4. Extinción en tiempo finito del flujo de Ricci.

Extinción en tiempo finito del flujo de Ricci
Tobias Colding, William P. Minicozzi II
(Notas por Joaquı́n Pérez)
El objetivo de estas notas es probar que el flujo de Ricci sobre una 3-variedad
compacta M 3 produce singularidades para valores finitos del parámetro tiempo, bajo
condiciones sobre M que engloben las de la Conjetura de Poincaré, i.e. M tendrá los
mismos grupos de homotopı́a π1 , π2, π3 que S3 . De hecho, probaremos la extinción en
tiempo finito del flujo de Ricci en condiciones topológicas más generales: bastará que
M sea compacta, orientable y con π3(M) 6= 0. La utilidad de la extinción en tiempo
finito del flujo de Ricci estriba en que evita estudiar qué ocurre con dicho flujo
cuando t → ∞.
1.
Preliminares topológicos.
A menos que se diga lo contrario, M 3 será una variedad diferenciable1, compacta
y orientable.
Definición 1.1 M se dice prima si no puede escribirse como suma conexa de dos
3-variedades distintas de S3. Toda 3-variedad compacta y orientable se escribe de
1
Como estamos en dimensión 3, podemos cambiar “topológica” por “diferenciable” en el sentido
siguiente: en cada variedad topológica de dimensión n ≤ 3, existe una única estructura diferenciable
(probado por Randon para n = 1, 2, y por Moise para n = 3). En esta lı́nea: para n > 4, existe una
cantidad finita de estructuras diferenciables distintas en cada variedad topológica compacta; de
hecho, esta cantidad es la misma que la de Sn (Kirby y Siebenman). Por ejemplo, 7 es la dimensión
más baja para la que existen esferas exóticas (hay 28 de ellas, ver
http://www.answers.com/topic/differential-structure
para una tabla con el número de estructuras diferenciables en Sn con n ≤ 18). No se sabe cuántas
estructuras diferenciables admite S4 (la llamada Conjetura de Poincaré diferenciable afirma que
sólo existe una). En Rn sólo hay una estructura diferenciable salvo para n = 4, en cuyo caso hay
una cantidad no numerable.
1
forma única (salvo homeomorfismos) como suma conexa de 3-variedades primas
(descomposición prima).
M se dice irreducible si toda 2-esfera embebida en M es borde de una 3-bola. Ser
prima y ser irreducible son conceptos casi equivalentes: De la definición se deduce
que irreducible implica prima. En cuanto al recı́proco, si M es prima no irreducible,
entonces M = S2 × S1 (Proposición 1.4 en Hatcher [5]).
Los grupos de homotopı́a de una variedad M (no necesariamente compacta) se
definen ası́: Fijamos a0 ∈ Sk y p0 ∈ M.
cont.
πk (M, p0 ) = {[α: Sk → M] | α(a0) = p0 },
donde [α] es la clase de homotopı́a de α: Dos aplicaciones continuas α, β: Sk → M
con α(a0) = β(a0) = p0 se dicen homotópicas si existe H: Sk × [0, 1] → M continua
tal que H(·, 0) = α(·), H(·, 1) = β(·), H(a0 , t) = p0 ∀t ∈ [0, 1].
La construcción anterior no depende del punto a0 ∈ Sk ; de hecho, πk (M, p0 ) puede
verse como el conjunto de clases de homotopı́a de aplicaciones continuas f : [0, 1]k →
M que aplican el borde ∂[0, 1]k en p0 (las homotopı́as son entonces relativas a
∂[0, 1]k ). Con este lenguaje, la estructura de grupo es
[f ] ∗ [h] = [f ∗ h]
donde
(f ∗ h)(t1 , . . . , tk ) =
(
f (2t1 , t2, . . . , tk )
0 ≤ t1 ≤ 1/2,
h(2t1 − 1, t2 , . . . , tk ) 1/2 ≤ t1 ≤ 1.
Recogemos algunas propiedades de grupos de homotopı́a:
Si M es contráctil, entonces πk (M) = {0} ∀k. Esto se aplica a M = Rn .
πk (M1 × M2 , (p1 , p2 )) = πk (M1 , p1 ) × πk (M2, p2 ), y πk (M, p0 ) es abeliano para
cada k > 1 (ver por ejemplo Bott y Tu [1] Proposición 17.1).
(Dependencia del punto base) Si M es arcoconexa, entonces πk (M, p0 ) no depende de p0 , ∀k. Rigurosamente, dados p0 , p1 ∈ M existe un isomorfismo de
grupos entre πk (M, p0 ), πk (M, p1 ) (el razonamiento es el mismo que para π1; ver
por ejemplo [1] pág. 210). Eso no quiere decir que se pueda identificar πk (M)
con el conjunto [Sk , M] de clases de homotopı́a libre de aplicaciones continuas α: Sk → M: eso sólo puede hacerse cuando M sea simplemente conexa;
más concretamente, existe una acción de π1 (M) sobre πk (M) que induce un
cociente πk (M)/π1 (M) biyectivo al espacio [Sk , M] (Proposición 17.6.1 en [1]).
2
f → M es una proyección recubridora, entonces π (E, p
f0 ) = πk (M, π(p
f0 )),
Si π : M
k
∀k ≥ 2 ([1] Ejemplo 15.5). Por tanto:
• πk (Tn ) = πk (Rn ) = {0} ∀k ≥ 2, n ≥ 1 (Tn es un toro n-dimensional).
• πk (S1 ) = {0} ∀k ≥ 2.
• ∀Σ2 superficie compacta, Σ 6= S2, RP2 ⇒ πk (Σ) = {0} ∀k ≥ 2.
Usando que toda aplicación continua f : M → N es homotópica a una aplicación diferenciable, para calcular los grupos de homotopı́a de M uno puede
restringirse a aplicaciones f : [0, 1]k → M diferenciables.
Usando que una aplicación diferenciable f : [0, 1]k → Sn con k < n no puede
ser sobreyectiva (teorema de Sard) y que Sn − {p0 } admite como retracto a Rn ,
se prueba que πk (Sn ) = {0} siempre que k < n (Proposición 17.9 de[1]); esto
también puede verse como consecuencia del Teorema de Hurewicz (abajo).
El grado de aplicaciones continuas f : Sn → Sn produce un isomorfismo de
πn (Sn ) en Z (Proposición 17.10 de [1]). Por tanto, πn (Sn ) está generado por
[1Sn ].
(Grupos de homotopı́a y adjunción de celdas) Si M es un espacio topológico
n
y f : D → M una aplicación continua del disco cerrado n-dimensional en M,
n
el espacio topológico obtenido adjuntando una n-celda a M vı́a f es M ∪f D ,
n
i.e. el cociente de M ∪˙ D por la relación de equivalencia que identifica cada
n
x ∈ Sn−1 = ∂ Dn con f (x) ∈ M. Entonces, πk (M ∪f D ) = πk (M) ∀k < n − 1,
n
y πn−1 (M ∪f D ) es un cociente de πn−1 (M) (Proposición 17.11 de [1]).
(Relación entre los grupos de homotopı́a y los de homologı́a2 ) Si M es arcoconexa, entonces
π1(M)
.
H1 (M) =
[π1(M), π1 (M)]
La generalización a grupos de homotopı́a superiores es el siguente enunciado.
Teorema 1.1 (Hurewicz) 3 Sea X una variedad arcoconexa4 y k > 1. Si
π1 (M) = π2(M) = . . . = πk−1 (M) = {0} y πk (M) 6= {0}, entonces H1 (M) =
. . . = Hk−1 (M) = {0} y Hk (M) = πk (M).
2
Los grupos de homologı́a de Sn son: Hk (Sn ) = {0} si k 6= n, Hn (Sn ) = Z.
Teorema 17.21 de [1].
4
El teorema es válido para cualquier espacio topológico arcoconexo.
3
3
El cálculo de πk (Sn ) con n ≥ 2 y k ≥ n es en general un problema abierto.
Destacamos algunos casos conocidos:
• π3(S2 ) = Z está generado por la fibración de Hopf π : S3 → S2 , i.e. la
proyección de S3 = {(z, w) ∈ C2 | |z|2 + |w|2 = 1} en S3 / ∼ donde el
cociente es por la acción de S1 sobre S3 dada por eiθ ∗ (z, w) = (eiθ z, eiθ w)
(página 227 de [1]).
• π4(S3 ) = Z2 (pág. 252 de [1]).
• π5(S3 ) = Z2 (pág. 258 de [1]).
• πk (S2 ) = πk (S3) ∀k ≥ 3 (Corolario IV.8.13 en Whitehead [13]).
• πn+1 (Sn ) = Z2 ∀n ≥ 3 (Corolario 4J.4 en Hatcher [6]).
• πk (S4 ) = πk (S7) ⊕ πk−1 (S3) ∀k ≥ 2 (Corolario IV.8.13 en [13]).
• πk (S8 ) = πk (S15) ⊕ πk−1 (S7 ) ∀k ≥ 2 (Corolario IV.8.13 en [13]).
Nosotros adoptaremos la siguiente forma de la célebre conjetura de Poincaré.
Conjetura 1.1 (Poincaré) Si M 3 es una variedad compacta, orientable con π1 (M)
= π2 (M) = {0} y π3 (M) = Z, entonces M es homeomorfa a S3 .
Si queremos probar la conjetura de Poincaré vı́a el flujo de Ricci, debemos estudiar
la extinción en tiempo finito del flujo de Ricci para una variedad compacta M 3 que
cumpla π1 (M) = π2(M) = {0}, π3(M) = Z. Sin embargo, lo que sigue será cierto en
condiciones más generales: bastará que π3(M) 6= {0}. Colding y Minicozzi destacan
situaciones que implican esto último:
Definición 1.2 M se dice no asférica (nonaspherical) si algún grupo de homotopı́a
πk (M), k > 1, es no trivial.
f de M es contráctil, sabemos que ∀k > 1, π (M) =
Si el recubridor universal M
k
f
πk (M ) = {0}, y por tanto M es asférica. El Teorema de Whitehead asegura
que el recı́proco es cierto (basta que M sea un CW-complejo5 ), luego ser asférica
equivale a tener recubridor universal contráctil. Por ejemplo, S1 , todos los toros Tn
y todas las superficies compactas salvo S2 y RP2 son variedades asféricas.
5
Un CW-complejo X es un espacio topológico obtenido mediante adjunción recursiva de celdas
a partir de una colección de puntos (0-esqueleto). Las celdas de dimensión ≤ k de X se llaman el
k-esqueleto de X. Toda variedad diferenciable es un CW-complejo (una demostración en el caso
compacto puede encontrarse en el Teorema 17.19 de [1]).
4
Proposición 1.1 Sea M 3 una variedad diferenciable, compacta, orientable, prima
y no asférica. Entonces, π3(M) 6= 0.
Demostración. Tenemos dos opciones, según que M sea o no irreducible. Si M no
es irreducible, entonces M = S2 × S1 luego π3(M) = π3(S2 ) × π3 (S1 ) = Z.
Si M es irreducible, entonces π2 (M) = 0 por el Teorema de la esfera6 y π3 (M) 6= 0
por el Teorema de Hurewicz.
2
Tomemos entonces nuestra variedad M 3 compacta, orientable y con π3 (M) 6= 0.
Consideramos el espacio C 0(S2, M). Viendo este espacio como fibrado sobre M y
usando suspensiones sobre la sucesión exacta larga de grupos de homotopı́a asociados, Micallef y Moore [9] probaron que C 0 (S2 , M) no es simplemente conexo. Este
será el punto de partida para el siguente paso, el método de min-max.
2.
Anchura de una métrica: el método de minmax.
Fijemos una familia 1-paramétrica y continua de esferas
β : [0, 1] → C 0 ∩ H 1 (S2 , M)
cuyos extremos β(0), β(1) son aplicaciones constantes, tal que la clase de homotopı́a
[β] no es 0 (β existe por los preliminares topológicos, y suele llamarse un sweep-out).
Una forma gráfica de imaginar un sweep-out es pensar en una aplicación continua del
cilindro S2 × [0, 1] en M 3 , de forma que las esferas “superior” en “inferior” colapsan
en puntos de M, ver Figura 1. Este colapso para las esferas superior e inferior hace
que podamos pensar en un sweep-out como una aplicación de S3 en M.
Dado un sweep-out γ ∈ [β] y s ∈ [0, 1], γ(s) es una esfera (posiblemente con
autointersecciones) en M y su energı́a respecto de una métrica prefijada g en M es
1
Eg (γ(s)) = E(γ(s)) =
2
Z
S
2
kdγ(s)k2 ,
(1)
integral que tiene sentido porque estamos suponiendo γ(s) ∈ H 1 (S2 , M) (espacio de
Sobolev). El factor 12 en (1) hace que se cumpla
Area(γ) ≤ E(γ),
con igualdad si y sólo si γ es conforme.
6
(2)
Teorema de la esfera: Si M 3 es una variedad orientable con π2(M ) 6= 0, entonces existe un
2
embebimiento f : S → M cuya clase en π2 (M ) no es cero (ver por ejemplo el Corolario 3.9 en
Hatcher [5]).
5
Figura 1: Un sweep-out β en M 3 .
Figura 2: La anchura W (g) mide el ı́nfimo variando γ ∈ [β] de la energı́a (ó área)
mayor de las esferas γ(s).
Como s ∈ [0, 1] 7→ Eg (γ(s)) es continua, existe máxs∈[0,1] Eg (γ(s)). Este máximo
depende de γ ∈ [β]. Moviendo γ ∈ [β] definimos la anchura (width) de g:
W (g) = inf máx E(γ(s)).
γ∈[β] s∈[0,1]
(3)
Podrı́amos definir la anchura con el mismo procedimiento, pero cambiando energı́a
por área. La desigualdad (2) hace que la definición “usando área” sea menor o igual
que la definición “usando energı́a”. La desigualdad contraria se sigue de la existencia
de coordenadas isotermas, luego ambos funcionales producen la misma definición de
anchura. Usaremos esto en la demostración de la Afirmación 4.1.
Colding-Minicozzi definen W (g) cambiando el inf γ∈[β] por mı́nγ∈[β]. Para justificar este cambio tendrı́amos que probar la existencia de un sweep-out γ ∈ [β]
6
cuya máxima energı́a coincida con W (g), lo cual se hace por el llamado método de
min-max7 . No vamos a explicar rigurosamente este metodo, pero daremos una idea
medianamente extensa de cómo funciona. El método consiste en tomar una sucesión
minimizante {γn }n ⊂ [β], es decir, existe {s(n)}n ⊂ [0, 1] tal que
(
E (γn (s(n))) = máx E(γn (s))
s∈[0,1]
)
& W (g)
n
y probar que podemos construir a partir de {γn (s(n))}n , otra sucesión de sweep-outs
{γ j }j ⊂ [β] y slices esféricos γ j (sj ) que convergen de alguna forma a una esfera cuya
energı́a sea W (g) (aquı́ {sj }j es una sucesión en [0, 1]). La construcción de γ j (sj ) se
hace por etapas:
En una primera etapa hay un proceso recursivo de sustitución de trozos compactos y con borde de γn (s(n)) por aplicaciones armónicas γ j (sj ) del disco D2
en M con los mismos valores frontera que ese trozo de γn (s(n)). El resultado
clave para esta sustitución es el siguiente, que puede encontrarse en el Lema
4.1.4 del libro de Jost [7]:
Lema 2.1 Sea Ω un dominio acotado 2-dim y BM (p, r) ⊂ M una bola métrica
centrada en p ∈ M de radio suficientemente pequeño8 . Dada una aplicación
continua ϕ: ∂Ω → BM (p, r) que admita una extensión ϕ: Ω → BM (p, r) con
energı́a finita, existe una aplicación armónica h: Ω → BM (p, r) con h|∂Ω =
ϕ, que minimiza la energı́a de entre todas las aplicaciones con esos valores
frontera. Recı́procamente, todo mı́nimo de la energı́a para este problema de
Cauchy es una aplicación armónica.
Del Lema anterior se deduce que el proceso de sustitución para las γn (s(n))
no aumenta la energı́a, que por tanto seguirá decreciendo en n hacia W (g).
El que cada sustitución pueda hacerse en una bola en M de radio arbitrariamente pequeño hace que tampoco nos salgamos de la clase de homotopı́a
[β](aunque aumenta el número de sustituciones a hacer). La compacidad de
M y la acotación sobre la energı́a de la nueva sucesión γ j (sj ) permite acotar
su norma H 1 , con lo que un argumento estándar tipo embebimiento compacto
de Rellich permite tomar lı́mite (tras pasar a una parcial) en las γ j (sj ), a una
7
Este método fue originalmente usado por Birkhoff para encontrar geodésicas cerradas en una
esfera S2 con una métrica arbitraria.
π
8
Explı́citamente, r < mı́n{iM (p), 2κ
} donde iM (p) es el radio de inyectividad de M en p y κ2
es una cota superior de la curvatura seccional de M .
7
aplicación u0 ∈ H 1 (S2, M) en la topologı́a débil de este espacio. De nuevo
el Lema anterior y el hecho de que la armonicidad es un concepto local nos
dirá que u0 es una aplicación armónica. Como toda aplicación armónica de
S2 en una n-variedad es conforme (Corolario 1.4.1 en [7]), u0: S2 → M es una
esfera mı́nima, conforme y posiblemente ramificada.
La semicontinuidad inferior respecto a la norma Sobolev del funcional energı́a
hace que E(u0) ≤ lı́mj E(γ j (sj )) = W (g). Sin embargo, puede haber una
pérdida de energı́a en el paso al lı́mite. Para que esta pérdida se produzca, debe
haber una acumulación de una cantidad no trivial de energı́a (independiente
de n) en entornos arbitrariamente pequeños de al menos un punto x ∈ S2 .
Tras reescalar dichos entornos intrı́nsecamente se producen nuevas funciones
definidas en discos cada vez mayores, que convergen débilmente en H 1 (R2 ) a
un lı́mite u1 : R2 → M. El que la armonicidad no se pierda por re-escala hace
que u1 sea armónica, y estimaciones para funciones armónicas hacen que la
convergencia anterior sea uniforme sobre compactos de R2. Por construcción,
E(u1 ) > 0 luego u1 no es constante. Además, u1 extiende a ∞ de forma
armónica (como función del espacio de Sobolev de un disco punteado centrado
en ∞, u1 extiende a través de ∞ a una función del espacio de Sobolev en el disco
con su centro; y esta extensión es armónica porque esta propiedad equivale a
cumplir una ecuación elı́ptica cuyos coeficientes extienden a través de ∞). Por
último, la aplicación armónica u1 : S2 → M es necesariamente conforme (como
arriba) y por tanto, es una esfera inmersa, posiblemente ramificada y mı́nima
dentro de M. Es claro que E(u0) + E(u1) ≤ W (g), lo que acota la energı́a
de u1 por arriba. Otro ingrediente importante es una acotación de la energı́a
de u1 por abajo. Esto será consecuencia del siguiente enunciado, que puede
encontrarse en el Lema 4.2.1 de [7].
Lema 2.2 Si M es una n-variedad Riemanniana con geometrı́a acotada, existe µ > 0 tal que E(u) ≥ µ, para cualquier esfera inmersa no constante,
mı́nima y ramificada u: S2 → M.
Si E(u0) + E(u1) < W (g) reiteramos el proceso anterior, volviendo a reescalar
desde otros puntos de S2 y encontrando esferas mı́nimas no constantes, posiblemente ramificadas u2 , . . . : S2 → M. Como E(ui ) ≥ µ ∀i ≥ 1 por el Lema
anterior y
X
E(ui ) ≤ W (g)
i≥0
8
deducimos que este proceso de producción de esferas por re-escala ocurre una
cantidad finita de veces u1 , . . . , uk : S1 → M. El último paso consiste en comprobar que al terminar este proceso finito de blow-up, no hay pérdida de energı́a,
es decir
k
X
E(ui ) = W (g).
(4)
i≥0
Esta igualdad pasa por comprobar que en las regiones anulares de Σ que
“separan” un lı́mite ui de una esfera obtenida por blow-up a partir de ésta,
no hay pérdida de energı́a tras paso al lı́mite. Este proceso es más técnico
y delicado, y no lo describiremos aquı́; puede encontrarse en detalle en la
Sección 4.3 de [7]. De hecho, todo lo dicho hasta ahora excepto la igualdad (4)
fue probado previamente por Sacks y Uhlenbeck [11] usando una perturbación
del funcional energı́a9,
1
Eα (v) =
2
Z 1 + kdvk2
α
S
(definido para α > 1 próximo a 1). La igualdad (4) fue probada por Siu y Yau
(Capı́tulo VIII de [12]) independientemente de la prueba citada arriba de Jost.
Conviene destacar que en el razonamiento anterior se ha probado implı́citamente que W (g) > 0 y que era necesaria la hipótesis [β] 6= 0 en π1(C 0(S2, M)).
Primero, es claro que si β es nulhomotópica entonces W (g) = 0. Supongamos
entonces que W (g) < µ (µ viene dado por el Lema 2.2). Por el Lema 2.2 no
hay procesos de reescala posibles, y el único lı́mite posible de γ j (sj ) es u0. El
mismo argumento prueba que u0 tiene que ser constante, y se prueba que es
posible pasar de la convergencia de sucesiones γ j (sj ) → cte. a una homotopı́a
entre β y una aplicación constante (página 125 de [7]), lo que contradice que
β no es nulhomotópica.
Para futuras referencias, recogemos todo lo anterior en un enunciado.
Proposición 2.1 (Teorema 4.2.1 en [7]) Dada una métrica g en M 3 y una clase
de homotopı́a no trivial [β] ∈ π1 (C 0 ∩ H 1 (S2 , M)), existe una sucesión de sweep-outs
{γ j : [0, 1] → C 0 ∩ H 1 (S2 , M)}j ⊂ [β], números {sj }j ⊂ [0, 1], m + 1 ≥ 1 esferas
9
Para α > 1, el funcional α-energı́a Ea cumple las condiciones de Palais-Smale, i.e. toda sucesión
α
{vk }k ⊂ H 1 (S2, M ) tal que {Eα(vk )}k es acotada y dE
dt (vk ) → 0 tiene una parcial convergente
1 2
en H (S , M ). Con esto se evitan los procesos de blow-up para α > 1, pero luego hay que tomar
α → 1+ para obtener el funcional energı́a.
9
mı́nimas conformes y ramificadas u0 , . . . , um : S2 → M y puntos x1, . . . , xk ∈ S2
tales que
1. W (g) = lı́m máx E(γsj ) = lı́m E(γsjj ) =
j
s∈[0,1]
j→∞
m
X
E(ui ).
i=0
2. ∀i = 1, . . . , m, ui es no constante.
3. γsjj converge a u0 débilmente en H 1 (S2 , M) y uniformemente sobre compactos
de S2 − {x1, . . . , xk }.
4. Para cada i = 1, . . . , m existe ki ∈ {1, . . . , k} y una sucesión de transformaciones conformes Di,j : S2 → S2 (dilataciones centradas en xki ) tales que
{γsjj ◦ Di,j }j → ui.
5. Dado ε > 0, existen j0 ∈ N y δ > 0 tales que si j > j0 y E(γsj ) > W (g) − δ, entonces existen esferas mı́nimas, inmersas y posiblemente ramificadas Σjs,0 , . . . ,
Σjs,m ⊂ M
j
Σ
∀j > j0 .
distvarifolds γsj (S2 ), ∪m
i=0 s,i < ε
El último apartado anterior merece algunos comentarios (para los detalles, ver
Colding-de Lellis [2]). La idea es podemos elegir la sucesión minimizante de sweepouts {γ j }j de forma que para cada ε > 0 pequeño, si avanzamos suficientemente en j
y si tenemos un slice esférico γsj cuya energı́a es suficientemente grande10 , entonces
la esfera imagen (posiblemente immersa) γsj (S2 ) está muy próxima en términos de ε
a una colección de esferas mı́nimas. En cierta forma, 5 nos dice que le sucesión minimizante {γ j }j se ha elegido eficientemente. Podemos ilustrar esta eficiencia con un
ejemplo una dimensión menor:
Birkhoff ideó el método de min-max para probar la existencia de geodésicas
cerradas en una esfera M 2 con una métrica arbitraria g. Un sweep-out es ahora una
familia continua de curvas cerradas en M 2 (posiblemente inmersas, o cortándose unas
a otras), cuyos valores extremos son dos puntos y que es no trivial en π2(M 2 ) = Z.
Dado un tal sweep-out, calculamos la curva de mayor longitud. La anchura de g
es el valor mı́nimo de estas longitudes maximales, medido en todos los sweep-outs
homotópicos al original. La Figura 3 representa dos sweep-outs en la misma clase
de homotopı́a, cuyas longitudes máximas coinciden con la anchura de g (i.e. con
el valor del min-max). Las curvas negras tienen longitud ≤ que la curva roja en
cada caso, y las longitudes de ambas curvas rojas son ambas W (g). Sin embargo, las
10
Es decir, la energı́a es suficientemente próxima a W (g).
10
Figura 3: El apartado 5 de la Proposición 2.1.
curvas negras de la derecha tienen longitud mucho mayor que las correspondientes
a la izquierda; en ese sentido, el sweep-out de la derecha es menos eficiente que el
de la izquierda. La diferencia entre ambos sweep-outs es que las curvas negras a la
derecha, aunque tengan longitud próxima a W (g), no han de estar cerca de ninguna
geodésica, pero esta propiedad sı́ la tienen las curvas negras de la izquierda.
Volvamos a nuestra situación tridimensional. El enunciado de 5 contiene algunos
detalles técnicos, que explicamos brevemente.
Una 2-varifold (omitiremos el 2) es una medida finita y no negativa en la
Grassmanniana G2 (M) de 2-planos no orientados en M. Es la generalización
conveniente del concepto de superficie a la teorı́a de la medida, donde las
propiedades de compacidad son buenas. El conjunto V de varifolds en M tiene
una topologı́a débil natural: Una sucesión {Vk }k ⊂ V converge a una varifold
V∞ ∈ V si
lı́m
Z
k→∞ G2 (M )
f dVk =
Z
G2 (M )
f dV∞ ,
∀f ∈ C00(G2 (M)).
Toda varifold V ∈ V define una medida kV k sobre M (llamada la masa de V ),
mediante
Z
Z
h dkV k =
(h ◦ π)dV,
∀h ∈ C00(M).
M
G2 (M )
Ası́, podemos ver la masa de V como una generalización del funcional área.
La generalización de superficie mı́nima al lenguaje de varifolds es el concepto
de varifold estacionaria. Una varifold V ∈ V se dice estacionaria si es punto
11
crı́tico del funcional masa para variaciones con soporte compacto. De forma
más precisa,
d 0 = k(ϕt )] V k
∀X ∈ X0(M),
dt t=0
donde ϕt: M → M es el grupo uniparamétrico de difeomorfismos asociado al
campo X, y dado un difeomorfismo ϕ de M, ϕ] V ∈ V es el pushforward de V
mediante ϕ, es decir
Z
G2 (M )
f d(ϕ] V ) =
Z
G2 (M )
f (ϕ, dϕ)|Jacϕ|dV,
∀f ∈ C00(G2 (M)).
Por tanto, si V ∈ V está inducida por una superficie, entonces la fórmula
de cambio de variables nos dice que ϕ] V es la varifold correspondiente a la
superficie ϕ(V ).
Dado C > 0, sean
V(C) = {V ∈ V | kV k ≤ C},
M(C) = {V ∈ V(C) | V es estacionaria}.
V(C) es un compacto de V y es metrizable. Llamemos distvarifolds a una distancia en V(C) que genere su topologı́a.
Ya podemos entender el apartado 5 de la Proposición 2.1 y parte de su demostración: tenı́amos una sucesión de sweep-outs {γ j }j ⊂ [β], cuya área
podemos suponer uniformemente acotada (por la desigualdad (2) y porque
E(γsjj ) & W (g)). Si avanzamos suficientemente en j y tenemos un slice esférico γsj con E(γsj ) > W (g) − δ, en particular γsj (S2) cae en un V(C) para cierto
C > 0 independiente de j y de s. En tales condiciones, la Proposición 4.1
en [2] asegura que tras posiblemente una sustitución de nuestra sucesión de
sweep-outs {γ j }j por otra que conserva las mismas propiedades 1,2,3,4 de la
Proposición 2.1 (y que esencialmente reduce el área de los slices esféricos sin
variar la condición de formar parte de una sucesión minimimizante de sweepouts), podemos asegurar que
distvarifolds {γsj (S2)}j , M(C) → 0
cuando j → ∞.
Y ya sólo quedarı́a justificar que la distancia anterior al conjunto M(C) se
puede aproximar por distancia de γsj (S2 ) a una colección de esferas mı́nimas,
inmersas y ramificadas Σjsj ,0 , . . . , Σjsj ,m ⊂ M. No entraremos en detalles sobre
esto, ver Proposición 4.1 en [2].
12
Uno podrı́a preguntarse porqué usar varifolds y topologı́as débiles si estábamos
usando superficies (esferas) dentro de M 3 . La razón es que tendremos que controlar
una integral del tipo
Z
[ρ − RicM (N )]
Σ
para cierta superficie Σ ⊂ M, siendo ρ la curvatura escalar de M y RicM (N ) la
curvatura de Ricci de M evaluada en el normal unitario a Σ. Esencialmente, tendremos saber que si dos superficies Σ, Σ0 ⊂ M son “próximas” en algún sentido,
entonces las correspondientes integrales como la anterior son también próximas (ver
ecuaciones (17) y (18)). El integrando anterior puede verse como una función en
el fibrado tangente a Σ, que es un subconjunto de la Grassmanniana G2 (M), y la
topologı́a débil es la adecuada para que las integrales anteriores esten “próximas”.
3.
Preliminares sobre flujo de Ricci.
De ahora en adelante, supondremos que g(t) es una familia C ∞ de métricas
Riemannianas en M que cumplen
∂tg = −2 RicM (t).
(5)
La ecuación de evolución de la curvatura escalar ρ = ρ(t, x) de (M, g(t)) es (pág 16
de Hamilton [4]):
2
∂tρ = ∆ρ + 2|Ric|2 ≥ ∆ρ + ρ2 ,
(6)
3
donde |Ric|2 es la norma al cuadrado del tensor de Ricci y en la desigualdad anterior
se usa la desigualdad de Schwarz en el espacio de matrices simétricas de orden 3
sobre I3, Ric(·, ·).
Lema 3.1 (Estimación de la curvatura escalar) Existe C > 0 que sólo depende de g(0) tal que
3
.
(7)
ρ(t, ·) ≥ −
2(t + C)
Demostración. Fijemos x = x(t) ∈ M un mı́nimo de ρ(t, ·), que existe por ser M
∂ρ
(t, x(t)) + ∂x
(t, x(t))x0(t).
compacta. Sea f (t) := ρ(t, x(t)). Entonces, f 0 (t) = ∂ρ
∂t
Como ρ(t, ·) tiene un mı́nimo en x(t), el segundo sumando anterior se anula y
(∆ρ)(x(t), t) ≥ 0. Por tanto,
f 0 (t) =
(6)
∂ρ
2
2
(t, x(t)) ≥ (∆ρ)(x(t), t) + f 2 (t) ≥ f 2 (t).
∂t
3
3
13
En particular, f es no decreciente. Como el miembro de la derecha de (7) es negativo
independientemente de C, el Lema se tiene trivialmente si f ≥ 0 (ya que ρ(t, ·) ≥
f (t) ≥ 0), luego podemos suponer que f < 0.
Reescribimos f 0 ≥ 23 f 2 como (1/f)0 ≤ − 23 . Integrando en [0, t],
1
2
1
−
≤ − t,
ρ(t, x(t)) ρ(0, x(0))
3
de donde
ρ(t, ·) ≥ ρ(t, x(t)) ≥
1
1
ρ(0,x(0))
−
2
t
3
=−
3
.
2(t + C)
2
Sea Σ ⊂ M 3 una superficie compacta, no necesariamente mı́nima. Usando (5) y un
argumento en las págs 38-41 de [4], tenemos
d Areag(t)(Σ) = −
dt 0
Z
Σ
[ρ − RicM (N )].
(8)
Por definición de curvatura escalar, 12 ρ = KM (T Σ) + RicM (N ), donde KM (T Σ) es la
curvatura seccional ambiente sobre cada plano tangente a Σ. Si queremos relacionar
KM (T Σ) con la curvatura intrı́nseca KΣ (para después usar Gauss-Bonnet), usaremos la ecuación de Gauss KΣ = k1 k2 + KM (T Σ), donde k1 , k2 son las curvaturas
principales de Σ. Si suponemos Σ mı́nima (sólo usaremos la minimalidad de Σ para
g(0); (Σ, g(t)) podrı́a evolucionar a una superficie no mı́nima), entonces k1 = −k2
luego KΣ = − 12 |A|2 + KM (T Σ). Por tanto, ρ − RicM (N ) = 2KM (T Σ) + RicM (N ) =
KM (T Σ) + 12 ρ = KΣ + 12 |A|2 + 12 ρ luego
d Areag(t)(Σ) = −
dt 0
Z
1
KΣ −
2
Σ
Z
[|A|2 + ρ].
(9)
Σ
Lema 3.2 (Fórmula de Gauss-Bonnet con puntos de ramificación)
Sea Σ una superficie compacta y g 0 una métrica en Σ −{p1 , . . . , pk } con ramificación
de orden bj en pj , i.e. si (D, z) es una coordenada local centrada holomorfa centrada
en pj , entonces g 0 = |z|2bj ds20 , siendo ds20 una métrica Riemanniana en D. Entonces,

Z
Σ
K 0 dA0 = 2π χ(Σ) +
14
k
X
j=1

bj  .
Demostración. Extendiendo cada métrica ds20 alrededor de pj a una métrica Riemanniana g sobre Σ (usar particiones de la unidad) podemos escribir g 0 = e2u g
donde u ∈ C ∞(M − {pj }j ). Tomemos discos Dj (R) de “radio” R alrededor de pj de
forma que lı́mR→0 Dj (R) = {pj }. Usando que K 0e2u = K − ∆u, tenemos
Z
K 0 dA0 =
Σ−∪j Dj (R)
Z
K 0e2u dA =
Z
Σ−∪j Dj (R)
K dA −
Σ−∪j Dj (R)
Z
∆u dA.
Σ−∪j Dj (R)
Tomando R → 0 y aplicando la fórmula de Gauss-Bonnet a (Σ, g) tenemos
Z
0
0
K dA = 2πχ(Σ) − lı́m
Z
R→0 Σ−∪j Dj (R)
Σ
∆u dA = 2πχ(Σ) −
k
X
lı́m
Z
R→0 {|z|=R}
j=1
∂u
ds.
∂η
Si escribimos z = reiθ , la última integral es
Z
{|z|=R}
∂u
ds = −
∂η
Z
2π
0
∂u
R dθ.
∂r
Pero eu = |z|bj luego u = bj log r y
−
Z
2π
0
∂u
R dθ = −
∂r
Z
2π
0
bj
R dθ = −2πbj .
R
2
Lema 3.3 (Estimación del área de esferas mı́nimas) Si (Σ, g(0)) ⊂ M 3 es una
esfera mı́nima ramificada, entonces
d 1
Areag(t)(Σ) ≤ −4π − Areag(0)(Σ) mı́n ρ(0).
M
dt 0
2
(10)
Demostración. Usando (9) y la fórmula de Gauss-Bonnet para (Σ, g(0)),


X
1
d Areag(t)(Σ) = −2π χ(Σ) +
bj  −
dt 0
2
j
Ahora basta estimar bj ≥ 0, |A|2 ≥ 0 y ρ ≥ mı́nM ρ.
15
Z
[|A|2 + ρ]
Σ
2
4.
Extinción en tiempo finito del flujo de Ricci.
Teorema 4.1 (Desigualdad diferencial para la función anchura)
3
d
W (g(t)) ≤ −4π +
W (g(t)),
dt
4(t + C)
(11)
donde C > 0 depende de la métrica inicial g(0).
Nota 4.1 La función t 7→ W (g(t)) podrı́a no ser diferenciable; la desigualdad (11)
se entiende en el sentido siguiente:
lı́m sup
h→0+
3
W (g(t + h)) − W (g(t))
≤ −4π +
W (g(t)).
h
4(t + C)
Demostración. Fijo un tiempo τ . Sea {γ j (τ ) : [0, 1] → C 0 ∩H 1 (S2 , M)}j una sucesión
de sweep-outs para g(τ ) dadas por la Proposición 2.1, todos en la clase de homotopı́a
no trivial [β] ∈ π1 (C 0 ∩ H 1 (S2, M)). Recordemos que denotamos γsj (τ ) = [γ j (τ )](s),
s ∈ [0, 1]. Llamamos {sj }j a la sucesión que aparece en la Proposición 2.1, en
particular
(A) W (g(τ )) = lı́mj Eg(τ )(γsjj (τ )).
b > 0 tales que si j > j y 0 < h < h,
b
Afirmación 4.1 Dado ε > 0, ∃j1 ∈ N y h
1
entonces
Areag(τ +h)(γsj (τ )) − máx Eg(τ )(γsj (τ )) ≤
s∈[0,1]
!
3
máx Eg(τ ) (γsj (τ )) h + C 0h2
−4π + C ε +
s∈[0,1]
4(τ + C)
0
(12)
(con C, C 0 > 0 independientes de j, ε), siendo s un valor arbitrario en [0, 1].
Asumiendo la afirmación, probamos (11). Para cada j ∈ N fijo, puedo usar el sweepb (respecto a la
out γ j (τ ) ∈ [β] para calcular la anchura de g(τ + h) con h ∈ (0, h)
clase [β]):
W (g(τ + h)) ≤ máx Areag(τ +h) (γsj (τ ))
(13)
s∈[0,1]
16
(Nótese que hemos cambiado energı́a por área en el miembro de la derecha, pero
vimos que no habı́a problema al hacer esto). Por tanto,
W (g(τ + h)) − máx Eg(τ )(γsj (τ )) ≤ máx Areag(τ +h) (γsj (τ )) − máx Eg(τ )(γsj (τ ))
s
s∈[0,1]
(12)
≤
s
!
3
máx Eg(τ )(γsj (τ )) h + C 0 h2 (14)
−4π + C ε +
4(τ + C) s∈[0,1]
0
Pero W (g(τ )) = lı́mj máxs∈[0,1] Eg(τ )(γsj (τ )), luego de (14) deducimos
!
3
W (g(τ + h)) − W (g(τ )) ≤ −4π + C ε +
lı́m máx Eg(τ ) (γsj (τ )) h + C 0h2
4(τ + C) j s∈[0,1]
!
3
0
W (g(τ )) h + C 0h2
= −4π + C ε +
(15)
4(τ + C)
0
Dividiendo por h > 0 en (15) y tomando h → 0+ tendremos
3
d W (g(τ ))
W (g(t)) ≤ −4π + C 0ε +
dt t=τ
4(τ + C)
Por último, tomando ε → 0 (recordemos que C, C 0 no dependen de ε) terminamos
la demostración del Teorema.
2
Demostración de la Afirmación 4.1. El argumento se divide en dos casos, según que
Eg(τ ) (γsj (τ )) esté “lejos o cerca” de W (g(τ )). Este “lejos o cerca” se mide en términos
del δ > 0 que aparece en la Proposición 2.1.
Rigurosamente, la Proposición 2.1 aplicada a (M, g(τ )) y a la clase [β] ∈ π1(C 0 ∩
1 2
H (S , M)) − {0} en la que estamos calculando anchuras, existen una sucesión de
sweep-outs {γ j (τ ) : [0, 1] → C 0 ∩ H 1 (S2 , M))}j ⊂ [β], otra de números {sj }j ⊂ [0, 1],
m + 1 esferas mı́nimas, conformes y ramificadas u0 (τ ), . . . , um (τ ): S2 → M y puntos
x1 (τ ), . . . , xk (τ ) ∈ S2 (tanto m como k dependen de τ ) tales que
1. W (g(τ )) = lı́mj máxs∈[0,1] Eg(τ )(γsj (τ )) = lı́mj Eg(τ )(γsj (τ )) =
Pm
i=0
Eg(τ )(ui (τ )).
2. ∀i = 1, . . . , m, ui es no constante.
3. γsjj (τ ) converge débilmente a u0 (τ ) en H 1,2 (S2 ) y uniformemente sobre compactos de S2 − {x1 (τ ), . . . , xk (τ )}.
4. Para cada i = 1, . . . , m existe ki ∈ {1, . . . mk } y una sucesión de transformaciones conformes Di,j (τ ) : S2 → S2 (dilataciones centradas en xki (τ )) tales que
{γsjj (τ ) ◦ Di,j (τ )}j → ui (τ ).
17
5. Dado ε > 0, existen j0 = j0 (τ, ε) ∈ N y δ = δ(τ, ε) > 0 tales que si j > j0
y Eg(τ )(γsj (τ )) > W (g(τ )) − δ, entonces existen esferas mı́nimas, conformes y
ramificadas Σjs,0 (τ ), . . . , Σjs,m (τ ) ⊂ M tales que
j
distvarifolds γsj (τ ), ∪m
i=0 Σs,i (τ ) < ε
∀j > j0 .
(16)
Aplicaremos la propiedad 5 anterior al ε > 0 para el que queremos probar la Afirmación 4.1. Fijamos j > j0 y s ∈ [0, 1]. Estudiamos separadamente los dos casos
siguientes.
Eg(τ ) (γsj (τ )) ≤ W (g(τ )) − δ.
Eg(τ ) (γsj (τ )) > W (g(τ )) − δ.
El caso más sencillo es el primero, ya que no usa las esferas mı́nimas Σjs,0 (τ ), . . . , Σjs,m (τ ):
(a) h
i
Areag(τ +h) (γsj (τ )) ≤ Eg(τ +h) (γsj (τ )) ≤ Eg(τ +h)(γsj (τ )) − Eg(τ )(γsj (τ )) + W (g(τ )) − δ
(b) h
i
≤ Eg(τ +h) (γsj (τ )) − Eg(τ )(γsj (τ )) + máx Eγ(τ ) (γsj (τ )) − δ
s∈[0,1]
donde en (a) hemos usado la desigualdad que define este caso y en (b) la definición
de anchura de g(τ ). El primer sumando (entre corchetes) del miembro de la derecha
b
anterior depende continuamente de h, luego puede hacerse < δ2 tomando h ∈ (0, h)
b > 0). Pasando el segundo sumando de la derecha al
(tras achicar posiblemente h
otro miembro, tenemos
δ
Areag(τ +h) (γsj (τ )) − máx Eγ(τ )(γsj (τ )) ≤ − ,
s∈[0,1]
2
que implica la desigualdad de la Afirmación 4.1 en este primer caso, de nuevo tomanb más pequeño si fuera necesario.
do h
Ahora atacamos el segundo caso, Eg(τ )(γsj (τ )) > W (g(τ )) − δ, luego γsj (τ ) es muy
j
próxima en el sentido de varifolds a la colección de esferas mı́nimas ∪m
i=0 Σs,i (τ ), en el
j
sentido de (16). Usando (8) con Σ = γsj (τ ) y después con Σ = ∪m
i=0 Σs,i (τ ), tenemos
d Areag(t)(γsj (τ )) = −
dt t=τ
d j
Areag(t) ∪m
Σ
(τ
)
=−
i=0 s,i
dt t=τ
Z
γsj (τ )
[ρ − Ricg(τ )(Nγsj (τ ))],
Z
j
∪m
i=0 Σs,i (τ )
18
[ρ − Ricg(τ )(N∪m
j
i=0 Σs,i (τ )
(17)
)].
(18)
j
El que distvarifolds γsj (τ ), ∪m
< ε hace que los miembros de la derecha
i=0 Σs,i (τ )
en (17) y (18) disten en valor absoluto menos que C 0εkRicg(τ )kC 1 Area(γsj (τ )), para
cierta constante C 0 = C 0(τ ) > 0.
Por otro lado, aplicando a cada una de las esferas mı́nimas Σjs,i (τ ) el Lema 3.3
(tenemos m + 1 ≥ 1 de ellas), obtenemos
d 1
j
j
m
Area
Areag(t) ∪m
Σ
(τ
)
≤
−4π(m
+
1)
−
∪
Σ
(τ
)
mı́n ρ(τ, ·)
g(τ )
i=0 s,i
i=0 s,i
M
dt t=τ
2
1
j
≤ −4π − Areag(τ ) ∪m
i=0 Σs,i (τ ) mı́n ρ(τ, ·)
M
2
1
j
= −4π − Eg(τ ) ∪m
(19)
i=0 Σs,i (τ ) mı́n ρ(τ, ·),
M
2
donde en la última igualdad hemos usado que cada Σjs,i (τ ) es conforme. Volviendo
j
j
a relacionar el término Eg(τ )(∪m
i=0 Σs,i (τ ) con Eg(τ )(γs (τ )) cometemos de nuevo un
error menor que Cε. Reuniendo entonces (17), (18) y (19), tenemos
1
d Areag(t)(γsj (τ )) ≤ −4π − Eg(τ )(γsj (τ )) mı́n ρ(τ, ·) + C 0ε.
M
dt t=τ
2
Por el Lema 3.1, existe C > 0 que sólo depende de g(0) tal que ρ(τ, ·) ≥ − 2(τ 3+C) en
M y por tanto el mı́nimo de ρ(τ, ·) también cumple la misma desigualdad. Ası́,
3
d Eg(τ )(γsj (τ )) + C 0ε
Areag(t)(γsj (τ )) ≤ −4π +
dt t=τ
4(τ + C)
3
máx Eg(τ )(γsj (τ )) + C 0 ε.
≤ −4π +
s∈[0,1]
4(τ + C)
(20)
Usando un desarrollo en serie de Taylor11 de la función h 7→ Eg(τ +h) (γsj (τ )) alrededor
b para cierto h
b > 0 independiente de j > j y
de h = 0 en un intervalo del tipo [0, h)
0
de s, se consigue la desigualdad deseada en este segundo caso.
2
Corolario 4.1 En una variedad diferenciable, compacta, orientable, prima y no
asférica, el flujo de Ricci se extingue en tiempo finito.
11
La regularidad necesaria para este desarrollo en serie se tienen porque h 7→ Eg(τ +h) (γsj (τ )) es
una función C 2 con una cota uniforme hasta la segunda derivada, independiente de j, s cerca de
h = 0; esto sale de que las métricas g(t) varı́an de forma C ∞ , y todo sweep-out γj tiene energı́a
uniformemente acotada.
19
Demostración. Con la notación anterior,
d
dt
W (g(t))
(t + C)3/4
!
=
(11)
3
1
−4π
d
W
(g(t))
−
W
(g(t))
≤
.
(C + t)3/4 dt
4(C + t)7/4
(t + C)3/4
Integrando en [0, T ],
W (g(T ))
W (g(0))
≤
− 16π[(T + C)1/4 − C 1/4].
3/4
(T + C)
C 3/4
(21)
Como W (g(T )) ≥ 0, la desigualdad (21) lleva a contradicción para T suficientemente
grande.
2
El argumento anterior puede rehacerse si M 3 no es prima, siempre que los factores
en su descomposición prima estén en las condiciones del corolario anterior (para
detalles, ver la Sección 1.5 de Perelman [10] o la Sección 4 de Colding-Minicozzi [3]):
Corolario 4.2 El flujo de Ricci se extingue en tiempo finito en toda 3-variedad
compacta, orientable, cuya descomposición prima no tenga factores asféricos.
Corolario 4.3 Si M 3 es compacta, orientable y reducible, entonces los factores en
su descomposición prima se separan en tiempo finito al evolucionar según el flujo de
Ricci.
Demostración. (Esquema). Sea N 3 un factor no trivial en la descomposición prima
de M. Entonces, existe una S2 en N que no es borde de una B3 en M. De aquı́ se
puede deducir la existencia, para cada t, de una esfera S2 (t) que minimiza el área
en la clase de isotopı́a de la anterior dentro del ambiente (M, g(t)) (Meeks, Simon y
Yau [8]). Aplicando el argumento en la demostración del Teorema 4.1 es esta esfera
S2 (t), tendremos que Area(S2 (t), g(t)) va a cero en tiempo finito, lo que demuestra
el corolario.
2
Referencias
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Ricci flow on certain 3-manifolds and a question of Perelman. Journal of the
AMS, 18:347–559.
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[13] G. W. Whitehead. Elements of homotopy theory. Springer-Verlag, New York,
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21