EJERCICIOS DE POLINOMIOS 1. Halla el cociente y el resto de la

EJERCICIOS DE POLINOMIOS
1. Halla el cociente y el resto de la división:
(3x2 − 7x + 5) : (x2 − x + 1)
2. Halla el cociente y el resto de la división:
(x3 − 3x2 − 2) : (x2 + 1)
3. Calcula y simplifica:
a) −3x(x + 7)2 + (2x − 1)(−3x + 2)
b) (2a2 + a − 1)(a − 3) − (2a − 1)(2a + 1)
4. Halla el cociente y el resto de las siguientes divisiones:
a) (2x3 − x2 + 5x − 3) : (x − 2)
b) (x5 − 2x4 + x − 2) : (x + 1)
5. Indica cuáles de los números: 1, −1, 2, −2 son raı́ces de los siguientes polinomios:
A(x) = x3 − 7x − 6
B(x) = x3 − 6x2 − 4x + 24
C(x) = x4 − 2x3 − 11x2 + 12x
6. Usa el teorema del resto para comprobar si los siguientes polinomios son divisibles por
(x − 2)
P (x) = x3 + 3x2 − 10x
Q(x) = x3 + 2x2 − x − 2
7. Usa el teorema del resto para comprobar si los siguientes polinomios son divisibles por
(x + 1)
P (x) = x3 + 3x2 − 10x
Q(x) = x3 + 2x2 − x − 2
8. Usa la regla de Ruffini para comprobar si los siguientes polinomios son divisibles por
(x − 2)
P (x) = 2x3 − 5x2 − x + 6
Q(x) = −x4 + 3x3 − 2x2
9. Usa la regla de Ruffini para comprobar si los siguientes polinomios son divisibles por
(x + 1)
P (x) = 2x3 − 5x2 − x + 6
Q(x) = −x4 + 3x3 − 2x2
10. Comprueba si el polinomio x3 + 5x2 + 8x + 4 es divisible por (x + 1) Debes hacerlo de dos
formas: usando la regla de Ruffini y mediante el teorema del resto.
11. Factoriza los siguientes polinomios:
P (x) = x2 − 6x − 7
Q)x) = 4x2 + 8x − 12
1
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12. Factoriza los siguientes polinomios:
P (x) = 3x3 − 9x2 − 30x
Q)x) = x4 + 9x3 − 10x2
13. Factoriza los siguientes polinomios:
P (x) = 2x3 + 2x2 − 24x
Q)x) = x2 + 12x + 35
14. Factoriza los siguientes polinomios:
P (x) = x4 − x2
Q)x) = x3 − x2 − 12x
15. Calcula el valor de a para que el polinomio P (x) = x3 − ax2 + 5x − 2 sea divisible por
(x + 1)
16. Calcula el valor de k para que el polinomio P (x) = 2x4 + kx3 − 7x + 6 sea divisible por
(x − 2)
17. Calcula el valor de a para que el polinomio P (x) = ax3 − 3x2 + 5x + 9a sea divisible por
(x + 2)
18. Factoriza los siguientes polinomios:
P (x) = −x2 + 17x − 72
Q)x) = 4x3 + 17x2 + 15x
19. Factoriza los siguientes polinomios:
P (x) = 2x2 − 9x − 5
Q)x) = x3 + 3x2 + 4x + 12
20. Factoriza los siguientes polinomios:
P (x) = 3x2 + 2x − 8
Q)x) = x4 − 4x3 + 4x2 − 4x + 3
21. Factoriza los siguientes polinomios:
P (x) = 2x3 − 3x2
Q)x) = x3 − 7x2 + 14x − 8
22. Sean los polinomios: A(x) = −3x2 +4x
Calcula:
B(x) = 5x2 +3
C(x) = 3x4 +2x3 −x2 +5
a) A(x) + B(x) − C(x)
b) A(x) + 2 · B(x) − 3 · C(x)
c) 5 · A(x) − 2 · B(x)
23. Simplifica las siguientes expresiones factorizando previamente los polinomios del numerador y del denominador:
a)
2
x2 − 1
x+1
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b)
x2 − 4
(x + 2)2
24. Simplifica las siguientes expresiones factorizando previamente los polinomios del numerador y del denominador:
9x2 − 4
3x − 2
x2 + 6x + 9
b)
x2 − 9
a)
25. Factoriza los siguientes polinomios:
P (x) = x4 + 2x3 + 4x2 + 6x + 3
Q(x) = 9x4 + 18x3 − 31x2 − 8x + 12
26. Dados los polinomios A(x) = 2x4 − 3x3 + 2x − 1, B(x) = −3x4 + 2x2 − 3x − 4 y C(x) =
x2 − 2x + 1, calcula:
a) 5A(x) − 2B(x) − C(x)
b) A(x) · C(x)
27. Calcula el cociente y el resto de las siguientes divisiones:
a) (4x5 + 20x4 + 28x − 6) : (x2 + 5x)
b) (6x5 − 3x4 + 2x) : (x + 1)
28. Factoriza los siguientes polinomios:
P (x) = 4x4 + 4x3 − 67x2 + 62x − 15
Q(x) = x5 + x4 − 4x3 − 2x2 + 4x
29. Calcula el cociente y el resto de la siguiente división de polinomios: (2x3 − 3x2 + 4x + 8) :
(2x + 1)
30. Usa el teorema del resto para averiguar si la siguiente división de polinomios es exacta:
(2x3 − 5x2 + 4x − 3) : (x + 2)
31. Factoriza los polinomios:
P (x) = x3 − x2 − 4x + 4
Q(x) = 2x4 − 8x2
32. Calcula a y b para que el polinomio P (x) = x3 + ax2 + bx + b sea divisible por (x − 2) y
además se cumpla P (1) = 10
33. Calcula y simplifica:
x2 − 1 x + 1
:
x + 2 x2 − 4
34. Calcula el valor de k para que el polinomio 3x2 − 5x + k verifique:
a) sea divisible por (x − 2)
3
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b) el resto de la división entre (x − 2) sea 8
35. Encuentra las raı́ces de los siguientes polinomios:
x3 − 4x
2x4 − 32
x3 + 2x2 − 4x − 8
2
x + 9x
x 3
−
·
36. Opera y simplifica:
3 x
x−3
37. Halla el m.c.d. y el m.c.m. de los polinomios:
A(x) = x3 − x2 − 9x + 9
B(x) = x3 − 1
38. Hallar cociente y resto de la siguiente división: (4x5 + 15x4 + 10x2 − 20) : (x2 + 3x + 4)
39. Hallar cociente y resto de la siguiente división: (x6 − a6 ) : (x − a)
40. Razona:
¿Es x = 1 raı́z de 3x1001 − x500 + 4 ?
¿Es (x − 2) factor de 3x400 + 2x642 + x60 ?
41. Razona:
¿Es (x − 1) factor de (x4 − 16) ?
¿Es (x + 2) factor de (x4 + 16) ?
¿(2x55 − 5x10 + 3) es divisible por (x + 1) ?
¿Es x = 1 raı́z de (2x55 − 5x10 + 3) ?
42. Opera y simplifica
1
1
1
+ 2+ 3
x x
x
43. Opera y simplifica
x+1 x−1
+
x−1 x+1
1
1
1
−
− 2
x x+1 x
x+2 x−1
4x2 − 2x − 2
45. Opera y simplifica
−
· 1−
x−1 x+2
6x2 − 6x
44. Opera y simplifica
x2 + 3x + 2 x2 − 3x + 2
·
x2 − 4x + 4 x2 + x − 2
2
x+1 x−1
x + 4x − 1
47. Opera y simplifica
−
:
−1
x−1 x+1
x2 − 1
46. Opera y simplifica
48. Opera y simplifica
2x
3
x
+
− 2
− 1 2x + 2 x − 2x + 1
x2
49. Opera y simplifica
x2 − 4 x3 − 8
:
x3 + 1 x + 1
50. Opera y simplifica
x4 − 3x3 + 3x2 − x
x4 − 3x2 + 2x
4
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51. Opera y simplifica
x4 − 16
x3 − 2x2 + 4x − 8
52. Halla el valor de ((m)) para que el polinomio x2 + mx − 6 tenga como raı́z x = −2
53. Halla el valor de ((m)) para que el polinomio x4 − mx2 + 4 tenga como raı́z x = 2
54. Halla el valor de ((m)) para que (x + 5) sea factor del polinomio x3 − 4x − 12m
55. Opera y simplifica:
3−x x−1
−
x
x2
x2 − 6x + 5 2x2 − 8 2x − 10
·
:
56. Opera y simplifica: 2
x + 5x + 6 x2 − x x2 + 3x
57. Opera y simplifica:
x
1
−
x−1 x+1
3
2
+
x−2 x+1
5x
3
+
x+3 x−2
58. Calcula cociente y resto en la siguiente división de polinomios: (x5 − 32) : (x − 1)
59. Calcula cociente y resto en la siguiente división de polinomios: (−2 + 3x2 + 2x + 3x4 ) :
(x2 + 4 + 2x)
60. Hallar a , b y c sabiendo que en la división (4x2 − 8x + 3) : (2x + 1) se obtiene ax + b de
cociente y c de resto
61. Halla el valor de m para que el polinomio (x3 − mx2 − mx + 1) sea divisible por (x − 1)
62. Halla el valor de m para que al dividir el polinomio (x3 − 3x2 − mx + 12) por (x − 3) se
obtenga 9 de resto
63. Averigua el resto de las siguientes divisiones:
(x199 + 1) : (x − 1)
(x243 + 1) : (x + 1)
64. Simplifica la siguiente expresión:
2xy − xy 2
10x − 5y
65. Efectúa la siguiente operación: (5x6 − 4x4 − 9x2 − 10) : (x2 + 2)
66. Efectúa la siguiente división de polinomios: (5x6 − 4x4 − 9x2 − 10) : (x2 + 2)
67. Efectúa la siguiente división de polinomios: (6x4 − x3 + 5x2 + 3x − 14) : (2x2 − 3x + 7)
68. Saca factor común en las siguientes expresiones:
(x + 5) · (2x − 1) + (x − 5) · (2x − 1)
(3 − y) · (a + b) + (a − b) · (3 − y)
69. Indica si las siguientes divisiones son exactas:
(x10 − 1024) : (x + 2)
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(x6 − 64) : (x − 2)
(x99 + 1) : (x − 1)
(x75 + 1) : (x + 1)
70. Simplifica la expresión:
3a2 b2 − 6ab3
3a3 b − 6a2 b2
71. Efectúa la siguiente división de polinomios: (x3 − 3x2 − 2) : (x2 + 1)
72. Efectúa la siguiente división de polinomios: (6a3 + 5a2 − 9a) : (3a − 2)
73. Usa las igualdades notables para factorizar los polinomios:
x5 − 16x
9x2 − 6x + 1
4x2 + 12x + 9
74. Factoriza el polinomio x3 − 6x2 + 9x
75. Factoriza el polinomio 3x2 + 30x + 75
76. Extrae factores comunes en los siguientes polinomios:
5x3 + 10x2
3x4 − 9x3 + 18x
x4 − x
−2x3 + 6x2 − 4x
77. Efectúa usando la división tradicional de polinomios: (5x4 − 3x3 + 2x − 3) : (x − 1)
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