Ecuaciones de la recta y del plano en el espacio

Ecuaciones de la recta y el plano en el espacio
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Ecuaciones de la recta en el espacio
P( x0 , y0 , z0 ) y tiene la dirección del vector V (vx , v y , vz ) , tenemos:
Si una recta pasa por el punto
Ecuación vectorial de la recta
OX = OP + λ ⋅V
⇒
( x, y, z ) = ( x0 , y0 , z0 ) + λ ⋅ (v x , v y , v z )
Ecuaciones paramétricas de la recta
⎧ x = x0 + λ ⋅ v x
⎪
⎨ y = y0 + λ ⋅ v y
⎪
⎩z = z0 + λ ⋅ v z
Ecuación continua de la recta
x − x0 y − y0 z − z0
=
=
vx
vy
vz
Ecuaciones implícitas de la recta (como intersección de dos planos)
⎧ A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
⎨
⎩ A2 x + B2 y + C 2 z + D 2 = 0
Vector director de la recta: V = ( A1 , B1 , C1 ) × ( A2 , B2 , C 2 )
Haz de planos que contienen a la recta: α ( A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + β ( A2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 ) = 0
Ecuaciones del plano en el espacio
Si un plano pasa por el punto
los vectores
P( x0 , y0 , z0 ) y tiene la dirección de
U (u x , u y , u z ) y V (vx , v y , vz ) , tenemos:
Ecuación vectorial del plano
OX = OP + λ ⋅U + µ ⋅V
→
( x, y , z ) = ( x0 , y0 , z0 ) + λ ⋅ (u x , u y , u z ) + µ ⋅ (v x , v y , v z )
Ecuaciones paramétricas del plano
⎧ x = x0 + λ ⋅ u x + µ ⋅ v x
⎪
⎨ y = y0 + λ ⋅ u y + µ ⋅ v y
⎪
⎩ z = z0 + λ ⋅ u z + µ ⋅ v z
Ecuación general del plano
x − x0
y − y0
ux
uy
vx
v y = 0 → Ax + By + Cz + D = 0
z − z0
uz
vz
Vector perpendicular (normal o característico) del plano: Vπ = ( A, B, C )