1
Problema 12.- Se divide un triángulo equilátero de lado n en n2 triangulitos de lado 1, mediante paralelas a los lados del triángulo. Se elige un
paralelogramo con sus cuatro vértices en vértices de triangulitos y sus cuatro
lados paralelos a los lados del triángulo. ¿De cuántas maneras se puede hacer
la elección del paralelogramo?
Problema 13.- ¿Puede un caballo en un tablero de ajedrez partir de la
esquina inferior izquierda y llegar a la esquina superior derecha, visitando
cada una de las casillas una y solamente una vez?
Problema 14.- En una fiesta hay el mismo número n de muchachos que
de muchachas. Supón que a cada muchacha le gustan a muchachos y que a
cada muchacho le gustan b muchachas. ¿Para qué valores de a y b es correcto
afirmar que forzosamente hay un muchacho y una muchacha que se gustan
mutuamente?
Problema 15.- En un tablero de 10 × 10 se escribe un número entero
en cada casilla de modo tal que la diferencia entre los números colocados
2
en casillas adyacentes sea siempre menor o igual que 1. (Dos casillas son
adyacentes si tienen un lado común).
(a) Encuentra un tablero que tenga la mayor cantidad posible de números
distintos y explica por qué no puede haber un tablero que tenga más números
distintos.
(b) Demuestra que en el tablero hay al menos un número que se repite
por lo menos 6 veces.
Problema 16.- En cierto paı́s hay dos estados. En el estado A hay a
ciudades y en el estado B hay b ciudades. Todas las ciudades se van a conectar
entre si, ya sea mediante autopista o mediante carretera de segunda clase (solo
una). Se quiere que al menos haya una ciudad de A conectada mediante una
autopista a alguna ciudad de B. ¿Cuántos diseños distintos pueden hacerse
con estas condiciones?
Problema 17.- Hay 2013 puntos en el plano. Dos jugadores A y B juegan
a trazar lı́neas entre los puntos por turnos. Empieza A. Gana el primero que
complete un ciclo. ¿Cuál de los jugadores tiene estrategia ganadora?
Problema 18.- Considera un conjunto finito de puntos en el plano con
la propiedad de que la distancia entre cualesquiera dos de ellos es a lo mas 1.
Demuestra
que el conjunto de puntos puede ser encerrado en un cı́rculo de
√
3
radio 2 .
Problema 19.- Sea m =
( )
n
2
, demuestra que
( )
m
2
=3
(
n+1
4
)
Problema 20.- Todos los puntos de una lı́nea recta se colorean con 11
colores. Prueba que es posible encontrar dos puntos del mismo color que estén
separados por un número entero de centı́metros.
Problema 21.- Un candado tiene 16 llaves acomodadas en una cuadrı́cula de 4 × 4 y cada una de ellas está en posición horizontal o vertical. Para
poder abrir el candado, todas las llaves deben estar en posición vertical,
Cuando una llave se cambia de posición (vertical a horizontal o viceversa),
las llaves que están en el renglón y en la columna donde se encuentra ésta,
cambian de posición automáticamente. Pruebe que siempre es posible abrir
el candado, independientemente del acomodo inicial de las llaves. (Nota: No
es posible cambiar simultaneamente las posicsiciones de dos o más llaves.)
Problema 22.- En una fiesta con n personas ocurre que cada quien es
amigo de tres personas exactamente (las amistades son mutuas) ¿Cuales son
los posibles valores de n?
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