la 4 Una Expresión o notación simb6lica tal como Z = f(x,y) enla que

la 4
Una Expresión o notación simb6lica tal como Z
variables independientes, establece
=f(x,y)
enla que x Ay son
que Z es una v·ariable que depende
simultaneamente de X i de y.
Una función de tres variable s se denota como W = f(x, y, z). El significado
de las variables x, y, z A W es análogo al caso para funciones de dos variab1es.
En caso de que el número
de variables independientes sea n , se dice que
tiene una función de n- variables.
Definición 1:
Se dice
que una función de n-variables es un conjunto de
parejas ordenadas de la forma (A, W) con la condición de
que dos parejas ordenadas diferentes, no tienen el mismo
primer elemento; e s decir, no e s posible encontrar 2
miembros (A l ' W 1)
.A (A" W 2
)
con
w,=I=
W';..
Los elementos: tipificados por A son a su vez sucesiones
ordenadas de n- números reale s, repre sentan puntos del
espacio numérico n=dimensional.
W corresponde a un número real.
La totalidad de lo s elementos A conforman el dominio de
la funci6n.
Y el conjunto de todos los valores de W se de-
nomina "Rango de la funci6n", ó también contradominio de
105
la funci6n.
En resumen:
El dominio de una funci6n, de n -variables es un conjunto
de puntos en Rn.
El Rango es un conjunto de números reales 6 equivalentemente es un conjunto de puntos en Rl .
Ejemplo:
Encontrar el dominio y el rango de la funci6n y hacer un
dibujo mostrando con una regi6n sombreada en R 2 el conjunto de puntos en el dominio de funci6n.
i)
Z = f(x, y) =
V 25-Xl..
y2
X
ii)
i)
Z =f\x,y) =
Dorilinio
X
V
25 -X 2_y2
todos los puntos sobre e interiores al círculo
Excepto los punto s sobre el eje y
Rango:
nos
ii)
+
- oa .:;; Z
~
+ eJl
por la pre sencia de los sig-
de la raíz.
Dominio: conjunto de todos los puntos (x, y) en R 2 interiores al círculo X
2
2
+y = 25 Y todos los puntos en el eje y
excepto (0,5).A (O, -5).
Rango: ( -
00 ;
+ DO
)
106
Definici6n 2:
Si f es una funci6n de una sola variable y
<p
es una funci 6n
de dos variables, entonces la funci6n compuesta f [
f
6 también f o
f J,
es la funci6n de dos v ariables denotada
corno
(fo
a)
El mminio
cp ) (x,y)=
de f o f
f [CP (x,y)]
es el conjunto de todos los
r,
puntos (x, y) que están en el dominio de
f
Definición 3:
Si f
tal que
(x, y) e stán en el dominio de f.
es una funci6n de una sola variable y,
f
n variables, entonces la funci6n compuesta f o
lo es de
f
es una
función de n-variables definida corno
a)
El dominio
de f o
47
es el conjunto de todos los pun-
tos (X 1, X2, ••.. , X n ) que están en el dominio de
f
tal que
Ejemplo:
Hallar
(Xl ,X 2, .•• , X n ) están en el dominio de f.
ii)
~/l encontrar el dominio deh.
h(x,y)si h=f o
cP (x,y)
f (t) = señl (t)
i)
Dominio de
tP
Lf,
2
= " 1 _ X _y 2
(x, y)
dominio de sen-\t):
-1 ~ t ~ 1
por tanto el dominio de f
o
cP
es
-1 :::: X 2
+ Y 2~
1
107
Definici6n 4:
Si f es una funci6n de n-variables, entonces la gráfica de
f es el conjunto de todos los puntos (Xl .)C2 ,X 3 , •••• , W)
en Rn+1, para los cuales (Xl ,X2 , •.. ,
dominio de f 1\ W
Consulta:
1:
es un punto en el
,X 2 ,X n )
Graficaci6n de superficies mediante curvas de nivel.
Limites de funciones
Nota
= f(X l
~)
de más de una variable.
En RIla distancia entre dos puntos es valor absoluto de la
c;liferenci a entre dos reale s:
Ib
- c
I
e s la distancia entre
los reales b 1\ c.
Y (Xo-XI) 2+ (Yo
-
~J2 \
2:
En R 2 la distanci a se define corno
3:
En R3 la distancia es análoga a R2pero en ella infl:nvienen
3 coor'denadas.
La generalizaci6n a n
Definici6n 5:
dimensiones se tiene.
Si B es un punto del espacio n-dimensional son coordenadas (bl ' b 2 , •.. b n ) y A es también un pun to de Rn de
coordenadas (al ' ~, ••.
La distancia entre BI\ A
a.n);
se denota como
It B
- A
11
y está
dada corno:
\tB
- A
Il = Sl(
2
2
} 1/2
bl-lll ) + (b2-a..2 ) + .•. + .(bn -a.n)
108
Definici6n 6: Si A es un punto en Rn
y
A::
~ espacios
numéricos n-dimensiona1e )
es un número positivo (no incluye el O), entonces 6e de-
finen:
1)
"Bola abierta" denotada corno B(A; Z ): corno el conjunto
de todos 10 s punto s P de Rn tales que
ii)
"Bola cerrada" denotada corno B
JI P - A JI < Jt .
[ A; .Iv ]
de todos los puntos P de Rn para los cuales
Nota:
i)
al conjunto
l/ p - AI} :::t
Se coneiben geométricamente corno segmentos de rectas
o propiamente intervalos en R 1
discos o circunferen-
cias en R Z' y esferas en R 3
ii)
Corno notaci6n entre puntos de RZ se tiene a manera de
ejemplo:
Si P (x, y)
fl (Xo, Yo)
Definici6n 7:
A (Xo, Yo)
- (X, Y) 1/ :::.; k
es la bola cerrada.
Considerando una funci6n f de n variable s, bien definida en
alguna bola abierta B( A; ,k. ) "excepto posiblemente" en el
punto A.
Entonces se dice que el limite de f(P) cuando el
punto P se desplaza aproximadarnnte al punto A es L
y se
denota corno:
lim
f(P) = L
P~ A
Si para cualquier ~
> O,
con E real, no imporrando cuéÚl
109
grande o pequeña sea; existe una cantidad real denotada
por
r
>
O, tal que
I
Nota:
1)
I<
f(p) - L
E.
siempre que O .::::
/l P
- A
~¿
r
E sta definici6n comprende corno caso particular elllmite
para funciones de una variable.
2)
Si f, es una funci6n de dos variables bien definida en algún
disco abierto B( (Xo, Yo) ;!t) excepto posiblemente en el
punto (Xo, Yo).
Entonces se dice que
Hm
f(x, y) = L
; si para cualquier
6 > O,
( x,y)~ (Xo, Yo)
no importando cu~ grande o pequeña sea é , existe una
cantidad real
r">
I f (x, y)
1< €
O
-L
O tal que
siempre y cuando
<: 11 (x,y) - (Xo, Yo)
se cumpla que
l\ <. S L-) O <:.V( X-Xo)2+{y_ Yo) 2'<.,
Z
.,.----- - -
-----
?......>---_
_
_
Z=f (x, y)=L
~---- Z = f( x,y) =
+ E:
L
- - - " ' r -- - - - Z =f(x,y) =L- é
I------------~,
Y
~
112
La definici6n establece que siempre que P(x,y) esté en el disco abierto
((Xo, Yo); ~).
Entonce s los -.alores de la funci6n f(x, y), los que se pue-
den representar por Z, deben yacer en el cilindro recto de altura 2
L+E
entre los valores de L - E
E s de notar que en la
~finici6n
€.
no se hace referencia al valor de la fun-
ci6n en el punto (Xo, Yo); co:n. ello
se quiere significar, que no es nece saf(x, y)
rio que la funci6n esté definida en (Xo, Yo) para que el lim
P-A
exista.
Ejemplo:
Demostrar
que ellim
(5X-3Y) = -2
,1
lim
(2X+3Y) =11
(x, y) -(1,3)
(x, y) -(?,4)
lim
(X2 +y 2 -4X +2Y) = -4
(x,y) ....... (3,-1)
lim
(3X 2 +Y) = 5
I
(x, y) __ (1,2)
Definici6n
2
lim
(3X +Y) =5
(x, y)-.(l, 2~
8: Se dice que un punto Po es un lIPunto de acumulaci6n" de
un conjunto de puntos S pertenecientes a Rn, si "toda ll Bola
abierta B(Po;r) contiene infinidad de puntos
Ejemplo 1:
re
S.
Si S es el conjunto de todos los puntos en R 2' que e:;tán en
la parte (+) del ej e X.
Entonces el origen e:; punto de acu-
mulaci6n de S, pues no importa qué tan pequeña sea r; todo
círculo con centro en el origen y radio r tendrá infinidad de
puntos de S.
113
ii)
Si S es el
i ) de puntos
R 2 cuyas coordenadas cartesia-
nas son enteros; no tiene punto
ce
acumulación.
Considerando el limite de una funci6n de dos variables cuando P(x, y) a
----:.
un punto
re
acumulaci6n (XoYo) donde
(x~y)
está restringido a un conjunto
de puntos se tiene la siguiente definición.
Definición 9:
Si f es una función de dos variables, definida en un conjunto de puntos S, en R 2 , Y si (Xo, Yo) es un punto
re
acumula-
ci6n de S. Entonces el limite de f(x,y) cuando los puntos
(x, y) se aproximan a (Xo, Yo) en S, se denota de la siguiente
forma.
=
f(x, y)
L
(x,y)~(Xo. Yo)
(P en S)
lirn
existe una
S:>
O. tal
l f(x, y) -
L
y (x, y)
está en S.
si par a cualquier
E >
° no importanJ
do qué tan pequeña sea su magnitud
que;
I <. E
siempre que
°
¿
11
(x, y )-( Xo. Yo ){/«f
Se presentan casos particulares cuando S es un conjunto de
puntos sobre "una curva" que posee el punto (Xo, Yo) corno
punto de acumulación.
de una varia ble •
Sea
lim
f(x, y)
(x,y)_ (0,0)
En tales situaciones el limite es el
114
i)
Si S 1 es el
1t
de puntos en el lado positivo sobre el eje X, se tiene
= lim
f(x, y)
lim
(x, y) _
(O, O)
X
f(x,O)
-..:a.
0+
P en SI
ii)
Si S2 e s el
1~ de puntos sobre el eje negativo Y,
= lim
f(x, y)
(x,y)-(O,O)
lim
se tiene
f(OJ y)
y ___
0-
P en S2
iii)
Si S 3 es el
1}punto
lim
=lim
f(x, y)
(x, y)
~
sobre la parábola y
(O, O)
X ~
P en S3
puede tender por
Teorema 1:
0+
6
f(x,~)
°
=X 2
se tiene
n6te se que en e ste caso
X -
O
indica que
0-
Sea una funci6n f(x,y) de dos variables definida para toda Bola abierta B(Xo, Yo,), r) con centro en (Xo, Yo) excepto posiblemente en (Xo, Yo) mismo y si se cumple que
lim
=L
f(x, y)
(x,y)~(Xo,Yo)
.
Entonce s si S e s cualquier conjunto de puntos en R 2 que tiene a (Xo, Yo) como punto de acumulaci6n • Entonce s se cumpIe
que
f(x, y)
(x,y)~(Xo, Yo)
(P en S)
lim
=L
ll4(i)
Demo straci6n:
Como lim
(x, y)
O
¿
=
-.-:>-
F(x, y) L
(Xo, Yo)
existe se cu rrple que
1/ (x,y)-(XO,Yo»)/c:d
ya que
) f(x,y)-L!ZE
No impostando cuán grande o pequeña sea E existe
una
d>
O.
que (x, y) 6
Esto e s cierto aún si se restringe a
s,
con S cualquier ,
a (Xo, Yo) como punto
re
~
puntos que tenga
acumulaci6n,
Por ello se cum-
pIe que
=
f(x, y) L
(x,y~ (Xo, Yo)
lim
sin -importar el conjunto S a tra-
vés del cual P ~ (Xo, Yo)
115
Teorema
2:
Si la funci6n f(x,y) posee limites diferentes cuando los
puntos P(x,y) -'"' (Xo, Yo), a través de conjuntos diferen tes que tienen a (Xo, Yo) como punto
entonces
Demo stración:
Por
acumulaci6n
lim
f(x, y)
no existe.
(x,y)-",(Xo, Yo)
1."1:: ducci6n
Sean SI
re
1\
al absurdo:
S2
conIiuntos diferente s que tienen a
(Xo, Yo) como punto de acumulación y si
lim
lim
f(x,y) = L 2
(x,y).- ~o. Yo)
(P en S 2)
f( x, y) = L 1
(x, y) -(Xo, Yo)
(P en Sr )
por el teorema anterior
se cumple
lim
(x, y) _
Ll = L
f(x, y) = L
(Xo, Yo)
L2= L
-
L1 =
Lz
lo que demue stra el teorema por contradicción.
Ejemplos:
1)
Dada f(x, y) = -xy-ó!:-~~
X 2+ y 2
existe.
hallar el lim
(x, y)
f(x, y) si
(O, O)
i)
Sea S 1 el ,} de puntos sobre el eje X--'L l - O
ii)
Sea S2 el
i 1 de puntos sobre la :mcta y=X~
como L 1
1=
L 2 =
limite no existe.
116
2
X
2) Dada f(x, y) = ----,Y,- encontrar lim
f(x, y) si existe
4
X y2
(x,y)---.(O,O)
i)
Si SI es el ~
1;.
ii)
iii)
3 de puntos en el eje X,
6 en el eje Y,
=0
[3 de puntos sobre la recta y=rnx , L 2 =0
2
S3 es el i 3de puntos sobre la curva y=x =? ~ =1/2
2
2
=y
=1
S4 es el í 3de puntos sobre la curva
Si S 2 es el
Si
X
iv)
Si
.. .
f(x, y) no tiene Irmite •
3) Dada f(x, y)
=
3X2 Y
2
2
X tY
hallar e1lim
~L4
f(x,y) si existe
(x,y~(O,O)
~
i)
Sea SI sobre la parte (t) del eje X
ii)
Sea S 2 sobre cualquier recta que pase por el origen
=f.
al eje X,
es decir,
Asumiendo que para varios [
J (x, y)
E: S 2
L 1 =0
y=rnx --4o> L2 =0
3se ha analizado y el limite
e s el mismo, es necesario demostrar que efectivamente lo
es.
Demostrac.
Si hm
f(x, y) = O se tiene que
(x,y)->;.(O,O)
VE.
:> O eXiste;}6> O
tal que,
I f(x, y)-O I <
€
siempre que
.::
117
dado
=+
que
y también
X 2= +
...
<:
< +
V (X2)2
3(X 2+ y 2
--,
V(X2+y2)2 =X 2 +y2
~+
2 Vx 2+ y 2 = 3
b
'{X 2 +Y2 ¿ 3
X2+y 2
6=
siempre que
luego el lim
€.
3
f(x, y)
es O
(x,y) ~( o,o)
T e o rema 3. Si
~ es
f
=
una func i6n de do s variables y Hm
(x, y)
b
(x,y) --,:> (Xo, Yo)
y también si f es una funci6n de una sola variable, continua
en b, entonce s
Hm
f o <Q
( x,y)~( Xo, Yo)
Demostrac.
= Hm
=
&
Lim
(x, y)
b;
(x, y h ( Xo, Yo)
para
.JfG > O
I f(Z) -
f(b)
=f
f [ «1 (x,y)]
(X, Y)~ (Xo, Yo)
yc:]
corno f es continua en b
existe una
I <. ~
[ ' Hm
f(x, y) \=f(b)
(x,y) ~ Xo,
,
se tiene que
b/>0
siempre que
O
< 1\
siempre que
O
</) (x,y)
Z - b , <:.
6
1
c amo s e cumple que
I g(x,y) -
1<6 1
b
Sustituyendo a f(Z) por f(
quier
6:",).
O existe una
I f(~ (x,y»
-'- O
<1
-
f( b) }<~,
(x, y ) - ( Xo , Yo)
&. (x, y»
6,) O
6
2
6
2
se tiene que para cual-
tal que
siempre que
1/ <
- (XO., Yo) Jf ¿
0 < 11 ~(x,y)-b )J <
b, ->
liS
de donde se concluye que:
lim
(f o tQ ) (x, y) = f(b)
(x, y)--::.( Xo, Yo)
f
6 equivalentemente
lim
c9 (x, y) = f( b )
(x, y ) .~ (Xo, Yo)
n-variable s
Continuidad de funciones
- i5
de más de una variable.
Definici6n :Si f es una funci6n de n-variables y A es un punto en Rn.
Entonce s se dice que f e s continua en el punto A si y s6lo
si se satisfacen los siguientes tres condici:mes:
i)
f (A) existe;
ii) lim f(P) existe
P_
A
(no es indefinida)
iii) lim
f(P)=f(A)
P~A
si una o más de e stas tre s condicione s no se cumplen en el
punto A, se dice que f es discontinua en A.
Para una funci6n de dos variables se transforma en:
Definici6n:
Si f es una funci6n de dos variables X i Y
es continua en el punto (Xo, Yo) si y solo si
se dice que f
fe
siguientes condiciones:
ii) lim
f(x, y) exi ste
(x, YM X D, Yo)
iii) lim f(x,y) = f(Xo, Yo)
(x, y) ~( Xo, Yo)
cumplen las
119
i)
2
Ejemplo:
Sea
f(x~ y)
X +y
=
si (x,y) =1== (0,0)
3X2Y
ii)
2
si (x~y)=(O,O)
°
determinar si f es continua en (0,0).
Soluci6n:
Se tiene verificando:
i)
ii)
iii)
°,O) = ° por tanto se cumple la condici6n i).
lim
3X 2y
2 = ° ya se demostr6.
(x~y)--(O,O) Xl +y
f(
lim
f(x,y) =f(O,O) por tanto f(x,y) es continua en
(x,y}--(O,O)
(0,0).
Xy
Ejemplo:
X
Sea la funci6n f(x,y) =
2
si (x~ y)
i=
si (x, y)
=(O, °)
2
(0,0)
+y
°
determinar si f es continua en (0,0).
i)
ii)
f (O, O) =
° se cumple la primera condici6n.
lim
f(x, y) = lim
Xy
no exi ste po r
(x,y)~(Xo, Yo) (x,y)-.(0~,-::0:-:-)-X'""'!'2~+-"yo;:"'2-
tanto
f(x, y) es discontinua en P(O,O).
Nota:
Si una funci6n f de dos variables
punto (Xo, Yo) pero el lim
f(x~
(x,y)~(Xo,
es discontinua
en el
y) existe, entonce s se
Yo)
dice que f tiene una discontinuidad re movible en (Xo, Yo)
120
ya que si f se redefine en (Xo, Yo) de tal forma que
f (Xo, Yo)
=lim
f(x, y)
(x, y)-(Xo, Yo)
entonces f se vuelve continua en (Xo, Yo).
nuidad no
cial,
Ejemplo:
Si la disconti-
es removible se llama una discontinuidad esen-
e s decir, si no existe el limite.
Para cada una de las siguientes funciones determinar si
la discontinuidad es esencial en el origen:
a)
g(x, y) = 3X 2y / (X2 +y 2 )
a)
Tiene limiHre en el origen por tanto es removible.
b)
No tiene limil-é-e, así que es esencial.
Los teoremas sobre continuidad de fuOliones de una sola variable pueden
ser extendidos a funciones de dos variables.
T eo r e m a :
Si f Y g son funcione s continuas en (Xo, Yo) entone e s
i)
f
+g
es continua en (Xo, Yo)
ii)
f . g es continua en (Xo, Yo)
iii)
fg
e s continua en (Xo, Yo)
iv)
f/g
e s continua en (Xo, Yo) siempre y cuando
g{Xo, Yo)
:::j O.
121
Ejemplo:
Sea f la funci6n definida por
= X2 +y 2
discutir la conti-
=
f(x,y)
nuidad de f.
=
O
Cuál es la regi6n
de continuidad de f.
i)
La funci6n f(x, y) e stá definida para todo punto de R 2 a sí
que se cumple par a todo punto (Xo, Yo)
ii)
R2
Considerando los puntos (Xo, Yo) para los cuales X02
a)
Si Xo 2 +Y0 2
1,
+Y&=f; 1
entonces
= lim
(X2 +Y 2) =X0 2 +Y 2 =
(x, y) -->. (Xo. Yo)
Hm
f(x, y)
(x,y)- (Xo,Yo)
=
f( Ko, Yo)
Sea la funci6n f(x,y) definida por f(x, y)
J} OX 2 +Y 2
si X 2 +y2=1
si X 2+ y 2 >1
discutir la continuidad de f?
Cuál es la regi6n de continuidad de f?
b)
Si X02 +ycf.
> 1,
Hm frXl1) =
(x, y)- (Xo, Yo)
entonces
lim
0--
O
f(Xo, Yo)
(x, y) - (Ko, Yo)
de e ste modo f e s continua en todos los puntos (Xo, Yo) para
los cuales X0 2 +Y02
-1= 1
122
Para ver si f es continua en los punos en que Xo 2+Y0 2 -
1
determina-
f(x, y) existe y e s igual a 1.
(x,y)~ (Xo, Yo)
remos si lim
Sea S 1 el conjunto de todos los puntos (x,y) tales X 2 +y2 ~ 1
lim
f(x, y)
(x,y)-:.(Xo, Yo)
(P en SI )
Sea S2
= lim
(X 2+ y 2 )
= X02 +Yo 2 = 1
(x,y)-(Xo. Yo)
(Pen SI)
el conjunto
re
-
entonce s
Ll
todos los puntos (x, y) tales que X2 +y2
f(x, y)
(x, y) - (XO,. Yo)
(P En en Sz)
lim
=
lim
O
(x,y)-",(Xo, Yo)
(P en Sz)
se concluye que como L 1 =1= L 2
=O
lim
(x, y)
1.
= L2
f(x, y)
(Xo, Yo)
ces discontinua en todos los puntos en que X2 +y2
no existe; f es enton-
=1
Definici6n: La función f de n variables se dice que es continua en una bola
abierta si es continua en todo punto de la bola abierta.
Si f es una funci6n de una sola variable y g es una funci6n de dos
variables.
Suponiendo que g es continua en (Xo, Yo) y si fes '
continua: en g(Xo, Yo).
Entonces la funci6n composici6n fog es
continua en Xo, Yo.
Ejemplo:
Dada h(x,y)
= Ln(XY-l) discutir
la continuidad de h.
Si g e s la funci6n definida por g(x, y)
= xy
- 1, g e s continua en
todos los puntos de R 2 • La función Ln es continua en todo dominio que e s el conjunto de todos los enteros positivos.
As!
123
si f es la función definida por f(t)
= Lnt,
í es continua
'v'
y h es la íunción compuesta fog la cual es continua para
de R 2 para los cuales xy - l
t
>O
ti (x, y)
> O.
Derivadas Parciales.
Trataremo s la diferenciación d e funciones reales de n variable s;, la discusi6n se reduce al caso unidimensional considerado una función de n variabIes, como una funci6n de una variable a la vez y manteniendo las otras
fijas.
Lo cual conduce al criterio de derivada parcial.
Definición: Sea f una función de dos variables X A Y, la derivada parcial
de f con respecto a X es aquella función denotada como DI f,
tal que su valor en cualquier punto (x, y) en el dominio de f
e stá dado por:
d
F(x, y)
d
X
f(x+
= DI f(x, y) = lim
Ji
J,.
x --"" o
x,y) -F(x,y)
.6X
si este limite existe.
Análogamente la rerivada parcial <i! f con respecto a 1. es aquella función denotada por D2 í(x, y) ó
a f(x, y)
d
y
tal que su valor en cualquir punto (x, y) del dominio de í, está
dado por:
d
f(x, y)
.J y
= D 2 f(
x, y)
si este limite existe.
= lim
1:. y - o
f(x, y+
6
AY
y) - í(x, y)
v
124
Una derivada parcial no puede ser considerada corno una razón , así
J z/ J- X
no
ES
una razón pue sto que ninguno de és-
to s símbolo s tiene significado por
separ ado.
Si (Xo, Yo) es un punto particular en el dominio de f, entonces
~ f(Xo, Yo ~
O-
i:>
X~
si este limite existe,
d
f~Xo, Yo
f~Xo+.bX, Yo~ -f{Xo, Yo~
= lim
X
l
y
f(Xo, Yo+ ¿ yl -f~Xo, Yo l
= lim
oy
¿X
o
by
by-- o
si e ste limite existe.
Comparando las definiciones dadas con las de una derivada ordinaria, se
nota
que,
d f(x, y)
a-X
e s la derivada ordinaria de f(x, y) si
dera corno una función de la variable X,
una constante.
Análogamente
af(x, y)
a- y
se le consi-
es decir, manteniendo y corno
e s posible considerarla com:o la
derivada de f(x, y) tomando a X como una constante.
Fórmulas alternativas son:
d
f(Xo, Yo)
J X
~f(Xo, Yo~
a
y
~~~
Xo
=Hm
Y-
Yo
f(X, Yo) -f(Xo, Yo)
X - Xo
si e ste limite exi s te.
f~Xo, Yl-f{Xo, Yol
si elte limite existe.
y - Yo
Ejemplo: Dada f(x, y) = 3X 3 -4Y:x2 +3Xy2 +7X - 8Y encontrar DI
YD
2
•
125
Interpretación geométrica:
de una variable.
Son análogas a las de una función
La gráfica de una función f de dos variables
e s una superficie que tiene como ecuación Z • f(x, y).
se rrantiene constante (sea Y
= Yo),
entonces Z
Si Y
= f(X, Yo) es
la ecuación de la traza de esta superficie en el plano Y = Yo.
La curva puede estar representada por las dos ecuaciones
= Yo
y
Z
= f(x, Yo) pues la curva es la intersección de
estas
dos superficies.
Entonces
J
J
f(x,y)
X
1
en (Xo, Yo)
(Xo, Yo)
e stá tangente trigométrica de la recta tangente a la curva: en el
punto (Xo, Yo, f(Xo, Yo) en el plano Y
= Yo.
De manera análoga.
d f(Xo, Yo)
}Y
=
d
f(x,y)
I
y
-
J
1
(Xo, Yo)
repre senta la pendiente de la r:ecta tangente a la curva que tiene ecuaciones X = Xo
y
Z
= f(x, y)
En el punto Po en el plano X = Xo.
126
Ejemplo:
Hallar la pendiente de la recta tangente a la curva de intersecci6n de la superficie Z = 1/2
"V
I
24 _ X 2 _ 2y2
con
el plano Y = 2 en el punto (2,2, i 3). La pendiente pedida
es
e l valor de
'OZ
en el pun to (2, 2, --v3)
'OX
y es
_
1
2'13
Una derivada parcial se puede interpretar corno una raz6n
de cambio, pues de hecho toda derivada es una medida de
una razón de cambio.
Si f es una funci6n
~
dos variables, X /\ Y la derivada par-
cial de f con respecto a X en el punto Po(Xo, Yo) dá la r azón de cambio instantánea, en Po, de f(x,y) por unidad de
cambio de X (X varra
A Y se mantiene constante en Yo).
Análogamente la derivada parcial de f(x, y) con re specto a
y dá la raz6n de cambio
instántanea, en Po de f(x, y) por
127
unidad de cambio de Y (Instantánea).
Ejemplo:
Dada la ecuaci6n PV = R T con R como constante sea el
vo1úmen de un gas en cierto recipiente 100 pulg 3, la
temperatura e s de 90 0
a)
=8
y K
Encontrar la rapidez de cambio instantánea de P por unidad de cambio en T si V permanece fijo en 100 pulg.
b)
Usar el resultado de la parte (a) para aproximar el cambio en la presión si la temperatura aumenta a 92 0
c)
3
•
Encontrar la rapidez de cambio instántanea de V por unidad de cambio en P si T p:errnanece fija en 90 o.
d)
Suponiendo que la temperatura permanece constante.
Usar el resultado de la parte (c) para hallar el cambio
en el volumen necesario para producir el mismo cambio
en la presión obtenida en la parte (b).
V
=100
= 8T
V
= 90
~ 1:'!: =
P
R=8
T
= 7.2
'O P
OT
a)
P
b)
Cuando T aumenta 2 grados un aumento aproximado en P
()T
8
cuandoT= 90
V:: 100
V
es de 2 (0,08):: 0,16 lb / pulg
c)
8T
V=--
~V
P
para T :: 90
::
)P
y p :: 1,2
=0,08
2
8T
pz
QV
oP
-1259
:: _~
(7.2)
rapidez de cambio instantánea de V por unidad de camb io
en P
cuando T ::
ge
P :: 7.2 si T permanece fija en 90.
12 8
d)
Si P aumenta 0,16 unidade s y T permanece fija, entonce s
el cambio en V deberá ser aproximadanente (O.16)(-~)
9
~ - ~
9
te
~
asr que el volumen decrecerá aproximadamen-
pulg
3
si la presi6n aumenta de 7, 2
~
7,36 lib!pulg 2
9
Definici6n:
Si P(X l , X 2' ... Xn)
es un punto en Rn (espacio numérico
n dimensional, y sea f una funci6n
de n variables Xl ,X •••
2
Xn. Entonces la derivada parcial de f con respecto a Xk es
aquella funci6n denotada por
1f
tal que su valor en
OXk
cualquier punto del dominio de f e stá dada por
-1!.
OXk
f(X l' X 2- •• Xk-l, Xk +
lim
Xk, Xk+l ••• X:n)-
II Xk
1J Xk ...... o
- f(Xi •••• Xn)
h Xk
si este limite existe.
Diferenciabilidad y Diferencial total.
Si f es una funci6n diferenciable de la variable X y si Y ::: f(x) entonces el
incremento
Á y
de la variable dependiente puede ser
A y ::: f(x) /) x+ n
cuando
se
AX
AX _
donde n e s una funci6n de
.á X
Y
o.
sigue que su la funci6n f es q.iferenciable en X, el incremento de f en
Xo, denotado por
6 f (Xo) e sta dado por
l
129
A f(Xo) =f I (Xo) Ll X
+ n 1:. X
donde lim
n
1!.X--o
=O
Para funciones de dos o más variables se usa una ecuación
ca rrespondiente para definir la diferenciabilidad de una funci6n y de la definición se deducirán criterios para saber cuándo una función es diferenciable en un punto.
Definición:
Si fe s una función
re
dos variab le s X"
disco abierto B(Xo, Yo);
Y, definida en un
), el incremento de f en el punto
(Xo, Yo) denotado por ~ f(Xo, Yo) está dado por
i.. f(Xo, Yo)
=f
(Xo
+Ax, Yo +¿ Y) - f(Xo, Yo)
la ilustración gráfica e s la siguiente : para una función continua en un disco abierto que tiene los puntos (Xo, Yo) y
(Xo+ X, Yo +& Y)
f(Xo, Yo)
= QR
130
Si f es una funci6n de dos variables definida en B, X
Definici6n:
1\ Y
y el incremento de f en (Xo, Yo) se puede escribir corno
donde f 1
/\ € 2
Af(Xo,Yo)=
Teorema:
son funcione s dedX y
~f(Xo, Yo)
'(}x
-
Ay
'Of(Xo YoL
ro;AY+6ltlX+~2AY
Ax+
Si una funci6n f de dos variable s e s diferenciable en un punto, es continua en ese punto.
Demostrac.
~
Si fes diferenciable en el punto (Xo, Yo) se tiene de la definici6n anterior y del. criterio de 6 f(Xo, Yo) =
+ A Y) se sigue -
f(Xo+.óX, Yo+
f(Xo, Yo)
f(Xo+ 11 X, Yo+ 4 Y)-f(Xo, Yo) =
O' f(~, ~o~..c.x
+
Of(X~,xyo)
/J. Y+
+€l 6x+E2~Y
donde E 1 ~ o
cuando ( ,1 X, A Y) ~ (o, o)
y E 2 ------. o
así que
o-f(Xo, Yo)
f(Xo+6X, Yo+ Ó Y) = f(Xo, Yo)+ ----~ A X + <d-f(Xo, YO)ll Y+
'dX
'¿y
tornando limites en ambos miembros cuando (.1 X, L1 Y)_(o, o)
obtenernos
lim
f(Xo+ .1X, Yo+1.\ Y) = f(Xo, Yo)
(A x, Lly)~o,o)
Si se hace
Xo+
es equivalente a
a X=
X
"(x,y)
y
Yo+
~(Xo,
4 Y=Y
"(AX,AY) -(0,0)"
Yo)" así se tiene
131
lim
(X.,y)
---">
= f(Xo, Yo)
f(x, y)
(Xo, Yo)
lo que demuestra que
f e s continua en (Xo, Yo)
En nesumen el teorema afirma que para una funci6n de dos
variable s "Diferenciabilidad implica continuidad".
Sin em-
bargo la sola existencia de las derivadas parciales no implica la diferenciabilidad en e se punto.
Xy
Ejemplo:
Dada
2 2
X +Y
= [
f(x. y)
O
si (x,y)
=1-
si (x, y)
= (o, o)
(0,0)1demostrar
J
que
f(x,y) no es continua en (0,0) a pesar de que las
'd f
exi sten.
~Y
=
o f(Xo, Yo)
'1
= lim
X ~ Xo
X
f(X, Yo) -f(Xo, Yo)
X - Xo
si
limite existe.
D2 f
_
-
'd' f(Xo, Yo)
aY
=
Hm
Y--? Yo
f(Xo, Y)-f(Xo, Yo 2
Y-Yo
si limite existe.
DI f
=
Dlf(O,O)
= Hm
-
f(x, O)-f(O, O)
X - O
X ~ o
D f (0,0)
2
=
¿
~ f(O, O
oX
:::
Hm
y~ o
O- O
X
:::0
f(Oz Yl-f~O,O¿ ::: O - O ::: O
Y - O
Y
t(} 1 Y d 2 existen sin embargo ya se vi6 que lim
(x,y H
f(x, y)
o,o)
no existe corno no EXiste entonce s no e s diferenciable en (o, o)
132
Antes de rrencionar el
Teorfa:
~orema
que dá condiciones para las
cuales una funci6n de más de una variable es diferenciable
en un punto. Consideraremos la extensi6n del teorema del
valor medio a funciones de dos variables.
Teorema:
Sea f una funci6n <i: dos variable s definida para toda X en el
intervalo cerrado [ a, b ]
rrado
Y para toda Y en el intervalo ce-
[ c, d ]
i)
existe para alguna Yo en
Cc ,dJ Y para
JI- X f
[a, bJ entonce s existe un número ~ ,
en el intervalo abierto (a, b) tal que
f (b, Yo) - f( a, Yo)
ii)
=(b-a)
Dl f
(E 1 , Yot
Si D 2 f(Xo, Y) existe para alguna Xo en [a, bJ
y para toda
C. 2
en el inter-
Y en
[c, dJ
valo abierto
entonces existe un número
( c, d) tal que
f (Xo, d) - f( Xo , c)
=(d -c) D 2 f
(X o , E 2 )
primero 10 interpretaremos geométricamente:
La pendiente de la recta AB e s:
f (b, Yo) - f(a, Yo)
b-a
el teorema afirma
que existe un punto (t\, Yo, f( e l' Yo» sobre la curva entre los puntos
A Y B donde la recta tangente es paralela a la recta secante que pasa a
travé s de A y B.
to (a, b) tal que
e s~ecir,
existe algun número
el
en el intervalo abier-
134
<.b) .
(
, ,.,..
J
133
=
La interpretaci6n de D 2 de f (Xo,
Demostraci6n de la parte i).
por g(x)
=f(x, Yo)
para toda X
€
bJ
b- a
e
2 ) es análoga.
= Of(X, Yo)
df(X, Yo l
ya que
'1- X
[ a, b
J
g( b)-g( a)
b-a
E
[a, bJ
[} 1 en ( a, b) tal que
o equivalentemente,
f (~ Y) _ f (b, Yo) - f( a, Y o
e"
o b-a
f (b, Yo) _ fea, Yo)
existe
ox
y por el teorema del valor medio
para funciones de una variable existe un número
1
J
se sigue que g I(X) existe para toda X
y por lo tanto g e s continua en
D
fea, Yo)
Sea g la funci6n de una variable X definida
entonce s g(x)
[ a,
[3 b , Yo) -
= (b-a)
l
de la cual se obtiene q I
'Of (el' Yo)
"OX
la ecuaci6n anterior se puede escribir también
f(Xo+h, Yo) - f(Xo, Yo)
cmnde
e1
=h
DI
f (é\ ,Yo)
está entre Xo y Xo+h
y h es positiva 6 negati-
va para el caso kY se puede anotar:
f (Xo, Yo + k) _ f(Xo, Yo)
=
k
If (Xo,
2)
~Y
donde
Ejemplo:
&2
está entre Yo y Yo+k y K es positiva 6 negativa.
Dada f(x, y)
= ~~;
encontrar una
teorema del valor medio si X
a
=2
b
=5
YP
=4
E
e1
[2, 5J
requerida por el
y
Y
=4.
134
f(b, Yo) - f(a,yo) = f(5,4) - f(2,4) = (b-a) ~ f (B1 ,4)
=(5, 2) 6
f(5,4)-f(2,4)=3.
pero corno 2 <:
e1
l' Y)
oX
Dl(~1,4)
24
16
5
--~
5 - -= 3
f(
,...
.•. 3+cl=
+
2
Vlo
(3-kl )2
<.;
5
se de be tornar el signo (+) y se
obtiene
Teorema:
Sea f una funci6n de dos variables
mos que Dlf y D 2 f
G9
y
@ .
Suponga-
existen en un disco abierto B(Po,r),
donde Po e s el punto (Xo, Yo). Entonce s
si DI f Y D 2f
son continuas en Po, f es diferenciable en Po ••• '" que f
continúa en Po.
[)emo str ac •
Sea el punto (Xo+,AX, Yo+ /J.Y), el cual está en B{Po, r).
Entonces,
.A f( Xo, Yo) = f( Xo +.L) X, Yo + A Y) - f( Xo, Yo)
restando y sumando f(Xo+.1X, Yo) alIado derecho de 10
anterior se obtiene
,Af(Xo, Yo) = [f(Xo+bX, Yo+ L\Y) - f(Xo+ LlX, Yo)] +
+[
f( Xo + ¿) X, Yo) - f( Xo, Yo) ]
135
Dado que DI i
Y D Z f existen en B(Po, r) y
(Xo, il X, Yo+ .óY) está en B(Po, r)
se tiene que:
i)
f(Xo+,ó X, Yo+ A Y) - f (Xo+ 6X, Yo)= (LlY) D Zf (Xo+ÓX,€Z)
con
¿z
entre Yo y Yo + D. Y
ii) f (Xo+6.X, Yo) - f(Xo, Yo) = l:>X
D:L f~, Yo)
con
e1
entre Xo y Xo+ DX.
Sustituyendo i) Y ii) se tiene
8f (Xo, Yo) = (f).Y) DZf (Xo +.1 X,¿Z) + (AX) DI f ~1' Yo)
a)
dado que (Xo+ A X, Yo+!l Y) está en B(Po, r),
Yo y Yo+L\Y
lim
Y D Zf
¿
Z está entre
es continua en Po, se sigue que
DZ f (XotL1X,8Z)= D Zf (Xo, Yo)
( lix, A y ~ ( o , o)
b)
Como
t\
está entre Xo y Xo+L\x Y DI f es continua en Po,
se sigue que
lim
DI f(E'I'Yo) = DI f(Xo,Yo)
(Ax,A
c)
Tomando
y)~o,o)
~1=Dlf(el,Yo)-Dlf(Xo,Yo)
lim
( Ax,
d)
se sigue que
é1=O
.óy)-~(o,o)
Tomando EZ
= DZ f
(Xo+AX,eZ ) - DZ f (Xo, Yo) se sigue
que lim ( d x, II y) ~ o, o
136
así que
/j f (Xo, Yo)
= A Y (DZ -f (Xo, Yo) +E:. Z ) + bX
[DI f (Xo, Yo) +G 1)
de donde se obtiene
Af (Xo, Yo)
=DI f (Xo, Yo) AX + DZf (Xo, Yo) IlY+
+6 1 llx +€Zl!y
así que fes diferenciable en (Xo, Yo)
Ejemplo:
Dada
f(x,y)
=t
si (x,y) =1= (0,0)
o
si (x, y)
= o, °
demostrar que es diferentiable en (O, O)
a) (x, y)
Para encontrar DI f consideramos dos caeos:
= O, O
b) (x,y) =1= (0,0)
i)
= o, ° se
( °, o) =lim
Si (x, y)
D 1f
X - '>.Q
ii)
Si (x, y)
'*
tiene
f(x,o)- f(o,o)
X-O
(O, O) , f (x, y)
=
lim
x --4>
°
O-O
X
=°
XZy Z
:=
XZ+yZ
para hallar DI f (x, y)
usa.
mos el proceso ordinario de la derivaci6n manteniendo a Y constante.
DIf (x, y)
=
la funci6n DI f
si (x,y) -/::
(0,0)
si (x, y) = 0, O
e sta definida por
137
si{x,y)i=
de la misma forma se obtiene Dtf(x,y)= [
si (x,y)
°
DI f
Y D2 f
=
(0,0)
(0,0)
existen en toda disco abierto que tenga su centro en el ori-
gen es necesario demostrar que DI f
Y
Dz
f son continuas en (0,0)
ya
DI f será continua en (O, O) si
queD,f(O,O)=O
lim
D¡f(x,y)=O
(x,y) ---,.(0,0)
Por lo tanto debemos demostrar que para cualquier
E >0 existe una
b } ° tal que
siempre que
< 6
°<
2 ~. X 2+y 2 ~ V x 2 +y2 )4
=
=
( X2 +y2) 2
=
2
~ X2 +y2
por lo tanto
siempre que
por lo tanto DI f es continua en (0,0) de la misma forma se demuestra que
DZf es continua en
(0,0)
y por tanto f (x,y) es diferenciable en (0,0).
138
Definici6n:
Si f e s una funci6n de dos varia ble s X y Y,
ciable en
(x~y),
Y f e s diferen-
entonces la diferencial total de f es la fun-
ci6n df cuyos valores están dados por
df (X, Y,AX,AY)
= DI f (x,y)
.l1X+ DZf (x,y) ÓY
es de no-
tar qué df e s funci6n de cuatro variables.
Si Z
= f (x,y)
tornando dZ corno df (x, Y,llX, ~Y) se tiene
dZ =Dlf(x,y) LlX+ DZf(x,y).AY
a)
En particular si f (x, y)
=X - >
Dl f (x, y) = Dl Z = 1
y
Z = f (x, y) = X
DZf(x,y)=O
corno Z • X - - > dZ = dX Y por tanto
b)
Análogamente si Z
D 1 f (x, y)
y
=f (x, y)
= y
yasr
dZ= Ax
y
=1
y
dX = /j X •
D Zf
(x, y)
=D
iJ,
=O
se tiene que dZ
=
y corno Z = y ~dZ
Ay
= dY --"> dY = A X
Entooce s se tiene que
dZ
= Dlf (x,y)
dZ
= Dlf (Xo, Yo) dX +
tornando
!l
Z
dX + DZf (x,y) dY yen el punto (Xo, Yo) se tiene
DZf (Xo, Yo) dY
= 11 f( Xo, Yo)
dX
=
LlX
dY
= 11
y
se tiene
Llz= Dlf(Xo,Yo) dX+DZf(Xo,Yo) dY +El dX +~Z dY
cuando
dX
---'!>
o}= 1z~
I;~o
o
se puede concluir que dZ ~
t.1 Z
o
cuando la notaci6n D 1 f(x, y) = '5f
oX
139
Of
y
se tiene la notaci6n más usual.
= -
oY
- Of
--
dz
dx
+ "Pf
dy.
aY
Una hoja metálica en forma de un cilindro rec to va a tener
Ejemplo:
una altura inter n a de 6 pulgadas, un radio interno de 3 pulgadas Y un espesor de 0.1 pu¡gada.
Si el costo del metal
a usarse es de 10 centavos por pulg
3
en::ontrar por diferen-
ciales el costo del metal en la manufactura de la lata.
El volúmen = V = .í ( R 2 h.
h. _ e s la alt ur a.
El volumen exacto es la diferencia entre dos volumenes de cilindros rectos para los cuales
r
= 2,1
h
= 6,2
Y
r
=2
Y h =6
respectiva-
mente.
/J V
daría el volúmen exacto pero como solo interesa un valor aproxima-
do, usamos
dV
dV.
= 7Jv
Or
Definici6n:
. dr +
av
Oh
dh
•
=
2 'íl'rhdr+
=
3.2
11" r
2 dh.
'TÍ ~Av
$ 1. 00
Sifesunafunci6nden-variables Xl ,X2 ..•.• Xn
Y
P
es el punto (Xl ..••. Xn) entonces el incremento de f en P
es
Definici6n:
t1 f(P)= f( X 1, X 2 •.• Xn) - f(P)
Si f es una funci6n de n variable s Xl, ...•• Xn , Y el incremento de f en
tJ
P
f(P) = DI f(P)
se puede
6 Xl +D2f( P) Ax 2+
+ é 1 ~ Xl + ... + € n DXn.
.... + Dnf
donde
é i
(P) .Ll
-~ o
Xn
140
Definición:
Si f e s una función de n-variable s Xl"" " • Xn
t
y f e s dife-
renciable en P, el diferencial total de f, es la función df
cuyos valores están dados por:
df (P, AX1.AXZ""". óXn) =Dl f P Ó X l +DZf (P)AXZ+ ••.
. . . • + Dn
f(P)
Ó
Xn
tomando W = f(X 1" •• , Xn)
dXn = L\ Xn.
definiendo dX 1 =
Q fw
Y usando DI f(P) =o Xi
A Xl .•..
se puede escribir
el diferencial total como:
dXZ +
dw =
Ejemplo:
.•.. +
dXn.
Las dimensiones de una caja son 10, lZ Y 15 Y tienen las medidas un posible error de O, OZ pulgadas.
Encontrar de for-
ma apropiada el máximo error posible, si se calcula el volúmen a partir de las dimensiones dadas.
H allar el error
por centual aproximado •
Ejercicio:
1
SI. f( x, y ) = [( XZ +yZ) Sen
Encontrar a)
°
f(°.
O);
-b)
-------~
D 1 f(
si (x.y)
1=
si (x,y)
= (0,0)
°.°)
y D Zf (O,
(0,0)
°);
c) demostrar que f es diferenciable en el punto (0,0) y
d) demostrar
que DI f Y DZ f son continuas en (Q, O).
141
Regla
de la Cadena:
Definici6n:
Si U es una funci6n diferenciable de X y Y, definida por
U = f(x, y) y si X = F(r, s) y y=G (r,s) y además se tiene
que ')X/(}r,ÓY/ar, '))X/~ s y
OY/'Os
existen en-
tonces ; U es una funci6n de r y s.
~U
'OX
ro X
1}r
=-
+ f()u . ~Y
'D y
~r
Dada U = Ln
au
Hallar
COu
= (}U
X
' Os
X 2 +y
{
()
re
2
.$
O-U
OS
y
'Or
Regla
11
general de la Cadena:
Sup6ngase que U es una funci6n diferenciable de n variables Xl •••••. Xn
y cada una de estas Xi variable s e s a su vez funci6n de n=variable s
Yl , ..•.• Yn.
ciale s
Además si existen todos y cada una de las derivadas par-
OXi /~Yj (i = 1
n)
J -:=-1--.. m)
entonce s U e s una funci6n de
Yl--Ym. y
+ ..•..••..•
oU
OU
OYj =~l
Ejemplo:
U = XY
X = r
'(}Xl
'd'Yj
+ .....••...
aXn
+ XZ + YZ
y = r
cost
Z = r sent.
OYj
142
Hallar
OU
~U
y
ot
Or
Definici6n:
Si U es una funci6n diferenciable de las dos variables Xi
Y¡
y si a su vez X i Y son diferenciables de la variable
•
Entonce s U e s funci6 n diferenciable de la variable "é y así
en lugar de la derivada parcial de U con respecto a t, se
tiene la derivada total de U con respecto a t.
d.u -- 'du
CLt
'OX
d.x
dt
+ ?U
OY
dada por
Jy
at
A dU/dt se denomina la derivada total de U con respecto a t.
Generalizan-
do se tiene que si U es una funci6n de n variables Xl ' Xm y cada una de
ellas es una función diferenciable de t y la derivada total de U con respecto a t e stá dada por:
du
~~=
el t
Ejemplo:
dx
~
t
+ ..•. +
Jt
Si la ley persa el gas ideal se usa PV= kT; usarla con k=lO
para ha llar la rapidez a la cual la temperatura está cambiando en el instante en el cual el volúmen del gas es de
3
120 pulg
y el gas está bajo una presión de 8 lb/pulg 2 •
Si el volúmen está aumentando a la rapidez de 2 pul; / seg
y la presi6n está disminuyendo a la rapidez de 0.1 lb/pulg 2
por seg.
143
Sea
t = el tiempo en segundos, transcurrido de sd e que el volumen del
gas empez6 a aumentar.
T = la temperatura en grados en t seg.
P
= La pre si6n
v
= Volúmen
PV
dT
•
•
dt
= 10
.-
T
T =
dP
--
PV
•
dt
20
T
+---Q'V
•
dV
-~=
dt
120 (0.1)1= 8 ( 2 )=0 .4
10
10
Así que la T está aumentando a la rata de 0.4 grados por segundo en
el instante en cuesti6n.
Si U es una función diferenciable de X AY definida por U= f(x,y) y si 't
X
= F ( r, s)
'O X
() Y
?'Y
existen; entonce s Y e s funci6n de r, s . y
(fX
?fs
Demostrac.
de
0
Si
X .A Y variarán cada una cantidad DX
+ As)
- F(r, s)
y
AY= G(r, s
+A
lls entonces
aY
dadas por
s)-G(r, s)
Corno el teorema dice que fes diferenciable se tiene
•
Jj f(x,y)
iii)
+ ~Y
r, se mantiene fija y s varía una cantidad
ÓX = F(r, s
ii)
'OU
= DI f(x,y) ~X+ D 2 f(x,y)AY
Corno é l
esfunción de
-
AX
.1\
t:
2
establecernos la condición de que é l
+t l Ax + E 2
Y
lo es de
~
o cuando IJX·
~o
•
144
--~~
y b2
a fin de que él
iv)
sean continuas en (DX, ilY)==(O,O)
corno U == f(x,y) se torno
b)
Dlf (x,y)
c)
dividiendo ambos miembro s por
U
~ s
=
á U corno
setomó
' -='~
-
crX
D f(x,y) = 10U
y
aY
11 s se tiene:
+ 'd-U
Ax
'dU
OU
Ó f(x,y)
aY
As
t1
Tornando limites en ambos miembros cuando
Llu
lim
.1s~tO
+
lim
As
vi)
-_~ o
a)
II
v)
bY
o cuando
.As
-
~U
lim
AX
+Cru
tJ s~~ 0' A~s-
"'?iY
'JX
€ 1
AX
lim
As
»o
ciones de r y s
~Y
1> o
""!'b-s-
lim ~ 2
As_ o
+
... 0 fj s
Corno U es función de X J\ Y
lim
II s
s -~3. 0.
lim
/ls
Hm
As
1\
s
asíU = U(r,s) y r
U(r, s+l1 s) -U(r, s)
6 s
--....".~o
Análogamente
lim
L1X
A s ... 0 t} s
= lim
igualrnen te
lim
.6s-
,
F( r , s + .6 s)- F( r , s)
6s~~0
~s
~
~ o
Y
l1s
.;lo t1s
-
U es función de r
-
!!AY(
A s
I1Y
las cuales son a suvez fun-
a s.
corno se mantiene fija) y s cambia una cantidad
Hm
As -->0."0
+
a-Y
-(rs
-
=
145
Ya queoX/ 'O s
vii)
~y/'O s
•
1
existen F 1\ G son
continuas con respecto a la variables S. Por 10 tanto:
a)
A X = 1im
1im
.1
/j s --'')()
s
F( r , s +.1 s) - F (r, s) =
--.;:.> o
F( r , s )-F( r, s) = O
b)
G( r , s +
lim
AY = lim
n s .-.. 0
¿} s
Ó
s )- G( r , s) =
= G( r , s)
fJ s
Así que cuando
Y
E
o
tanto
Lly
/j X como
son funciones de 11 X Y
E:. 2
y como t::- 1 y
ne que <S1
_-pp
2
lim
fl s ___ o
=O
- G( r , s)
cuando
6
lim
Lls
--40" o
s
-
fj Y
se tie-
...... o
@
sustituyendo estos valores se tiene
OU
?U
--=
'Os
oX
Ejemplo:
i)
v X 2+ y 2 •
Dado Ln
ha11ard U / ~ r
ii)
u
= X 2+y
Hallar
iii)
2 ,
¡\
con X = r e s
f\
y
=
r e-s
OU/os.
X = cos h r cos t
y
=
sen h r sen t
d U/o r; )' U
o-t
A un tanque en forma de cilindro circular recto fluye agua
a la rata de (4/5) '1(
. 3/mm.
.
pIes
El ta!1.que se enzancha
de forma que aunque sigue sien do cilindro, su radio aumenta a la rata de 0,002 pies/ min.
146
Que tan rápido se está elevando la profundidad del agua
cuando el radio es de 2 pies y el volllnen de agua en el
•
tan que e s de 2011' pIes
r
v =
3
•
= F(t)
h = G (t)
f(r, h)
dV
--
dt
preguntan
+ 7JV
•
•
oh
dh
dt
r
dh
dt
= 2
dV = 4
dt
5
11
h =
Derivadas direccionales y el Gradiente.
La raz6n de cambio de una funci6n con respecto a la distancia en cualquier
direcci6n origina el criterio de lIderivada direccional"_
Si f(x, y) es una funci6n cualquiera, y hay un vector uritario que posee su
origen en un punto p(x, y) que está sobre la curva, y que hace un ángulo
con la parte positiva del eje X.
se tiene
I
Lt I
=1
El cual se puede representar por
cos
e -i
+ sen 9
..•
J
U
147
+'_
("1,'1) P~---,--=_ _
cose
I s,§IIe
~
Definici6n:
Si f es una función de dos variables X A Y; Y si U es el vector unitario ca s
ei
--'"-
en la dirección de U
Düf(x, y) = lim
+ Sen
t}
Jo
La derivada direccional de f
denotada por Ditf(x, y),
f(x+ h cos
h --'> o
e"
está dada por:
y+ h sen .Q
i- f(x, ti
si
h
el límite existe.
La derivada direccional dá la razón de cambio de los valores de la funci6n
f(x,y) con respecto a la distancia en el plano (X, Y Y medida la raz9n de cam
bio en la dirección del vec tor unitario U.
148
La derivada direccional Diif , calculada en Po, es la pendiente de la
recta tangente a la curva en el punto Po estando la recta tangente en el
plano Po, Ro, Q:
Casos particulares:
Sen
~
Dli' f
-" ....
a) Si U = 1 entonces
e
=0
o
cos
e-
= 1
= O.
,x, y)
f(x+h cos -e, y + h Sen e)
= DI f(x, y) = lim
h~o
= lim
f(x+ h, y) - f(x, y)
h
h-,o
b)
=
h
Cos.Q =Cos
= D x f(x, y)
ff/2 =-9
Sen & = Sen
.1f = 1
2
D~ f(x, y) =
f(x+ h cos 7T /2, Y+ h sen 71 /Z)-f(x, y)
DJ f,x, y) = lim
h~o
= lim
h.--o". o
f,x+O, Y+h) - f x, y)
h
de donde se aprecia CFe las D x f
de la derivada direccional
b
e:l
.A D Y f Son casos particulares
la direcci6n de los
vectores unitarios
l' A
~
Definici6n:
Si f es una f~nci6n diferenciable de X A Y, con U = cos~T +
Sen
-e J;
entonce s se tiene que:
IDUf(X,y) = fx x,y) cos-e + f y :x,y) Sen
Demostrac.
0..1
Sea g una funci6n de las variable s t, x, y; y de la costante
e;
si se mantienen x, y, fijas en forma que g(t)= f( X+t cos{}, y+tsen-S)
y s i -U = c o s -& ->
1 + S en
-e-- J
149
i)
por la definici6n de derivada ordinaria se tiene que para t
gJ(O)
= lim
h
f(x+(O+h) cos
e,y+
(O+h) sene )-f(x+cos
=O
-e,y+
h
---.;.0
+ O sen e)
h
= lim
h--bO
ii)
f(x+h cOSB,y:h sene) - f(x,y)= D~f(x,y)
Si se halla g J(t) por la aplicaci6n de la regla de la cadena. se
tiene,
gJ(t) = ~ (x+tcose,y+t senB).1..(x+tcosP)+ fJx+tcos9,y+tsen91
6t
¿, (y+t
sen e)
dt
= fx (x+tcosB,y+tsene) cosB+fy(x+tcos9,y+tsene)
Sen f}.
gJ(O) = fx(x,y) cos
e +fy (x,y) Sen 9 ...
ya que t y (} permane-
c en con -atan te s al de ri var
parcialmente y t = O Con
respecto a X
1\
Y.
Asr que gJ (O) = Duf(x,y) = fx(x,y) cos
Nota:
e +fy
(x,y) Sen (}
Es de notar que la derivada direccional se puede expresar medi ante el producto escalar entre dos vectores.
Duf(x,y)
=fx(x,y)
cos 19+f y (x,y) Sen~= (cosBí+senG"j).
[fx(x,y)T+f y(x,y)j]
El .ector f x (x, y)"t + fy(x, y)
diente de la funci6n ftl
•
'1
se conoce como "El vector gra-
150
Se acostumbra denotar como
Vf
donde
V se conoce como el
"O
es algo más com-
operador nabla
+ J--l +
bY
~z
pIejo que el operador familiar
d
dx
Definici6n: Si f es una funci6n de dos variables ~ Y Y Y si fx~f Y existen,
entonces, el gradiente de f. denotado por -V f; está definido
por
Vf(x,y)
=fx (x,y)T+
usando el gradiente f. la
derivada direccional se torna;
D
ti f( x, y)
=
---
Vf(x,y)
U.
significa que la derivada direccional de una funci6n se puede obtener multiplicando e scalarmente el gradiente de la fun: i6n por el vector unitario
en la direcci6n deseada.
-
V f entonces
Si q(,. es el ángulo que conforman entre sí los vectores U Y
-"
D~ f = U.
V f=
~
I UI
I 'Vil
cos
c(
:,
U 1= 1
Y esta expre si6n será máxima cuando cos ~
o 10 que es igual que los vectore s
U
así que
=1 e s
D ti f
=t Vf
decir cuanl o
o{.
le os
=0
0
Y ~ f posean la misma direcci6n.
Todo lo anterior indica que el gradiente de una funci6n está o posee la direcci6n en que la funci6n tiene su máxima raz6n de cambio.
ot
151
Eje:mp1os:
i)
y2
Sif(x,y)=
t -
: hallar
9
Vf
en el punto (4.3), hallar
la raz6n de ca:mbio de f (x, y) en la dirección
en el punto
(4.3)
Sln: a)
'Of
O'X
=
X
of
8
aY
4 "t
Vf(4.3) = 8 +
b)
96J
': i
1"1
T
=
2
'3
+
siendo
D;:; ( 4, 3)
= U.
yt
f( 4. 3)
=
+ ~ 2
=(
~
2
2
f(x, y)
= 2X 2_ y2 t3X -
71' en el punto
4
Sen
'r
.jj
J
2
1" + .E) (ill + rz::f")
--1..
3
(.
2..
2
=
Dada
J
U = (cos ~ rr t
= {21
2
J
9
8
La razón de ca:mbio de f (x, y) en la dirección
(4.3) es Du f (4.3)
ii)
~l + 2y
-Vf(x, y)=
•
2
+ +2)=
3
~
2
2
2
(3 + 4 )
6
:::
y encontrar el valor :máxi:mo de D .... f
u
enP{1..,-2)
f x ::: 4X + 3
fy::: -2y - 1 - - V f::: (4X+3)i -
V f(l, - 2) ::: 71 - (-4+1)
iii)
J= 7t+3f
I Vfl
= ~
(2y+1)j
2 2
7 +3
=
"58
La te:mperatura en cualquier punto (x, y) de una placa rectangular
situada en el plano ~
está deter:minada por T(x, y) = X 2 tY 2 .
152
Hallar la rapidez de cambio de la temperatura en el punto (3.4) en
'1t radianes con la direc-
la direcci6n en que se hace un ángulo de
3
ci6n positiva del eje X.
Hallar también la direcci6n para la cual
la rapidez de cambio de la temperatura en el punto (-3,1) es un máximo.
Sln/.
a) Se desea
D-f (x,y) = D.J.T(x,yj
u
con U = cos íÍ
3
T (x, y)
=X
2
+y
'/( 3,4)
u
í+ Sen -17' J=
-í
3
2
+ {3 -
-Z
-ZJ
Tx(x,y)=2X
Ty (x,y)
= 2y
V T (x, y) = 2Xi + 2yr
DuT(x,y) = U
.
VT(x,y)=(T +
Dii T (3,4)= 3 +4
=
-T
=
X
f3 :=:t:.
.r;r)
(2Xt+2YJ)
[2X + 2y
+
Y
V3]
~.
9,93
La temperatura está aumentando a la rapidez de 9,93 unidades por unidad de cambio en la distancia medida en la direc~
ci6n de
b)
~T t3,l)
direcci6n :
U.
~
es un máximo cuando U y V T(-3,l) tienen la misma
VT(-3,1) = -6T+ 21.
la parte positiva del eje X es:
El ángulo que hace
2
_ T -1
g
-=-6 -
VT con
1
-3
153
Todo lo expuesto sobre la derivada direccional con re specto a funciones de dos variables es aplicable a funciones de 3 variables. Así
se tiene:
Def inic i6n : Si f e s funci6n de tre s variable s x, y i
tor unitario igual a
cos.j:J
-=
U
cos<:lé t+ cos
j3
1+ cos
-
z
y si U e s un vec'11
k
siendo cos oG,
y cos 7f los correspondientes de coseros directores.
Entonces la derivada direccional de f en la direcci6n de
U está
dada
por:
D~f(x,y}z)
=lim
h~o
f(X+h cos oC,y+h cosP,z+h cos(f~-f(xJl'z)
h
si el limite existe.
D--f(x,y,z)
u
=f(x,y,z)
cos 0<.+ f (x,y,z) cosJ3+ f (x,y,z) cos
X
y
z
"Vf(x,y,z) =f x
-
1
¿¡.
+f y J+f z k
D->o.f (x,y,z) = U. Vf (x,y,z).
u
Ejemplo:
Hallar la deerivada direccional de F
=X 2 y
la curva que tiene por ecuaciones paramétricas si
Z3
a 10 largo de
se tienen corno
ecuaciones paramétricas.
y = 2 Sen u + 1
en el punto P para el cual U
P.
Z
= O;
=U -
cos u.
a 10 lar go de un vector tangente en
154
Slnl i) Para U
x =e
=O
= 1
-o
y
=2
sen O + 1
=1
Z = O - cos O = - 1
Así que P
= (1,1, -1)
Vf= 2XYZ3-t+
X2
z 3j
+ 3X2YZ2K
-'"
Vf (1,1,-1) = -2í-.r+ 3K
ii)
Un vector radar o vector posici6n para el punto P (x,y,z) está dado por:
R =
e -u í+ (2 sen u + 1) J
+ (U - cos U )
k
El vector tangente es:
=
d
du
{e -uí+(2senu+1)J+(U-cosU)k)
= - e-u "t+ 2 cos u J + (1 + sen U) k
en P siendo P el punto con U
To
=
=i + 2[+ k
=
iii)
-1+ 2;+
=O
el vector unitario e s
To
-1" +23+ k
V1+4+1
k
.f6
La derivada direccional en la direcci6n To es:
~
D __ f(x,y,z)
To
= V f
To
3
1T1
f6
=
+"6:
=
155
Planos
tangentes y Rectas normales a
su p e r
fi c ie s •
Si se tiene que una superficie S tiene por ecuaci6n F(x, y, z)
Sea un Punto Po( Xo, Yo, Zo) que está sobre S.
= O.
Asumiendo una curva C so-
bre la superficie y que pasa a través de Po; además si la curva C posee por
ecuaciones paramétricas
Sea to el
~lor
X:: f(t) y:: g(t)
del parámetro t en
~l
Z:: h(t)
punto Po.
i)
Una ecuaci6n vectorial de la curva Ces: R(t)::f(t) í+g(t)J+h(t)k
ii)
Como la curva C está sobre la superficie S se tiene que se cumple
F (f( t), g( t), h( t) ) :: O
iii)
Si llamarnos por simplificaci6n G(t) :: F(f( t), g( t), h( t) )
iv)
Si Fx, Fy, Fz
son continuas y no todas nulas en el punto Po, y si
fl(tO), gJ(to), hl(tO) existen entonces la derivada total de F con
respecto a t en el punto Po está dada por
GJ(to) = Fx(Xo, Yo,Zo) fJ(to) + Fy(Xo, Yo,Zo) gJ(to) + Fz(Xo, Yo,Zo)
h(to)
o también
GJ (To)=
a)
V F(Xo,Yo,Zo)
Como F(x, y, z) = O
-
•
D t R(to)
->
se tiene que GJ(to):: O
F(f(t), g( t), h(t» = G(t) :: O
')
156
b)
V f(Xo, Yo, Zo)
Como
V' f
se concluye que
c)
Puesto que Dt
........
Conclusi6n:
Po
t
R(to) son perpendiculares.
.....
R(to) es un vector unitario tangente a la cur-
'l f(Xo,
Yo~ Zo) tiene que ser
a la superficie en el punto Po.
Si una Ecuaci6n de una superficie S es f(x, y, z)
Fx~
O
--'"
Y D
va en el punto Po ~ es porque
.J..
y Dt R ( to ) =1=
es -=1= O
Fy, Fz
=O
Y
son continuas y no todas son cero en el punto Po(
(Xo, Yo, Zo) que está sobre S, entonces un vector normal a
S en el punto Po e s
Definici6n:
'" fpo
De los estudios de geométría analítica se tiene que si S es
F(x,y,z) ;: O, el plano tangente a S en Po es el plano que
contiene al P"unto Po y posee como vector normal a
'\1"f(Xo~
Yo, Zo).
La correspondiente ecuaci6n es:
Fx (Xo, Yo,Zo) (X-Xo) + Fy (Xo, Yo, Zo) (Y-Yo)+Fz(Xo~ Yo,Zo)
(Z- Zo )=0.
y la ecuaci6n vectorial también se puede expre sar como:
[(X-Xo)í+ (Y-Yo)T+ (Z.ZO)kJ
Vf( Xo, Yo,Zo).
Definición:
;: O
De los estudios de geometría analítica, la ecuaci6n Standard
de una recta que tiene un vector director
pasa por un punto Po(Xo, Yo, Zo) es
x
-Xo
a
Y·Yo
b
=
Z.Zo
c
d = ái+bj+ck
y que
157
Por lo tanto una recta norITlal a una superficie S que tiene
por ecuaci6n F(x,y,z)=O
y que pasa por el punto Po, sien-
do norITlal a la superficie e s:
x-
Xo
Fx(Xo, Yo, Zo)
y - Yo
Fy( Xo, Yo, Zo)
Z - Zo
~ ------------------Fz(Xo, Yo, Zo)
Recta Tangente.
Definici6n:
La recta tangente a una curva
e
en un punto Po es la recta
que pasa por Po y que tiene COITlO un conjunto de nÚITleros
directore s las cOITlponente s del vec tor tangente unitario a
e
i)
ii)
iii)
en Po
Si F(x, y, z)=O es la ecuaci6n de una superficie.
Si Po( Xo, Yo, Zo) es un punto sobre la superficie S.
Si
e
es una curva sobre S y posee el conjunto de ecuaciones
paraITlétricas X=f(t)
iv)
y= g( t)
Z= h(t)
Y si fl(t), gl(t), h' ( t) existen en to
entonces
a) el vector de posici6n para cualquier punto P(x,y,z) sobre
e
~
e s R = f( t) í
+ g( t) J + z ( t )k
b) el vector tangente en el punto Po(Xo, Yo, Zo) es
~
Dt R(to) = fI(to)i+ gJ(to)1+ ZI(tO)~
c) La ec uac i6n de la rec ta tan gente en Po en la dir ec ción del
vector tangente unitario es:
158
xf
e
a so
Xo
=
I( to)
e s p e c i al:
y - Yo
g '\ to)
Z - Zo
h J (to)
=
Recta tan gente que pasa por un punto Po que está
sobre una curva
e
que resulta de dos superficies.
i)
Si F(x,y,z)=0
es una superficie SI
ii)
Si G, x, y, z) = O
e s una superficie S2
La recta tangente
se hallaJ en cada uno de los planos tangentes a SI y S2
en Po, resulta de la intersecci6n de los dos planos tangentes.
El vector nOTInal a S en Po es:
Ñ\ =-qf(Xo, Yo, Zo) = Fx(Xo, Yo, Zo)1+ Fy{Xo, Yo, ZO)"J + Fz(Xo, Yo, Zo) k
Un vector normal a SI
N2 =VG(Xo, Yo,Zo)
--
El N 1 x
---N 2
en Po es:
= Gx(Xo, Yo,Zo)l+ Gy(Xo, Yo,Zo)].+ Gz(Xo, Yo,Zo)k
--
~
~
~ un vector N ~{:l } asr que las componentes de N siS/
o
N2
ven como número s direc tores de la rec ta tengentee.
Ejemplo: Hallar las ecuaciones simétricas de la recta tangente a la curva de intersección de las superficies 3X2 +2Y 2+Z 2 = 49
en el punto (3, -3, 2)
159
Derivadas Parciales de orden Superior
Si f es una funci6n de dos variables, enton:es en general DI f Y D 2f son
también funci6n de dos variables.
Si las derivadas parciales de estas
funciones existen se llaman segundas derivadas parciales de f.
traste, DI f
Y D 2f
En con-
se llaman primeras derivadas parciale s de f.
Para una funci6n de dos variables hay cuatro segundas derivadas parciales.
Si f es una funci6n de X 1\ Y, las notaciones.
denotan la segunda derivada parcial de f; la cual se obtiene diferenciando
parcialmente primero con respecto a X y luego el resultado anterior, diferencíándolo parcialmente con respecto a Y.
Esta segunda derivada par-
cíal está definida corno:
D12f
= fxy = fl2 = lim
il y---J.
f
(x, y+L1y) - f
o
I
(x, y)
si el limite
Ay
existe.
b)
Las notaciones DI (DI f)
= Dx
(Dxf)
= fU = fxx = ~f
'd"xa x
Se refieren a la segunda derivada parcial de f con re specto a X la cual
se obtiene diferenciando parcialmente con respecto a X
Y está defi-
nida corno:
f xx
= fU
=
lim
Ax--o
fl(x+Ax'YI- f(x,y)
AX
si el limite existe.
160
c)
Las otras dos derivadas parciales tiene n definiciones análogas así:
Ax~o
f22 x, y)
si el limite existe.
f 2 (x + .dx , y) - f 2 (x, y)
f 21 = lim
=lim
a Y--» o
/)..x
f2{ x,.Y,+Áy)-fz(x.y)
Ay
si el limite existe.
Las definiciones para derivadas parciales de orden superior son seme jante s y también poseen varias notacione s por ejemplo:
DU2
f(
[=J
fxxy
[=]
L-l
f 112
'33f
O- y 1-x "j}x
[_J ~ f
= oY óx2
corresponde a la tercera derivada parcial de f(x, y) obtenida diferenciando
parcialmente con respecto a X dos veces y luego ese resultado diferencúándolo parcialmente con re specto a Y en todas las notaciones el orden
de diferenciaci6n es de izquierda a derecha excepto en la notaci6n
en la que el orden e s de derecha a izquierda.
Las derivadas parciale s de orden superior
de lilla func i6n den variables
poseen definiciones análogas a las definiciones de las derivadas par c iales
para funciones de dos variables.
Nota: Si f es una funci6n de n variables, pueden haber n 2
segundas deri-
vada s parc iale s de f en un punto particular.
Asípara una funci6n~e 3 variables existen 9
segundas derivadas parcia-
161
Ejemplo:
i)
3
Dada f = X Y - Y cos h(x, y) encontrar
a) \2
b) f 21
Sln/: f1 =fx = 3X2 y - y2 sen h (xy)
f 2 =fy = X3 -cos h (xy) - xy Sen h (xy)
f12 =fxy = 3X2 -2y sen h (xy) - Xy2 cos h (xy)
f 2l=fyx = 3X2 - y sen h (xy) -
= 3X2 -2Y
xr
cos h (xy) - y sen h (xy)
sen h (xy) - Xy2 cos h (xy)
se tiene para esta f(x, y) que f 12 =f 21 es decir que las derivadas
parciales mixtas son iguales.
Es decir que para este caso el or-
den de la diferenci aci6n no importa.
Sin embargo el siguiente
ejemplo muestra que éste no e s siempre el caso.
Ejemplo:
Sea f la funci6n definida por:
(xy)
2
2
X -Y
2
2
X +Y
si (x,y) =f(O,O)
f
f :x,y)=
°
Sln/:
ya
Encontrar
si (x,y)
= (0,0)
12
(O, O) y
f 21( 0 ,O)
se había encontrado que:
i)
f (O, Y) = - y
l
par a to da Y
aplicando:
ii)
f (X, O) =
2
para toda
i) f 2l = lim
X
X
ii)
f12= lim
ñy __ o
f¡(X, Y+ 11 Y)- f 1(X, Y)
AY
f (X+AX,Y)-ft.(x,y)
l\x~o1.
llX
f 12= lim
f2(X+AX, Y)=f2(X,y}
.1X
162
f 12~ O, O)
= lim
f 1 (0,0+ IlY)-f) (O, O)
llY
Ay - - o
- AY
hY
lim
=
/Jy~o
=
áx~o
= lim
Ax
AX
--.0
""'"i1"'X
asrque f 12 (0,0)=-1
Teorema:
=
óX
lim
=
(1)
Ax~o
::/=
f 1(0, ¿. Y)-O
4)1
A-'S~o
( -1)
lim
lly_o
f2(0+~X,0) =f~( O,O)
f 21(0,0) = Hm
Hm
-
=
= -1
Hm
f2(,ÓX,0)-f~ ( 0,0)=
llx..-o
.ó IG
=1
f 2l (0,0)=1
Asumiendo que f es una funci6n de dos variables X 1\ Y definida en un disco abierto B( (Xo, Yo); r), y si fx, fy, fxy, fyx tam-
bién están definidas en B. y si además,
se tiene que fxy
1\
fyx son con-
tinuas en B. Entonces fxy (Xo , Yo) = fy~Xo, Yo).
E ste teorema se demuestra por cplicaci6n repetida del teorema del valor
medio. Véase Thomas 3a. edici6n pags. 705-706-707.
159 Protter y Morrey-
Kaplan • Leythol J,
Corlario:
Corno consecuenc ia del teorema anterior si la funci6n f de dos
variable s tiene derivadas parciale s continuas en algún disco abierto, entonce s el orden de la diferenciaci6n parcial se puede cambiar sin afectar el
re sultado,
e;
decir:
D 112 f
= D 121
f = D 211
f.
163
o también:
D 1122
f ,= D 1221 f= D 2l2l
f= D 1212
En particular,
etc.
f
= D 2211
asumiendo que todas las derivadas parciales de f son
continuas en algún disco abierto, es posible demostrar que D
211
f=D112 f
aplicando el teorema reiteradamente.
Ejemplos:
i)
Dadas
x
U= f (x, y)
fxy = fyx
= F(r , s)
y= G( r. s) y asumiendo que
demostrar usando la regla de la cadena que:
02U
--:2~ = fxx(x, y) [ Fr (r, s)
)r
J
. 2
+ 2 fxy (x,y) Fr (r,s) G(r, s)
[Gr(r, s)] 2 + Ix (x,y) Frr (r, s)+ fy(x,y) Grr(r, s)
+ Fyy,x, y)
Sln!: por la regla de la cadena:
') U = oU )- X
'd-'r
d- X"}-r
+~U
IY
(JY
= fx Fr + fy Gr
() r
derivando de nuevo parcialmente con repecto r,
aplicando la deri-
vaci6n de un producto y la regla de la cadena.
)2U
=
2
Or
=~
'ffX
Ofx
Fr + fx
7f
Or
d"X
';1r
'd-Fr
Ofx
+-
aY
r
+f
y
a-7J Grr
2
Fr + fx
Gr
f~:~
J
[ ~Fr
'3 X
'óx
+OFy
"3 r
y
+fy Grr + Gr
O'
1L-)
)
r
164
= (Fxx Fr + fx.y Gr) Fr + fx Frr + fy Grr+ Gr [ Fyx Fr + Fyy Gr ]
= fxx(Fr) 2+fxy Gr Fr + fx Frr + fy Grr + Fyx Fr Gr + Fyy (Gr) 2
= fxx( Fr)2 +2fx.y Fr Gr + fyy( Gr ) 2+ fx Frr + fy Grr
Valores extremos para
funciones
de
dos
variables:
Definici6n: i) la funci6n f de dos variables (XAY) se dice que tiene un
valor máximo absoluto en un disco cerrado B en el plano
lxy
6 un valor máximo relativo en un disco abierto en el
plano \XY ; si existe algún punto (Xo, Yo) en el disco B, tal
que f(.Ko, Yo) ?
f(x,y) para 'V=-(x,y) en el disco B.
Definici6n: ii) la funci6n f de dos variables (XAY) se dice que tiene un
valor mínimo absoluto en un disco cerrado B en el plano
1XY,
o un valor mínimo relativo en un disco abierto en el
plano\XY¡ si existe algún punto (Xo, Yo) en el disco B,
que
Teorema:
f(Xo, Yo)
~
f(x, y)
para
tal
>J- (x, y) en B.
Si f(x, y) existe en todos lo s puntos de un disco abierto
B(Xo, Yo);r) y si f tiene un extremo relativo en (Xo, Yo), entonces si fx(Xo, Yo) y fy(Xo, Yo) existen,
Demos/i)
fx (Xo, Yo) = fy( Xo J Yo )=0
demostraremos que si f tiene un máximo relativo en (Xo, Yo)
y si fx(Xo, Yo) existe, entonces fx(Xo, Yo)
=O
por la definici6n de derivada parcial:
fx (Xo, Yo)
=lim
.óx-o
f(Xo+AX, Yo) - f(Xo, Yo)
6X
165
Corno f(x, y) tiene un máximo relativo en (Xo, Yo) se tiene
por definici6n que se cumple
f(Xo+hX, Yo) - f(Xo, Yo)
Ahora bien a) si
<.
O
Ó X es suficientemente pequeño corno para que(Xo+ .1X, Yo)
esté en B.
b)
Si LlX _
O por la derecha será positiva así que
lo tanto
f(Xo, 11 X, Yo) - f(Xo, Yo) ::: O
Ax
b X
.> O
y por
(es decir la desigualdad
conserva su signo).
c)
Si (j X --
O por la izquierda
!J X <
O
es decir
tJ.
X es negati-
va por lo tanto se cumple
f(Xo+ AX, Yo¿- f(Xo, Yo) ~ O
llX
(se invierte el signo de la desigualdad).
d)
corno fx(Xo, Yo) existe entonces se tienen que satisfacer las de sigualdades b Y c
y para ello se requiere que
f(Xo, Yo)
x
=O
Las partes restantes de este teorema se demuestran análogamente es decir: ii)
fy(Xo, Yo)
=O
si fy(Xo, Yo) existe y f tiene un valor máximo
relativo.
e igual sucede para el c aso en que f(Xo, Yo) e s un valor rnínimo re lati vo .
166
DeÍínici6n: Un punto (Xo, Yo) para el que fx(Xo, Yo) = O Y fy(Xo, Yo) = O
se llama punto Crítico.
E sta definici6n no implica que el desvanecimiento de las primeras derivadas parciale s en un punto (Xo, Yo) sea condici6n suficiente para que la
funci6n posea un extremo relativo en el punto (Xo, Yo). El criterio para
ello 10 dictaminan las segundas derivadas parciales, no obstante en ocasione s e s po si ble dete rminar extremo s rala ti vo s por la de finic i6n ante rior
Ejemplo:
Sea f(x, y) = 6X - 4Y - X
2wz y
Z determinar si f tiene extremos
relativos.
Sln/:
Ya que f, fx , fy existen
fx
(x,y)
= -4 fy = O _
= 6 - ZX
fy
fx=O ___ X = 3
4Y
Y
= -1
ysi
Z=f(x,y)
Z=l1
así que el punto ( 3,-1,11) es un extremo relativo. El si es
máximo o mínimo relativo o absoluto, se consigue por graficaci6n o por la aplicaci6n del siguiente criterio:
Criterio
de las segundas Derivadas Parciales.
Si f es una funci6n
ce
X
j\
Y
tal que f y sus primeras
y segundas derivadas parciales son continuas en algún disco abierto
B( ( a, b); r) y si fx (a, b) = fy(a, b)
=O
entonces
167
i)
f
tiene un valor múlimo relativo en (a, b) si
f xx (a, b) fyy (a, b) -
ii)
f
[fxy (a, b)] 2 ).
tiene un valor máximo relativo en (a, b) si
[fxy (a. b) 1 2> O
fxx (a, b) fyy( a. b) iii)
con fxx (a, b):> O
O
c on
fxx (a. b)
<O
f (a,b) no es un extremo relativo si
[fxy (a, b)
fxx (a, b) fyy (a, b) -
12
<
O
No es posible conclusi6n alguna si
iv)
[ fxy (a, b) ] 2 = O
fxx( a, b) fyy( a, b) _
Ejemplo:
Dada f(x, y) definida por:
f(x,y)
= 2X4+y2_X2_2Y
determinar los extremos relativos
de f si los hay.
fy= 2Y - 2
Sln/ :
haciendo
fx
11
fy
=O
=O
= - 1/2
Y =1
-~'> X
--40~
X = O
X
=1/2
así que fx y fy se desvanecen en los puntos (-1/2,1); (0,1); (1/2,1) para
aplicar el criterio de la segunda derivada hallarnos:
fxx(x, y)
= 24 X 2_ 2
fxx (-1/2,1)
Y
=
fyy (x, y) = 2
fxy (x, y) = O
4 ~ O
fxx (-1/2, 1) fyy (-1/2, 1) - fxi' (-1/2, 1)
=4
• 2 - O =8
>O
así que f tiene un valor mmimo relativo en (-1/2.1) para el punto (0,1)
fxx (O , 1) fyy( O , 1) -
[fxy( O, 1)
J2
= (- 2) (2)
así que f no tiene extremo relativo en (0,1)
- O
=-
4
<
O
168
fxx(l/Z,l)
=4 > O
fxx(l/Z, 1) fyy(l/Z,l) -
[fxy (l/Z, 1)
J Z =4 •
Z - O
= 8 >O
así que f tiene un mínimo relativo en (l/Z.l).
Ejemplo:
Determinar las dimensiones relativas de una caja rectangular
sin tapa y con un volúmen específico, si se quiere usar la mÍnima cantidad de rr.a. terial en su manufactura.
SIn/ :
Sea X
= el número
de unidades en la longitud de la base de la
caja.
Z
=el ancho de la caja
=la profundidad
S
= el área superficial de la caja
y
v =Volúmen
de la caja (es constante)
X, Y, /\ Z están en el intervalo (O,
+ c:I:>
).
Por tanto, el valor
mínimo absoluto de S estará entre los valores mínimos relativos de S.
S = XY
Así
S
Se tienen las ecuaciones
+ ZXZ + ZYZ
=
XY
+ZV
--y
y
+
V=XYZ
-
Z=
Z V
--X
diferenciando se obtiene:
=y
-
ZV
~
-"'d-s
'd- Y
=X
ZV
-
7
v
-xy
169
~S
haciendo
'Os
i
~ =0
o-y
y re solviendo simul-
=O
táneamente se obtiene:
X 2y _ 2V = O
se obtiene:
tienen:
X
XY 2_ 2V = O
=
O 2S
"T7
=
y
= 'if2v
4V
t~)3
y
·
l
b2t:; \2
ó'"Y1"xJ
4V
3
V2V
y
Z
=
4V
: : ( V' 2V )3 . Chv)3
así que S tiene un mmimo relativo cuando X
y=
para estos valores se ob-
= \j--:¡;¡-
-
1
:::
3
>
O.
y
~
--z
por 10 tanto la caja es de base cuadrada y la profundidad e s la mitad de un
lado de la bsse.
Ejemplo: iii) averiguar la múüma d'Ístancia del origen a la hipérbole
z =O
se pide el valor mínimo para X 2 +y2
por Logrange:
Fx= O
Fy:: o
de ,-,
sujeto a la condici6n f(x, y)=225
170
La Secci6n transversal de un terraplen es un trapecio is6sceles, si los
lados y la base menor tiene una longitud de 18 pies. Cuáles han de ser
las dimensiones para que el área de la secci6n transver sal sea máxima.
Nota: T6mese
h
L
y
como variables independientes •
...
_-~--
......
El Problema de hallar los máximos y mmimos de una funci6n, sin agregar condiciones se conoce con el nombre de IJProblema de máximos y m{nimos libres". Caso éste el de 1 primer problerm..
Cuando se impone
una condici6n como en el segundo problema, se dJct: que el problema es
del tipo de máximos y m{nimos vinculados, o problemas de restricci6n externa.
Este segundo tipo de problemas se acostumbra resolver por el
llamado "método de los multiplica<iores de Joseph Lagrange".
Ejemplo descriptivo del método:
_
f ( x,y ) - X
2
tY
2.
,
Encontrar los valores crrticos de
bajo la condici6n de que X 3 tY 3 - GXY
=O
SIn/: lo.) Se introduce una nueva variable, tradicionalmente designada
como
A
y se conforma la funci6n F de 3 variables, las dos
originales y la nueva.
171
Zo.)
Procedernos a encontrar las derivadas parciales Fx, Fy, F,.
Fx = ZX+3X
Fy
Z
ft.- -6Y A- = O
= ZY+3Y Z ').. - 6X A. =
O
FA.= X 3 +y 3_6XY = O
30.)
La resoluci6n simultánea de las dos primeras conduce a
'A. =
-ZX
=>
'A.= -ZY
X(3Y Z_6X) = Y(3X 2 -6Y)
3y Z -6X
40.)
La resoluci6n simultánea de las ecuaciones
se obtiene :
-'!P
(x-y) (2X+2y+xy)
=O
50.) Con la soluci6n X = Y de la última ecuaci6n se obtiene
La soluci6n compleja de ZX+ZY+XY
,
x = 0,3
= O no es tenida en cuenta
" ....
----------~~--------~~
La importancia del método depende la la habilidad de resolver una ecuaci6n
con una condici6n a u xiliar tal como
tas en funci6n de las otras dos.
c.p
(x, y, z)
=O
para una de las inc6gni-
172
Asumiendo que en el punto (Xo, Yo, Zo) está el punto en que f tiene su punto
=f. O,
crítico y si asumimos que
~ z(Xo, Yo,Zo)
cer la validez del métodd.
Se puede demostrar que si ~ z(Xo, Yo, Zo) =1= O,
entonces es posible estable-
entonce s se puede resolver la ecuaci6n ~ (x, y, z) = O para Z en términos de
X J. Y de forma que Z = g(x, y)
Ahora hacemos a
en (Xo, Yo).
H(x, y) = f
por 10 tanto
[x, y, g(x, y)
+ fz
Hx= fx
1
la cual tiene un punto crítico
gx = O,
Hy= fy
+ fz
gy = O.
Diferenciando implícitamente se obtiene:
a)
rfJ ~ x, y , z)
=O
d47=~dx+ C~
_--";>
= <P x
~
dz
b)
dz =
"h- dx +
Ox
Las ecuaciones (1) y ( 2)
9x
-Oz
=
Ox
c)
dx
+
dJy
dx
dy
$~
+ "O cfJ dz
'oZ
+ <{Jz
dy
dz = o
(1 )
~ dy = gx dx + gy dy
Óy
son iguales por
=
(2)
tanto, se tiene que
-d;1x
=--;r¡-;;'\'z
Sustituyendo se tiene
Hx = fx
+ fz
fz
HX=fX-~
d)
$:
dy
aY
cJ X
j\
x=O
Ry = fy
+ fz (~
Hy=fy-
f;:
{Jz =O
=O
~(Jy=o
z
a las dos ecuaciones anterioes agregamos la identidad
fz -
$:)
172 ( i)
e)
E stab1eciando
/) o
fz ( Zo, Yo, Xo)
fz (Xo, Yo, Zo)
=
de esta forma se
obtienen:
fx + /) o cfx
=O
fy +')...0
tp Y = O
fz
+ .Ao ~z
=O
47 = O
que son las ecuaciones satisfechas en un punto crítico de
Dife renci ale s
E n
F= f+ ~f.
exactos.
o c a s ion e s el re su1tado de expre sar un pro b1ema frsic o, conduce a
una ecuaci6n diferencial que debe integrarse en los caso s más simples es
posible separar las variable s y
escribir la ecuaci 6n diferencial de la for-
ma f, x) dx + g (y) dy, la que se puede resolver siempre que se pueda hallar
J f (x) dx
Más
1\
f
g( y) dy ; en ocasiones no es posible separar las variables.
generalmente, se puede tropezar con una ecuaci6n de la forma
M(x,y) dx + N (x,y) dy = O
en donde M (x, y)
A N (x, y)
(1)
son funciones de X e
Y.
La ecuaci6n dife-
rencia1 (1) se puede resolver con facilidad si es posible encontrar una funci6n
W
= f(x, y)
( 2)
tal que el primer miembro de (1) sea el diferencial total de W (x, y) pues en
tal caso se obtiene dW
=O
cuya soluci6n e s W
=e .
Pero las expresione s de la forma (1) no son, en g eneral, diferenciale s de
fu nciones.
173
Definición:
Una expresión M(x,y) dx +N{x,y)dy se llama diferencial
exacto si existe una función f(x, y) tal que
df(x, y) - M(x,y)dx +~(x,y) dy
si tal función no existe, la expresión no es un diferenc ial exac to.
Surgen tre s preguntas:
i)
Cuándo una expresión es ó no un diferencial exacto
ii)
Si lo es, c~mo hallar la función f(x,y)
iii) Si no lo e s, como hallar la función f(x, y)
Las dos primeras se pueden re sponder con el siguiente teorema:
Teorema: Sean las funciones M(x, y) y H(x, y) continuas y con derivadas
parciale s Mx, My, Nx, Ny entonce s la condición necesaria y
suficiente para que
M(x, y) dx + N (x, y) dy
sea un diferencial exac to e s que
::
)-M
oy
Demostración: Asumamos que existe una función f(x,y) tal que la ecuación M(x,y) dx+N(x,y)dy:: d f(x,y) se satisface; pero como bien se sabe d f(x,y):: fx dx + fy dy. En estas dos expresiones dx
A
dy
son va-
riables independientes, y se puede tomar a una de ellas de forma que
sea igual a cero y que la otra no lo sea.
Entonces de la misma forma en que se satisface ambas ecuaciones es si
174
~~ = M(x, y)
y por el
~orema
~f
=N(x, y)
'j}Y
anterior
OM
7JY
~N
= aX
Demostraci6n de la segunda parte:
Si se cumple
OM
= oN
-O X--
() y
tal que
dí
entonces existe una funci6n W= f)x, y)
= Mdx +Ndy
La funci6n buscada debe tener la propiedad de que
...!.!.. =M
6X
~ f
}Y
=N
integrando la primera de estas dos con respecto a X se tiene
f(x, y)
= Jxí
en donde g{y) es una funci6n únicamente de
M(x, y)dx +g{y)
Y.
'O f = N{x, y)
Para satisfacer la segunda condici6n que
derivarnos los
aY
miembros de la expresi6n integrada con respecto a Y, manteniendo a X
constante:
"fff
aY
O= 7fY
N(x, y)
d~(y~
dy
Ix
=
-frh
:::
N(x,y) -
M(x, y) dx +
M(x, y) dx +
L) ' y
J,
x
dgJy}
. Y
~
M(x,y)dx
='> ON'
oX
:::
dM
"d Y
175
Extensi6n para funciones de tres variables:
Si P(x,y,z), Q(x,y,z),
R(x,y.z) son continuas en una Bola abierta
B(Xo, Yo, Zo), r ) entonces
P(x,y,z) dx + Q(x,y,z) dy +R(x,y,z) dz
e s un diferencial exacto en B si y solamente si
?JQ
::
")X
()R
::-
1- Y
cuando se asume que todas las derivadas parciales son continuas en B.
Ejemplo:
Determinar si
(3X 2 -4XY +Z 2+ yZ _ 2)dx+(XZ_6y 2 _2X 2 dY)+(9Z2 +2XZ+
+ XY + 6Z)dZ
es un diferencial exacto, si lo es hallar a f de la cual es el diferencial
exacto.