Límites en Espacios de Banach

Lı́mites en Espacios de Banach
Miquel Cueca Ten, UV
Alba Gómez Pachón, US
Jesús Ocáriz Gallego, UM
Mercedes Prado Rodrı́guez, US
Abraham Rueda Zoca, UGR
III Escuela-Taller y IX Encuentro de Análisis Funcional y Aplicaciones.
Abril 9-13, Zafra
Tutor: Jesús M. F. Castillo
Esquema de la Charla
Filtros y ultrafiltros
Lı́mites por ultrafiltros
Identificación del espacio de ultrafiltros
Aplicaciones
Filtros y Ultrafiltros
Filtros y Ultrafiltros
Definición
Un filtro de un conjunto X no vacı́o es un subconjunto U de
P(X ) que verifica:
0/ 6∈ U
A∈U y A⊆B ⊆X ⇒B ∈U
A, B ∈ U ⇒ A ∩ B ∈ U
Filtros y Ultrafiltros
Definición
Un filtro de un conjunto X no vacı́o es un subconjunto U de
P(X ) que verifica:
0/ 6∈ U
A∈U y A⊆B ⊆X ⇒B ∈U
A, B ∈ U ⇒ A ∩ B ∈ U
Ejemplo
Sea X = {1, 2, 3}, un filtro del conjunto X es:
U = {{1}, {1, 2}, {1, 2, 3}}
Filtros y ultrafiltros
Definición
Sea U un filtro de X . Se dice que U es un ultrafiltro si es
maximal respecto a la relación de orden inclusión ⊆
Filtros y ultrafiltros
Definición
Sea U un filtro de X . Se dice que U es un ultrafiltro si es
maximal respecto a la relación de orden inclusión ⊆
Proposición
Sea U un filtro de X . U es un ultrafiltro si y solo si ∀A ⊆ X , o
bien A ∈ U , o bien X r A ∈ U
Filtros y Ultrafiltros
⇒
Filtros y Ultrafiltros
⇒
Suponemos X r A ∈
/U.
Filtros y Ultrafiltros
⇒
Suponemos X r A ∈
/U.
T
Definimos V = {Y ⊆ X : ∃Z ∈ U , A Z ⊆ Y } y veamos que es un
filtro:
Filtros y Ultrafiltros
⇒
Suponemos X r A ∈
/U.
T
Definimos V = {Y ⊆ X : ∃Z ∈ U , A Z ⊆ Y } y veamos que es un
filtro:
1
0/ ∈
/V
Filtros y Ultrafiltros
⇒
Suponemos X r A ∈
/U.
T
Definimos V = {Y ⊆ X : ∃Z ∈ U , A Z ⊆ Y } y veamos que es un
filtro:
1
2
0/ ∈
/V
Si Y1 , Y2 ∈ V , entonces ∃Z1 , Z2 ∈ U tal que A Z1 ⊆ Y1 y
T
T
A Z2 ⊆ Y2 . Luego al ser U filtro, Z1 Z2 ∈ U y
T
T
T
T
A (Z1 Z2 ) ⊆ Y1 Y2 . Por tanto, Y1 Y2 ∈ V
T
Filtros y Ultrafiltros
⇒
Suponemos X r A ∈
/U.
T
Definimos V = {Y ⊆ X : ∃Z ∈ U , A Z ⊆ Y } y veamos que es un
filtro:
1
2
3
0/ ∈
/V
Si Y1 , Y2 ∈ V , entonces ∃Z1 , Z2 ∈ U tal que A Z1 ⊆ Y1 y
T
T
A Z2 ⊆ Y2 . Luego al ser U filtro, Z1 Z2 ∈ U y
T
T
T
T
A (Z1 Z2 ) ⊆ Y1 Y2 . Por tanto, Y1 Y2 ∈ V
T
Si Y1 ∈ V tal que Y1 ⊆ Y2 , entonces A Z1 ⊆ Y1 ⊆ Y2 . Por lo
tanto, Y2 ∈ V
T
Filtros y Ultrafiltros
Por construcción U ⊆ V y como U es maximal, sólo tenemos dos
posibilidades:
Filtros y Ultrafiltros
Por construcción U ⊆ V y como U es maximal, sólo tenemos dos
posibilidades:
V = U : A X = A, entonces A ∈ V . Por tanto A ∈ U
T
V = P(X ) entonces 0/ ∈ V .
Filtros y Ultrafiltros
Por construcción U ⊆ V y como U es maximal, sólo tenemos dos
posibilidades:
V = U : A X = A, entonces A ∈ V . Por tanto A ∈ U
T
V = P(X ) entonces 0/ ∈ V .
⇐
Filtros y Ultrafiltros
Por construcción U ⊆ V y como U es maximal, sólo tenemos dos
posibilidades:
V = U : A X = A, entonces A ∈ V . Por tanto A ∈ U
T
V = P(X ) entonces 0/ ∈ V .
⇐
Por hipótesis ∀ A ⊆ X , A ∈ U o X r A ∈ U .
Filtros y Ultrafiltros
Por construcción U ⊆ V y como U es maximal, sólo tenemos dos
posibilidades:
V = U : A X = A, entonces A ∈ V . Por tanto A ∈ U
T
V = P(X ) entonces 0/ ∈ V .
⇐
Por hipótesis ∀ A ⊆ X , A ∈ U o X r A ∈ U .
Supongamos que U no es maximal, entonces ∃V ! U , un filtro
tal que ∃B ∈ V y B ∈
/U.
Filtros y Ultrafiltros
Por construcción U ⊆ V y como U es maximal, sólo tenemos dos
posibilidades:
V = U : A X = A, entonces A ∈ V . Por tanto A ∈ U
T
V = P(X ) entonces 0/ ∈ V .
⇐
Por hipótesis ∀ A ⊆ X , A ∈ U o X r A ∈ U .
Supongamos que U no es maximal, entonces ∃V ! U , un filtro
tal que ∃B ∈ V y B ∈
/U.
Por tanto, por hipótesis, X r B ∈ U ası́ X r B ∈ U ⊆ V
T
ası́ (X r B) B = 0/ ∈ V
Filtros y Ultrafiltros
Por construcción U ⊆ V y como U es maximal, sólo tenemos dos
posibilidades:
V = U : A X = A, entonces A ∈ V . Por tanto A ∈ U
T
V = P(X ) entonces 0/ ∈ V .
⇐
Por hipótesis ∀ A ⊆ X , A ∈ U o X r A ∈ U .
Supongamos que U no es maximal, entonces ∃V ! U , un filtro
tal que ∃B ∈ V y B ∈
/U.
Por tanto, por hipótesis, X r B ∈ U ası́ X r B ∈ U ⊆ V
T
ası́ (X r B) B = 0/ ∈ V
Filtros y Ultrafiltros
Definición
Se dice que un ultrafiltro Ha es principal si ∃a ∈ X tal que es de la
forma
Ha = {Y ⊆ X |a ∈ Y }
En otro caso se dice que es no principal.
Filtros y Ultrafiltros
Definición
Se dice que un ultrafiltro Ha es principal si ∃a ∈ X tal que es de la
forma
Ha = {Y ⊆ X |a ∈ Y }
En otro caso se dice que es no principal.
Teorema
Sea X un conjunto infinito, entonces existe un ultrafiltro no
principal
Filtros y Ultrafiltros
Demostración
Filtros y Ultrafiltros
Demostración
Definimos F = {A ⊆ X |Card(X r A) < ∞} y veamos que es un
filtro:
Filtros y Ultrafiltros
Demostración
Definimos F = {A ⊆ X |Card(X r A) < ∞} y veamos que es un
filtro:
Sea A = 0,
/ X r 0/ = X luego Card(X r 0)
/ = ∞. Entonces,
0/ ∈
/ F.
Filtros y Ultrafiltros
Demostración
Definimos F = {A ⊆ X |Card(X r A) < ∞} y veamos que es un
filtro:
Sea A = 0,
/ X r 0/ = X luego Card(X r 0)
/ = ∞. Entonces,
0/ ∈
/ F.
Sean A, B ∈ F , entonces Card(X r A) < ∞ y
Card(X r B) < ∞.
Luego, por las Leyes de De Morgan:
S
T
Card((X r A) (X r B)) = Card(X r (A B)) es finito. Por
T
tanto, A B ∈ F .
Filtros y Ultrafiltros
Demostración
Definimos F = {A ⊆ X |Card(X r A) < ∞} y veamos que es un
filtro:
Sea A = 0,
/ X r 0/ = X luego Card(X r 0)
/ = ∞. Entonces,
0/ ∈
/ F.
Sean A, B ∈ F , entonces Card(X r A) < ∞ y
Card(X r B) < ∞.
Luego, por las Leyes de De Morgan:
S
T
Card((X r A) (X r B)) = Card(X r (A B)) es finito. Por
T
tanto, A B ∈ F .
Sea A ∈ F , A ⊆ B ⊂ X . Entonces
Card(X r B) ≤ Card(X r A) < ∞. Por tanto, B ∈ F .
Filtros y Ultrafiltros
Por el Lema de Zorn, ∃ un ultrafiltro U que extiende el filtro F .
Filtros y Ultrafiltros
Por el Lema de Zorn, ∃ un ultrafiltro U que extiende el filtro F .
Veamos ahora que no es principal.
Filtros y Ultrafiltros
Por el Lema de Zorn, ∃ un ultrafiltro U que extiende el filtro F .
Veamos ahora que no es principal.
Supondremos lo contrario, ası́, ∃a ∈ X tal que ∀Y ⊆ X : a ∈ Y , lo
que implica que Y ∈ U .
Filtros y Ultrafiltros
Por el Lema de Zorn, ∃ un ultrafiltro U que extiende el filtro F .
Veamos ahora que no es principal.
Supondremos lo contrario, ası́, ∃a ∈ X tal que ∀Y ⊆ X : a ∈ Y , lo
que implica que Y ∈ U .
En particular, tomando Y = {a}, obtenemos que Card(X r {a}) es
infinito.
Filtros y Ultrafiltros
Por el Lema de Zorn, ∃ un ultrafiltro U que extiende el filtro F .
Veamos ahora que no es principal.
Supondremos lo contrario, ası́, ∃a ∈ X tal que ∀Y ⊆ X : a ∈ Y , lo
que implica que Y ∈ U .
En particular, tomando Y = {a}, obtenemos que Card(X r {a}) es
infinito.
Lı́mites por ultrafiltros
Definición (Lı́mite por ultrafiltro)
Tomamos I un conjunto, H un ultrafiltro en I . Sea X un espacio
topológico y f : I −→ X una aplicación.
Definimos
limH f = a ∈ X
si existe a ∈ X de forma que, para todo U entorno de a se tiene
{i ∈ I / f (i) ∈ U} ∈ H
Lı́mites por ultrafiltros
Teorema
En las hipótesis de la definición anterior, si X es compacto
⇒ ∃ limH f
Lı́mites por ultrafiltros
Teorema
En las hipótesis de la definición anterior, si X es compacto
⇒ ∃ limH f
Demostración:
Supongamos por reducción al absurdo que 6 ∃ limH f . Entonces,
para cada a ∈ X ∃ Ua entorno de a tal que
{i ∈ I / f (i) ∈ Ua } ∈
/H
Lı́mites por ultrafiltros
Teorema
En las hipótesis de la definición anterior, si X es compacto
⇒ ∃ limH f
Demostración:
Supongamos por reducción al absurdo que 6 ∃ limH f . Entonces,
para cada a ∈ X ∃ Ua entorno de a tal que
{i ∈ I / f (i) ∈ Ua } ∈
/H
Por la compacidad de X existen a1 , . . . , ak ∈ X satisfaciendo
k
[
m=1
Uam = X ⇒
k
[
{i ∈ I / f (i) ∈ Uam } = I ∈
/H
m=1
lo cual es una contradicción.
Lı́mites por ultrafiltros
Proposición
En la hipótesis de la definición de lı́mite por ultrafiltro, si X es
Hausdorff, entonces limH f , si existe, es único.
Lı́mites por ultrafiltros
Proposición
En la hipótesis de la definición de lı́mite por ultrafiltro, si X es
Hausdorff, entonces limH f , si existe, es único.
Demostración:
Supongamos que a, b son lı́mites por el ultrafiltro de f . Como X es
Hausdorff ∃ U, V entornos de a y b respectivamente con
U ∩ V = 0/
Lı́mites por ultrafiltros
Por definición de lı́mite
{i ∈ I / f (i) ∈ U}, {i ∈ I / f (i) ∈ V } ∈ H
Por ser filtro, existe algún elemento en la intersección, digamos j.
Lı́mites por ultrafiltros
Por definición de lı́mite
{i ∈ I / f (i) ∈ U}, {i ∈ I / f (i) ∈ V } ∈ H
Por ser filtro, existe algún elemento en la intersección, digamos j.
Entonces
f (j) ∈ U ∩ V
lo que contradice la elección de U y V .
Lı́mites por ultrafiltros
Nota
En el caso particular de `∞ , si tenemos f ∈ `∞ , entonces
f (N) ⊆ [−kf k∞ , kf k∞ ]
por lo que tiene lı́mite único fijado un ultrafiltro en N.
Lı́mites por ultrafiltros
Nota
En el caso particular de `∞ , si tenemos f ∈ `∞ , entonces
f (N) ⊆ [−kf k∞ , kf k∞ ]
por lo que tiene lı́mite único fijado un ultrafiltro en N.
Proposición
Sea H un ultrafiltro en N.
1
La aplicación limH : `∞ −→ R es lineal y continua.
2
Dado x ∈ `∞ se tiene lı́mH x ∈ {xn / n ∈ N}
Lı́mites por ultrafiltros
Demostración
Veamos que el limH es aditivo.
Sea x, y ∈ `∞ . Llamamos a = limH x, b = limH y .
Lı́mites por ultrafiltros
Demostración
Veamos que el limH es aditivo.
Sea x, y ∈ `∞ . Llamamos a = limH x, b = limH y .
Dado ε ∈ R+ , entonces
n
εo n
εo
n ∈ N / |xn − a| <
, n ∈ N / |yn − b| <
∈H
2
2
|xn + yn − (a + b)| ≤ |xn − a| + |yn − b| < ε
para n en la intersección.
Lı́mites por ultrafiltros
Demostración
Veamos que el limH es aditivo.
Sea x, y ∈ `∞ . Llamamos a = limH x, b = limH y .
Dado ε ∈ R+ , entonces
n
εo n
εo
n ∈ N / |xn − a| <
, n ∈ N / |yn − b| <
∈H
2
2
|xn + yn − (a + b)| ≤ |xn − a| + |yn − b| < ε
para n en la intersección.
Ası́
/ |xn + yn − (a + b)| < ε}
el conjunto {n ∈εN T
contiene a
ε
n ∈ N / |xn − a| < 2
n ∈ N / |yn − b| < 2 ∈ H
Lı́mites por ultrafiltros
Teorema
H es no principal si, y sólamente si, ∀{xn } sucesión convergente se
tiene que
lim xn = limH x
Identificación del Espacio de Ultrafiltros
U denotará al conjunto de ultrafiltros de N.
Identificación del Espacio de Ultrafiltros
U denotará al conjunto de ultrafiltros de N.
Identificaremos U como un subconjunto de {0, 1}P(N) como sigue:
Identificación del Espacio de Ultrafiltros
U denotará al conjunto de ultrafiltros de N.
Identificaremos U como un subconjunto de {0, 1}P(N) como sigue:
Dado U ∈ U se ve de la forma
U : P(N) −→ {0, 1}
Identificación del Espacio de Ultrafiltros
U denotará al conjunto de ultrafiltros de N.
Identificaremos U como un subconjunto de {0, 1}P(N) como sigue:
Dado U ∈ U se ve de la forma
U : P(N) −→ {0, 1}
definiendo, dado A ⊆ N por
U (A) :=
Identificación del Espacio de Ultrafiltros
U denotará al conjunto de ultrafiltros de N.
Identificaremos U como un subconjunto de {0, 1}P(N) como sigue:
Dado U ∈ U se ve de la forma
U : P(N) −→ {0, 1}
definiendo, dado A ⊆ N por
U (A) :=
1 A∈U
0 A∈
/U
Identificación del Espacio de Ultrafiltros
De esta forma, decimos que f : P(N) −→ {0, 1} es un ultrafiltro si,
y sólamente si, se satisface
Identificación del Espacio de Ultrafiltros
De esta forma, decimos que f : P(N) −→ {0, 1} es un ultrafiltro si,
y sólamente si, se satisface
f (0)
/ =0
Identificación del Espacio de Ultrafiltros
De esta forma, decimos que f : P(N) −→ {0, 1} es un ultrafiltro si,
y sólamente si, se satisface
f (0)
/ =0
A, B ⊆ N / f (A) = f (B) = 1 ⇒ f (A ∩ B) = 1
Identificación del Espacio de Ultrafiltros
De esta forma, decimos que f : P(N) −→ {0, 1} es un ultrafiltro si,
y sólamente si, se satisface
f (0)
/ =0
A, B ⊆ N / f (A) = f (B) = 1 ⇒ f (A ∩ B) = 1
A ⊆ B ⊆ N ∧ f (A) = 1 ⇒ f (B) = 1
Identificación del Espacio de Ultrafiltros
De esta forma, decimos que f : P(N) −→ {0, 1} es un ultrafiltro si,
y sólamente si, se satisface
f (0)
/ =0
A, B ⊆ N / f (A) = f (B) = 1 ⇒ f (A ∩ B) = 1
A ⊆ B ⊆ N ∧ f (A) = 1 ⇒ f (B) = 1
A⊆N
Identificación del Espacio de Ultrafiltros
De esta forma, decimos que f : P(N) −→ {0, 1} es un ultrafiltro si,
y sólamente si, se satisface
f (0)
/ =0
A, B ⊆ N / f (A) = f (B) = 1 ⇒ f (A ∩ B) = 1
A ⊆ B ⊆ N ∧ f (A) = 1 ⇒ f (B) = 1
A⊆N⇒
Identificación del Espacio de Ultrafiltros
De esta forma, decimos que f : P(N) −→ {0, 1} es un ultrafiltro si,
y sólamente si, se satisface
f (0)
/ =0
A, B ⊆ N / f (A) = f (B) = 1 ⇒ f (A ∩ B) = 1
A ⊆ B ⊆ N ∧ f (A) = 1 ⇒ f (B) = 1

 f (A) = 1
∨
A⊆N⇒

f (N \ A) = 1
Identificación del Espacio de Ultrafiltros
Lema
U es un cerrado en {0, 1}P(N) .
Identificación del Espacio de Ultrafiltros
Lema
U es un cerrado en {0, 1}P(N) .
En virtud del teorema de Tychonoff, U es un subconjunto cerrado
dentro de un compacto, luego es compacto.
Identificación del Espacio de Ultrafiltros
Lema
U es un cerrado en {0, 1}P(N) .
En virtud del teorema de Tychonoff, U es un subconjunto cerrado
dentro de un compacto, luego es compacto.
Lema
El conjunto de filtros principales es denso en U.
Identificación del Espacio de Ultrafiltros
Demostración:
Identificación del Espacio de Ultrafiltros
Demostración: Sea F ∈ U, y sea O un entorno de F .
Identificación del Espacio de Ultrafiltros
Demostración: Sea F ∈ U, y sea O un entorno de F .Entonces
∃ A1 , . . . , An , B1 , . . . , Bm ⊆ N de forma que
Identificación del Espacio de Ultrafiltros
Demostración: Sea F ∈ U, y sea O un entorno de F .Entonces
∃ A1 , . . . , An , B1 , . . . , Bm ⊆ N de forma que
Ai ∈ G ∀i ∈ {1, . . . , n}
G ∈O ⇔
Bj ∈
/ G j ∈ {1, . . . , m}
Identificación del Espacio de Ultrafiltros
Demostración: Sea F ∈ U, y sea O un entorno de F .Entonces
∃ A1 , . . . , An , B1 , . . . , Bm ⊆ N de forma que
Ai ∈ G ∀i ∈ {1, . . . , n}
G ∈O ⇔
Bj ∈
/ G j ∈ {1, . . . , m}
Como F es un ultrafiltro que pertenece a O se tiene que
Identificación del Espacio de Ultrafiltros
Demostración: Sea F ∈ U, y sea O un entorno de F .Entonces
∃ A1 , . . . , An , B1 , . . . , Bm ⊆ N de forma que
Ai ∈ G ∀i ∈ {1, . . . , n}
G ∈O ⇔
Bj ∈
/ G j ∈ {1, . . . , m}
Como F es un ultrafiltro que pertenece a O se tiene que
A1 , . . . , An , N \ B1 , . . . , N \ Bm ∈ F
Identificación del Espacio de Ultrafiltros
Demostración: Sea F ∈ U, y sea O un entorno de F .Entonces
∃ A1 , . . . , An , B1 , . . . , Bm ⊆ N de forma que
Ai ∈ G ∀i ∈ {1, . . . , n}
G ∈O ⇔
Bj ∈
/ G j ∈ {1, . . . , m}
Como F es un ultrafiltro que pertenece a O se tiene que
A1 , . . . , An , N \ B1 , . . . , N \ Bm ∈ F
Por lo que
∃ k ∈ ∩ni=1 Ai
\
∩m
j=1 N \ Bj
Identificación del Espacio de Ultrafiltros
Demostración: Sea F ∈ U, y sea O un entorno de F .Entonces
∃ A1 , . . . , An , B1 , . . . , Bm ⊆ N de forma que
Ai ∈ G ∀i ∈ {1, . . . , n}
G ∈O ⇔
Bj ∈
/ G j ∈ {1, . . . , m}
Como F es un ultrafiltro que pertenece a O se tiene que
A1 , . . . , An , N \ B1 , . . . , N \ Bm ∈ F
Por lo que
∃ k ∈ ∩ni=1 Ai
Ası́ Hk ∈ O.
\
∩m
j=1 N \ Bj
Identificación del Espacio de Ultrafiltros
Definimos
L := {L ∈ `∗∞ / L(x) ∈ x(N) ∀x ∈ `∞ }
Identificación del Espacio de Ultrafiltros
Definimos
L := {L ∈ `∗∞ / L(x) ∈ x(N) ∀x ∈ `∞ }
Definimos la siguiente aplicación
Φ : U −→
L
U
7−→ Φ(U ) : `∞ −→
R
Φ(U )(x) 7−→ limU x
Identificación del Espacio de Ultrafiltros
Definimos
L := {L ∈ `∗∞ / L(x) ∈ x(N) ∀x ∈ `∞ }
Definimos la siguiente aplicación
Φ : U −→
L
U
7−→ Φ(U ) : `∞ −→
R
Φ(U )(x) 7−→ limU x
Φ−1 : L
L
−→
U
7−→ {A ⊆ N / L(χA ) = 1}
Identificación del Espacio de Ultrafiltros
Definimos
L := {L ∈ `∗∞ / L(x) ∈ x(N) ∀x ∈ `∞ }
Definimos la siguiente aplicación
Φ : U −→
L
U
7−→ Φ(U ) : `∞ −→
R
Φ(U )(x) 7−→ limU x
Φ−1 : L
L
−→
U
7−→ {A ⊆ N / L(χA ) = 1}
Fijamos L ∈ L .
Φ(Φ−1 (L)) = lim{A⊆N
/ L(χA )=1}
Identificación del Espacio de Ultrafiltros
Sea A ⊆ N.
Identificación del Espacio de Ultrafiltros
Sea A ⊆ N.Veamos que coinciden sobre las funciones
caracterı́sticas.
1
L(χA ) = 1
Identificación del Espacio de Ultrafiltros
Sea A ⊆ N.Veamos que coinciden sobre las funciones
caracterı́sticas.
1
L(χA ) = 1 ⇒ A ∈ {B ⊆ N / L(χB ) = 1}
A ⊆ {n ∈ N / |χA (n) − 1| < ε}, ∀ε ∈ R+
Identificación del Espacio de Ultrafiltros
Sea A ⊆ N.Veamos que coinciden sobre las funciones
caracterı́sticas.
1
L(χA ) = 1 ⇒ A ∈ {B ⊆ N / L(χB ) = 1}
A ⊆ {n ∈ N / |χA (n) − 1| < ε}, ∀ε ∈ R+
⇒ lim{A⊆N / L(χA )=1} χA = 1
Identificación del Espacio de Ultrafiltros
Sea A ⊆ N.Veamos que coinciden sobre las funciones
caracterı́sticas.
1
L(χA ) = 1 ⇒ A ∈ {B ⊆ N / L(χB ) = 1}
A ⊆ {n ∈ N / |χA (n) − 1| < ε}, ∀ε ∈ R+
⇒ lim{A⊆N / L(χA )=1} χA = 1
2
L(χA ) = 0
Identificación del Espacio de Ultrafiltros
Sea A ⊆ N.Veamos que coinciden sobre las funciones
caracterı́sticas.
1
L(χA ) = 1 ⇒ A ∈ {B ⊆ N / L(χB ) = 1}
A ⊆ {n ∈ N / |χA (n) − 1| < ε}, ∀ε ∈ R+
⇒ lim{A⊆N / L(χA )=1} χA = 1
2
L(χA ) = 0 ⇒ L(χN\A ) = 1
Identificación del Espacio de Ultrafiltros
Sea A ⊆ N.Veamos que coinciden sobre las funciones
caracterı́sticas.
1
L(χA ) = 1 ⇒ A ∈ {B ⊆ N / L(χB ) = 1}
A ⊆ {n ∈ N / |χA (n) − 1| < ε}, ∀ε ∈ R+
⇒ lim{A⊆N / L(χA )=1} χA = 1
2
L(χA ) = 0 ⇒ L(χN\A ) = 1 ⇒
⇒ lim{A⊆N / L(χA )=1} χN\A = 1
Identificación del Espacio de Ultrafiltros
Sea A ⊆ N.Veamos que coinciden sobre las funciones
caracterı́sticas.
1
L(χA ) = 1 ⇒ A ∈ {B ⊆ N / L(χB ) = 1}
A ⊆ {n ∈ N / |χA (n) − 1| < ε}, ∀ε ∈ R+
⇒ lim{A⊆N / L(χA )=1} χA = 1
2
L(χA ) = 0 ⇒ L(χN\A ) = 1 ⇒
⇒ lim{A⊆N / L(χA )=1} χN\A = 1
como {1} = χN = χA + χN\A por linealidad
lı́m{A⊆N / L(χA )=1} χA = 0
Identificación del Espacio de Ultrafiltros
Luego {χA / A ⊆ N} ⊆ {x ∈ `∞ / L(x) = lim{A⊆N
/ L(χA )=1}
x}
Identificación del Espacio de Ultrafiltros
Luego {χA / A ⊆ N} ⊆ {x ∈ `∞ / L(x) = lim{A⊆N
Usando
/ L(χA )=1}
x}
Teorema
El conjunto de las funciones caracterı́sticas generan un espacio
denso en `∞ .
Identificación del Espacio de Ultrafiltros
Luego {χA / A ⊆ N} ⊆ {x ∈ `∞ / L(x) = lim{A⊆N
Usando
/ L(χA )=1}
x}
Teorema
El conjunto de las funciones caracterı́sticas generan un espacio
denso en `∞ .
por linealidad y continuidad del lı́mite por ultrafiltro
Identificación del Espacio de Ultrafiltros
Luego {χA / A ⊆ N} ⊆ {x ∈ `∞ / L(x) = lim{A⊆N
Usando
/ L(χA )=1}
x}
Teorema
El conjunto de las funciones caracterı́sticas generan un espacio
denso en `∞ .
por linealidad y continuidad del lı́mite por ultrafiltro
L(x) = Φ(Φ−1 (L(x))) ∀x ∈ `∞
Identificación del Espacio de Ultrafiltros
Luego {χA / A ⊆ N} ⊆ {x ∈ `∞ / L(x) = lim{A⊆N
Usando
/ L(χA )=1}
x}
Teorema
El conjunto de las funciones caracterı́sticas generan un espacio
denso en `∞ .
por linealidad y continuidad del lı́mite por ultrafiltro
L(x) = Φ(Φ−1 (L(x))) ∀x ∈ `∞
Obteniéndose la biyectividad.
Es continua considerándose en L la topologı́a débil∗ .
Identificación del Espacio de Ultrafiltros
Luego {χA / A ⊆ N} ⊆ {x ∈ `∞ / L(x) = lim{A⊆N
Usando
/ L(χA )=1}
x}
Teorema
El conjunto de las funciones caracterı́sticas generan un espacio
denso en `∞ .
por linealidad y continuidad del lı́mite por ultrafiltro
L(x) = Φ(Φ−1 (L(x))) ∀x ∈ `∞
Obteniéndose la biyectividad.
Es continua considerándose en L la topologı́a débil∗ .Como es una
aplicación continua de un compacto en un Hausdorff⇒ Φ es un
homeomorfismo.
Identificación del Espacio de Ultrafiltros
Nota
{en / n ∈ N} = {Φ(Hn ) / n ∈ N} y por lo anterior, es denso en L .
donde en (x) = xn ∀x ∈ `∞
Identificación del Espacio de Ultrafiltros
Nota
{en / n ∈ N} = {Φ(Hn ) / n ∈ N} y por lo anterior, es denso en L .
donde en (x) = xn ∀x ∈ `∞
Definición
Dado X un espacio topológico, se define la compactificación de
Stone-Cech de X como (β X , δ ) con la propiedad adicional: para
toda función f : X −→ R continua y acotada se extiende a
f β : β X −→ R satisfaciendo
1
f β ◦δ = f
2
f β es continua.
Identificación del Espacio de Ultrafiltros
Teorema
βN = L
Identificación del Espacio de Ultrafiltros
Teorema
βN = L
Demostración:
Identificación del Espacio de Ultrafiltros
Teorema
βN = L
Demostración: Sea δ : N −→ L dada por
δ (n) = en n ∈ N
Identificación del Espacio de Ultrafiltros
Teorema
βN = L
Demostración: Sea δ : N −→ L dada por
δ (n) = en n ∈ N
Continua inyectiva y con imagen densa. Veamos que es la
compactificación de Stone-Cech.
Identificación del Espacio de Ultrafiltros
Sea f : N −→ R continua y acotada (f ∈ `∞ ).
Identificación del Espacio de Ultrafiltros
Sea f : N −→ R continua y acotada (f ∈ `∞ ).Entonces
f β (L) = L(f ) ∀L ∈ L
Identificación del Espacio de Ultrafiltros
Sea f : N −→ R continua y acotada (f ∈ `∞ ).Entonces
f β (L) = L(f ) ∀L ∈ L
1
f β ◦δ = f
Identificación del Espacio de Ultrafiltros
Sea f : N −→ R continua y acotada (f ∈ `∞ ).Entonces
f β (L) = L(f ) ∀L ∈ L
1
f β ◦δ = f
2
f β es continua.
Identificación del Espacio de Ultrafiltros
Sea f : N −→ R continua y acotada (f ∈ `∞ ).Entonces
f β (L) = L(f ) ∀L ∈ L
1
f β ◦δ = f
2
f β es continua.
Por la convergencia de la topologı́a débil∗ se tiene que f β es
continua.
Identificación del Espacio de Ultrafiltros
Sea f : N −→ R continua y acotada (f ∈ `∞ ).Entonces
f β (L) = L(f ) ∀L ∈ L
1
f β ◦δ = f
2
f β es continua.
Por la convergencia de la topologı́a débil∗ se tiene que f β es
continua.
Entonces se tiene la continuidad de f β .
Aplicaciones
Aplicaciones
Definición
Sea E es un espacio de Banach.
Se dice separablemente inyectivo si para todo espacio de Banach
separable X y cada subespacio Y ⊆ X , todo operador T : Y −→ E
b : X −→ E .
se extiende a un operador T
b k ≤ λ · kT k se dice que es
Si se satisface además que kT
λ -separablemente inyectivo.
Aplicaciones
Definición
Sea E es un espacio de Banach.
Se dice universalmente separablemente inyectivo si para todo
espacio de Banach X y cada subespacio separable Y ⊆ X , todo
b : X −→ E .
operador T : Y −→ E se extiende a un operador T
b k ≤ λ · kT k se dice que es
Si se satisface además que kT
universalmente λ −separablemente inyectivo.
Aplicaciones
Teorema
Bajo la hipótesis del continuo todo espacio 1-separablemente
inyectivo es universalmente 1-separablemente inyectivo.
Aplicaciones
Teorema
Bajo la hipótesis del continuo todo espacio 1-separablemente
inyectivo es universalmente 1-separablemente inyectivo.
Demostración:
E espacio 1-separablemente inyectivo. X un espacio de Banach
cualquiera, Y ⊆ X subespacio separable.
Aplicaciones
Teorema
Bajo la hipótesis del continuo todo espacio 1-separablemente
inyectivo es universalmente 1-separablemente inyectivo.
Demostración:
E espacio 1-separablemente inyectivo. X un espacio de Banach
cualquiera, Y ⊆ X subespacio separable.
T : Y −→ E .
Aplicaciones
Teorema
Bajo la hipótesis del continuo todo espacio 1-separablemente
inyectivo es universalmente 1-separablemente inyectivo.
Demostración:
E espacio 1-separablemente inyectivo. X un espacio de Banach
cualquiera, Y ⊆ X subespacio separable.
T : Y −→ E .
Y separable ⇒ ∃H : Y −→ `∞ isometrı́a.
Aplicaciones
Teorema
Bajo la hipótesis del continuo todo espacio 1-separablemente
inyectivo es universalmente 1-separablemente inyectivo.
Demostración:
E espacio 1-separablemente inyectivo. X un espacio de Banach
cualquiera, Y ⊆ X subespacio separable.
T : Y −→ E .
Y separable ⇒ ∃H : Y −→ `∞ isometrı́a.
H = (Hn ) con Hn : Y −→ R
Aplicaciones
Por el teorema de Hahn-Banach, extendemos Hn a X
∼
∼
Hn : X −→ R lineal, continua y k Hn k = kHn k
Aplicaciones
Por el teorema de Hahn-Banach, extendemos Hn a X
∼
∼
Hn : X −→ R lineal, continua y k Hn k = kHn k
∼
∼
H = ( Hn )
∼
∼
| Hn (x)| ≤ k Hn kkxk = kHn k kxk ≤ kHk kxk
Aplicaciones
Por el teorema de Hahn-Banach, extendemos Hn a X
∼
∼
Hn : X −→ R lineal, continua y k Hn k = kHn k
∼
∼
H = ( Hn )
∼
∼
| Hn (x)| ≤ k Hn kkxk = kHn k kxk ≤ kHk kxk
∼
∼
=⇒ Hn ∈ `∞ =⇒ H ∈ `∞
Aplicaciones
∃Y0 = Y ⊆ Y1 ⊆ Y2 ⊆ . . . ⊆
[
α
Yα = `∞
Aplicaciones
∃Y0 = Y ⊆ Y1 ⊆ Y2 ⊆ . . . ⊆
[
α
∼
∃ T : `∞ −→ E
∼
T x = Tα x
Yα = `∞
Aplicaciones
∃Y0 = Y ⊆ Y1 ⊆ Y2 ⊆ . . . ⊆
[
α
∼
∃ T : `∞ −→ E
∼
T x = Tα x
∼
=⇒ k T k = kTα k = kT k
Yα = `∞
Aplicaciones
∃Y0 = Y ⊆ Y1 ⊆ Y2 ⊆ . . . ⊆
[
α
∼
∃ T : `∞ −→ E
∼
T x = Tα x
∼
=⇒ k T k = kTα k = kT k
∼ ∼
b = H ◦ T =⇒ kT
b k = kT k
T
Yα = `∞
Aplicaciones
∃Y0 = Y ⊆ Y1 ⊆ Y2 ⊆ . . . ⊆
[
Yα = `∞
α
∼
∃ T : `∞ −→ E
∼
T x = Tα x
∼
=⇒ k T k = kTα k = kT k
∼ ∼
b = H ◦ T =⇒ kT
b k = kT k
T
Entonces E es universalmente-1-separablemente inyectivo.