11 Soluciones de sistemas lineales homogéneos con coeficientes

11 Soluciones de sistemas lineales homogéneos con coecientes
constantes
La solución del sistema homogéneo queda supeditada a encontrar una matriz fundamental del sistema.
Si D = diag(d1 , d2 , . . . , dn ), se dene eDt = diag(ed1 t , ed2 t , . . . , edn t ).
Si A es diagonalizable, es decir, si existe una matriz diagonal D tal que A = P DP −1 ,
una matriz fundamental es F (t) = P eDt .
La solución del sistema homogéneo será X(t) = P eDt C , donde C es un vector de constantes arbitrarias
Toda matriz simétrica es diagonalizable.
½ 0
x = 2x + 3y
Ejemplo: Resolver el sistema
y 0 = 2x + y
En forma matricial
µ
A=
2 3
2 1
µ
x0
y0
¶
µ
=
2 3
2 1
¶µ
x
y
¶
¶
es diagonalizable:
• |A − λ2 | = λ2 − 3λ − 4 = 0 ↔ λ1 = 4, λ2 = −1
• λ1 y λ2 son reales y distintos
µ ¶
3
V (4) : −2x + 3y = 0 → k1 =
2
µ
¶
1
V (−1) : x + y = 0 → k2 =
−1
µ
¶
µ
¶
4
0
3
1
A = P DP −1 , donde D =
,P =
0 −1
2 −1
¶ µ 4t
µ
3
1
e
Dt
Una matriz fundamental es F (t) = P e =
0
2 −1
µ 4t
¶
µ
¶
3e
e−t
c1
Solución X = F (t)C =
4t
2e
−e−t
c2
½
x(t) = 3c1 e4t + c2 e−t
Es decir,
y(t) = 2c1 e4t − c2 e−t
0
e−t
¶
µ
=
3e4t
2e4t
e−t
−e−t
Otra forma de expresar la solución X = c1 k1 e4t + c2 k2 e−t
 0
 x = x − 2y + 2z
Ejemplo:Resolver el sistema y 0 = −2x + y − 2z
 0
z = 2x − 2y + z
En forma matricial
 
1
x0
 y 0  =  −2
z0
2

−2
1
−2


2
x
−2   y 
1
z
2
¶

1
A =  −2
2
−2
1
−2

2
−2  es diagonalizable:
1
2
• |A − λ3 | = −(λ − 5)(λ + 1) = 0 ↔ λ1 = −1, λ2 = λ3 = 5
• −1 de multiplicidad algebraica 2 y 5 de multiplicidad algebraica 1.




1
−1
V (−1) : x − y + z = 0, de dimensión 2 → k1 =  1  , k2 =  0 
0
1


½
1
x=z
, de dimensión 1, → k3 =  −1 
V (5) :
y = −z
1




−1
0 0
1 −1
1
0 −1 
A = P DP −1 , donde D =  0 −1 0 , P =  1
0
1
1
0
0 5
Una matriz fundamental es

  −t
  −t
e
0
0
e
1 −1
1
0 −1   0 e−t
0  =  e−t
Φ(t) = P eDt =  1
0
0
1
1
0
0 e5t
 −t



e
−e−t
e5t
c1
0 −e5t   c2 
Solución X = Φ(t)C =  e−t
0
e−t
e5t
c3

 x(t) = c1 e−t − c2 e−t + c3 e5t
y(t) = c1 e−t − c3 e5t
Es decir,

z(t) = c2 e−t + c3 e5t
½ 0
x = 6x − y
Ejemplo: Autovalores complejos. Sea el sistema
y 0 = 5x + 4y
En forma matricial
µ
A=
6
5
−1
4
µ
x0
y0
¶
µ
=
6
5
−1
4
¶µ
x
y
−e−t
0
e−t

e5t
−e5t 
e5t
¶
¶
es diagonalizable en C :
• |A − λ2 | = 0 ↔ λ1 = 5 + 2i, λ2 = 5 − 2i
µ
¶
1
V (5 + 2i) : y = (1 − 2i)x, → k1 =
1 − 2i
µ
¶
1
V (5 − 2i) : y = (1 + 2i)x → k2 =
1 + 2i
λ2 = λc1 , k2 = k1c
A = P DP −1 , donde D =
µ
5 + 2i
0
0 5 − 2i
¶
µ
,P =
1
1
1 − 2i 1 + 2i
¶
Una matriz fundamental es
µ
¶ µ (1+2i)t
¶ µ
1
1
e
0
e(1+2i)t
Dt
Φ(t) = P e =
=
(1−2i)t
1 − 2i 1 + 2i
0 e
(1 − 2i)e(1+2i)t
½
x(t) = e5t (c1 cos(2t) + c2 sen(2t))
y(t) = e5t [c1 (cos(2t) + 2 sen(2t)) + c2 (sen(2t) − 2 cos t)]
e(1−2i)t
(1 + 2i)e(1−2i)t
3
¶
11.1. Solución particular del sistema no homogéneo con coecientes
constantes: variación de parámetros
Sea X 0 = AX + B(t) un sistema lineal con coecientes constantes no homogéneo, una solución
particular del sistema no homogéneo es, utilizando el método de variación de las constantes:
Z t
Xp (t) = F (t)
F −1 (s)B(s)ds
t0
Ejemplo: Sea el sistema lineal no homogéneo
½
x0 = x + y
y0 = x + y + t
¶
µ
1 e2t
Una matriz fundamental es F (t) =
−1 e2t
Una solución particular
Z
t
Xp = F (t)
F −1 (s)B(s)ds
t0
µ
F −1 (s) =
1
2
1 −2s
2e
µ
1
2
1 −2s
2e
¶
µ
, B(s) =
0
s
¶
¶
− 12 s
F (s)B(s) =
1
−2s
2 se
Rt 1
Rt
− 2 sds = − 41 t2 , 0 12 se−2s ds = − 14 te−2t − 18 e−2t
0
−1
La solución del sistema completo es
¶
µ
¶ µ
¶µ
¶ µ
x
1 e2t
c1
− 14 t2
=
+
y
−1 e2t
c2
− 14 te−2t − 81 e−2t
4
Ejercicios del capítulo
1. Determina la solución general de los siguientes sistemas diferenciales:
dx
dt
dy
dt
dx
b)
dt
dy
dt
a)
c) X 0
d ) X0
e) X0
f ) X0
g) X0
dx
dt
dy
dt
dx
i)
dt
dy
dt
h)
= 2x + 2y
= x + 3y
= −5/2x + 2y
= 3/4x − 2y


1 0 1
=  0 1 0 X
1 0 1


−1 4
2
=  4 −1 −2  X
0
0
6
µ
¶
12 −9
=
X
4
0


1 0 0
=  0 3 1 X
0 −1 1


4 1 0
=  0 4 1 X
0 0 4
=x+y
= −2x − y
= 4x + 5y
= −2x + 6y
2. Resuelve el problema de valor inicial: X 0 =
µ
1/2
1
0
−1/2
¶
µ
X,
X(0) =
3
5
¶
3. Calcula la solución general de los siguientes sistemas por variación de parámetros:
µ
¶
µ
¶
−3 1
3t
X0 =
X+
.
2 −4
e−t
4.
dx
= 2x − y
dt
dy
= 3x − 2y + 4t
dt
5