2. Ayuda a la resolución de problemas

UNIDAD 11 La semejanza y sus aplicaciones
2. Ayuda a la resolución de problemas:
triángulos semejantes en el espacio
Soluciones
Pág. 1 de 4
1 Tenemos tres copas de forma cónica de 6 cm de radio y 15 cm de altura. La primera está llena, en la segunda el líquido alcanza 10 cm, y en la tercera, 5 cm. Calcula la cantidad de líquido que contiene cada copa.
6
A
6
6
15 cm
10 cm
5 cm
B
AYUDA
• Volumen de la primera V = π R 2 · h = …
3
• Para calcular el volumen de la segunda, necesitamos calcular el radio menor:
6
R1
De la semejanza de estos triángulos:
R1 10
=
8 R1 = …
6 15
15
10
• Volumen de la segunda: V = π R 21 · 10 = …
3
• Repite el procedimiento anterior para hallar el radio y el volumen de la tercera.
SOLUCIÓN
π 2
6 · 15 = 565,49 cm3
3
V=
R1
6
=
V1 =
R2
6
=
V2 =
10
15
8 R1 = 4 cm
π
· 42 · 10 = 167,55 cm3
3
5
15
8 R2 = 2 cm
π
· 22 · 5 = 20,94 cm3
3
UNIDAD 11 La semejanza y sus aplicaciones
2. Ayuda a la resolución de problemas:
triángulos semejantes en el espacio
Soluciones
Pág. 2 de 4
2 Una maceta tiene forma de tronco de pirámide cuadrangular regular con las dimensiones que se indican en
la figura. Calcula su volumen.
18 cm
20 cm
10 cm
AYUDA
V
• Prolongamos las aristas laterales hasta que se corten para obtener la pirámide de la
que se obtiene el tronco.
• Tenemos que hallar la altura de la pirámide mayor VO', y de la menor, VO:
A
O
D
10 cm
—
—
AC = √102 + 102 = 10 √2 8 AO = …
O
A 10 B
20 cm
A'
C
O'
18 cm
D'
C'
—
—
A'C' = √182 + 182 = 18 √2 8 A'O' = …
O'
A'
18
B'
• Por la semejanza de los triángulos AOV y A'O'V' se verifica:
—
—
AV = AO 8 Obtén AV
y A'V .
A'V A'O'
—
—
• Con el teorema de Pitágoras, halla las alturas VO y V'O.
—
—
• Volumen del tronco = VPIRÁMIDE MAYOR – VPIRÁMIDE MENOR = 1 182 · VO' – 1 102 · VO = …
3
3
SOLUCIÓN
—
—
—
—
—
—
AO = 5√2 cm; A'O' = 9√2 cm; AV = 25 cm; A'V = 45 cm; VO › 23,98 cm; VO' › 43,16 cm
V = 3 861,95 cm3
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2. Ayuda a la resolución de problemas:
triángulos semejantes en el espacio
Soluciones
Pág. 3 de 4
3 En un cono de 5 cm de radio y 12 cm de altura se inscribe una esfera. Calcula su radio.
A
R
P
O
B
5 cm
C
AYUDA
• Hallamos la generatriz del cono:
—
—
—
—
AC 2 = BC 2 + AB 2 = 52 + 122 8 AC = …
ì
• Los triángulos ABC y APO son semejantes, por ser rectángulos con un ángulo agudo común, el A .
• Por semejanza:
Hipotenusa de APO = Cateto menor de APO
Hipotenusa de ABC
Cateto menor de ABC
8 AO = OP
AC BC
• Si llamamos R al radio de la esfera:
—
— —
OP = R y AO = AB – R = 12 – R
• Sustituye en la igualdad [1] y despeja R.
SOLUCIÓN
—
AC = 13 cm
12 – R
R
=
13
5
)
8 R = 3,3 cm
[1]
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2. Ayuda a la resolución de problemas:
triángulos semejantes en el espacio
Soluciones
Pág. 4 de 4
4 Si cortamos un tronco de cono por un plano perpendicular a las bases la sección es un trapecio isósceles de
bases 26 cm y 34 cm y altura 12 cm. Halla el volumen del tronco de cono.
26 cm
12 cm
34 cm
AYUDA
V
Prolonga los lados laterales hasta llegar al vértice del cono y ten en cuenta la semejanza de los triángulos VAB y VCD:
x
= …
x + 12
…
x
13
A
B
12
C
17
D
SOLUCIÓN
x
13
=
8 x = 39 cm
x + 12 17
V=
π
3
· 172 · 51 –
π
3
· 132 · 39 = 8 532,57 cm3
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2. Ayuda a la resolución de problemas:
triángulos semejantes en el espacio
Soluciones
Pág. 1 de 4
1 Tenemos tres copas de forma cónica de 6 cm de radio y 15 cm de altura. La primera está llena, en la segunda el líquido alcanza 10 cm, y en la tercera, 5 cm. Calcula la cantidad de líquido que contiene cada copa.
6
A
6
6
15 cm
10 cm
5 cm
B
AYUDA
• Volumen de la primera V = π R 2 · h = …
3
• Para calcular el volumen de la segunda, necesitamos calcular el radio menor:
6
R1
De la semejanza de estos triángulos:
R1 10
=
8 R1 = …
6 15
15
10
• Volumen de la segunda: V = π R 21 · 10 = …
3
• Repite el procedimiento anterior para hallar el radio y el volumen de la tercera.
SOLUCIÓN
π 2
6 · 15 = 565,49 cm3
3
V=
R1
6
=
V1 =
R2
6
=
V2 =
10
15
8 R1 = 4 cm
π
· 42 · 10 = 167,55 cm3
3
5
15
8 R2 = 2 cm
π
· 22 · 5 = 20,94 cm3
3
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2. Ayuda a la resolución de problemas:
triángulos semejantes en el espacio
Soluciones
Pág. 2 de 4
2 Una maceta tiene forma de tronco de pirámide cuadrangular regular con las dimensiones que se indican en
la figura. Calcula su volumen.
18 cm
20 cm
10 cm
AYUDA
V
• Prolongamos las aristas laterales hasta que se corten para obtener la pirámide de la
que se obtiene el tronco.
• Tenemos que hallar la altura de la pirámide mayor VO', y de la menor, VO:
A
O
D
10 cm
—
—
AC = √102 + 102 = 10 √2 8 AO = …
O
A 10 B
20 cm
A'
C
O'
18 cm
D'
C'
—
—
A'C' = √182 + 182 = 18 √2 8 A'O' = …
O'
A'
18
B'
• Por la semejanza de los triángulos AOV y A'O'V' se verifica:
—
—
AV = AO 8 Obtén AV
y A'V .
A'V A'O'
—
—
• Con el teorema de Pitágoras, halla las alturas VO y V'O.
—
—
• Volumen del tronco = VPIRÁMIDE MAYOR – VPIRÁMIDE MENOR = 1 182 · VO' – 1 102 · VO = …
3
3
SOLUCIÓN
—
—
—
—
—
—
AO = 5√2 cm; A'O' = 9√2 cm; AV = 25 cm; A'V = 45 cm; VO › 23,98 cm; VO' › 43,16 cm
V = 3 861,95 cm3
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2. Ayuda a la resolución de problemas:
triángulos semejantes en el espacio
Soluciones
Pág. 3 de 4
3 En un cono de 5 cm de radio y 12 cm de altura se inscribe una esfera. Calcula su radio.
A
R
P
O
B
5 cm
C
AYUDA
• Hallamos la generatriz del cono:
—
—
—
—
AC 2 = BC 2 + AB 2 = 52 + 122 8 AC = …
ì
• Los triángulos ABC y APO son semejantes, por ser rectángulos con un ángulo agudo común, el A .
• Por semejanza:
Hipotenusa de APO = Cateto menor de APO
Hipotenusa de ABC
Cateto menor de ABC
8 AO = OP
AC BC
• Si llamamos R al radio de la esfera:
—
— —
OP = R y AO = AB – R = 12 – R
• Sustituye en la igualdad [1] y despeja R.
SOLUCIÓN
—
AC = 13 cm
12 – R
R
=
13
5
)
8 R = 3,3 cm
[1]
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2. Ayuda a la resolución de problemas:
triángulos semejantes en el espacio
Soluciones
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4 Si cortamos un tronco de cono por un plano perpendicular a las bases la sección es un trapecio isósceles de
bases 26 cm y 34 cm y altura 12 cm. Halla el volumen del tronco de cono.
26 cm
12 cm
34 cm
AYUDA
V
Prolonga los lados laterales hasta llegar al vértice del cono y ten en cuenta la semejanza de los triángulos VAB y VCD:
x
= …
x + 12
…
x
13
A
B
12
C
17
D
SOLUCIÓN
x
13
=
8 x = 39 cm
x + 12 17
V=
π
3
· 172 · 51 –
π
3
· 132 · 39 = 8 532,57 cm3