F(x)

VARIABLE ALEATORIA
Definición:
Se llama variable aleatoria a toda función X
que asigna a c/u de los elementos del espacio
muestral S, un número Real X(s).
X :S 
s  X ( s)
Rx es el recorrido o
Imagen de la
variable.
S
Rx
s
Si X(s)= S
X(s)

Rx =S
Son los posibles
valores de X
Ejemplo
Se lanzan tres monedas y se considera el
espacio muestral asociado:
s= CCC, CCS, CSC, SCC, CSS, SCS, SSC, SSS
Se define la variable aleatoria X: “ número de
caras que se obtienen en los tres lanzamientos”
Determina Rx, que es el conjunto de valores que
toma la variable.
A y B son sucesos equivalentes si sólo si ocurren
simultáneamente
¿Son A = { ccs, csc, scc } y B = { 2} equivalentes?
Cálculo de la probabilidad de cada
valor que toma la variable
P(X=0) =P(SSS) =
P(x=1) = P(CSS) + P(SCS) + P(SSC)=
P(x=2) = P(CCS) + P(CSC) + P(SCC)=
P(x=3) = P(CCC)=
P(X<3) =
P(0<X  2)=
Clasificación
La variable aleatoria puede ser discreta o
continua.
Variable discreta: Se dice que una variable aleatoria X es
discreta, si a cada valor posible xi que toma la variable se le
puede asociar un número real p(xi )= P (X=xi) llamado
probabilidad de xi, que satisface las siguientes condiciones:
a) p (x i )  0 i

b)  p(x i )  1
i 1
La función p definida se llama función de probabilidad de X o
función de peso.
El conjunto de pares (xi , p(xi)) es la distribución de
probabilidades de X.
Interpretación Geométrica
P(x3)
P(x1)
P(x2)
X1
X2
X3
xi
Función de probabilidad de la variable aleatoria X
Suma de los puntos obtenidos al arrojar dos dados
6/36
P
5/36
5/36
4/36
4/36
3/36
3/36
2/36
2/36
1/36
2
1/36
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
X
Observa que cumple las dos condiciones: es siempre positiva y la suma de sus
probabilidades da 1.
Ejemplos de variable aleatoria
discreta
Experimento
Variable
aleatoria
Valores posibles
V.A
Llamar a cinco
clientes por teléfono
Cantidad de clientes
que atendieron
0, 1,2,3,4,5
Inspeccionar un
embarque de 40
chips
Cantidad de chips
defectuosos
0,1,2,….,40
Funcionamiento de
un restaurante
durante un día
Cantidad de clientes
0,1,2,3…….
Vender un automóvil
Sexo Cliente
0 si es hombre y 1 si
es mujer
Ejemplo
Un lote de 8 calculadoras
contiene 3 defectuosas. Se
selecciona una calculadora
al azar y se la prueba,
repitiéndose la operación
hasta que aparezca una
calculadora no defectuosa.
Hallar la distribución de
probabilidades de X definida
como “el número de
extracciones que se hacen”
xi
P(xi)
1 P(x1)=
2 P(x2)=
3 P(x3)=
4 P(x4)=
Ejemplo 2
Supongamos que la
variable aleatoria X
toma valores posibles
j =1,2,3,…… y además:
1
P(x=j)= j
2
a) Probar que es una legítima distribución de
probabilidad
b) Calcular P(X es par)
Variable aleatoria continua
Se dice que X es una variable aleatoria continua
si:
existe una función f(x), llamada función de
densidad de probabilidad de X, (fdp) que
satisface las siguientes condiciones:
a) f(x)  0 x
b)



f(x)dx  1
c) Para cualquier intervalo (a,b)/ -  a  b  
b
P (a  x  b )   f(x)dx
a
Interpretación Geométrica
f(x)
P(a<x<b)
a
b
Consideraciones
1.
P(X=Xo) = 0 porque P(X = Xo)=

x0
x0
f(x)dx  0
La probabilidad cero no significa que el suceso sea imposible,
ya que Si A es vacio , la P(A) = 0 pero la recíproca no es cierta.
Por lo tanto
P(a<x<b)= P(a  x<b)= P(a  x  b)= P(a<x  b)
2. Si f*(x) es mayor o igual que cero para todo x de su
dominio, y




f*(x) dx = k  R
f*(x) no es una fdp legítima. Pero puede convertirse en tal si
f(x)=
f*(x)
x
k
Ejemplos de variable aleatoria
continua
Experimento
Variable aleatoria
Valores posibles V.A
Funcionamiento de un
banco
Tiempo en minuto,
entre llegadas de
clientes
x 0
Llenar una lata de
bebida
(máx = 360 cm3 )
Cantidad de cm3
Proyecto para
construir un biblioteca
Porcentaje terminado
del proyecto
0  x  100
Ensayar un nuevo
proceso químico
Temperatura cuando
se lleva a cabo la
reacción deseada (min
150º F; máx 212ºF)
150  x  212
0  x  360
Consideraciones
3. Si X toma sólo valores en el intervalo [a,b]
podemos decir que f(x) = 0 para todo x que no
pertenece al intervalo [a,b] ,
entonces la integral entre a y b de f(x) es 1.
Ejemplo: Hallar el valor de k de modo que f(x)
sea una fdp legítima, y luego graficar, siendo:

kx(1-x) si x  0,1
f (x)  

0 si x  (0,1)
4. f(x) no representa ninguna probabilidad. Sólo
cuando la función se integra entre dos límites
expresa alguna probabilidad.
Ejemplo
Con la función

kx(1-x) si x  0,1
f (x)  

0 si x  (0,1)
Hallar : a) P(1/4 <x<1/2) =
b) P(x >1/3 / 1/4< x <1/2)=
Función de distribución acumulativa
FDA
Dada una variable aleatoria discreta o continua X se llama
función de distribución a la función F definida como:
F :   [0,1]
F ( x)  P( X  x)
1. Si X es VAD entonces
F(x)  P  X  x  
2. Si X es una VAC entonces
 p( x )
j
x j x
x
F(x)=P(X  x )= f(s)ds

Ejemplo: Grafica la función de probabilidad f(x) y la función
de distribución F(x) (FDA) de una variable discreta X
definida como: “Puntos obtenidos en la cara de un dado”.
X tiene como posibles valores x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 cada
uno con probabilidad 1/6
xi
1
2
3
4
5
6
P(xi)
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
x
X<1
[1,2)
[2,3)
[3,4)
[4,5)
[5,6)
x 6
F(x)
0
1/6
2/6
3/6
4/6
5/6
1
Para variables discretas
1
6
1
F(x)
f(x)
0.5
0
1
6
x
Función de probabilidad f(x)
0 1
6
Función de distribución
acumulada F(x)
x
Para variables continuas
Hallar y graficar la FDA de la variable
aleatoria cuya fdp está dada por:
6x(1-x) si 0  x  1
f(x)= 
si x  (0,1)
0
Propiedades de la función de
distribución acumulada FDA
1) F es no decreciente, es decir, si x1  x2  F(x1 )  F(x2 )
2)
lim F ( x )  lim P( X  x )  P(S )  1
x 
x 
lim F ( x )  lim P( X  x )  P()  0
x 
3)
x 
P( x1  X  x2 )  F ( x2 )  F ( x1 )
4) Si F(x) es la FDA de X, entonces f(x) = F´(x) para todo x
donde F es diferenciable.
Cuestionario
1) ¿Qué es una variable aleatoria?
2) ¿Cómo se define una variable aleatoria discreta? ¿Y una continua?
3)¿En qué se diferencia una función de probabilidad de una función
de densidad de probabilidad? ¿Cuáles son las propiedades de
cada una?
4) ¿Cómo se representa gráficamente la probabilidad en una variable
aleatoria discreta y en una variable aleatoria continua?
5) ¿Cómo se define la función de probabilidades acumuladas en una
variable aleatoria discreta y en una continua? ¿Cómo se
representan gráficamente cada una? ¿Cuáles son sus
propiedades?
6) Cuando se habla de una función de distribución de probabilidades.
¿A qué función se refiere?
7) ¿Cómo se interpreta F(a)? (Expresa F(a) de todas las formas
posibles y grafica F(a) )
CARACTERÍSTICAS
NUMÉRICAS DE VARIABLES
ALEATORIAS
Momentos
El momento k-ésimo para una variable
aleatoria discreta respecto del origen, es
E(x ) 
k
n
x
i 1
k
i
.p  xi 
Definición : Sea X una variable aleatoria discreta con la
distribución de probabilidades (Xi, P(Xi)) para
i =1,2,3,…….n,..Se llama valor esperado de X o
esperanza matemática de X a:

E(X) =  xip  xi   
i 1
El primer momento centrado en el origen (k=1) es la
esperanza matemática de X
Valor esperado o Esperanza
Matemática para variable discreta
1)
Si X toma un número finito de valores, entonces:
n
E(X) =
 x px 
i 1
i
i
Es el promedio ponderado de los valores
posibles de X
2) Si todos los valores posibles son igualmente
probables, entonces
1 n
E(X) =  xi
n i 1
Es el promedio aritmético de los
n valores posibles.
Ejemplo1: Calcular la esperanza de la variable
aleatoria X :suma de los puntos obtenidos al arrojar
dos dados:
12
E (X )   P (X  x )  x 
i
i
i 2
1
2
6
1
2 
 3  ... 
 7  ... 
 12  7
36
36
36
36
Se espera que la suma de los puntos obtenidos al arrojar dos dados sea
7ó que la esperanza de la suma sea 7
Ejemplo 2: Calcular la esperanza de la va “n° de extracciones”en el ej de
las calculadoras
Observación:Si el valor esperado tuviera cifras decimales, la
interpretación estaría dada entre los enteros comprendidos, ya que la
variable es discreta.
Momentos alrededor de otro punto
fijo
De 2do orden alrededor de E(X)
2  E  x  E( x )
2
El momento de 2do orden centrado en la
esperanza, es la varianza de X.
De 3er orden alrededor de E(X)
Determina la asimetría de la
distribución :
3  E  x   
3
3
As  3

Determina el grado de agudeza o curtosis: K  4
4

Si K= 3 , mesocúrtica. Si K>3 , leptocúrtica. Si K< 3 , platicúrtica
Valor esperado o Esperanza
Matemática para variable continua
Sea X una variable aleatoria continua con fdp
f(x) para todo x real, se llama valor esperado
de X o esperanza matemática de X, a:

E(X)   x.f(x) dx

E(X) existe si



x .f(x) dx < 
6x(1-x) si 0  x  1
0 enotro caso
Hallar la E(X) para f(x)  
Ejercicio: Un instrumento electrónico tiene
una duración X, (en unidades de 100 hs)
que es una VAC con la fdp:
e-x si x >0
f(x)  
0 si x  0
Suponiendo que el costo de fabricación de
tal artículo es $20 y que el fabricante
vende el artículo por $50, pero garantiza
un reembolso total si x  0,2 y devuelve la
mitad si 0,2  x  0,4
¿Cuál es la utilidad neta esperada por
artículo?
Interpretación
Si se produce un gran
número de instrumentos
electrónicos, perderá $20
alrededor del 18% de las
veces, ganará 5 $
alrededor del 15 % de las
veces y ganará $30
alrededor del 67% de las
veces.
El fabricante espera ganar,
a la larga, $17,25 por
artículo.
Ui
P(Ui)
-20
0,18
5
0,15
30
0,67
Propiedades del valor esperado
en V.A.C
1) Si X = C entonces E(X) = C
2) E(C.X)= C.E(X)
3) E (X+Y) = E (X) + E(Y)
4) E (X-Y) = E (X) - E(Y)
5) E (X.Y) = E (X) . E(Y) si X eY son
Variables aleatorias independientes
Medidas de variabilidad: Desviación,
Varianza y Desviación estándar o Dispersión
Desviación: Llamamos desviación a la variable aleatoria
X – E(X)
Propiedad de la desviación: E [ X – E(X)] = 0
Varianza: La varianza de una variable aleatoria X es la
esperanza matemática del cuadrado de la desviación de X
respecto de su esperanza.
V(X) = 
Dispersión:   X  
2
 X   E  X-E  X
2
V(X)
Ambas miden la “dispersión de los datos”. Observar que la
dispersión lo hace con las mismas unidades que los
datos.
Otra forma de expresar la
varianza
Demostrar V ( x )  E ( x )  E  x 
2
VAD
V (x) 
n
(x
i 1
VAC
i
2
 E ( x ))2 .p( xi )
x  E ( x ) .f ( x )dx   x 2.f ( x )dx    x.f ( x )dx 

 



V (x)  

2


Ejemplo 1 (de la clase anterior) Del lote de
calculadoras donde hay 3 defectuosas. Se
selecciona una calculadora al azar y se la prueba,
repitiéndose la operación hasta que aparezca una
calculadora no defectuosa.
Calcular la V(x) de dos maneras.
2
Ejemplo 1
xi
P ( X = xi ) xi – E(x)
(xi – E(x) )2
(xi – E(x) )2 . P (xi )
1
5/8
1-1.5=-0.5
0.25
0.15625
2
15/56
2-1.5=0.5
0.25
0.066964
3
5/56
3-1.5=1.5
2.25
0.20089
4
1/56
4-1.5= 2.5
6.25
0.111607
0.5357
   ( xi  E( x )) P( xi )  0.5357
2
2
i
  V ( X )  0.7319
Ejemplo 2) Calcula la varianza y dispersión
de la variable aleatoria X cuya fdp es

2x si 0  x  1
f(x)= 

0 si x   0,1
1
V(X ) 
18
  V(X)  1/ 18  0.2357
Propiedades de la varianza
1) Si x = C entonces V(x) = 0
2) V (x+c) = V (x)
3) V(cx)  c 2V (x)
4) V (x+y) =V(x) + V(y)
independientes
5) V (x-y) = V (x) + V (y)
independientes.
si x e y son variables
si x e y son variables
Mediana
Es el valor de X para el cual
m
e
1
1
1
P ( X  me )   P (   X  me )   f(x)dx  ó P ( X  me ) 
2
2
2

Ejercicio: hallar la me de la variable X tal que
 x 2 si o < x  1

2
f (x)  
si 1 < x  2
3

0 si x > 2
Modo
• Modo: Mo es el valor de x para el cual f(x) toma su
valor máximo. (Si la fdp tiene un solo máximo).
• Ejemplo: Calcular el modo de
6x(1-x) si 0  x  1
f(x)= 
si x  (0,1)
0