extracción e introducción de factores

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Matemáticas 0. Álgebra elemental
OPERACIONES CON RADICALES: EXTRACCIÓN E INTRODUCCIÓN DE FACTORES
Para extraer o introducir factores en un radical hay que tener en cuenta las propiedades de la
potenciación, de la radicación:
( a·b )n = a n·bn
→
n
a·b = n a · n b . En particular, para raíces cuadradas:
n
n
a n a
an
a
→
. En particular, para raíces cuadradas:
=
=
 
n
n
b
b
b
b
Aquí me limitaré a raíces cuadradas.
a
b
a·b = a · b .
=
a
.
b
Extracción de factores en un radical
Las propiedades anteriores permiten la extracción de un factor en una raíz.
• Para extraer un factor de una raíz cuadrada se hace la raíz de dicho factor, pues basta observar
que
a 2 ·b = a 2 · b = a· b .
Ejemplos:
a) 125 = 25·5 = 25 · 5 = 5 5 .
b)
600 = 100·6 = 10 6 .
c)
9 x 2 y = 9 · x 2 · y = 3x y .
d)
3 x 3 − 2 x 2 = x 2 (3 x − 2) = x 2 · 3 x − 2 .
e)
18
9·2
3 2
.
=
=
500
100·5 10 5
f)
3
=
25
3
=
3
5
25
g) Del radical 51 no puede extraerse ningún factor, pues 51 = 3 · 17, y la raíz cuadrada de
ninguno de esos dos números es exacta.
h) De la expresión
4 + x 2 tampoco puede extraerse ningún factor, pues no hay factores; hay
sumandos. (Un error frecuente es escribir
5 = 25 = 9 + 16 = 9 + 16 = 3 + 4 ).
4 + x 2 = 2 + x . Esto sería equivalente a decir que
Observación:
En el caso de raíces de números es usual descomponerlos en factores primos, para ver con mayor
claridad qué factores pueden extraerse. Así:
243 = 35 = 3 4 ·3 = 3 2 · 3 = 9 3 ;
1350 = 2·33 ·5 3 = 2·3 2 ·3·5 2 ·5 = 3·5· 2·3·5 = 15 30
Introducción de factores en un radical
• Para introducir un factor en una raíz cuadrada se hace el cuadrado de dicho factor, pues basta
observar que a· b = a 2 · b = a 2 ·b .
Ejemplos:
a) =
4· 5
2
4=
· 5
=
16·5
c) 3 x = 9 x = 9 x .
e)
243
=
27
243
=
27
=
9 3.
80 .
b)
3
=
2
3
.
4
d) x x − 1 = x 2 · x − 1 = x 2 ( x − 1) = x 3 − x 2 .
f)
2x + x 2
=
3x
2x + x 2
=
9x 2
2+ x
9x
Pequeños retos
1. Extrae todos factores posibles de los siguientes radicales:
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José María Martínez Mediano
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Matemáticas 0. Álgebra elemental
a) 1000
b)
24
c)
216
27
300
h)
32
36
i)
9a − 27b
g)
d)
25 + 400
e) 12x 3
f)
16 x 3 + 6 x 2
2. Introduce en la raíz el factor que se halla fuera:
a) 2· 7
b)
18
2
c)
3
5
d) x· x − 2
2
e)
x3 − 4x 2
2x
f)
x −1
x2 −1
Soluciones:
1. a) 10 10 . b) 2 6 . c) 6 6 . d) 5 17 . e) 2 x 3 x . f) x 16 x + 6 . g)
2. a)
28 . b)
9
. c)
2
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9
. d)
5
x 4 − 2 x 2 . e)
x−4
. f)
4
3
2
. h)
2 . i) 3 a − 3b .
10
3
x −1
x +1
José María Martínez Mediano