Sucesos aleatorios - IES Dolmen de Soto

Estadística, 2º de Bachillerato
Sucesos aleatorios
1. DEFINICIONES
Experimentos aleatorios son aquellos en que, aunque se repitan en las mismas condiciones, jamás se puede
predecir el resultado que se va a obtener.
Ejemplos: extraer una carta de una baraja, lanzar una moneda y anotar si sale cara o cruz, abrir un libro al
azar y anotar el número de página, lanzar un dado.
Se llama espacio muestral de un experimento aleatorio al conjunto de todos los resultados posibles del
experimento. Se designa por E.
Cada uno de los elementos que forman el espacio muestral se llama punto muestral.
Ejemplos. Veamos el espacio muestral de algunos experimentos.
a) Lanzar una moneda y anotar si sale cara o cruz.
E={C , X }
b) Lo mismo con dos monedas. Lo calculamos usando un diagrama de árbol:
C
C
E={CC ,CX , XC , XX }
X
C
X
X
c) Lanzar un dado y anotar el número que sale en la cara superior.
E={1,2 ,3,4 ,5,6}
Suceso aleatorio es cada uno de los subconjuntos del espacio muestral E. El conjunto de todos los sucesos
de un experimento aleatorio se denomina espacio de sucesos y se designa por S. Se cumple que si
card E =n entonces
card S =2 n .
Ejemplo. En el experimento consistente en lanzar una moneda:
E={C , X }
S ={∅ , {C }, {X }, {C , X }}
∅ y E son siempre subconjuntos de E.
Diremos que un suceso A se verifica (o se realiza) si al efectuar una prueba del experimento aleatorio
obtenemos como resultado uno de los puntos muestrales que componen el suceso A.
Ejemplo. Sea el experimento consistente en lanzar una dado, con E={1,2 ,3 ,4,5 ,6} , y sea el
suceso
A={1,3,5} = “salir impar”
Entonces diremos que A se verifica si al lanzar el dado sale 1, 3 ó 5, y diremos que no se verifica si
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sale 2, 4 ó 6.
Ejercicio. En el experimento que consiste en extraer una carta de una baraja española, consideremos el
suceso A = “salir figura”. ¿Cuándo diremos que que se ha realizado el suceso A?
2. DISTINTOS TIPOS DE SUCESOS
•
Suceso elemental es el suceso formado por un solo punto muestral
•
Suceso compuesto es el suceso formado por dos o más puntos muestrales.
•
Suceso cierto (o suceso seguro) es el que siempre se realiza. Está formado por todos los resultados
posibles del experimento, es decir, coincide con E.
•
Suceso imposible es el que no se realiza nunca. Se designa por ∅ y no tiene ningún elemento.
Ejemplo. En el experimento consistente en lanzar un dado:
Sucesos elementales:
{1} {2}{3} {4} {5} {6 }
Algunos sucesos compuestos:
Suceso cierto:
A={1,2} B={4,3 ,2} C={1,3 ,5,6}
E={1,2 ,3,4 ,5,6}
Suceso imposible:
∅
Dado un suceso cualquiera A del espacio de sucesos S, se llama suceso contrario (o complementario) del
suceso A al suceso que se realiza cuando no se realiza A, y recíprocamente.
El suceso contrario de A se representa por Ac (o también A' o A ).
El suceso Ac está formado por los puntos muestrales de E que no pertenecen a A.
Ejercicio. En el experimento consistente en lanzar un dado, halla los sucesos contrarios de los siguientes
sucesos:
A={1,2 ,5}
B={1,3}
E={1,2 ,3,4 ,5,6}
F =∅
C={4}
D={1,3 ,5 ,6}
3. OPERACIONES CON SUCESOS
Llamamos suceso unión de A y B ( A∪B ) al suceso que se realiza cuando se realizan A ó B. El suceso
A∪ B contiene todos los elementos de A y todos los de B.
Llamamos suceso intersección de A y B ( A∩ B ) al suceso que se realiza cuando se realizan
simultáneamente A y B. El suceso A∩ B está formado por los elementos comunes de A y B.
Ejemplo. Sea el experimento consistente en lanzar un dado.
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Si
A={1,2 ,5} y
B={2,3 ,5} , entonces
A∪B={1,2 ,3 ,5} y
A
A∩B={2,5}
B
2
1
5
3
Ejercicio. Calcula la unión y la intersección de:
a)
C={2,4 ,6} y
D={2,5}
b)
M ={2,5} y
N ={1,3 ,6}
Propiedad. Se cumple que A∪Ac=E y que A∩Ac=∅
Dos sucesos son incompatibles cuando es imposible que se realicen simultáneamente.
Si A∩ B=∅ entonces A y B son incompatibles. Si A∩ B≠∅ entonces A y B son compatibles.
Por tanto, un suceso y su contrario son incompatibles.
4. SISTEMA COMPLETO DE SUCESOS
Los sucesos A1 , A 2 , ... , A n de un experimento aleatorio constituyen un sistema completo de sucesos si se
verifica:
1.
A1 ∪A2 ∪ A3∪...∪ An =E
2.
A1 , A 2 , ... , A n son incompatibles dos a dos, es decir,
Ai ∩ A j =∅
∀i , j
Ejemplo. Sea el experimento consistente en lanzar un dado. Para este experimento los sucesos
A={1,2 ,6} , B={3,4} y C={5} forman un sistema completo de sucesos, ya que:
1.
A∪B∪C=E
2.
A∩ B=A∩C= B∩C =∅
E
1
3
2
5
4
6
B
A
3
C