Lección 4. 5. Ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes

GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 2011–12.
MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II
Lección 4. Ecuaciones diferenciales.
5. Ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes.
En esta sección veremos cómo se resuelve la ecuación homogénea con coeficientes constantes
y′′ + py′ + qy = 0, con p, q ∈ \.
Teniendo en cuenta los resultados vistos en la sección anterior será suficiente obtener dos soluciones linealmente independientes. En primer lugar, veamos algunos ejemplos.
EJEMPLO. 1) Sabemos que las funciones y1 ( x) = sen x e y2 ( x) = cos x son soluciones linealmente
independientes de la ecuación y′′ + y = 0.
2) Consideramos ahora la ecuación y′′ − y = 0. Sus soluciones son funciones cuya segunda derivada
sea igual a la propia función. Ya conocemos un ejemplo de esta situación: la función exponencial.
Por otro lado, es fácil ver que la segunda derivada de la función e − x es ella misma. De esta forma
y1 ( x) = e x e y2 ( x) = e − x son dos soluciones de la ecuación y′′ − y = 0. Además, su determinante
⎡e x
wronskiano es W ( x) = det ⎢ x
⎣e
e− x ⎤
⎥ = −2 ≠ 0. Es decir, son linealmente independientes.
−e − x ⎦
En esta sección veremos que las soluciones de y′′ + py′ + qy = 0 son combinaciones de estas funciones. A la vista de este último ejemplo, intentaremos buscar soluciones de la forma y ( x ) = e mx , siendo m un número real. Si sustituimos esta función en la ecuación y′′ + py′ + qy = 0 obtenemos que
m 2 e mx + pme mx + qe mx = 0. Dividiendo en ambos términos de esta ecuación por e mx , llegamos a que
el número m debe verificar que m 2 + pm + q = 0. Esta ecuación se conoce como ecuación auxiliar
y dependiendo de cómo sean sus raíces podremos obtener dos, una o ninguna solución de la forma
− p + p 2 − 4q
− p − p 2 − 4q
y m2 =
. Es2
2
tos números m1 y m2 serán reales y distintos (si p 2 > 4q ), reales e iguales (si p 2 = 4q ) o complejos conjugados distintos (si p 2 < 4q ). A continuación estudiamos cada una de estas situaciones.
y ( x) = e mx . Las raíces de la ecuación auxiliar son m1 =
RAÍCES
REALES DISTINTAS.
Si m1 ≠ m2 son números reales, entonces las funciones y1 ( x) = e m1x e
y2 ( x) = e m2 x son soluciones linealmente independientes de la ecuación y′′ + py′ + qy = 0, ya que
(
)
y1′′( x) + py1′ ( x) + qy1 ( x) = m1 e m1x + pm1em1x + qem1x = m1 + pm1 + q em1x = 0
2
2
y, de forma análoga, y2 ( x) = e m2 x también es solución de la ecuación. Por otro lado, su determinante
⎡ e m1x
e m2 x ⎤
wronskiano es W ( x) = det ⎢ x
= ( m2 − m1 ) e m1x + m2 x ≠ 0. Por tanto, son linealmente indem2 x ⎥
⎣ m1e m2 e ⎦
pendientes y la solución general de la ecuación y′′ + py′ + qy = 0 es y ( x) = c1e m1x + c2 e m2 x .
EJEMPLO. Calculamos la solución general de la ecuación y′′ − y′ − 2 y = 0. En este caso la ecuación
auxiliar es m 2 − m − 2 = 0 y sus raíces son 2 y –1. Por tanto, tenemos dos raíces reales distintas. De
esta forma la solución general es y ( x) = c1e 2 x + c2 e − x .
1
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RAÍCES REALES IGUALES. Si la ecuación auxiliar tiene una raíz real doble m1 = m2 = m, entonces la
función y1 ( x) = e mx es solución de la ecuación y′′ + py′ + qy = 0. Además, en este caso tenemos que
⎛
⎞
− P ( x ) dx
1
2m + p = 0. Ahora usamos la fórmula de Liouville y2 ( x) = ⎜
e ∫
dx ⎟ y1 ( x) para encon2
⎝ y1 ( x)
⎠
trar otra solución linealmente independiente de la anterior. En nuestro caso se reduce a
∫
⎛ 1 − pdx ⎞
y2 ( x) = ⎜ 2 mx e ∫ dx ⎟ e mx =
⎝ e
⎠
∫
(∫ e
−2 mx − px
e
) (∫ e
dx emx =
− (2 m + p ) x
)
dx e mx = xemx .
Comprobemos que, efectivamente, y2 ( x) = xe mx es solución. En efecto,
y2′′( x) + py2′ ( x) + qy2 ( x) = m 2 e mx x + 2me mx + p ( emx + memx x ) + qemx
= ( m 2 + pm + q ) e mx x + ( 2m + p ) e mx = 0,
donde en la última igualdad hemos usado que m es solución doble de la ecuación auxiliar. Por otro
⎡ e mx
⎤
xe mx
lado, su determinante wronskiano es W ( x) = det ⎢ x
= e 2 mx ≠ 0. Por tanto, como ya
mx
mx ⎥
me
e
me
x
+
⎣
⎦
sabíamos, son linealmente independientes y la solución general de la ecuación y′′ + py′ + qy = 0 es
y ( x) = (c1 + c2 x)e mx .
EJEMPLO. Calculamos la solución general de la ecuación y′′ + 4 y′ + 4 y = 0. En este caso la ecuación
auxiliar es m 2 + 4m + 4 = 0 y −2 es raíz doble. La solución general es y ( x) = c1e −2 x + c2 xe −2 x .
RAÍCES COMPLEJAS. Si m1 y m2 son números complejos, entonces son conjugados, así que podemos
4q − p 2
p
y b=
≠ 0. Para estos valores de a y b
2
2
se verifica que a 2 − b 2 + pa + q = 0 y 2a + p = 0. En este caso, las funciones y1 ( x) = e ax cos ( bx ) e
y2 ( x) = e ax sen ( bx ) son soluciones de la ecuación homogénea y′′ + py′ + qy = 0. Comprobémoslo,
escribir m1 = a + bi y m2 = a − bi siendo a = −
y1′′( x) + py1′ ( x) + qy1 ( x) = ( a 2 e ax cos ( bx ) − 2abe ax sen ( bx ) − b 2 eax cos ( bx ) ) +
+ p ( ae ax cos ( bx ) − be ax sen ( bx ) ) + qe ax cos ( bx )
= ( a 2 − b 2 + pa + q ) e ax cos ( bx ) + ( −2a − p ) be ax sen ( bx ) = 0.
De forma análoga se comprueba que la función y2 ( x) es solución. Por otro lado, su determinante
wronskiano es
⎡
⎤
e ax cos ( bx )
e ax sen ( bx )
W ( x) = det ⎢ ax
⎥
ax
ax
ax
⎣ ae cos ( bx ) − be sen ( bx ) ae sen ( bx ) + be cos ( bx ) ⎦
= e ax ( a cos ( bx ) sen ( bx ) + b cos 2 ( bx ) − a cos ( bx ) sen ( bx ) + b sen 2 ( bx ) ) = be ax ≠ 0.
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Por tanto, son linealmente independientes y la solución general de la ecuación y′′ + py′ + qy = 0 es
y ( x) = e ax ( c1 cos ( bx ) + c2 sen ( bx ) ) .
EJEMPLO. Calculamos la solución general de la ecuación y′′ − 2 y '+ 5 y = 0. En este caso la ecuación
auxiliar es m 2 − 2m + 5 = 0 y sus raíces son 1 ± 2i y la solución general es
y ( x) = e x ( c1 cos(2 x) + c2 sen(2 x) ) .
EJERCICIO 1. Resuelve los siguientes problemas de valor inicial.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
y′′ + 2 y′ + 2 y = 0, con y (0) = 0, y′(0) = 1.
y′′ − 4 y′ + 5 y = 0, con y (0) = 1, y′(0) = 2.
y′′ − 2 y′ + 10 y = 0, con y (0) = 3, y′(0) = 3.
y′′ + 6 y′ + 5 y = 0, con y (0) = 3, y′(0) = 3.
y′′ + 16 y = 0, con y (0) = 2, y′(0) = −2.
y′′ + 6 y′ + 5 y = 0, con y (0) = 2, y′(0) = −2.
y′′ + 12 y = 0, con y (0) = 0, y′(0) = 1.
y′′ − 4 y′ + 4 y = 0, con y (0) = 1, y′(0) = 0.
y′′ + 4 y′ + 4 y = 0, con y (0) = 0, y′(0) = 1.
EJERCICIO 2. Demuestra que si a, b y c son constantes positivas, cualquier solución y ( x) de la
ecuación ay′′ + by′ + cy = 0 verifica lim y ( x) = 0.
x →∞
EJERCICIO 3. 1) Comprueba que el problema de contorno y′′ + 4 y = 0, con y (0) = 0, y (π ) = 1, no
tiene solución.
2) Comprueba que el problema de contorno y′′ + 4 y = 0, con y (0) = 0, y (π ) = 0, tiene infinitas soluciones.
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