Matrices Inversas Laterales

Matrices Inversas Laterales
Departamento de Matemáticas, CSI/ITESM
10 de abril de 2008
Índice
10.1. Definiciones y propiedades básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2. Cuándo una matriz tiene inversas laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3. Condiciones de la ley de cancelación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1.
Definiciones y propiedades básicas
Definición
Sea A una matriz m × n, una matriz inversa derecha de A es una matriz R n × m tal que
AR = Im
Similarmente, una matriz inversa izquierda de A es una matriz L n × m tal que
LA = In⋄
Ejercicio 1
Indique cuáles de las siguientes matrices son inversa

1
A =  −1
2
0 −1/3 1/3
1/3
1/3
0
lateral izquierda de

2
1 
1
0 −1 1
1/3 −2/3 0
,
,
1
1 0
1/3
1/3 0
Ejercicio 2
Indique cuáles de las siguientes matrices son inversa lateral derecha de
1 2 −1
A=
1 2
1

 
 
0
0
1 1
1/3 1/3
 −2/3 1/3  ,  −2 1  ,  −1/3 2/3 
1/3 1/3
0 0
0
0

1
2
3
10.2.
Cuándo una matriz tiene inversas laterales
Veremos ahora un resultado que indica cuando una matriz tiene inversas laterales.
Lema 10.1
Una matriz A m × n tiene inversa derecha si y sólo si rank(A) = m , y tiene inversa izquierda si y
sólo si rank(A) = n.
Demostración
Si A tiene inversa derecha entonces existe R tal que AR = Im por tanto, rank(A) ≥ rank(Im ) = m. Por otro
lado, si rank(A) = m entonces C(A) = Rm = C(Im ). En particular, C(Im ) ⊆ C(A). Y ası́, existe una matriz
X tal que A X = Im . Concluyendo que A tiene inversa lateral derecha. En forma análoga, si rank(A) = m
entonces existe una matriz R tal que AR = Im , y por tanto tiene inversa derecha
Ejercicio 3
Indique cuáles de las siguientes matrices poseen inversas laterales izquierdas:


1
1
1
1 0
1
1
,  0 −1 
,
−1 −1 0
−1 −1
−1
0
Ejercicio 4
Indique cuáles de las siguientes matrices poseen inversas laterales derechas:


1
1
1
1
1
1 0
,
,  0 −1 
−1 −1
−1 −1 0
−1
0
Ejercicio 5
Determine la fórmula que da todas las matrices inversas laterales de la matriz:


1 2
A =  −1 1 
2 1
Lema 10.2
Una matriz A tiene inversa izquierda y derecha si y sólo si es una matriz cuadrada de rango
completo.
Lema 10.3
Si A es una matriz cuadrada y tiene una inversa derecha (izquierda) entonces es de rango completo
y es invertible.
2
10.3.
Condiciones de la ley de cancelación
Sean A y B matrices m × n y suponga que C es una matriz q × m de rango renglón completo, y que D es
una matriz de rango columna completo. Entonces:
C A D = C B D implica A = B
Demostración
Esta es una conclusión del lema anterior que indica que existen la inversa izquierda de C y la inversa derecha
de D ⋄
Teorema 10.4
Sea T una matriz m × q, V n × q, y W n × q si T es de rango columna completo o W es de rango
renglón completo entonces
W V
rank
= rank(T) + rank(W)
0 T
Demostración
Si suponemos que T es de rango columna completo tiene inversa izquierda, digamos L, ası́
W 0
W V
I −V L
=
0 T ⋄
0 T
0
I
Como la matriz
I −V L
0
I
es invertible, las matrices
W V
0 T
y
W 0
0 T
tienen el mismo rango.
Ejercicio 6
Sea T una matriz m × q, V n × q, y W n × q si W es de rango renglón completo entonces
W V
= rank(T) + rank(W)
rank
0 T
Sugerencia: Use la matriz
como inversa derecha de la matriz
I −R V
0
I
W V
0 T
donde R es una inversa derecha de W.
Teorema 10.5
3
Sea T una matriz m × m, U una matriz m × q, V una matriz n × m, y W n × q. Si T es no singular
entonces
T U
= m + rank W − VT−1 U
rank
V W
Demostración
El resultado se deduce de que:
Im
0
−VT−1 In
T U
V W
=
T
U
0 W − VT−1 U
y debido a que
Im
0
−1
−VT
In
es una matriz invertible⋄
4
⋄