Ponencia Curiosidades Matemáticas método de Sarrus

CURIOSIDADES MATEMÁTICAS
MÉTODO DE SARRUS GENERALIZADO
1
JOSÉ FRANCISCO LEGUIZAMÓN ROMERO
GRUPO DE INVESTIGACIÓN PIRÁMIDE
LÍNEA MEDIOS EDUCATIVOS EN MATEMÁTICAS
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA Y TECNOLÓGICA DE COLOMBIA
1. INTRODUCCIÓN.
Desde hace unos años existe la curiosidad de saber por qué en todo texto de
Algebra Lineal se encuentra “método de Sarrus válido únicamente para orden tres
(3)”, de manera natural surge la pregunta: cómo es el método de Sarrus para
orden cuatro (4), para orden cinco (5), y para cualquier orden arbitrario.
Así pues, se trabajó en esa dirección y se presenta el método de Sarrus para
orden cuatro (4) con su demostración y algunos ejemplos, el cual sigue siendo
práctico para la solución usual de determinantes; adicionalmente se presenta el
método para orden cinco (5) con su demostración y ejemplo, destacando que ya
no es práctico aplicarlo por su extensión pues habría que solucionar veinte (20)
determinantes. Finalmente se muestra como se complementaría un determinante
de orden n para la aplicación del método de Sarrus y se explica cómo sería su
posible desarrollo. Se aclara que estos resultados no fueron encontrados en la
Bibliografía consultada ni en páginas de internet. Es bueno resaltar, que para
demostrar que el método es válido para los órdenes cuatro (4) y cinco (5), se
realiza comparando los resultados del método de Sarrus con el desarrollo del
teorema de Laplace.
2. BIOGRAFÍA DE PIERRE FRÉDERIC SARRUS
Matemático Francés, nació el 10 de marzo de 1798 en Saint-Affrique, falleció el 20
de noviembre de 1861.
En1815, Sarrus dudaba entre escoger Medicina o Matemáticas para continuar su
carrera. El rechazo del alcalde de Saint-Affrique de otorgarle un certificado de
buena vida dados sus orígenes protestantes le obligan a optar por la facultad de
Ciencias.
1 Profesor Asociado, UPTC. Licenciado en Matemáticas. Especialista en Matemática Avanzada. Magister en Educación.
En Montpellier, en los años 1820 conoce a Gergonne y publica varios artículos y
memorias en los Annales de Gergonne, una de las primeras revistas matemáticas.
En 1829 es nombrado profesor de Matemáticas en la facultad de Ciencias de
Estrasburgo de la cual es decano entre 1839 y 1852. Durante esta época publica
la mayoría de sus trabajos en el Journal de mathématiques pures et appliquées de
Liouville. Sin embargo tiene problemas de salud y se retira en 1858.
Sus trabajos tratan sobre los métodos de resolución de ecuaciones numéricas y
sobre el cálculo de variaciones. En 1853 resuelve uno de los problemas más
complicados de la mecánica de las piezas articuladas: la transformación de
movimientos rectilíneos alternativos en movimientos circulares uniformes.
Pero su celebridad entre los estudiantes de Matemáticas se explica sobre todo por
una regla de cálculo de determinantes de matrices de orden 3 que lleva su
nombre: la regla de Sarrus. Fue introducida en el artículo Nouvelles méthodes
pour la résolution des équations publicado en Estrasburgo en 1833.
3.
DETERMINANTES DE ORDEN CUATRO
A continuación se plantea el desarrollo de determinantes usando el teorema de
Laplace (El determinante de orden n, puede desarrollarse a partir de una fila o
columna, reduciendo el problema al cálculo de un determinante de orden n-1. Para
ello se toma una fila o columna cualquiera, multiplicando cada elemento por su
adjunto (es decir, el determinante de la matriz que se obtiene eliminando la fila y
columna correspondiente a dicho elemento, multiplicado por (-1)i+j donde i es el
número de fila y j el número de columna). La suma de todos los productos es igual
al determinante) y el método de Sarrus, para mostrar que se obtienen los mismos
resultados.
3.1
DETERMINANTES DE ORDEN CUATRO USANDO EL TEOREMA DE
LAPLACE.
Una forma conocida de solucionar determinantes es usando el Teorema de
Laplace.
Dado
a11
a12
a13
a14
a 21
a 22
a 23
a 24
a 31
a32
a33
a34
a 41
a 42
a 43
a 44
donde cada aij es número real, con 1 ≤ i ≤ 4 y 1 ≤ j ≤ 4 ,
se tiene
a 22
a 23
a 24
a 21
a 23
a 24
a 21
a 22
a 24
a 21
a 22
a 23
= a11 a32
a 42
a33
a34 - a12 a31
a33
a34 + a13 a31
a32
a34 - a14 a31
a32
a33
a 43
a 44
a 43
a 44
a 42
a 44
a 42
a 43
a 41
a 41
a 41
Solucionando cada determinante por Sarrus
a 22
a 23
a 24
a32
a 42
a33
a 43
a 22
a 23
a34
a 44 = (a 22 a33 a 44 + a32 a 43 a 24 + a 42 a 23 a34 ) − (a32 a 23 a 44 + a 22 a 43 a34 + a 42 a33 a 24 )
a 24
a32
a33
a34
= a 22 a33 a 44 + a32 a 43 a 24 + a 42 a 23 a34 − a32 a 23 a 44 − a 22 a 43 a34 − a 42 a33 a 24
a 21
a 23
a 24
a31
a 41
a33
a 43
a 21
a 23
a34
a 44 = (a 21 a33 a 44 + a31 a 43 a 24 + a 41 a 23 a34 ) − (a31 a 23 a 44 + a 21a 43 a34 + a 41a33 a 24 )
a 24
a31
a33
a34
= a 21 a 33 a 44 + a 31 a 43 a 24 + a 41 a 23 a 34 − a 31 a 23 a 44 − a 21 a 43 a 34 − a 41 a 33 a 24
a 21
a 22
a 23
a31
a 41
a32
a 42
a 21
a 22
a33
a 43 = (a 21 a32 a 43 + a31 a 42 a 23 + a 41 a 22 a33 ) − (a31 a 22 a 43 + a 21a 42 a33 + a 41a32 a 23 )
a 23
a31
a32
a33
= a 21 a32 a 43 + a31 a 42 a 23 + a 41 a 22 a33 − a31 a 22 a 43 − a 21 a 42 a33 − a 41 a 32 a 23
a 21
a31
a 22
a32
a 23
a33
a 41
a 42
a 21
a31
a 22
a32
a 43 = (a 21 a32 a 43 + a31 a 42 a 23 + a 41 a 22 a33 ) − (a31 a 22 a 43 + a 21 a 42 a33 + a 41 a32 a 23 )
a 23
a33
= a 21 a 32 a 43 + a 31 a 42 a 23 + a 41 a 22 a 33 − a 31 a 22 a 43 − a 21 a 42 a 33 − a 41 a 32 a 23
En conclusión se tiene:
a11
a 21
a 31
a12
a 22
a32
a13
a 23
a33
a14
a 24
a34
a 41
a 42
a 43
a 44
= a11 (a 22 a33 a 44 + a32 a 43 a 24 + a 42 a 23 a34 − a32 a 23 a 44 − a 22 a 43 a34 − a 42 a33 a 24 )
- a12 (a 21 a33 a 44 + a31 a 43 a 24 + a 41 a 23 a34 − a31 a 23 a 44 − a 21 a 43 a34 − a 41 a33 a 24 )
+ a13 (a 21 a32 a 43 + a31 a 42 a 23 + a 41 a 22 a33 − a31 a 22 a 43 − a 21 a 42 a33 − a 41 a32 a 23 )
- a14 (a 21 a32 a 43 + a31 a 42 a 23 + a 41 a 22 a33 − a31 a 22 a 43 − a 21 a 42 a33 − a 41 a32 a 23 )
finalmente
a11
a 21
a 31
a12
a 22
a32
a13
a 23
a33
a14
a 24
a34
a 41
a 42
a 43
a 44
= (a11a22 a33a44 + a11a32 a43a24 + a11a42 a23a34 − a11a32 a23a44 − a11a22 a43a34 − a11a42 a33a24 )
- (a12 a21a33a44 + a12 a31a43a24 + a12 a41a23a34 − a12 a31a23a44 − a12 a21a43a34 − a12 a41a33a24 )
+ (a13a21a32 a43 + a13a31a42 a23 + a13a41a22 a33 − a13a31a22 a43 − a13a21a42 a33 − a13a41a32 a23 )
- (a14 a 21 a32 a 43 + a14 a 31 a 42 a 23 + a14 a 41 a 22 a 33 − a14 a 31 a 22 a 43 − a14 a 21 a 42 a 33 − a14 a 41 a 32 a 23 )
3.2
DETERMINANTES DE ORDEN CUATRO POR EL MÉTODO DE SARRUS.
La propuesta de desarrollo se logra obteniendo cuatro (4) determinantes
ampliados con la segunda, tercera y primera filas respectivamente. En el primer
determinante se deja el orden inicial, en el segundo cambia la primera columna
por la segunda, en el tercer determinante la tercera columna pasa de primera y las
demás se corren y en el cuarto determinante se pasa la cuarta columna de
primera y las demás se corren, los signos de los determinantes van alternos, así:
Sea
4
∆ = ∑ (−1)i +1 ∆i
i=1
a11
a 21
a 31
a12
a 22
a32
a13
a 23
a33
a14
a 24
=
a34
a 41
a 42
a 43
a 44
a11
a12
a13
a14
a12
a11
a13
a14
a13
a11
a12
a14
a 21
a 22
a 23
a 24
a 22
a 21
a 23
a 24
a 23
a 21
a 22
a 24
a 31
a 41
a32
a 42
a33
a 43
a34 a 32
a 4 - a 42
a31
a 41
a33
a 43
a34 a 33
a 4 + a 43
a31
a 41
a 32
a 42
a34
a4
a 21
a 22
a 23
a 24
a 22
a 21
a 23
a 24
a 23
a 21
a 22
a 24
a 31
a32
a33
a34
a 32
a31
a33
a34
a 33
a31
a 32
a34
a11
a12
a13
a14
a12
a11
a13
a14
a13
a11
a12
a14
a14
a11
a12
a14
a 24
a 21
a 22
a 24
a 34
a31
a32
a 34
- a 44
a 24
a 41
a 21
a 42
a 22
a 44
a 24
a 34
a31
a32
a 34
a14
a11
a12
a14
Todos los determinantes ampliados se solucionan de la misma manera, la
diagonal 1, más la semidiagonal 2, más la semidiagonal 3, menos la suma de la
transversal 1, la semitransversal 2 y la semitransversal 3. (Obsérvese el rayado de
los determinantes).
Para ∆ :
1
Diagonal 1
a11a22 a33a44 Semidiagonal 2
a11a32 a43a24 Semidiagonal 3
a11a42 a23a34
Transver 1
a11a32 a23a44 Semitransver 2
a11a22 a43a34 Semitransver 3
a11a42 a33a24
entonces:
∆ = a11 a 22 a33 a 44 + a11 a32 a 43 a 24 + a11 a 42 a 23 a34 − a11 a32 a23 a44 − a11 a 22 a43 a34 − a11 a 42 a33 a24
1
Para el segundo determinante ampliado ∆ :
2
Diagonal 1
a12 a21a33a44 Semidiagonal 2
a12 a31a43a24 Semidiagonal 3
a12 a41a23a34
Transver 1
a12 a31a23a44 Semitransver 2
a12 a21a43a34 Semitransver 3
a12 a41a33a24
luego:
∆ = a12 a21a33a44 + a12 a31a43a24 + a12 a41a23a34 − a12 a31a23a44 − a12 a21a43a34 − a12 a41a33a24
2
Para ∆ :
3
Diagonal 1
a13a21a32 a43 Semidiagonal 2
a13a31a42 a23 Semidiagonal 3
a13a41a22 a33
Transver 1
a13a31a22 a43 Semitransver 2
a13a21a42 a33 Semitransver 3
a13a41a32 a23
Así:
∆
3
= a13 a21a32 a43 + a13 a31a42 a23 + a13 a41a22 a33 − a13 a31a22 a43 − a13 a21a42 a33 − a13 a41a32 a23
Para el cuarto determinante ampliado ∆ :
4
Diagonal 1
a14 a21a32 a43 Semidiagonal 2
a13a31a42 a23 Semidiagonal 3
a13a41a22 a33
Transver 1
a14 a31a22 a43 Semitransver 2
a14 a21a42 a33 Semitransver 3
a14 a41a32 a23
Luego:
∆
4
= a14 a21a32 a43 + a14 a31a42 a23 + a14 a41a22 a33 − a14 a31a22 a43 − a14 a21a42 a33 − a14 a41a32 a23
Así se concluye que:
a11
a12
a13
a14
a 21
a 22
a 23
a 24
a 31
a32
a33
a34
a 41
a 42
a 43
a 44
= (a11a22 a33a44 + a11a32 a43a24 + a11a42 a23a34 − a11a32 a23a44 − a11a22 a43a34 − a11a42 a33a24 )
- (a12 a21a33a44 + a12 a31a43a24 + a12 a41a23a34 − a12 a31a23a44 − a12 a21a43a34 − a12 a41a33a24 )
+ (a13a21a32 a43 + a13a31a42 a23 + a13a41a22 a33 − a13a31a22 a43 − a13a21a42 a33 − a13a41a32 a23 )
- (a14 a 21 a32 a 43 + a14 a 31 a 42 a 23 + a14 a 41 a 22 a 33 − a14 a 31 a 22 a 43 − a14 a 21 a 42 a 33 − a14 a 41 a 32 a 23 )
Se demostró que para orden cuatro (4) es válido el desarrollo por el método de
Sarrus ya que la respuesta es la misma que la obtenida por la aplicación del
Teorema de Laplace.
3.3
CASOS PARTICULARES DE DETERMINANTES DE ORDEN CUATRO
DESARROLLADOS POR EL MÉTODO DE SARRUS.
Ejemplo 1:
Calcule el valor del determinante
2
−1 3 4
−1
2
3 4
2
−1 3 4
1
2
0 3
−1
4
2 1
2
−1 3 1
3
2
−1 4
4
2
−1 3
1
2 0 3
2
1 0 3 0 1
2 3
3 1
2 0
−1 4 2 1
− 4 −1 2 1 2 −1 − 4 1
1 −1 − 4 2
= 2 −1 3 1 - −1 2 3 1 + 3 2 −1 1 - 1 2 −1 3
1
−1
2
4
0 3
2 1
2
−1 3 4
2
4
1 0 3
−1 2 1
0 1
2 −1
2
4
−1
2
3
−1 4
3 4
2
3
1
3 1
1 −1
2
4
4
−1 3
2
0
2
Así:
{(8 + 72 + 0) − (0 + 12 − 12)} − {(− 2 + 9 + 0) − (0 − 3 − 12)} + {(12 + 9 + 12) − (− 6 − 3 + 72)}
− {(48 + 0 + 32) − (− 24 − 8 + 0)} = {80 − 0} − {7 − (−15)} + {33 − 63} − {80 − (−32)} =
80 − 22 − 30 − 112 = −84
Luego
2 −1
1
2
−1 4
2 −1
3
0
2
3
4
3
= - 84
1
1
Ejemplo 2:
Calcule el valor del determinante
1
2
3
4
2
1
3
4
1 2
4 3
−1 −2
3 −2
3 4
2 2
3 −1
1 1
3
2
1
4
4
1
2
3
4 3 2 2
3 4 2 2
2 4 3 2
2 4 3 2
−1 −2 3 −1
−2 −1 3 −1 3 −1 −2 −1 −1 −1 −2 3
= 3 −2 1 1 - −2 3 1 1 + 1 3 −2 1 - 1 3 −2 1
4 3 2 2
−1 −2 3 −1
3 4 2 2
−2 −1 3 −1
2 4 3 2
3 −1 −2 −1
2 4 3 2
−1 −1 −2 3
1
2
3
4
2
3
4
1
3
4
1
2
4
1
2
3
Así:
{( 9 − 4 + 4 ) − ( −4 − 3 − 12 )} − {( 24 − 4 − 12 ) − ( −4 − 8 + 36 )} + {( −24 + 12 − 27 ) − ( −9 + 24 − 36 )}
− {( −32 + 16 + 108 ) − ( −12 − 96 − 48 )} = {9 − (−19)} − {8 − (24)} + {−39 − (−21)} − {92 − (−156)} =
28 + 16 − 18 − 248 = −222
entonces
1 2
4 3
−1 −2
3 −2
3 4
2 2
= - 222
3 −1
1 1
4. DETERMINANTES DE ORDEN CINCO
Se seguirá el mismo proceso que se utilizó para el desarrollo de determinantes de
orden cuatro (4), es decir, se plantea el desarrollo de determinantes de orden
cinco (5), usando el Teorema de Laplace y el método de Sarrus, para mostrar que
se obtienen los mismos resultados.
4.1
DETERMINANTES DE ORDEN CINCO USANDO EL TEOREMA DE
LAPLACE.
a11
a12
a13
a14
a15
a21
a22
a23
a24
a25
a31
a32
a33
a34
a41
a42
a43
a44
a35 donde cada aij es número real, con 1 ≤ i ≤ 5 y 1 ≤ j ≤ 5 ,
a45
a51
a52
a53
a54
a55
se tiene
a11
- a14
a22
a23
a24
a25
a32
a33
a34
a35
a42
a43
a44
a45
a52
a53
a54
a55
- a12
a21
a22
a23
a25
a31
a32
a33
a35
a41
a42
a43
a45
a51
a52
a53
a55
a21
a23
a24
a25
a31
a33
a34
a35
a41
a43
a44
a45
a51
a53
a54
a55
+ a15
+ a13
a21
a22
a23
a24
a31
a32
a33
a34
a41
a42
a43
a44
a51
a52
a53
a54
a21
a22
a24
a25
a31
a32
a34
a35
a41
a42
a44
a45
a51
a52
a54
a55
Desarrollando cada determinante por el método de Sarrus:
•
Para el primer determinante:
a22
a23
a24
a25
a32
a33
a34
a35
a42
a43
a44
a45
a52
a53
a54
a55
a22
a23
a24
a25
a23
a22
a24
a25
a24
a22
a23
a25
a32
a33
a34
a35
a33
a32
a34
a35
a34
a32
a33
a35
a42
= a52
a43
a53
a44
a54
a45 a43
a55 - a53
a42
a52
a44
a54
a45 a44
a55 + a54
a42
a52
a43
a53
a45
a55
a32
a33
a34
a35
a33
a32
a34
a35
a34
a32
a33
a35
a42
a22
a43
a23
a44
a24
a45
a25
a43
a23
a42
a22
a44
a24
a45
a25
a44
a24
a42
a22
a43
a23
a45
a25
a25
a22
a23
a24
a35
a32
a33
a34
a45
- a55
a42
a52
a43
a53
a44
a54
a35
a32
a33
a34
a45
a25
a42
a22
a43
a23
a44
a24
= ( a22 a33 a44 a55 + a22 a43a54 a35 + a22 a53 a34 a45 − a22 a43 a34 a55 − a22 a33 a54 a45 − a22 a53 a44 a35 )
- ( a23 a32 a44 a55
+ a23a42 a54 a35 + a23 a52 a34 a45 − a23 a42 a34 a55 − a23 a32 a54 a45 − a23 a52 a44 a35 )
+ ( a24 a32 a43 a55 + a24 a42 a53a35 + a24 a52 a33a45 − a24 a42 a33 a55 − a24 a32 a53 a45 − a24 a52 a43 a35 )
- ( a25 a32 a43 a54
•
+ a25 a42 a53 a34 + a25 a52 a33a44 − a25 a42 a33 a54 − a25 a32 a53a44 − a25 a52 a43 a34 )
Para el segundo determinante:
a21
a23
a24
a25
a31
a33
a34
a35
a41
a43
a44
a45
a51
a53
a54
a55
a21 a23
a24
a25
a23
a21
a24
a25
a24
a21
a23
a25
a31
a33
a34
a35
a33
a31
a34
a35
a34
a31
a33
a35
a41 a43
= a51 a53
a44
a54
a45 a43
a55 - a53
a41
a51
a44
a54
a45 a44
a55 + a54
a41
a51
a43
a53
a45
a55
a33
a34
a35
a33
a31
a34
a35
a34
a31
a33
a35
a41 a43
a21 a23
a44
a24
a45
a25
a43
a23
a41
a21
a44
a24
a45
a25
a44
a24
a41
a21
a43
a23
a45
a25
a25
a21
a23
a24
a35
a31
a33
a34
a45
a41
a43
a44
- a55
a51
a53
a54
a35
a45
a31
a41
a33
a43
a34
a44
a25
a21
a23
a24
a31
= ( a21a33a44 a55 + a21a43 a54 a35 + a21a53 a34 a45 − a21a43a34 a55 − a21a33 a54 a45 − a21a53 a44 a35 )
- ( a23 a31a44 a55
+ a23a41a54 a35 + a23 a51a34 a45 − a23 a41a34 a55 − a23 a31a54 a45 − a23 a51a44 a35 )
+ ( a24 a31a43a55 + a24 a41a53 a35 + a24 a51a33 a45 − a24 a41a33a55 − a24 a31a53 a45 − a24 a51a43a35 )
- ( a25 a31a43 a54
+ a25 a41a53 a34 + a25 a51a33 a44 − a25 a41a33 a54 − a25 a31a53 a44 − a25 a51a43 a34 )
•
Para el tercer determinante:
a21
a22
a24
a25
a31
a32
a34
a35
a41
a42
a44
a45
a51
a52
a54
a55
a21 a22
a24
a25
a22
a21
a24
a25
a24
a21
a22
a25
a31
a32
a34
a35
a32
a31
a34
a35
a34
a31
a32
a35
a41 a42
= a51 a52
a44
a54
a45 a42
a55 - a52
a41
a51
a44
a54
a45 a44
a55 + a54
a41
a51
a42
a52
a45
a55
a32
a34
a35
a32
a31
a34
a35
a34
a31
a32
a35
a41 a42
a21 a22
a44
a24
a45
a25
a42
a22
a41
a21
a44
a24
a45
a25
a44
a24
a41
a21
a42
a22
a45
a25
a25
a21
a22
a24
a35
a31
a32
a34
a45
- a55
a41
a51
a42
a52
a44
a54
a35
a31
a32
a34
a45
a25
a41
a21
a42
a22
a44
a24
a31
= ( a21a32 a44 a55 + a21a42 a54 a35 + a21a52 a34 a45 − a21a42 a34 a55 − a21a32 a54 a45 − a21a52 a44 a35 )
- ( a22 a31a44 a55
+ a22 a41a54 a35 + a22 a51a34 a45 − a22 a41a34 a55 − a22 a31a54 a45 − a22 a51a44 a35 )
+ ( a24 a31a42 a55 + a24 a41a52 a35 + a24 a51a32 a45 − a24 a41a32 a55 − a24 a31a52 a45 − a24 a51a42 a35 )
- ( a25 a31a42 a54
•
+ a25 a41a52 a34 + a25 a51a32 a44 − a25 a41a32 a54 − a25 a31a52 a44 − a25 a51a42 a34 )
Para el cuarto determinante:
a21
a22
a23
a25
a31
a32
a33
a35
a41
a42
a43
a45
a51
a52
a53
a55
a21 a22
a23
a25
a22
a21
a23
a25
a23
a21
a22
a25
a31
a32
a33
a35
a32
a31
a33
a35
a33
a31
a32
a35
a41 a42
a43
a45
a42
a41
a43
a45
a43
a41
a42
a45
a52
a53
a55 - a52
a51
a53
a55 + a53
a51
a52
a55
a31 a32
a41 a42
a33
a43
a35
a45
a32
a42
a31
a41
a33
a43
a35
a45
a33
a43
a31
a41
a32
a42
a35
a45
a21 a22
a23
a25
a22
a21
a23
a25
a23
a21
a22
a25
= a51
a25
a21
a22
a23
a35
a31
a32
a33
a45
- a55
a41
a51
a42
a52
a43
a53
a35
a31
a32
a33
a45
a25
a41
a21
a42
a22
a43
a23
= ( a21a32 a43a55 + a21a42 a53 a35 + a21a52 a33 a45 − a21a42 a33a55 − a21a32 a53 a45 − a21a52 a43a35 )
- ( a22 a31a43 a55
+ a22 a41a53 a35 + a22 a51a33 a45 − a22 a41a33a55 − a22 a31a53 a45 − a22 a51a43a35 )
+ ( a23 a31a42 a55 + a23a41a52 a35 + a23 a51a32 a45 − a23 a41a32 a55 − a23 a31a52 a45 − a23 a51a42 a35 )
- ( a25 a31a42 a53
•
+ a25 a41a52 a33 + a25 a51a32 a43 − a25 a41a32 a53 − a25 a31a52 a43 − a25 a51a42 a33 )
Para el quinto determinante:
a21
a22
a23
a24
a31
a32
a33
a34
a41
a42
a43
a44
a51
a52
a53
a54
a21 a22
a23
a24
a22
a21
a23
a24
a23
a21
a22
a24
a31
a32
a33
a34
a32
a31
a33
a34
a33
a31
a32
a34
a41 a42
a43
a44
a42
a41
a43
a44
a43
a41
a42
a44
a52
a53
a54 - a52
a51
a53
a54 + a53
a51
a52
a54
a31 a32
a41 a42
a33
a43
a34
a44
a32
a42
a31
a41
a33
a43
a34
a44
a33
a43
a31
a41
a32
a42
a34
a44
a21 a22
a23
a24
a22
a21
a23
a24
a23
a21
a22
a24
a24
a21
a22
a23
a34
a31
a32
a33
a44
a41
a42
a43
- a54
a51
a52
a53
a34
a44
a31
a41
a32
a42
a33
a43
a24
a21
a22
a23
= a51
= ( a21a32 a43a54 + a21a42 a53 a34 + a21a52 a33 a44 − a21a42 a33 a54 − a21a32 a53 a44 − a21a52 a43a34 )
- ( a22 a31a43 a54
+ a22 a41a53 a34 + a22 a51a33 a44 − a22 a41a33 a54 − a22 a31a53 a44 − a22 a51a43a34 )
+ ( a23 a31a42 a54 + a23a41a52 a34 + a23a51a32 a44 − a23a41a32 a54 − a23 a31a52 a44 − a23 a51a42 a34 )
- ( a24 a31a42 a53
+ a24 a41a52 a33 + a24 a51a32 a43 − a24 a41a32 a53 − a24 a31a52 a43 − a24 a51a42 a33 )
En conclusión se tiene:
a11
a12
a13
a14
a15
a21
a22
a23
a24
a25
a31
a32
a33
a34
a41
a42
a43
a44
a35 =
a45
a51
a52
a53
a54
a55
( a22 a33 a44 a55 + a22 a43 a54 a35 + a22 a53a34 a45 − a22 a43a34 a55 − a22 a33a54 a45 − a22 a53 a44 a35 ) 
 −( a a a a + a a a a + a a a a − a a a a − a a a a − a a a a ) 
 23 32 44 55
23 42 54 35
23 52 34 45
23 42 34 55
23 32 54 45
23 52 44 35 
a11 

+ (a24 a32 a43a55 + a24 a42 a53a35 + a24 a52 a33 a45 − a24 a42 a33 a55 − a24 a32 a53 a45 − a24 a52 a43 a35 ) 
−( a25 a32 a43 a54 + a25 a42 a53 a34 + a25 a52 a33a44 − a25 a42 a33 a54 − a25 a32 a53a44 − a25 a52 a43 a34 ) 
(a21a33 a44 a55 + a21a43a54 a35 + a21a53a34 a45 − a21a43a34 a55 − a21a33 a54 a45 − a21a53 a44 a35 ) 
−(a a a a + a a a a + a a a a − a a a a − a a a a − a a a a ) 
 23 31 44 55
23 41 54 35
23 51 34 45
23 41 34 55
23 31 54 45
23 51 44 35 
− a12 

+ ( a24 a31a43a55 + a24 a41a53 a35 + a24 a51a33 a45 − a24 a41a33 a55 − a24 a31a53a45 − a24 a51a43a35 ) 
−(a25 a31a43 a54 + a25 a41a53 a34 + a25 a51a33 a44 − a25 a41a33 a54 − a25 a31a53 a44 − a25 a51a43 a34 ) 
(a21a32 a44 a55 + a21a42 a54 a35 + a21a52 a34 a45 − a21a42 a34 a55 − a21a32 a54 a45 − a21a52 a44 a35 ) 
 −( a a a a + a a a a + a a a a − a a a a − a a a a − a a a a ) 
 22 31 44 55
22 41 54 35
22 51 34 45
22 41 34 55
22 31 54 45
22 51 44 35 
+ a13 

+ (a24 a31a42 a55 + a24 a41a52 a35 + a24 a51a32 a45 − a24 a41a32 a55 − a24 a31a52 a45 − a24 a51a42 a35 ) 
−( a25 a31a42 a54 + a25 a41a52 a34 + a25 a51a32 a44 − a25 a41a32 a54 − a25 a31a52 a44 − a25 a51a42 a34 ) 
(a21a32 a43 a55 + a21a42 a53a35 + a21a52 a33a45 − a21a42 a33a55 − a21a32 a53 a45 − a21a52 a43 a35 ) 
−(a a a a + a a a a + a a a a − a a a a − a a a a − a a a a ) 
 22 31 43 55
22 41 53 35
22 51 33 45
22 41 33 55
22 31 53 45
22 51 43 35 
− a14 

+ ( a23 a31a42 a55 + a23a41a52 a35 + a23a51a32 a45 − a23a41a32 a55 − a23a31a52 a45 − a23 a51a42 a35 ) 
−(a25 a31a42 a53 + a25 a41a52 a33 + a25 a51a32 a43 − a25 a41a32 a53 − a25 a31a52 a43 − a25 a51a42 a33 ) 
(a21a32 a43 a54 + a21a42 a53 a34 + a21a52 a33 a44 − a21a42 a33a54 − a21a32 a53 a44 − a21a52 a43a34 ) 
−(a a a a + a a a a + a a a a − a a a a − a a a a − a a a a ) 
 22 31 43 54
22 41 53 34
22 51 33 44
22 41 33 54
22 31 53 44
22 51 43 34 
+ a15 

+ (a23 a31a42 a54 + a23 a41a52 a34 + a23a51a32 a44 − a23a41a32 a54 − a23a31a52 a44 − a23a51a42 a34 ) 
−(a24 a31a42 a53 + a24 a41a52 a33 + a24 a51a32 a43 − a24 a41a32 a53 − a24 a31a52 a43 − a24 a51a42 a33 ) 
Es decir el resultado final del determinante de orden 5 será:
a11a22 a33a44 a55 + a11a22 a43a54 a35 + a11a22 a53 a34 a45 − a11a22 a43a34 a55 − a11a22 a33a54 a45
− a11a22 a53a44 a35 − a11a23 a32 a44 a55 − a11a23 a42 a54 a35 − a11a23a52 a34 a45 + a11a23 a42 a34 a55
+ a11a23 a32 a54 a45 + a11a23 a52 a44 a35 + a11a24 a32 a43a55 + a11a24 a42 a53a35 + a11a24 a52 a33 a45
− a11a24 a42 a33 a55 − a11a24 a32 a53 a45 − a11a24 a52 a43 a35 − a11a25 a32 a43 a54 − a11a25 a42 a53a34
− a11a25 a52 a33a44 + a11a25 a42 a33 a54 + a11a25 a32 a53a44 + a11a25 a52 a43a34 .
−( a12 a21a33 a44 a55 + a12 a21a43a54 a35 + a12 a21a53 a34 a45 − a12 a21a43a34 a55 − a12 a21a33a54 a45
− a12 a21a53a44 a35 − a12 a23a31a44 a55 − a12 a23a41a54 a35 − a12 a23 a51a34 a45 + a12 a23a41a34 a55
+ a12 a23a31a54 a45 + a12 a23a51a44 a35 + a12 a24 a31a43a55 + a12 a24 a41a53a35 + a12 a24 a51a33 a45
− a12 a24 a41a33 a55 − a12 a24 a31a53 a45 − a12 a24 a51a43 a35 − a12 a25 a31a43 a54 − a12 a25 a41a53a34
− a12 a25 a51a33a44 + a12 a25 a41a33 a54 + a12 a25 a31a53a44 + a12 a25 a51a43a34 ).
+ a13a21a32 a44 a55 + a13 a21a42 a54 a35 + a13 a21a52 a34 a45 − a13 a21a42 a34 a55 − a13a21a32 a54 a45
− a13 a21a52 a44 a35 − a13a22 a31a44 a55 − a13a22 a41a54 a35 − a13 a22 a51a34 a45 + a13a22 a41a34 a55
+ a13a22 a31a54 a45 + a13 a22 a51a44 a35 + a13 a24 a31a42 a55 + a13a24 a41a52 a35 + a13a24 a51a32 a45
− a13 a24 a41a32 a55 − a13a24 a31a52 a45 − a13a24 a51a42 a35 − a13 a25 a31a42 a54 − a13 a25 a41a52 a34
− a13 a25 a51a32 a44 + a13 a25 a41a32 a54 + a13a25 a31a52 a44 + a13 a25 a51a42 a34 .
−( a14 a21a32 a43 a55 + a14 a21a42 a53a35 + a14 a21a52 a33 a45 − a14 a21a42 a33a55 − a14 a21a32 a53a45
− a14 a21a52 a43 a35 − a14 a22 a31a43 a55 − a14 a22 a41a53 a35 − a14 a22 a51a33 a45 + a14 a22 a41a33 a55
+ a14 a22 a31a53 a45 + a14 a22 a51a43 a35 + a14 a23 a31a42 a55 + a14 a23 a41a52 a35 + a14 a23a51a32 a45
− a14 a23 a41a32 a55 − a14 a23a31a52 a45 − a14 a23a51a42 a35 − a14 a25 a31a42 a53 − a14 a25 a41a52 a33
− a14 a25 a51a32 a43 + a14 a25 a41a32 a53 + a14 a25 a31a52 a43 + a14 a25 a51a42 a33 ).
+ a15 a21a32 a43 a54 + a15 a21a42 a53a34 + a15 a21a52 a33 a44 − a15 a21a42 a33a54 − a15 a21a32 a53a44
− a15 a21a52 a43a34 − a15 a22 a31a43 a54 − a15 a22 a41a53 a34 − a15 a22 a51a33 a44 + a15 a22 a41a33 a54
+ a15 a22 a31a53 a44 + a15 a22 a51a43a34 + a15 a23 a31a42 a54 + a15 a23a41a52 a34 + a15 a23 a51a32 a44
− a15 a23 a41a32 a54 − a15 a23 a31a52 a44 − a15 a23a51a42 a34 − a15 a24 a31a42 a53 − a15 a24 a41a52 a33
− a15 a24 a51a32 a43 + a15 a24 a41a32 a53 + a15 a24 a31a52 a43 + a15 a24 a51a42 a33 .
4.2
DETERMINANTES DE ORDEN CINCO POR EL MÉTODO DE SARRUS.
El desarrollo se realiza obteniendo cinco (5) determinantes ampliados con la
tercera, cuarta, segunda y primera filas respectivamente. En el primer
determinante se deja el orden inicial, en el segundo cambia la primera columna
por la segunda, en el tercer determinante la tercera columna pasa de primera y las
demás se corren y en el cuarto determinante se pasa la cuarta columna de
primera y las demás se corren, igual proceso para la quinta columna, los signos de
los determinantes van alternos:
5
∆ = ∑ (−1)i+1 ∆i , así
i=1
a11
a21
a12
a22
a13
a23
a14
a24
a15
a25
a31
a41
a32
a42
a33
a43
a34
a44
a35
a45
a51
a52
a53
a54
a55
a11
a21
a31
a41
= a51
a31
a41
a21
a11
a12
a22
a32
a42
a52
a13
a23
a33
a43
a53
a14
a24
a34
a44
a54
a32
a42
a22
a12
a33
a43
a23
a13
a34
a44
a24
a14
a15
a25
a35
a45
a55 a35
a45
a25
a15
a12
a11
a13
a14
a15
a22
a21
a23
a24
a25
a32
a42
a31
a41
a33
a43
a34
a44
a35
a45
a52
a32
a51
a31
a53
a33
a54
a34
a55 +
a35
a42
a41
a43
a44
a45
a22
a12
a21
a11
a23
a13
a24
a14
a25
a15
a13
a11
a12
a14
a15
a14
a11
a12
a13
a15
a15
a11
a12
a13
a14
a23
a21
a22
a24
a25
a24
a21
a22
a23
a25
a25
a21
a22
a23
a24
a33
a43
a31
a41
a32
a42
a34
a44
a35
a45
a34
a44
a31
a41
a32
a42
a33
a43
a35
a45
a35
a45
a31
a41
a32
a42
a33
a43
a34
a44
a53
a33
a51
a31
a52
a32
a54
a34
a55 - a54
a35 a34
a51
a31
a52
a32
a53
a33
a55 + a55
a35 a35
a51
a31
a52
a32
a53
a33
a54
a34
a43
a41
a42
a44
a45
a44
a41
a42
a43
a45
a45
a41
a42
a43
a44
a23
a13
a21
a11
a22
a12
a24
a14
a25
a15
a24
a14
a21
a11
a22
a12
a23
a13
a25
a15
a25
a15
a21
a11
a22
a12
a23
a13
a24
a14
Todos los determinantes ampliados se solucionan de la misma forma. Su primera
columna se deja fija y las demás columnas se rotan al mismo estilo de los
determinantes de orden cuatro. Así:
•
Para ∆ se tienen los cuatro determinantes:
1
4
∆ = ∑ (−1)i+1∆
1 i=1
1i
a11
a12
a13
a14
a15
a11
a13
a12
a14
a15
a11
a14
a12
a13
a15
a21
a22
a23
a24
a25
a21
a23
a22
a24
a25
a21
a24
a22
a23
a25
a31
a32
a33
a34
a35
a31
a33
a32
a34
a35
a31
a34
a32
a33
a35
a41
a42
a43
a44
a45
a41
a43
a42
a44
a45
a51
a52
a53
a54
a55 - a51
a53
a52
a54
a44
a54
a42
a52
a43
a53
a45
a55 -
a31
a32
a33
a34
a35
a31
a33
a32
a34
a41
a55 + a51
a35 a31
a34
a32
a33
a35
a41
a42
a43
a44
a45
a41
a43
a42
a44
a45
a41
a44
a42
a43
a45
a21
a22
a23
a24
a25
a21
a23
a22
a24
a25
a11
a12
a13
a14
a15
a11
a13
a12
a14
a15
a21
a11
a24
a14
a22
a12
a23
a13
a25
a15
a11
a15
a12
a13
a14
a21
a25
a22
a23
a24
a31
a35
a32
a33
a34
a41
a51
a45
a55
a42
a52
a43
a53
a44
a54
a31
a35
a32
a33
a34
a41
a45
a42
a43
a44
a21
a11
a25
a15
a22
a12
a23
a13
a24
a14
El desarrollo es similar para los de orden cuatro, la diagonal 1, más la
semidiagonal 2, más la semidiagonal 3, menos la suma de la transversal 1, la
semitransversal 2 y la semitransversal 3. (Obsérvese el rayado de los
determinantes).
Para ∆
11
:
Diagonal 1
a11a22 a33a44 a55 Semidiagonal 2
a11a22 a43a54 a35 Semidiagonal 3
Transver 1
a11a22 a43a34 a55 Semitransver 2
a11a22 a33a54 a45 Semitransver 3
a11a22 a53 a34 a45
a11a22 a53a44 a35
así:
∆ =
11
a11a22 a33 a44 a55 + a11a22 a43 a54 a35 + a11a22 a53 a34 a45 − a11a22 a43 a34 a55 − a11a22 a33 a54 a45
− a11a22 a53 a44 a35
Ahora para ∆
12
Diagonal 1
:
a11a23a32 a44 a55 Semidiagonal 2
a11a23a42 a54 a35 Semidiagonal 3
a11a23a52 a34 a45
Transver 1
a11a23a42 a34 a55 Semitransver 2
a11a23a32 a54 a45 Semitransver 3
a11a23a52 a44 a35
Luego:
∆ =
12
−( a11a23 a32 a44 a55 + a11a23a42 a54 a35 + a11a23 a52 a34 a45 − a11a23 a42 a34 a55 − a11a23 a32 a54 a45
− a11a23 a52 a44 a35 )
es decir
∆ =
12
− a11a23 a32 a44 a55 − a11a23 a42 a54 a35 − a11a23 a52 a34 a45 + a11a23a42 a34 a55 + a11a23 a32 a54 a45
+ a11a23a52 a44 a35
Para ∆
13
:
Diagonal 1
a11a24 a32 a43 a55 Semidiagonal 2
a11a24 a42 a53 a35 Semidiagonal 3
a11a24 a52 a33a45
Transver 1
a11a24 a42 a33 a55 Semitransver 2
a11a24 a32 a53a45 Semitransver 3
a11a24 a52 a43a35
entonces:
∆ =
13
a11a24 a32 a43 a55 + a11a24 a42 a53 a35 + a11a24 a52 a33a45 − a11a24 a42 a33a55 − a11a24 a32 a53 a45
− a11a24 a52 a43 a35
Para ∆
14
:
Diagonal 1
a11a25 a32 a43a54 Semidiagonal 2
a11a25 a42 a53a34 Semidiagonal 3
a11a25 a52 a33a44
Transver 1
a11a25 a42 a33a54 Semitransver 2
a11a25 a32 a53a44 Semitransver 3
a11a25 a52 a43a34
así:
∆ =
14
−( a11a25 a32 a43a54 + a11a25 a42 a53a34 + a11a25 a52 a33 a44 − a11a25 a42 a33 a54 − a11a25 a32 a53 a44
− a11a25 a52 a43 a34 )
es decir
∆ =
14
− a11a25 a32 a43 a54 − a11a25 a42 a53 a34 − a11a25 a52 a33 a44 + a11a25 a42 a33a54 + a11a25 a32 a53a44
+ a11a25 a52 a43a34
En conclusión el resultado del primer determinante ampliado es:
a11a22 a33a44 a55 + a11a22 a43 a54 a35 + a11a22 a53 a34 a45 − a11a22 a43 a34 a55 − a11a22 a33 a54 a45
∆ =
1
− a11a22 a53a44 a35 − a11a23a32 a44 a55 − a11a23 a42 a54 a35 − a11a23 a52 a34 a45 + a11a23a42 a34 a55
+ a11a23 a32 a54 a45 + a11a23a52 a44 a35 + a11a24 a32 a43a55 + a11a24 a42 a53 a35 + a11a24 a52 a33 a45
− a11a24 a42 a33a55 − a11a24 a32 a53 a45 − a11a24 a52 a43a35 − a11a25 a32 a43 a54 − a11a25 a42 a53 a34
− a11a25 a52 a33 a44 + a11a25 a42 a33a54 + a11a25 a32 a53 a44 + a11a25 a52 a43a34.
Para ∆ :
•
2
4
∆ = ∑ (−1)i+1∆ ,
2 i=1
2i
a12
a22
a32
a42
a52
a32
a42
a22
a12
a12
a22
a32
a42
- a52
a32
a42
a22
a12
a11
a21
a31
a41
a51
a31
a41
a21
a11
a13
a23
a33
a43
a53
a33
a43
a23
a13
a15
a25
a35
a45
a55
a35
a45
a25
a15
Para ∆
21
a11
a21
a31
a41
a51
a31
a41
a21
a11
a14
a24
a34
a44
a54
a34
a44
a24
a14
a13
a23
a33
a43
a53
a33
a43
a23
a13
a15 a12
a25 a22
a35 a32
a45 a42
a55 - a52
a35 a32
a45 a42
a25 a22
a15 a12
a13
a23
a33
a43
a53
a33
a43
a23
a13
a11
a21
a31
a41
a51
a31
a41
a21
a11
a14
a24
a34
a44
a54
a34
a44
a24
a14
a15 a12
a25 a22
a35 a32
a45 a42
a55 + a52
a35 a32
a45 a42
a25 a22
a15 a12
a14
a24
a34
a44
a54
a34
a44
a24
a14
a11
a21
a31
a41
a51
a31
a41
a21
a11
a13
a23
a33
a43
a53
a33
a43
a23
a13
a15
a25
a35
a45
a55
a35
a45
a25
a15
a14
a24
a34
a44
a54
a34
a44
a24
a14
:
Diagonal 1
a12 a21a33a44 a55 Semidiagonal 2
a12 a21a43a54 a35 Semidiagonal 3
Transver 1
a12 a21a43a34 a55 Semitransver 2
a12 a21a33a54 a45 Semitransver 3
a12 a21a53 a34 a45
a12 a21a53a44 a35
luego:
∆
21
=
a12 a21a33a44 a55 + a12 a21a43 a54 a35 + a12 a21a53a34 a45 − a12 a21a43a34 a55 − a12 a21a33 a54 a45
− a12 a21a53 a44 a35
Para ∆
22
:
Diagonal 1
a12 a23 a31a44 a55 Semidiagonal 2
a12 a23 a41a54 a35 Semidiagonal 3
a12 a23a51a34 a45
Transver 1
a12 a23 a41a34 a55 Semitransver 2
a12 a23a31a54 a45 Semitransver 3
a12 a23a51a44 a35
así:
∆
22
=
−( a12 a23a31a44 a55 + a12 a23 a41a54 a35 + a12 a23a51a34 a45 − a12 a23a41a34 a55 − a12 a23a31a54 a45
− a12 a23a51a44 a35 )
es decir
∆
22
=
− a12 a23a31a44 a55 − a12 a23a41a54 a35 − a12 a23a51a34 a45 + a12 a23 a41a34 a55 + a12 a23a31a54 a45
+ a12 a23 a51a44 a35
para ∆
23
:
Diagonal 1
a12 a24 a31a43 a55 Semidiagonal 2
a12 a24 a41a53 a35 Semidiagonal 3
a12 a24 a51a33a45
Transver 1
a12 a24 a41a33 a55 Semitransver 2
a12 a24 a31a53a45 Semitransver 3
a12 a24 a51a43a35
luego:
∆
23
=
a12 a24 a31a43 a55 + a12 a24 a41a53 a35 + a12 a24 a51a33a45 − a12 a24 a41a33a55 − a12 a24 a31a53 a45
− a12 a24 a51a43 a35
Para ∆
24
:
Diagonal 1
a12 a25 a31a43a54 Semidiagonal 2
a12 a25 a41a53a34 Semidiagonal 3
a12 a25 a51a33a44
Transver 1
a12 a25 a41a33a54 Semitransver 2
a12 a25 a31a53a44 Semitransver 3
a12 a25 a51a43a34
así:
∆
24
=
−( a12 a25 a31a43a54 + a12 a25 a41a53a34 + a12 a25 a51a33 a44 − a12 a25 a41a33 a54 − a12 a25 a31a53 a44
− a12 a25 a51a43 a34 )
es decir
∆
24
=
− a12 a25 a31a43 a54 − a12 a25 a41a53 a34 − a12 a25 a51a33 a44 + a12 a25 a41a33a54 + a12 a25 a31a53a44
+ a12 a25 a51a43a34
En conclusión el resultado del segundo determinante ampliado de orden cinco (5)
es:
∆ =
2
a12 a21a33a44 a55 + a12 a21a43 a54 a35 + a12 a21a53 a34 a45 − a12 a21a43 a34 a55 − a12 a21a33 a54 a45
− a12 a21a53a44 a35 − a12 a23 a31a44 a55 − a12 a23 a41a54 a35 − a12 a23 a51a34 a45 + a12 a23 a41a34 a55
+ a12 a23a31a54 a45 + a12 a23 a51a44 a35 + a12 a24 a31a43 a55 + a12 a24 a41a53 a35 + a12 a24 a51a33 a45
− a12 a24 a41a33a55 − a12 a24 a31a53 a45 − a12 a24 a51a43a35 − a12 a25 a31a43 a54 − a12 a25 a41a53 a34
− a12 a25 a51a33 a44 + a12 a25 a41a33a54 + a12 a25 a31a53 a44 + a12 a25 a51a43a34 .
Para ∆ :
•
3
a13
a23
a33
a43
a53
a33
a43
a23
a13
a13
a23
a33
a43
- a53
a33
a43
a23
a13
a11
a21
a31
a41
a51
a31
a41
a21
a11
a12
a22
a32
a42
a52
a32
a42
a22
a12
a15
a25
a35
a45
a55
a35
a45
a25
a15
Para ∆
31
a11
a21
a31
a41
a51
a31
a41
a21
a11
a14
a24
a34
a44
a54
a34
a44
a24
a14
a12
a22
a32
a42
a52
a32
a42
a22
a12
a15 a13
a25 a23
a35 a33
a45 a43
a55 - a53
a35 a33
a45 a43
a25 a23
a15 a13
a12
a22
a32
a42
a52
a32
a42
a22
a12
a11
a21
a31
a41
a51
a31
a41
a21
a11
a14
a24
a34
a44
a54
a34
a44
a24
a14
a15 a13
a25 a23
a35 a33
a45 a43
a55 + a53
a35 a33
a45 a43
a25 a23
a15 a13
a14
a24
a34
a44
a54
a34
a44
a24
a14
a11
a21
a31
a41
a51
a31
a41
a21
a11
a12
a22
a32
a42
a52
a32
a42
a22
a12
a15
a25
a35
a45
a55
a35
a45
a25
a15
a14
a24
a34
a44
a54
a34
a44
a24
a14
:
Diagonal 1
a13 a21a32 a44 a55 Semidiagonal 2
a13 a21a42 a54 a35 Semidiagonal 3
Transver 1
a13a21a42 a34 a55 Semitransver 2
a13 a21a32 a54 a45 Semitransver 3
a13a21a52 a34 a45
a13 a21a52 a44 a35
Así:
∆
31
=
a13 a21a32 a44 a55 + a13 a21a42 a54 a35 + a13 a21a52 a34 a45 − a13a21a42 a34 a55 − a13 a21a32 a54 a45
− a13 a21a52 a44 a35
Para ∆
32
:
Diagonal 1
a13a22 a31a44 a55 Semidiagonal 2
a13a22 a41a54 a35 Semidiagonal 3
a13 a22 a51a34 a45
Transver 1
a13a22 a41a34 a55 Semitransver 2
a13 a22 a31a54 a45 Semitransver 3
a13 a22 a51a44 a35
luego:
∆
32
=
−( a13a22 a31a44 a55 + a13 a22 a41a54 a35 + a13a22 a51a34 a45 − a13a22 a41a34 a55 − a13a22 a31a54 a45
− a13 a22 a51a44 a35 )
es decir
∆
32
− a13 a22 a31a44 a55 − a13 a22 a41a54 a35 − a13 a22 a51a34 a45 + a13a22 a41a34 a55 + a13 a22 a31a54 a45
=
+ a13a22 a51a44 a35
Para ∆
33
:
Diagonal 1
a13a24 a31a42 a55 Semidiagonal 2
a13a24 a41a52 a35 Semidiagonal 3
a13 a24 a51a32 a45
Transver 1
a13a24 a41a32 a55 Semitransver 2
a13 a24 a31a52 a45 Semitransver 3
a13 a24 a51a42 a35
entonces:
∆
33
=
a13 a24 a31a42 a55 + a13 a24 a41a52 a35 + a13 a24 a51a32 a45 − a13a24 a41a32 a55 − a13 a24 a31a52 a45
− a13 a24 a51a42 a35
Para ∆
34
:
Diagonal 1
a13a25 a31a42 a54 Semidiagonal 2
a13a25 a41a52 a34 Semidiagonal 3
a13 a25 a51a32 a44
Transver 1
a13a25 a41a32 a54 Semitransver 2
a13 a25 a31a52 a44 Semitransver 3
a13 a25 a51a42 a34
así:
∆
34
=
−( a13a25 a31a42 a54 + a13 a25 a41a52 a34 + a13a25 a51a32 a44 − a13a25 a41a32 a54 − a13a25 a31a52 a44
− a13 a25 a51a42 a34 )
es decir
∆
34
=
− a13 a25 a31a42 a54 − a13 a25 a41a52 a34 − a13 a25 a51a32 a44 + a13a25 a41a32 a54 + a13 a25 a31a52 a44
+ a13a25 a51a42 a34
En conclusión el resultado del tercer determinante ampliado de orden cinco (5) es:
∆ =
3
a13 a21a32 a44 a55 + a13a21a42 a54 a35 + a13a21a52 a34 a45 − a13a21a42 a34 a55 − a13a21a32 a54 a45
− a13 a21a52 a44 a35 − a13 a22 a31a44 a55 − a13 a22 a41a54 a35 − a13a22 a51a34 a45 + a13 a22 a41a34 a55
+ a13a22 a31a54 a45 + a13 a22 a51a44 a35 + a13 a24 a31a42 a55 + a13a24 a41a52 a35 + a13 a24 a51a32 a45
− a13 a24 a41a32 a55 − a13 a24 a31a52 a45 − a13 a24 a51a42 a35 − a13a25 a31a42 a54 − a13a25 a41a52 a34
− a13 a25 a51a32 a44 + a13a25 a41a32 a54 + a13a25 a31a52 a44 + a13 a25 a51a42 a34 .
•
a14
a24
a34
a44
a54
a34
a44
a24
a14
a14
a24
a34
a44
- a54
a34
a44
a24
a14
Para ∆ :
4
a11
a21
a31
a41
a51
a31
a41
a21
a11
a12
a22
a32
a42
a52
a32
a42
a22
a12
a15
a25
a35
a45
a55
a35
a45
a25
a15
Para ∆
41
a11
a21
a31
a41
a51
a31
a41
a21
a11
a13
a23
a33
a43
a53
a33
a43
a23
a13
a12
a22
a32
a42
a52
a32
a42
a22
a12
a15 a14
a25 a24
a35 a34
a45 a44
a55 - a54
a35 a34
a45 a44
a25 a24
a15 a14
a12
a22
a32
a42
a52
a32
a42
a22
a12
a11
a21
a31
a41
a51
a31
a41
a21
a11
a13
a23
a33
a43
a53
a33
a43
a23
a13
a15 a14
a25 a24
a35 a34
a45 a44
a55 + a54
a35 a34
a45 a44
a25 a24
a15 a14
a13
a23
a33
a43
a53
a33
a43
a23
a13
a11
a21
a31
a41
a51
a31
a41
a21
a11
a12
a22
a32
a42
a52
a32
a42
a22
a12
a15
a25
a35
a45
a55
a35
a45
a25
a15
a13
a23
a33
a43
a53
a33
a43
a23
a13
:
Diagonal 1
a14 a21a32 a43a55 Semidiagonal 2
a14 a21a42 a53a35 Semidiagonal 3
Transver 1
a14 a21a42 a33 a55 Semitransver 2
a14 a21a32 a53a45 Semitransver 3
a14 a21a52 a33a45
a14 a21a52 a43a35
entonces:
∆
41
=
a14 a21a32 a43 a55 + a14 a21a42 a53 a35 + a14 a21a52 a33a45 − a14 a21a42 a33a55 − a14 a21a32 a53 a45
− a14 a21a52 a43 a35
Para ∆
42
:
Diagonal 1
a14 a22 a31a43 a55 Semidiagonal 2
a14 a22 a41a53 a35 Semidiagonal 3
a14 a22 a51a33a45
Transver 1
a14 a22 a41a33 a55 Semitransver 2
a14 a22 a31a53a45 Semitransver 3
a14 a22 a51a43a35
así:
∆
42
=
−( a14 a22 a31a43a55 + a14 a22 a41a53 a35 + a14 a22 a51a33 a45 − a14 a22 a41a33 a55 − a14 a22 a31a53a45
− a14 a22 a51a43a35 )
es decir
∆
42
=
− a14 a22 a31a43a55 − a14 a22 a41a53 a35 − a14 a22 a51a33 a45 + a14 a22 a41a33 a55 + a14 a22 a31a53a45
+ a14 a22 a51a43 a35
Para ∆
43
:
Diagonal 1
a14 a23 a31a42 a55 Semidiagonal 2
a14 a23 a41a52 a35 Semidiagonal 3
a14 a23a51a32 a45
Transver 1
a14 a23 a41a32 a55 Semitransver 2
a14 a23a31a52 a45 Semitransver 3
a14 a23a51a42 a35
luego:
∆
43
=
Para ∆
a14 a23a31a42 a55 + a14 a23a41a52 a35 + a14 a23a51a32 a45 − a14 a23 a41a32 a55 − a14 a23a31a52 a45
− a14 a23a51a42 a35
44
:
Diagonal 1
a14 a25 a31a42 a53 Semidiagonal 2
a14 a25 a41a52 a33 Semidiagonal 3
a14 a25 a51a32 a43
Transver 1
a14 a25 a41a32 a53 Semitransver 2
a14 a25 a31a52 a43 Semitransver 3
a14 a25 a51a42 a33
así:
∆
44
= −( a14 a25 a31a42 a53 + a14 a25 a41a52 a33 + a14 a25 a51a32 a43 − a14 a25 a41a32 a53 − a14 a25 a31a52 a43
− a14 a25 a51a42 a33 )
es decir
∆
44
= − a14 a25 a31a42 a53 − a14 a25 a41a52 a33 − a14 a25 a51a32 a43 + a14 a25 a41a32 a53 + a14 a25 a31a52 a43
+ a14 a25 a51a42 a33
En conclusión el resultado del cuarto determinante ampliado de orden cinco (5) es:
∆
4
=
a14 a21a32 a43a55 + a14 a21a42 a53 a35 + a14 a21a52 a33 a45 − a14 a21a42 a33a55 − a14 a21a32 a53a45
− a14 a21a52 a43a35 − a14 a22 a31a43a55 − a14 a22 a41a53a35 − a14 a22 a51a33a45 + a14 a22 a41a33a55
+ a14 a22 a31a53a45 + a14 a22 a51a43a35 + a14 a23 a31a42 a55 + a14 a23 a41a52 a35 + a14 a23a51a32 a45
− a14 a23a41a32 a55 − a14 a23a31a52 a45 − a14 a23 a51a42 a35 − a14 a25 a31a42 a53 − a14 a25 a41a52 a33
− a14 a25 a51a32 a43 + a14 a25 a41a32 a53 + a14 a25 a31a52 a43 + a14 a25 a51a42 a33 .
•
Para ∆ :
5
a15
a25
a35
a11
a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
a14
a24
a34
a15
a25
a35
a12
a22
a32
a11
a21
a31
a13
a23
a33
a14
a24
a34
a15
a25
a35
a13
a23
a33
a11
a21
a31
a12
a22
a32
a14
a24
a34
a45
a55
a35
a41
a51
a31
a42
a52
a32
a43
a53
a33
a44 a45
a54 - a55
a34 a35
a42
a52
a32
a41
a51
a31
a43
a53
a33
a44 a45
a54 + a55
a34 a35
a43
a53
a33
a41
a51
a31
a42
a52
a32
a44
a54
a34
a45
a25
a15
a41
a21
a11
a42
a22
a12
a43
a23
a13
a44
a24
a14
a42
a22
a12
a41
a21
a11
a43
a23
a13
a44
a24
a14
a43
a23
a13
a41
a21
a11
a42
a22
a12
a44
a24
a14
a15
a25
a35
a45
- a55
a35
a45
a25
a15
a14
a24
a34
a44
a54
a11
a21
a31
a41
a51
a12
a22
a32
a42
a52
a13
a23
a33
a43
a53
a34
a44
a24
a14
a31
a41
a21
a11
a32
a42
a22
a12
a33
a43
a23
a13
a45
a25
a15
a45
a25
a15
Para ∆
51
:
Diagonal 1
a15 a21a32 a43a54 Semidiagonal 2
a15 a21a42 a53a34 Semidiagonal 3
Transver 1
a15 a21a42 a33a54 Semitransver 2
a15 a21a32 a53a44 Semitransver 3
a15 a21a52 a33a44
a15 a21a52 a43a34
así:
∆
51
=
a15 a21a32 a43a54 + a15 a21a42 a53a34 + a15 a21a52 a33a44 − a15 a21a42 a33 a54 − a15 a21a32 a53a44
− a15 a21a52 a43 a34
Para ∆
52
:
Diagonal 1
a15 a22 a31a43a54 Semidiagonal 2
a15 a22 a41a53a34 Semidiagonal 3
a15 a22 a51a33a44
Transver 1
a15 a22 a41a33a54 Semitransver 2
a15 a22 a31a53a44 Semitransver 3
a15 a22 a51a43a34
entonces:
∆
52
=
−( a15 a22 a31a43a54 + a15 a22 a41a53a34 + a15 a22 a51a33a44 − a15 a22 a41a33a54 − a15 a22 a31a53 a44
− a15 a22 a51a43 a34 )
es decir
∆
52
= − a15 a22 a31a43 a54 − a15 a22 a41a53 a34 − a15 a22 a51a33a44 + a15 a22 a41a33 a54 + a15 a22 a31a53 a44
+ a15 a22 a51a43a34
Para ∆
53
:
Diagonal 1
a15 a23a31a42 a54 Semidiagonal 2
a15 a23a41a52 a34 Semidiagonal 3
a15 a23 a51a32 a44
Transver 1
a15 a23a41a32 a54 Semitransver 2
a15 a23 a31a52 a44 Semitransver 3
a15 a23 a51a42 a34
así:
∆
53
=
a15 a23 a31a42 a54 + a15 a23 a41a52 a34 + a15 a23 a51a32 a44 − a15 a23a41a32 a54 − a15 a23 a31a52 a44
− a15 a23 a51a42 a34
Para ∆
53
:
Diagonal 1
a15 a24 a31a42 a53 Semidiagonal 2
a15 a24 a41a52 a33 Semidiagonal 3
a15 a24 a51a32 a43
Transver 1
a15 a24 a41a32 a53 Semitransver 2
a15 a24 a31a52 a43 Semitransver 3
a15 a24 a51a42 a33
entonces:
∆
53
=
−( a15 a24 a31a42 a53 + a15 a24 a41a52 a33 + a15 a24 a51a32 a43 − a15 a24 a41a32 a53 − a15 a24 a31a52 a43
− a15 a24 a51a42 a33 )
es decir
∆
= − a15 a24 a31a42 a53 − a15 a24 a41a52 a33 − a15 a24 a51a32 a43 + a15 a24 a41a32 a53 + a15 a24 a31a52 a43
53
+ a15 a24 a51a42 a33
En conclusión el resultado del quinto determinante ampliado de orden cinco (5) es:
∆
5
=
a15 a21a32 a43 a54 + a15 a21a42 a53a34 + a15 a21a52 a33 a44 − a15 a21a42 a33a54 − a15 a21a32 a53 a44
− a15 a21a52 a43 a34 − a15 a22 a31a43a54 − a15 a22 a41a53a34 − a15 a22 a51a33a44 + a15 a22 a41a33 a54
+ a15 a22 a31a53a44 + a15 a22 a51a43 a34 + a15 a23 a31a42 a54 + a15 a23a41a52 a34 + a15 a23 a51a32 a44
− a15 a23a41a32 a54 − a15 a23a31a52 a44 − a15 a23a51a42 a34 − a15 a24 a31a42 a53 − a15 a24 a41a52 a33
− a15 a24 a51a32 a43 + a15 a24 a41a32 a53 + a15 a24 a31a52 a43 + a15 a24 a51a42 a33 .
Así se concluye que:
a11
a21
a12
a22
a13
a23
a14
a24
a15
a25
a31
a41
a32
a42
a33
a43
a34
a44
a35 =
a45
a51
a52
a53
a54
a55
∆ −∆ +∆ −∆ +∆
1 2 3 4 5
a11a22 a33a44 a55 + a11a22 a43a54 a35 + a11a22 a53 a34 a45 − a11a22 a43a34 a55 − a11a22 a33a54 a45
− a11a22 a53a44 a35 − a11a23 a32 a44 a55 − a11a23 a42 a54 a35 − a11a23a52 a34 a45 + a11a23 a42 a34 a55
+ a11a23 a32 a54 a45 + a11a23 a52 a44 a35 + a11a24 a32 a43a55 + a11a24 a42 a53a35 + a11a24 a52 a33 a45
− a11a24 a42 a33 a55 − a11a24 a32 a53 a45 − a11a24 a52 a43 a35 − a11a25 a32 a43 a54 − a11a25 a42 a53a34
− a11a25 a52 a33a44 + a11a25 a42 a33 a54 + a11a25 a32 a53a44 + a11a25 a52 a43a34
−( a12 a21a33 a44 a55 + a12 a21a43a54 a35 + a12 a21a53 a34 a45 − a12 a21a43a34 a55 − a12 a21a33a54 a45
− a12 a21a53a44 a35 − a12 a23a31a44 a55 − a12 a23a41a54 a35 − a12 a23 a51a34 a45 + a12 a23a41a34 a55
+ a12 a23a31a54 a45 + a12 a23a51a44 a35 + a12 a24 a31a43a55 + a12 a24 a41a53 a35 + a12 a24 a51a33 a45
− a12 a24 a41a33 a55 − a12 a24 a31a53 a45 − a12 a24 a51a43 a35 − a12 a25 a31a43 a54 − a12 a25 a41a53a34
− a12 a25 a51a33a44 + a12 a25 a41a33 a54 + a12 a25 a31a53a44 + a12 a25 a51a43a34 ).
+ a13a21a32 a44 a55 + a13 a21a42 a54 a35 + a13 a21a52 a34 a45 − a13 a21a42 a34 a55 − a13a21a32 a54 a45
− a13 a21a52 a44 a35 − a13a22 a31a44 a55 − a13a22 a41a54 a35 − a13 a22 a51a34 a45 + a13a22 a41a34 a55
+ a13a22 a31a54 a45 + a13 a22 a51a44 a35 + a13 a24 a31a42 a55 + a13a24 a41a52 a35 + a13a24 a51a32 a45
− a13 a24 a41a32 a55 − a13a24 a31a52 a45 − a13a24 a51a42 a35 − a13 a25 a31a42 a54 − a13 a25 a41a52 a34
− a13 a25 a51a32 a44 + a13 a25 a41a32 a54 + a13a25 a31a52 a44 + a13 a25 a51a42 a34 .
−( a14 a21a32 a43 a55 + a14 a21a42 a53a35 + a14 a21a52 a33 a45 − a14 a21a42 a33a55 − a14 a21a32 a53a45
− a14 a21a52 a43 a35 − a14 a22 a31a43 a55 − a14 a22 a41a53 a35 − a14 a22 a51a33 a45 + a14 a22 a41a33 a55
+ a14 a22 a31a53 a45 + a14 a22 a51a43 a35 + a14 a23 a31a42 a55 + a14 a23 a41a52 a35 + a14 a23a51a32 a45
− a14 a23 a41a32 a55 − a14 a23a31a52 a45 − a14 a23a51a42 a35 − a14 a25 a31a42 a53 − a14 a25 a41a52 a33
− a14 a25 a51a32 a43 + a14 a25 a41a32 a53 + a14 a25 a31a52 a43 + a14 a25 a51a42 a33 ).
+ a15 a21a32 a43 a54 + a15 a21a42 a53a34 + a15 a21a52 a33 a44 − a15 a21a42 a33a54 − a15 a21a32 a53a44
− a15 a21a52 a43a34 − a15 a22 a31a43 a54 − a15 a22 a41a53 a34 − a15 a22 a51a33 a44 + a15 a22 a41a33 a54
+ a15 a22 a31a53 a44 + a15 a22 a51a43a34 + a15 a23 a31a42 a54 + a15 a23a41a52 a34 + a15 a23 a51a32 a44
− a15 a23 a41a32 a54 − a15 a23 a31a52 a44 − a15 a23a51a42 a34 − a15 a24 a31a42 a53 − a15 a24 a41a52 a33
− a15 a24 a51a32 a43 + a15 a24 a41a32 a53 + a15 a24 a31a52 a43 + a15 a24 a51a42 a33 .
Se demostró que al igual que para los determinantes de orden cuatro (4), para
orden cinco (5) es válido el desarrollo por el método de Sarrus ya que la respuesta
es la misma que la obtenida por la aplicación del Teorema de Laplace.
4.3
CASO PARTICULAR DE DETERMINANTE DE
DESARROLLADO POR EL MÉTODO DE SARRUS.
ORDEN
CINCO
Se aclara que no es práctico este método si se trata de solucionar determinantes
de orden mayor o igual a 5. Sin embargo para mostrar que efectivamente se
puede utilizar se presenta el siguiente ejemplo.
2
2
4
4
6
4
Determinar el valor del determinante −3
3
2
2 2
−1 4
1
1
1
−1
1
3
−2 −1 1
1 −1
4
Se hace el complemento agregando inicialmente la tercera fila, luego la cuarta, la
segunda y la primera fila.
Con el orden de columnas inicial dejando fija la primera columna y rotando
las restantes, se obtienen los primeros cuatro determinantes ampliados.
•
2
4
2
3
4
2
4
2
6
1
2
4
4
2
2
3
4
2
6
1
−3 2 −1 4 1 −3 −1 2 4 1
1 −1 1 1 −1 1 1 −1 1 −1
3 −2 −1 1 4 3 −1 −2 1 4
2
4
4
2
2
3
4
2
6
1
−3 4 2 −1 1
1 1 −1 1 −1
3 1 −2 −1 4
−3 2 −1 4 1 −3 −1 2 4 1
−3 4 2 −1 1
1 −1 1 1 −1 1 1 −1 1 −1 1 1 −1 1 −1
+
4 3 2 2 1
4 2 3 2 1
4 2 3 2 1
2
2
4
4
6
2
4
2
4
6
2
4
2
4
6
2 6 2 4 4
4 1 3 2 2
−3 1 2 −1 4
1 −1 −1 1 1
− 3 4 −2 −1 1
−3 1 2 −1 4
1 −1 −1 1 1
4 1 3 2 2
2 6 2 4 4
{(−24 + 6 + 24) − (96 + 6 − 6)} − {(32 − 4 + 32) − (−64 − 8 − 8)} + {(32 + 4 − 8)
−(16 + 8 − 8)} − {(4 + 8 + 4) − (2 − 4 − 16)}
= {6 − 96} − {60 − (−80)} + {28 − 16} − {16 − (−18)}
= −90 − 140 + 12 − 34 = −252
Tomando como primera columna la segunda, dejándola fija y rotando las
restantes, se obtienen los siguientes cuatro determinantes ampliados.
•
2
3
2
4
4
2
4
2
6
1
2
3
4
2
2
4
4
2
6
1
2 −3 −1 4 1
2 −1 −3 4 1
−1 1 1 1 −1 −1 1 1 1 −1
−2 3 −1 1 4 −2 −1 3 1 4
2
3
4
2
2
4
4
2
6
1
2 4 −3 −1 1
−1 1 1 1 −1
−2 1 3 −1 4
2 −3 −1 4 1
2 −1 −3 4 1
2 4 −3 −1 1
−1 1 1 1 −1 −1 1 1 1 −1 −1 1 1 1 −1
+
3 4 2 2 1
3 2 4 2 1
3 2 4 2 1
2
2
3
2
6
1
4
2
4
4
6
4
2
2
4
2
4
6
2
4
2
4
6
4
2
2 1 −3 −1 4
−1 −1 1 1 1
−2 4 3 −1 1
2 1 −3 −1 4
−1 −1 1 1 1
3 1 4 2 2
2
6
2
4
4
{(−32 + 8 + 32) − (128 + 8 − 8)} − {(−48 + 4 − 48) − (64 + 12 + 12)} + {(−48 − 4 + 12)
−(−16 − 12 + 12)} − {(−6 − 8 − 6) − (−2 + 6 + 24)}
= {8 − 128} − {−92 − 88} + {−40 + 16} − {−20 − 28}
= −120 + 180 − 24 + 48 = 84
•
Tomando como primera columna la tercera, dejándola fija y rotando las
restantes, se obtienen los siguientes cuatro determinantes ampliados.
4
2
2
4
6
4
2
2
4
6
4
4
2
2
6
2
4
3
2
1
2
3
4
2
1
2
2
4
3
1
−1 −3
2
4
1
−1
2
−3 4
1
−1 4 −3
2
1
1
1
−1 1 −1
1
−1
1
1 −1
1
1
1
−1 −1
−1
3
−2 1
4
−1 −2
3
1
4
−1 1
3
−2
4
−1 −3
2
1
−1
2
−3 4
1
−1 4 −3
2
1
1
1
−1 1 −1
1
−1
1
1 −1
1
1
1
−1 −1
2
4
3
2
1
2
3
4
2
1
2
2
4
3
1
4
2
2
4
6
4
2
2
4
6
4
4
2
2
6
4
6
2
2
4
2
1
4
3
2
−1
1
−3
2
4
1
−1
1
−1 1
−1
4
3
−2 1
−1
1
−3
2
1
−1
1
−1 1
2
1
4
3
2
4
6
2
2
4
-
4
-
+
4
{(128 − 16 + 128) − (−256 − 32 − 32)} − {(−144 + 12 − 144) − (192 + 36 + 36)} + {(96 − 16 − 48)
−(64 − 48 − 24)} − {(12 − 32 + 24) − (8 + 24 − 48)}
= {240 + 320} − {−276 − 264} + {32 + 8} − {4 + 16}
= 560 + 540 + 40 − 20 = 1120
•
Tomando como primera columna la cuarta, dejándola fija y rotando las
restantes, se obtienen los siguientes cuatro determinantes ampliados.
4
2
2
4
6
4
2
2
4
6
4
4
2
2
6
2
4
3
2
1
2
3
4
2
1
2
2
4
3
1
4 −3
2
−1
1
4
2
−3 −1
1
4 −1 −3
2
1
1
1
−1
1
−1 1
−1
1
1
−1
1
1
−1 −1
1
3
−2 −1
4
1 −2
3
−1
4
1 −1
3
−2
4
4 −3
2
−1
1
4
−3 −1
1
4 −1 −3
2
1
1
1
−1
1
1
1
−1
1
1
1
−1 −1
2
4
3
2
−1 1 −1
1 2 3
4
2
1
2
2
4
3
1
4
2
2
4
6
2
4
6
4
4
2
2
6
4
2
2
+
1
-
4
6
2
2
4
2
1
4
3
2
4
1
−3
2
−1
1 −1
1
−1
1
1
4
3
−2 −1
4
1
−3
2
−1
1 −1
1
−1
1
2
1
4
3
2
4
6
2
2
4
{(128 + 16 − 32) − (64 + 32 − 32)} − {(−144 − 12 + 36) − (−48 − 36 + 36)} + {(96 − 16 − 48)
−(64 − 48 − 24)} − {(−12 + 8 + 24) − (−8 + 24 + 12)}
= {112 − 64} − {−120 + 48} + {32 + 8} − {20 − 28}
= 48 + 72 + 40 + 8 = 168
Tomando como primera columna la quinta, dejándola fija y rotando las
restantes, se obtienen los siguientes cuatro determinantes ampliados.
•
6
2
2
4
4
6
2
2
4
4
6
4
2
2
4
1
4
3
2
2
1
3
4
2
2
1
2
4
3
2
1
−3
2
−1 4
1
2
−3 −1 4
1
−1 −3
2
4
−1
1
−1
1
−1 −1
1
1
−1
1
1
−1 1
4
3
−2 −1 1
4
−2
3
−1 1
4
−1
3
−2 1
1
−3
2
−1 4
1
2
−3 −1 4
1
−1 −3
2
−1
1
−1
1
1
−1
1
1
−1 1
1
4
3
2
6
2
2
6
4
1
2
1
-
1
1
4
−1 −1
1
1
1
2
1
3
4
2
2
1
2
4
3
2
4
4
6
2
2
4
4
6
4
2
2
4
2
2
4
4
3
2
4 −3
2
−1
1
-
−1 1
1
−1
4
1
3
−2 −1
1
4 −3
2
−1
−1 1
1
−1
1
1
2
4
3
2
6
4
2
2
4
+
{(48 + 96 + 48) − (24 − 48 − 192)} − {(−54 − 72 − 54) − (−18 + 54 + 216)} + {(36 − 96 + 72)
−(24 + 72 − 144)} − {(−36 + 24 + 72) − (−24 + 72 + 36)}
= {192 + 216} − {−180 − 252} + {12 + 48} − {60 − 84}
= 408 + 432 + 60 + 24 = 924
Resumiendo lo anterior se tiene que:
2
2
4
4
6
4
3
2
2
1
−3
2
−1 4
1
1
−1
1
3
−2 −1 1
= -252 –(84)+1120-(168)+924= 1540
1 −1
4
5. MÉTODO DE SARRUS PARA DETERMINANTES DE ORDEN ARBITRARIO.
En general la forma de completar el determinante es agregar inicialmente la fila
(n - 2), luego la fila (n - 1), a continuación sucesivamente las filas (n - 3), (n - 4),
(n - 5),…,2,1.
Es decir, dado el determinante de orden n
a11
a12
a13
a14
Κ
a1( n −3)
a1( n − 2)
a1( n −1)
a1n
a 21
a31
a 41
a 22
a32
a 42
a 23
a33
a 43
a 24
a34
a 44
Κ
Κ
Κ
a 2 ( n −3)
a 3 ( n −3 )
a 4 ( n −3)
a 2 ( n − 2)
a 3( n − 2 )
a 4 ( n − 2)
a 2( n −1)
a3( n −1)
a 4( n −1)
a2n
a3n
a4n
Μ
Μ
Μ
Μ
a ( n −3)1
a ( n − 2)1
a ( n −1)1
a ( n −3) 2
a( n − 2) 2
a ( n −1) 2
a ( n − 3) 3
a( n − 2)3
a ( n −1) 3
a ( n −3) 4
a( n−2) 4
a ( n −1) 4
a n1
an 2
an3
an 4
Μ
Μ
Κ a ( n −3)( n−3)
Κ a ( n − 2)( n −3)
Κ a ( n−1)( n −3)
Κ
a n ( n − 3)
Μ
Μ
Μ
a ( n −3)( n − 2)
a ( n − 2)( n − 2)
a ( n−1)( n −2 )
a ( n −3)( n −1)
a ( n −2 )( n −1)
a ( n −1)( n −1)
a ( n −3) n
a( n−2) n
a ( n −1) n
a n( n−2)
a n ( n−1)
a nn
la forma de completarlo se presenta a continuación:
a11
a 21
a12
a 22
a13
a 23
a14
a 24
Κ
Κ
a1( n −3)
a 2 ( n −3)
a1( n − 2)
a 2 ( n − 2)
a1( n −1)
a 2( n −1)
a1n
a2n
a31
a 41
Μ
a32
a 42
Μ
a33
a 43
Μ
a34
a 44
Μ
a ( n −3)1
a ( n − 2)1
a ( n −3) 2
a( n − 2) 2
a ( n − 3) 3
a( n − 2)3
a ( n −3) 4
a( n−2) 4
Κ
a 3 ( n −3 )
Κ
a 4 ( n −3)
Μ
Μ
Κ a ( n −3)( n−3)
Κ a ( n − 2)( n −3)
a 3( n − 2 )
a 4 ( n − 2)
Μ
a3( n −1)
a 4( n −1)
Μ
a3n
a4n
Μ
a ( n −3)( n − 2)
a ( n − 2)( n − 2)
a ( n −3)( n −1)
a ( n −2 )( n −1)
a ( n −3) n
a( n−2) n
a ( n −1)1
a n1
a ( n −1) 2
an 2
a ( n −1) 3
an3
a ( n −1) 4
an 4
Κ
Κ
a ( n−1)( n −3)
a n ( n − 3)
a ( n−1)( n −2 )
a n( n−2)
a ( n −1)( n −1)
a n ( n−1)
a ( n −1) n
a nn
a ( n − 2)1
a( n − 2) 2
a( n − 2)3
a( n−2) 4 Κ
a ( n − 2)( n −3)
a ( n − 2)( n − 2)
a ( n −2 )( n −1)
a( n−2) n
a ( n −1)1
a ( n −1) 2
a ( n −1) 3
a ( n −1) 4
Κ
a ( n−1)( n −3)
a ( n−1)( n −2 )
a ( n −1)( n −1)
a ( n −1) n
a ( n −3)1
a ( n −3) 2
a ( n − 3) 3
a ( n −3) 4
Κ
a ( n −3)( n−3)
a ( n −3)( n − 2)
a ( n −3)( n −1)
a ( n −3) n
Μ
Μ
Μ
Μ
Μ
Μ
Μ
Μ
Μ
a 41
a 42
a 43
a 44
Κ
a 4 ( n −3)
a 4 ( n − 2)
a 4( n −1)
a4n
a31
a32
a33
a34
Κ
a 3 ( n −3 )
a 3( n − 2 )
a3( n −1)
a3n
a 21
a 22
a 23
a 24
Κ
a 2 ( n −3)
a 2 ( n − 2)
a 2( n −1)
a2n
a11
a12
a13
a14
Κ
a1( n −3)
a1( n − 2)
a1( n −1)
a1n
Así aparecen inicialmente n determinantes ampliados, es decir el primero es el
presentado anteriormente, el siguiente la segunda columna pasa de primera,
enseguida la tercera pasa de primera y las demás columnas se corren( es decir la
segunda columna es la primera inicial, la tercera la segunda y las demás
continúan con su orden usual). Los signos de los determinantes van alternos
iniciando por positivo. Su desarrollo es como aparece en el rayado.
Cada determinante de los mencionados, a su vez se soluciona de forma recursiva,
es decir la primera columna ya se sabe que queda fija, entonces empiezan a rotar
las segundas, si es del caso algunas segundas quedan fijas y se hacen rotar las
terceras y así sucesivamente.
En total para solucionar un determinante de orden n, se solucionan
determinantes ampliados, con n ≥ 3 .
n!
6