ÁLGEBRA II

ÁLGEBRA II
2011
(L. S. I. – P. I.)
G
Guuííaa ddee TTrraabbaajjooss P
Prrááccttiiccooss N
Nºº 44
Facultad de Ciencias Exactas y Tecnologías
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SANTIAGO DEL ESTERO
PPrroodduuccttoo V
Veeccttoorriiaall.. R
Reeccttaa.. PPllaannoo
1. Calcule el área del paralelogramo de lados:
a) (-2, 0,-2) y (3, 1,-1)
b) 2i + j y 5i – 2 j + 2k
2. Determine el área del triángulo cuyos vértices son los extremos de los vectores u, v y w
u = (1,0,-2) v = (-1,1,0) w = (2,-1,1)
3. Calcule el volumen del paralelepípedo de aristas:
2i – 4j + 2k, i – j y j + k
4. Halle un vector unitario que resulte ortogonal a los vectores u = (1, 1,-3)
v = (0,2, 4)
5. Dados P = (1, 0), Q = (0, -3) y A = (1, 2)
a) Determine las ecuaciones vectorial, paramétricas y cartesiana de la recta que contiene a P y tiene
como vector dirección a A.
b) Halle las ecuaciones vectorial, paramétricas y cartesiana de la recta que contiene a P y Q
6. Dados P = (3, 2, -5), Q = (2, 1, -2) y A = (3, -2,1)
a) Determine las ecuaciones vectorial, paramétricas y cartesianas de la recta que contiene a Q y tiene
como vector dirección a 2A.
b) Halle las ecuaciones vectorial, paramétricas y cartesianas de la recta que contiene a P y Q.
c) Determine 2 puntos distintos de P y Q que pertenezcan a la recta del ítem b).
x + 3 y − 2z = 1
de R3, determine su vector dirección.
2 x − 3 y + z = 0
7. Dadas las ecuaciones cartesianas de la recta R: 
8. Dados los siguientes pares de rectas, determine su posición relativa y si se cortan, halle el punto de
intersección:
a) (x, y) = (2, 1) + t (1,1)
y
(x, y) = (1, 0) + s (-5, -5)
b) x + 2y = 1
y
2x – y = 2
c) (x, y, z) = (-1, 2, 1) + t (4, 3, 0) y (x, y, z) = (0, 1, 0) + s (1, 3, 2)
9.
Determine k de modo que las siguientes rectas resulten ser ortogonales:
x - 5 = 2t
-y + 2 = t
z-7=t
x - y - z = -2
2x - y + kz = 2
10. Dados P = (1, 2, 3), Q = (-1, -2, -3), R = (0, 1, -1) y N = (2, 1, -1).
a) Determine la ecuación cartesiana del plano que contiene a P y es ortogonal a N e indique
aproximadamente la posición del plano.
Guía de Trabajos Prácticos Nº 4
ÁLGEBRA II (L.S.I – P.I.)
b) Determine la ecuación del plano que contiene a los puntos P, Q y R. Dibuje el plano.
11. Halle la ecuación cartesiana del plano:
a) paralelo al plano XY y situado a 3 unidades por debajo de él.
b) ortogonal al eje OZ en el punto (0,0,6).
c) que contiene al punto (2,-3,4) y es ortogonal a la recta que une dicho punto con (4,4,-1).
d) que contiene al punto (3,-2,4) y es ortogonal a la recta
x −1 y z −1
= =
2
4
−3
e) ortogonal al segmento de recta determinado por (-3,2,4) y (5,4,-2) en su punto medio.
f) que contiene al punto (-1,2,4) y es paralelo al plano 2x – 3y – 5z + 6 = 0.
12. Determine la intersección de la recta L y el plano P
L : (x,y,z) = (1,1,1) + t(2,-1,3)
P : 2x+3y-z=7
2 x − 3 y = 0
con cada uno de los planos de coordenadas.
x − y + z = 1
13. Encuentre la intersección de la recta R : 
14. Halle la intersección del siguiente plano 5x – 4y + 2z – 1 = 0 con los planos de coordenadas
15. Halle dos planos cuya intersección sea la recta de ecuación:
(x, y, z) – (1, 0, –3 ) = t (1, 2, 0)
2
F.C.E. y T. – UNSE
Guía de Trabajos Prácticos Nº 4
ÁLGEBRA II (L.S.I – P.I.)
ÁLGEBRA II
2011
(L. S. I. – P. I.)
G
Guuííaa C
Coom
mpplleem
meennttaarriiaa N
Nºº 44
P
Prroodduuccttoo V
Veeccttoorriiaall.. R
Reeccttaa.. P
Pllaannoo
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Pruebe las siguientes propiedades del producto vectorial.
a) ∀ u, v ∈ R3–{Ov} : u x v ⊥ u
y uxv ⊥ v
b) ║ u x v ║2 = ║u║2 ║v║2 - (u.v)2
c) ║ u x v ║ = ║u║ ║v║ sen α, α es el ángulo entre u y v
d) u x v = −(v x u)
e) u x (v + w) = (u x v) + (u x w)
f) u x (av) =(au) x v = a(u x v)
g) u x v = Ov ⇔ {u, v} es linealmente dependiente
h) i x i = j x j = k x k = Ov
ixj=k
kxj=i
kxi=j
i) ║u x v║ representa el área del paralelogramo de lados u y v.
j)u.(v x w)es el volumen del paralelepípedo de aristas u, v y w.
Respuesta:
Se demostrarán solo algunas propiedades, las restantes quedan para el alumno.
d) u x v = −(v x u)
Sean u = (a1,a2,a3) y v = (b1,b2,b3) vectores de R3, por definición de producto vectorial:
3
F.C.E. y T. – UNSE
Guía de Trabajos Prácticos Nº 4
ÁLGEBRA II (L.S.I – P.I.)
u x v = ( a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1 )
(a)
por otra parte:
−(v x u) = −( b2a3 − b3a2, b3a1 − b1a3, b1a2 − b2a1 ) = ( −b2a3 + b3a2, −b3a1 + b1a3, −b1a2 + b2a1 ) (b)
se observa que los segundos miembros de las expresiones (a) y (b) son iguales por la
conmutatividad de la suma y el producto en R, por lo que los primeros miembros son iguales.
e) Se debe probar que u x (v + w) = u x v + u x w
Sean u y v como en el anterior y w = (c1, c2, c3)
u x (v + w) = (a1, a2, a3) x (b1 + c1, b2 + c2, b3 + c3)=
= ( a2(b3+c3) − a3(b2+c2) , a3(b1+c1) − a1(b3+c3) , a1(b2+c2) − a2(b1+c1)) =
=(a2b3 + a2c3 − a3b2 − a3c2, a3b1 + a3c1 − a1b3 − a1c3, a1b2 + a1c2 − a2b1 − a2c1)
Agrupando términos se tiene que:
u x (v + w) = ( a2b3 − a3b2 + a2c3 − a3c2 , a3b1 − a1b3 + a3c1 −a1c3 , a1b2 − a2b1 + a1c2 −a2c1 ) =
= (a2b3 −a3b2, a3b1 − a1b3, a1b2 − a2b1) + (a2c3 −a3c2, a3c1 − a1c3, a1c2 − a2c1)=
= (u x v) + (u x w)
h) i, j, k son los versores fundamentales de R3, esto es:
i = (1,0,0) j = (0,1,0) k = (0,0,1)
Entonces:
i x i = (1,0,0) x (1,0,0) = (0.0 − 0.0, 0.1 −1.0, 1.0 − 0.1) = (0,0,0)
Análogamente para j x j
y kxk
i x j = (1,0,0) x (0,1,0)=(0.0 − 0.1, 0.0 − 0.0, 1.1 − 0.0) = (0, 0, 1) = k
Análogamente para k x j
y kxi
j) Se debe probar que │u.(vxw)│ es el volumen del paralelepípedo de aristas u, v y w
Q
u
vxw
β
α h
w
O
P
v
4
F.C.E. y T. – UNSE
Guía de Trabajos Prácticos Nº 4
ÁLGEBRA II (L.S.I – P.I.)
El volumen de un paralelepípedo está dado por:
V = área de la base . altura
Observando la figura se tiene que la base es el paralelogramo de lados v y w, cuya área es según la
propiedad anterior
║vxw║
(a)
Además la altura h, del paralelepípedo es:
h = ║ u ║ cosα (b)
en el triángulo rectángulo OPQ de la figura.
Luego reemplazando (a) y (b) en la fórmula del volumen se tiene:
V = ║ v x w║ ║ u ║ cosα
Por otra parte si se observa la figura α = β por ser ángulos alternos internos entre paralelas y β
es el ángulo formado por los vectores u y v x w, de modo que la expresión anterior queda:
V = ║ v x w ║ ║ u ║ cos β
ahora bien, el segundo miembro de esta igualdad es el producto interior de los vectores u y v x w
(por ∗), por lo tanto:
V = u . (v x w)
se toma valor absoluto ya que el volumen es un número positivo.
Referencia
(∗
∗) si β es el ángulo entre los vectores x e y entonces
x ..y
cosβ
β=
⇒ x . y = ║x║║y║ cosβ
β
║x║ ║y║
2. Dados u = (a1, a2, a3) y v = (b1, b2, b3) dos vectores cualesquiera de R3, se hará un acuerdo
notacional : a u x v puede considerarse formalmente expresado por el desarrollo del
determinante:
i j k
uxv =
a1 a2 a3
b1 b2 b3
De modo que desarrollando el determinante dado por la primera fila, se tiene:
i
j
a1
a2 a3
b1
k
= (a2b3 − a3b2)i − (a1b3 − a3b1)j + (a1b2 − a2b1)k =
= (a2b3 − a3b2)i + (a3b1 − a1b3)j + (a1b2 −a2b1)k =
b2 b3
5
F.C.E. y T. – UNSE
Guía de Trabajos Prácticos Nº 4
ÁLGEBRA II (L.S.I – P.I.)
(1)
= (a2b3 − a3b2, a3b1 − a1b3, a1b2 − a2b1) = u x v
Referencia:
(1) si (x1,x2,x3) es un vector de R3, este se puede descomponer según los versores fundamentales como:
(x1,x2,x3) = x1i + x2j + x3k
Usando lo dicho anteriormente y para u = (5,-2,4) y v = (-1,0,2)
Resuelva ║uxv║
Respuesta:
i
uxv=
j
k
5 -2
-1
0
4
= (-4+0)i + (-4-10)j + (-2)k = (-4,-14,-2)
2
luego:
║ u x v ║ = ║(-4,-14,-2)║ =
=
23.33
= 2.3
(-4)2 + (-14)2 + (-2)2
= 16 + 196 + 4 = 216
=
2 .3 = 6√6
3. Calcule el área del paralelogramo de aristas: u = i − j + 5k y v = 2i + 4j − 8k
Respuesta:
Teniendo en cuenta la propiedad i) de producto vectorial el área está dada por ║u x v║.
Ahora bien u = i − j + 5k = (1, -1, 5) y v = 2i + 4j − 8k = (2, 4, 8)
Entonces según el ejercicio anterior:
i j k
u x v = 1 -1 5
= (8-20)i + (10-8)j + (4+2)k = -12i + 2j + 6k = (-12,2,6)
2 4 8
y área = ║u x v║ = ║(-12,2,6)║ =
(-12)2 + 22 + 62 = 144 + 4 + 36 = √184
4. Muestre que si u = (a1, a2, a3), v = (b1, b2, b3) y w = (c1, c2, c3), entonces:
a1 a2 a3
u.(vxw) = b1 b2 b3
c1 c2 c3
6
F.C.E. y T. – UNSE
Guía de Trabajos Prácticos Nº 4
ÁLGEBRA II (L.S.I – P.I.)
Respuesta:
Resolviendo el p.i.
u.(v x w) = (a1, a2, a3) . (b2c3 −b3c2, b3c1 − b1c3, b1c2 − b2c1) =
= a1(b2c3 − b3c2) + a2(b3c1 − b1c3) + a3(b1c2 − b2c1) (a)
el último miembro de (a) no es otra cosa que el desarrollo por la primera fila del determinante
arriba mencionado.
5. Calcule el volumen del paralelepípedo de aristas:
u = i − j, v = 3i + 2k y w = −7j + 3k
Respuesta:
Recordando la propiedad j) de producto vectorial, el volumen del paralelepípedo de aristas u, v y
w está dado por:
V = │u.(v x w)│ y teniendo en cuenta el ejercicio anterior el volumen será el valor absoluto del
determinante de la matriz cuya 1°,2° y 3° filas son respectivamente las componentes de u, v y w.
Luego, resolviendo el determinante, se tiene:
u . (v x w) =
1 -1
0
3
0
2
0 -7
3
= 1(0 + 14) + 1(0 – 9) + 0( −21 + 0) = 5
y V = │u . (v x w)│ = │5│ = 5
6. Encuentre un vector unitario perpendicular a los vectores u = (2,-6,3) y v = (4,3,-1)
Respuesta:
Teniendo en cuenta la propiedad a) del producto vectorial, se tiene que siempre que se
multipliquen vectorialmente dos vectores se obtiene un vector ortogonal a ambos, luego para
encontrar un vector ortogonal a u y v se calcula el vector u x v
i
uxv =
j k
2 -6 3
= (6 - 9)i + (12 + 2)j + (6 +24)k = -3i + 14j + 30k
4 3 -1
Llámese w al vector encontrado.
Se sabe que w es ortogonal a u y v pero se pide además que el vector sea unitario y como el
versor de w tiene la misma dirección que w y norma 1, entonces el versor de w es el vector
buscado.
Entonces:
7
F.C.E. y T. – UNSE
Guía de Trabajos Prácticos Nº 4
ÁLGEBRA II (L.S.I – P.I.)
1
1
1
w=
(-3i+14j+30k) =
2
║w║
2
(-3i+14j+30k)=
2
(-3) + 14 + 30
1
=
9+196+900
-3
(-3i+14j+30k) =
1105
14
i +
1105
30
j +
1105
k
1105
7. Determine las ecuaciones vectorial, paramétricas y cartesianas de la recta que contiene a P y es
paralela al vector A. Siendo P = (-3, 2, -1) y A = i + 5j – 4k
Respuesta:
La ecuación vectorial de la recta es: X – P = t A
De acuerdo a esto:
(x, y, z) − ( −3,2, −1) = t (1,5, −4) Ec. vectorial
Restando en el primer miembro y multiplicando en el segundo:
(x + 3, y – 2, z + 1) = (t, 5t, −4t)
e igualando:

x + 3 = t
x + 3 = t


y −2
o bien:
=t
Ec. Paramétricas
 y − 2 = 5t

 z + 1 = −4t
 5

z +1
 − 4 = t
y como en las ecuaciones anteriores los segundos miembros son iguales, los primeros miembros
también lo son, entonces:
y − 2 z +1
x+3=
=
Ec. Cartesianas
5
−4
8. Determine las ecuaciones vectorial, paramétricas y cartesiana de la recta determinada por los
puntos P = (1, 3) y Q = (-1, 2)
Respuesta:
La ecuación vectorial de la recta que contiene a los puntos P y Q es:
X – P = t(P – Q)
Entonces:
(x, y) − (1,3) = t [(1, 3) − (−1, 2) ]
(x – 1, y – 3 ) = t (2, 1) Ec Vectorial
Operando e igualando:
8
F.C.E. y T. – UNSE
Guía de Trabajos Prácticos Nº 4
ÁLGEBRA II (L.S.I – P.I.)
 x − 1 = 2t

y − 3 = t
x −1
=t

 2
 y − 3 = t
o bien
y la Ec. cartesiana es:
Ec. Paramétricas
x −1
= y−3
2
9. Obtenga las ecuaciones paramétricas de la recta R, cuyas ecuaciones cartesianas se dan a
continuación:
x − 3y + z = 2
R:
−2x + y + 3z = 1
Respuesta:
Como puede observarse, las ecuaciones cartesianas de la recta R forman un sistema de dos
ecuaciones lineales con tres incógnitas.
Por otra parte en cada una de las ecuaciones paramétricas solo figura una de estas variables, por
lo que en primer lugar, se debe tratar de expresar a dos de las variables en términos de una sola
(Por ejemplo: x e y en función de z) y para ello se aplica el método de Gauss-Jordan a la matriz
ampliada del sistema.
1 -3 1
-2 1 3
2
1
Aplicando Gauss-Jordan queda:
1
0
0 -2
1 -1
-1
-1
Por lo que el sistema equivalente al dado es:
x − 2z = −1
y − z = −1 que puede escribirse como:
x + 1 = 2z
y+1= z
Como se puede observar x e y quedaron expresadas en función de z que varía en todos los reales,
es decir que z cumple el papel del parámetro "t". Por lo tanto haciendo z = t, se tiene:
x + 1 = 2t
y + 1 = t que son las ecuaciones paramétricas de R.
z = t
9
F.C.E. y T. – UNSE
Guía de Trabajos Prácticos Nº 4
ÁLGEBRA II (L.S.I – P.I.)
10. Investigue si las siguientes rectas son paralelas a la recta de ecuación
R : (x, y, z) − (2,3,0) = t (2,-1,1)
i) R1: (x, y, z) = (1,5,1) + t (1,-1/2,1/2)
x−4 y−3 z
=
=
4
3
2
Respuesta:
ii) R2 :
Recordando la definición:
Las rectas X − P = t A y X − Q = t B son paralelas sii A ⁄⁄ B
El vector de dirección de la recta dada es: A = (2,-1,1)
i) La recta R1 tiene como vector dirección a B = (1,-1/2,1/2)
Para que A ⁄⁄ B debe ser posible encontrar un α ∈ R– {0} tal que B = αA
es decir:
(1, -1/2, 1/2) = α(2,-1,1)
o lo que es lo mismo:
(1, -1/2, 1/2) = (2α, -α, α)
e igualando queda:
2α = 1
− α = −1/2 ⇒ α = 1/2
de esto se deduce que existe α=1/2 que cumple dicha condición, luego A // B y por lo tanto las
rectas son paralelas.
ii) Las componentes del vector de dirección de R2 están dadas por los denominadores que aparecen
en las ecuaciones cartesianas.
Esto se ve claramente al hacer el proceso inverso, es decir, partiendo de las ecuaciones
cartesianas para llegar a la ecuación vectorial.
En efecto, las ecuaciones
x−4 y−3 z
=
=
4
3
2
se pueden expresar como:
x − 4
 4 =t
 x − 4 = 4t


y −3
o lo que es lo mismo  y − 3 = 3t
= t para t ∈ R

 3
 z = 2t

z
=
t
2

que son las ec. paramétricas de la recta, por lo tanto el vector de dirección de esta recta es
B = (4, 3, 1)
10
F.C.E. y T. – UNSE
Guía de Trabajos Prácticos Nº 4
ÁLGEBRA II (L.S.I – P.I.)
Luego resta ver si existe α ∈ R –{0} / B = αA, por lo que:
(4,3,1) = α (2,-1,1)
operando e igualando:
2α = 4
-α = 3
α=1
Este sistema es incompatible puesto que no existe ningún α que satisfaga
las tres ecuaciones, por lo tanto B no es paralelo a A con lo que se concluye que las
rectas no son paralelas.
11. Indique si las siguientes rectas son ortogonales a la recta de ecuación:
L: ( x, y, z ) − (1,5,−2) = t (1,0,−2)
i) L1: ( x + 2, y − 1, z ) = t (6,5,3)
x − 5 = t

ii) L2:  y + 3 = 2t
 z = −3t

Respuesta:
Recordando la definición:
Las rectas X − P = t A y X − Q = t B son ortogonales sii
A⊥B
i) La recta L tiene vector dirección A = (1, 0, -2) y la recta L1 tiene vector dirección B = (6, 5, 3)
y en virtud de la definición para que L y L1 sean ortogonales, deben ser ortogonales A y B, es
decir su producto interior debe ser igual a cero.
Entonces:
A . B = (1,0, −2) . (6,5,3) = 6 + 0 − 6 = 0
y por lo dicho anteriormente L ⊥ L1
ii) El vector dirección de L2 es C = (1, 2, −3), entonces:
A . C = (1,0,−2) . (1,−2,3) = 1 + 0 − 6 = −5
Se puede ver que el producto interior de A y C es distinto de cero por lo cual A y C no son
ortogonales lo que implica que L y L2 tampoco lo son.
12. Sea L1 la recta que contiene a los puntos (1,0,1) y (2,1,2), sea L2 la recta que contiene al origen
y es paralela a (1,0,1). Determine la recta que contiene al punto (2,0,-3) y es ortogonal a L1 y
L2.
Respuesta:
Las ecuaciones vectoriales de las rectas dadas son:
L1 : (x, y, z) − (1,0,1) = t [(2,1,2) − (1,0,1)] que es lo mismo que
(x, y, z) − (1,0,1) = t (1,1,1)
11
F.C.E. y T. – UNSE
Guía de Trabajos Prácticos Nº 4
ÁLGEBRA II (L.S.I – P.I.)
L2 : (x, y, z) = t (1,0,1)
Ahora bien se desea encontrar una recta ortogonal a L1 y L2, lo que significa que su vector
dirección, que se llamará C, debe ser ortogonal a los vectores de dirección de L1 y L2 a los que se
llamará A y B respectivamente.
i j
Es decir: C = A x B =
k
1 1 1
= i − k = (1, 0, −1)
1 0 1
Luego la recta ortogonal a L1 y L2 y que contiene al punto (2, 0, −3) tiene por ecuación
vectorial:
(x, y, z) − (2, 0, -3) = t (1,0,−1)
13. Sean las rectas:
R1 = { X/ X − P = t A }
y R2 = { X/ X − Q = t B }
Se dice que β es el ángulo entre R1 y R2 si β es el ángulo entre los vectores A y B y se hablará de
ángulo entre dos rectas aún en el caso en que no se intersecten.
Determine el ángulo entre las rectas R1 y R2 y entre R2 y R3 del ejercicio 11.
Respuesta:
El ángulo entre R1 y R2 es el ángulo entre los vectores A = (1, 0, −2) y B = (6, 5, 3)
luego:
(1,0,-2) . (6,5,3)
cos β =
6+0–6
=
║(1,0,-2)║║(6,5,3)║
= 0
║A║║ B║
por lo tanto β = 90° y coincide con el resultado obtenido en el ejercicio 10, es decir, R1 y R2 son
ortogonales.
El ángulo entre R1 y R3 es el ángulo entre los vectores
A = (1, 0, -2) y C = (1, 2, -3)
Entonces
(1,0,-2).(1,2,-3)
cos α =
1+0+6
=
║(1,0,-2)║║(1,2,-3)║
7
=
12 + 02 + 22
12 + 22 + (-3)2
7
=
√5 √14
√70
7
con lo que α = arcocos
√70
12
F.C.E. y T. – UNSE
Guía de Trabajos Prácticos Nº 4
ÁLGEBRA II (L.S.I – P.I.)
14. Sea la recta R = {X/ X – P = t A}
Se llaman ángulos directores de la recta R a los ángulos directores de A y cosenos directores
de R, a los cosenos directores de A
Determine los ángulos entre la recta que contiene a los puntos P = (1,0,1) y Q = (0,1,0) y los
ejes de coordenadas.
Respuesta:
Los ángulos entre una recta y los ejes de coordenadas son sus ángulos directores.
El vector de dirección de la recta dada es A = P – Q = (1,0,1) − (0,1,0) = (1,-1,1)
Luego sus cosenos directores son:
1
1
2
π
cos α1 =
=
=
⇒ α1 =
(1,0,1)
2
4
2
cos α 2 =
−1
2
π
=−
⇒ α2 = 3
2
4
2
cos α 3 =
1
2
π
=
⇒ α3 =
2
4
2
15. Determine la ecuación vectorial y cartesiana del plano que contiene al punto P = (2,5,1) y es
ortogonal a A = (-3,1,1)
Respuesta
La ecuación vectorial del plano que contiene al punto P y es ortogonal al vector A, es:
(X – P) . A = 0
Reemplazando los valores de P y A se tiene:
[(x,y,z) − (2,5,1)] . (-3,1,1) = 0
es decir:
(x – 2, y – 5, z – 1) . (-3,1,1) = 0
y resolviendo el p.i. queda:
-3(x – 2 ) + 1(y – 5) + 1(z – 1) = 0
o sea
y agrupando términos:
−3x + 6 + y −5 + z − 1 = 0
−3x + y + z = 0
es la ecuación cartesiana del plano.
13
F.C.E. y T. – UNSE
Guía de Trabajos Prácticos Nº 4
ÁLGEBRA II (L.S.I – P.I.)
16. Determine la ecuación del plano que contiene a los puntos P = (2,0,0), Q = (0,3,0) y R = (0,0,2)
Respuesta:
La ecuación vectorial del plano que contiene a tres puntos es:
(X – P) . [(Q – P) x (R – P )] = 0 (∗)
Ahora bien para este caso es:
X – P = (x, y, z) − (2,0,0) = (x −2, y, z)
Q – P = (0,3,0) − (2,0,0) = (-2,3,0)
R – P = (0,0,2) − (2,0,0) = (-2,0,2)
i
Además:
j k
(Q – P) x (R – P) = (−2,3,0) x(−2,0,2) = − 2 3 0 = 6i + 4 j + 6k = (6,4,6)
−2 0 2
luego reemplazando en (∗) los valores obtenidos:
(x – 2, y, z) . (6,4,6) = 0
y resolviendo el producto interior se tiene:
6(x – 2) + 4y + 6z = 0
distribuyendo y acomodando términos se llega a la ec. vectorial del plano
6x + 4y + 6z – 12 = 0
17. Escriba la ecuación vectorial del plano de R3 cuya ecuación cartesiana es 2x + 3y = 2
Respuesta:
La expresión 2x + 3y = 2 se puede escribir como:
2x – 2 + 3y = 0 que es equivalente a:
2(x – 1) + 3(y – 0 ) + 0(z – 0 ) = 0
Se observa que el primer miembro de la última igualdad es el producto interior de los vectores
(2, 3, 0) y (x – 1, y – 0, z – 0 ), por lo tanto:
(x – 1, y – 0, z – 0 ) . (2, 3, 0) = 0
o bien
[(x, y, z) − (1,0,0)] . (2, 3, 0) = 0
es la ec. Vectorial del plano que contiene al punto (1,0,0) y es ortogonal al vector (2,3,0) y cuya
ecuación cartesiana es la dada.
14
F.C.E. y T. – UNSE
Guía de Trabajos Prácticos Nº 4
ÁLGEBRA II (L.S.I – P.I.)
Nota:
Obsérvese que las componentes de la normal al plano son respectivamente los coeficientes de x,y, z en la
ecuación cartesiana.
18. Determine cuales de los siguientes pares de planos son paralelos y cuales son ortogonales.
i) P1 : 2x − y + z = 0
P2 : 2x + 2z + 2 = 0
ii) P1 : x − y + 3z = 0
P2 : 2x − 2y + 6z − 1 = 0
iii) P1 : x + 2y − z + 2 = 0
P2 : x + y + 3z + 8 = 0
Respuesta:
Recordar que dos planos son paralelos sii sus normales lo son y son ortogonales sii sus normales
son ortogonales.
i) P1 tiene por normal al vector A = (2,-1,1) y la normal al plano P2 es B = (2,0,2)
Para determinar si P1 es paralelo a P2, o lo que es lo mismo si A es paralelo a B debe hallarse, si
existe, un α real distinto de cero tal que A = αB, es decir
(2,-1,1) = α(2,0,2)
por lo que debe existir α tal que:
2α = 2
0α = -1 puede verse claramente que el sistema es incompatible
2α=1
luego no existe α y los planos no resultan paralelos
Para saber si son ortogonales basta ver si A . B = 0, luego:
(2,-1,1) . (2,0,2) = 4 + 0 + 2 = 6 lo que significa que los planos dados no son ortogonales.
ii) Las normales de P1 y P2 son respectivamente A = (1, -1, 3) y B = (2, -2, 6)
¿∃ α ∈ R-{0} / A = αB ?
(1, -1, 3) = α(2, -2, 6)
Es evidente que α existe y es igual a 1/2 luego A//B por lo que P1//P2
iii) Las normales de P1 y P2 son A = (1,2,-1) y B = (1,1,3)
¿ ∃ α ∈ R-{0} / A = αB?
(1,2,-1) = α(1,1,3) y se puede ver fácilmente que no existe α que verifique la igualdad por lo
cual P1 y P2 no son paralelos, pero:
15
F.C.E. y T. – UNSE
Guía de Trabajos Prácticos Nº 4
ÁLGEBRA II (L.S.I – P.I.)
A . B = (1, 2, -1) . (1, 1, 3) = 1 + 2 – 3 = 0 lo que implica que los planos son ortogonales.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Sean A = (5, 0, -2), B = (2, 11, -1) y C = (1, 1, -1)
Determine:
a) A x B
b) B x A
c) ║A x C║
d) A x (B x C)
e) A x (B + C) f) (A x B) . (A x C)
2. Usando la propiedad (h) encuentre i x (i x j) e (i x i) x j a fin de demostrar que la asociatividad
no se verifica para el producto vectorial
3. Sean los vectores u = 2i + j − k y v = −3i − 2j + 4k
a)
Utilice el producto vectorial a fin de hallar el seno del ángulo formado por los vectores
dados.
b) Utilice el producto escalar a fin de hallar el coseno del ángulo entre u y v.
c) Verifique con los valores calculados, que sen2α+cos2α = 1
4. Calcule el área del paralelogramo de lados:
a) (0, 0, -1) y (3, 1, -1)
b) 2i + j + k y i + 5k
c) (1, 3, 7) y (-2, -4, 3)
d) (a, 0, 0) y (0, b, c)
5. Calcule el área del paralelogramo cuyos vértices adyacentes son:
a) (1, 0, 3), (2, 0, 0), (0, 4, 0)
b) (-2, 1, 0), (1, 4, 2), (-3, 1, 5)
c) (a, b, 0), (a, 0, b), (0, a, b)
6. Determine el área del triángulo cuyos vértices son los extremos de los vectores u, v y w
a) u = (0, 1, 2) v = (1, 1, 0) w = (2,3,-1)
b) u = 2i + j − k v = i − j + 2k w = i
7. Calcule el volumen del paralelepípedo de aristas:
a) 3i , 4j y 8k
b) (1, 0, 0) , (8, 7, 0) y (8, -4, 3)
8. Determine dos vectores unitarios que sean ortogonales a
u=i+j+k
v=i−j−k
9. Si u + v + w = Ov. Pruebe que u x v + v x w + w x u = 3(u x v)
16
F.C.E. y T. – UNSE
Guía de Trabajos Prácticos Nº 4
ÁLGEBRA II (L.S.I – P.I.)
10. Determine las ecuaciones vectorial, paramétricas y cartesianas de la recta que contiene a P y es
paralela a A. Dibuje dichas rectas.
a) P = (-1, 1) y A = (1, 0)
b) P = (2, 2, 1) y A = 2i − j − k
c) P = (-2, 3, -2) y A = 4 k
d) P = (0, 0, 0) y A = (1, 1, 1)
11. Determine las ecuaciones vectorial, paramétricas y cartesianas de la recta que contiene a P y
a Q. Dibuje dichas rectas.
a) P = (2,0) Q = (1,-1)
b) P = (1,2) Q = (-1,3)
c) P = (1,0,1) Q = (0,1,0)
d) P = (1,0,0) Q = (0,1,1)
12. Sea L la recta que contiene a los puntos (1,-1,4) y (2,4,-2).¿Cuáles de los siguientes puntos se
hallan sobre L?
P = (3/2, 3/2, 1) S = (0, -6, 10) Q = (0, -6, 11)
T = (3, 5, 7) R = (1, 5, -6)
Obtenga dos puntos de L distintos de los dados.
13. Determine el valor de k de modo que el punto (k, -2) pertenezca a la recta de ecuación:
a) (x, y) = (-1,2) + t (1,1)
b) y = x + 1
c)
x−2= t
y = 3t
14. Determine en todas sus formas las ecuaciones de los ejes coordenados OX, OY y OZ.
15. Determine las ecuaciones paramétricas de la recta cuyas ecuaciones cartesianas se dan a
continuación:
a)
x + 2y + 3z = 2
4x + 5y + 6z = 5
b)
−x+ y+ z+2=0
3x − y + 2z = 0
c)
3x - 5y - 4z = 6
x - 3y - 2z = 4
d)
−2x + 3y + 7z + 2 = 0
3x − 5y + 2z = 0
16. Determine k de modo que las siguientes rectas resulten ser paralelas:
x - 5 = 2t
−y + 2 = t
z–7 =t
x + ky + z = −2
x – y – 3z = 2
17. Pruebe que las rectas:
x − 2y + 2 = 0
y
2y + z + 4 = 0
son ortogonales.
7x + 4y − 15 = 0
y + 14z + 40 = 0
17
F.C.E. y T. – UNSE
Guía de Trabajos Prácticos Nº 4
ÁLGEBRA II (L.S.I – P.I.)
18. Determine las ecuaciones vectorial, paramétricas y cartesianas de la recta:
a) que contiene al punto (-2,4,3) y es paralela a la recta de ecuación (x, y, z) = (-1,2,0) + t(1,2,0)
b) que contiene al punto (2,-1,3) y es paralela al eje OX.
c) que contiene al punto (2,-1,3) y es paralela al eje OY.
d) que contiene al punto (2,-1,3) y es paralela al eje OZ.
e) que contiene al punto (3,-1,4) y es ortogonal a la recta cuyas ecuaciones cartesianas son:
x−1 = y/2 = z+1
f) contiene al punto (1,-2,2) y cuyos ángulos directores son 60°, 120° y 45°.
19. La ecuación cartesiana de una recta en R2 es una ecuación lineal con dos incógnitas. Realice
un esquema que represente gráficamente a:
a)
b)
c)
d)
e)
un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas compatible determinado.
un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas compatible indeterminado.
un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas incompatible.
un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas incompatible.
un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas compatible determinado.
20. Observe atentamente las siguientes situaciones de tres rectas en el plano.
Proponga un sistema que se adapte a cada una de las situaciones.
21. Halle el punto de intersección de las rectas de ecuaciones:
x + 2y = 0
x − y = −3
Proponga un sistema en el que aparezcan ecuaciones de rectas paralelas a las anteriores pero
cuyo punto de intersección sea (3,-2)
22. En el triángulo de vértices A =(-5,6), B =(-1,-4) y C =(3,2)
Halle:
a) las ecuaciones de sus medianas y el punto de intersección de las mismas.
b) las ecuaciones de las alturas y el punto de intersección de las mismas.
c) las ecuaciones de las mediatrices y el punto de intersección de las mismas.
d) pruebe que los puntos de intersección de las medianas, las alturas y las mediatrices están
alineados.
23. Determine la ecuación cartesiana del plano que contiene a P y es ortogonal a A e indique
aproximadamente la posición del plano.
18
F.C.E. y T. – UNSE
Guía de Trabajos Prácticos Nº 4
ÁLGEBRA II (L.S.I – P.I.)
a) P = (-2,2,6) A = (-1,1,0)
b) P = (-2,0,1) A = (0,2,0)
24. Escriba la ecuación vectorial de los siguientes planos:
a) 3(x – 5) – 2 (y – 4) + 4(z – 2) = 0
b) 3x – 4z = – 2
c) x – 2y + z = 0
25. Determine la ecuación del plano que contiene a los siguientes puntos:
P = (1, 0 , 3) Q = (-2, -4, 5)
R = (2, -1, 13)
26. Determine cuales de los siguientes pares de planos son ortogonales o paralelos.
a) P1: 2x – y + z = 0
P2: 2y + 2z + 2 = 0
b) P1: x – y + 3z = 0
P2: 2x – 2y + 6z – 1 = 0
c) P1: x + 2y – z + 2 = 0
P2: x – y + 3z + 8 = 0
27. Determine en cada caso, si el plano y la recta son ortogonales o paralelos.
a) (x – 1, y + 2, z – 2) . (1, -2, 0) = 0
x+3
y–5
=
=
2
z–1
3
b) [(x, y, z) − (2,3,-1)] . (2,-1,3) = 0
(x, y, z) − (5,2,0) = t (-4,2,-6)
c)
x + y − 3z = 0
x–1
y
=
2
z
=
2
-6
28. Determine la medida del ángulo que forman los planos
P1: 2x − y + z = 7 y P2: x + y + 2z − 11 =0
29. Halle la ecuación cartesiana del plano
a) paralelo al plano XY y situado a 3 unidades por debajo de él
b) ortogonal al eje OZ en el punto (0,0,6).
c) que contiene al punto (3,-2,4) y es ortogonal a la recta x – 1 = y = 2(z – 1)/3.
d) ortogonal al segmento de recta determinado por (-3,2,4) y (5, 4, -2) en su punto medio.
e) que contiene al punto (2,-3,4) y es ortogonal a la recta que une dicho punto con (4,4,-1).
f)que contiene al punto (-1,2,4) y es paralelo al plano 2x − 3y − 5z + 6 = 0.
30. Considere los planos de R3 cuyas ecuaciones cartesianas se dan a continuación:
P1: 2x + y − 2z – 1 = 0
P2: x – y + 2z = 0
a) Forme un sistema con las ecuaciones dadas y determine su conjunto solución.
b) Según lo obtenido en a) indique si estos planos se cortan o son paralelos.
19
F.C.E. y T. – UNSE
Guía de Trabajos Prácticos Nº 4
ÁLGEBRA II (L.S.I – P.I.)
31. Determine las siguientes intersecciones:
a) De los planos
P1: 9x + 12y + 3z – 7 = 0
b) De los planos
P1: x + y + z = 1,
y
P2: 12x + 16y + 4z – 9 = 0
P2: x − y + z = 0
y P3: x + y – z = 1
c) El plano que pasa por los puntos (1,0,0), (0,1,0) y (0,0,1) y el plano cuya ecuación cartesiana
es 3x – 5y + z = 0
d) Del plano que pasa por el origen con normal (1,1,1) y el plano que pasa por (0,0,2) con
normal paralela al eje z.
e) De la recta L: (x,y,z) = (3,-2,7) + t(2,-1,3) y el plano P: 2x + 3y – z = 7.
f) De la recta que pasa por los punto (3,2,3) y (1,0,1) y el plano de ecuación x + y + z = 0.
g) De la recta que pasa por el punto (-2,1,3) y es paralela al vector (-1,-1,-1), con cada uno de
los planos coordenados.
h) Del plano 2x – y + 2z – 2 = 0 con cada uno de los ejes de coordenadas.
32. Sean P1 = (1,-1,-1) y P2 = (-1,1,0)
Obtenga:
a) las ecuaciones vectorial y cartesiana del plano perpendicular a la recta que contiene a P1 y P2,
en P1.
b) las ecuaciones vectorial y cartesianas de la recta perpendicular al plano anterior sabiendo
que dicha recta contiene al punto P0 = (0,2,-3)
33. Determine la intersección de la recta L y el plano P, siendo:
L: (x, y, z) = (3,-2,7) + t(2,-1,3) y P el plano que contiene a los puntos (2,-1,3), (1,-1,2) y (2,3,-1)
34. Determine la intersección de los siguientes planos:
a) 2x + 3y − z + 4 = 0 y 4x − 6y − 2z + 1 = 0
b) x + y + z = 0 y 2x − y + 4 = 0
20
F.C.E. y T. – UNSE