Ppoint - Matemática

Teresa Pé
Pérez Dí
Díaz
Profesora de matemá
matemática
Conceptos
Experimento Aleatorio: Es un fenómeno en el que interviene el
azar, es decir no se puede predecir el resultado.
Ejemplos:
E1 : “Lanzar un dado, no cargado, y se anota el número que sale en la cara
superior”
E2 : “Lanzar al aire una moneda y anotar el resultado”
E3 : “Se cuenta el número de lápices defectuosos fabricados diariamente”
1
Conceptos
Espacio Muestral: Es el conjunto formado por todos los
resultados posibles de un experimento aleatorio, se denota por Ω
Ejemplos: Si tenemos los siguientes experimentos:
E1: “Lanzar un dado, no cargado, y se anota el número que sale en la cara
superior”
El espacio muestral es:
Ω1 = {1,2,3,4,5,6}
E2: “Lanzar al aire una moneda y anotar el resultado”
El espacio muestral es:
Ω2 = {c, s}
E3: “Se cuenta el número de lápices defectuosos fabricados diariamente”
El espacio muestral es: Ω3 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,…}
Conceptos
Suceso o evento: Es cualquier subconjunto del espacio
muestral.
Ejemplos:
E1: “Lanzar un dado, no cargado, y se anota el número que sale
en la cara superior”
Ω1 = {1,2,3,4,5,6}
Los siguientes casos son eventos:
1. A = {Obtener un número primo}; A = {2, 3, 5}
2. B = {Obtener un número primo y par}; B = {2}
3. C = {Obtener un número mayor o igual a 5}; C = {5, 6}
A C Ω1
B C Ω1
C C Ω1
2
Para analizar…
Si tenemos una urna con 3 bolitas negras, 3 azules y 3 rojas.
¿Cuántas bolitas habrá que extraer para estar seguros de obtener
los tres colores?
• Si sacamos 1 o 2 es imposible que tengamos los 3 colores
• Si se sacan 3, 4, 5, o 6 es posible que obtengamos los 3 colores
• Si sacamos 7, 8 o 9 es seguro que tendrán los 3 colores
Para analizar…
Al hacer las afirmaciones anteriores estamos dando los primeros
pasos en probabilidades.
Ante algunos sucesos hacemos un pronóstico a través de términos
como: “probable”, “muy probable”, “cierto”, etc.
Casi Imposible
Imposible
Probable o Posible
Poco Probable
Casi Seguro
Bastante Probable
Seguro o Cierto
3
Tipos de Eventos
cierto
imposible
excluyente
Complementarios
Evento o suceso cierto: Es aquel suceso que puede ocurrir con toda
seguridad, coincide con el espacio muestral
Ejemplo: De una caja que tiene sólo fichas verdes se extrae una ficha
verde.
Evento o suceso imposible: Es aquel que no tiene elementos, es un
suceso que no puede ocurrir.
Ejemplo: Al sacar una carta de un naipe español sale un 10 de diamante.
Sucesos o eventos mutuamente excluyentes
Dos eventos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir en forma
simultánea, esto es, la ocurrencia de uno imposibilita la ocurrencia del
otro.
Por lo tanto si dos eventos son mutuamente excluyentes entonces su
intersección es vacía.
Ejemplo
En el lanzamiento de un dado los eventos B = {2} y C = {5, 6} son
mutuamente excluyentes por cuanto B ∩ C = ɸ
1
B
4
5
2
C
6
3
4
Sucesos Complementarios
Cuando los eventos no tienen puntos o elementos comunes y la unión de
ellos es el espacio muestral se dice que los eventos son
complementarios.
Ejemplo
En el lanzamiento de un dado los eventos B = {1,3,5} y C = {2,4,6}
son sucesos complementarios B U C = Ω
B
1
5
3
6
B ∩ C = ɸ
C
2
4
B U Bc = Ω
Ejercicio
Dado el espacio muestral Ω = {a, e, i, o, u} y los eventos:
A = {i, o, u}
B = {o, u}
C = {a}
D = {a, e}
B
A y B no son mutuamente excluyentes
A y D son complementarios
A
o u
i
a
B y C son mutuamente excluyentes
A y C son mutuamente excluyentes
e
D
C
5
Sucesos Combinados
Dados 2 sucesos A y C, si ocurren ambos al mismo tiempo, diremos que
ha ocurrido al suceso A y C, esto significa que el resultado del
experimento es a la vez un elemento de A y un elemento de C.
Ejemplo
En el lanzamiento de un dado los eventos A = {2, 4, 6} (sale un
número par) y C = {2,3,5} sale un número primo.
Los sucesos A y C ocurren cuando el número que sale es par y es
primo
C
A
5
2
6
3
4
A∩C={2}
Sucesos Combinados
Si ocurre al menos uno de los sucesos, es decir, si el resultado del
experimento es un elemento de C, un elemento de B o de ambos a la vez,
se dice que ha ocurrido C o B.
Ejemplo
En el lanzamiento de un dado los eventos B = {1,3,5} sale un número
impar y C = {2,3,5} sale un número primo.
Los sucesos B o C corresponde a obtener un número primo, un
número impar o un número primo e impar, por lo tanto:
B U C = {1, 2, 3, 5}
C
2
5 3
1
B
6
Fórmula clásica de Probabilidad
Uno de los métodos más utilizados para este cálculo es aplicando la Regla
de Laplace: define la probabilidad de un suceso como el cociente entre
casos favorables y casos posibles.
La probabilidad de A se denotará por P(A).
P (A) =
N º de casos favorables al suceso A
N º total de casos posibles
Observación:
1) La probabilidad de que un suceso A ocurra es igual a uno menos la
probabilidad de que no ocurra
P(A) = 1 – P(A’)
A’ = A no ocurre
2) 0 ≤ P(A) ≤ 1 o bien 0% ≤ P(A) ≤ 100%
Probabilidad
El valor cero corresponde al suceso imposible: lanzamos un dado al
aire y la probabilidad de que salga el número 7 es cero
El valor uno corresponde al suceso seguro: lanzamos un dado al aire y
la probabilidad de que salga cualquier número del 1 al 6 es igual a uno
(100%).
El resto de sucesos tendrá probabilidades entre cero y uno: que
será tanto mayor cuanto más probable sea que dicho suceso tenga
lugar.
7
Cálculo de la probabilidad a través del suceso complementario
En ocasiones, es muy largo o complicado calcular la probabilidad de un
suceso en forma directa, siendo más sencillo al cálculo de la
probabilidad del suceso complementario. Para estas situaciones
aplicamos la fórmula:
P(ganar) + P(perder) = 1
P(ganar) = 1 - P(perder)
P(perder) = 1 - P(ganar)
Cálculo de la probabilidad a través del suceso complementario
Ejemplo:
Al lanzar 3 dados no cargados, ¿cuál es la probabilidad de obtener una
suma mayor o igual a 5?
P(suma mayor o igual a 5) = 1 - P(suma sea menor que 5)
123456
123456
123456
1 1 1, 1 1 2, 1 2 1, 2 1 1
4
216
212 53
=
=
216 54
=
1−
8
Otros ejemplos:
a) Probabilidad de que al lanzar un dado salga el número 2: el caso
favorable es tan sólo uno (que salga el dos), mientras que los casos
posibles son seis (puede salir cualquier número del uno al seis). Por lo
tanto:
1
6
P(A) =
= 0,166 (o lo que es lo mismo, 16,6%)
b) Probabilidad de que al lanzar un dado salga un número par: en
este caso los casos favorables son tres (que salga el dos, el cuatro o
el seis), mientras que los casos posibles siguen siendo seis. Por lo
tanto:
P(A) =
3
6
=
1
2
= 0,50 (o lo que es lo mismo, 50%)
c) Probabilidad de que al lanzar un dado salga un número menor
que 5: en este caso tenemos cuatro casos favorables (que salga
el uno, el dos, el tres o el cuatro), frente a los seis casos
posibles. Por lo tanto:
P(A) =
4
6
=
2
= 0,666 (o lo que es lo mismo, 66,6%)
3
Para poder aplicar la Regla de Laplace el experimento aleatorio
tiene que cumplir dos requisitos:
a) El número de resultados posibles (sucesos) tiene que ser
finito. Si hubiera infinitos resultados, al aplicar la regla "casos
favorables / casos posibles" el cociente siempre sería cero.
b) Todos los sucesos tienen que tener la misma probabilidad. Si
al lanzar un dado, algunas caras tuvieran mayor probabilidad de
salir que otras, no podríamos aplicar esta regla.
A la regla de Laplace también se le denomina "probabilidad a priori",
ya que para aplicarla hay que conocer antes de realizar el experimento
cuales son los posibles resultados y saber que todos tienen las mismas
probabilidades.
9
Número Esperado
Número esperado = n . P
Donde:
n : n° de veces que se repite el experimento aleatorio
P: Probabilidad que ocurra el suceso esperado
Ejemplo:
Al lanzar dos dados no cargados 24 veces¿cuántas veces se espera
obtener una suma igual a 7?
1
2
3
4
5
1
x
2
x
3
24 ⋅
6
1
= 24 ⋅ = 4
36
6
x
4
x
5
6
6
x
x
Probabilidades de Eventos
• Si A y B son dos sucesos no excluyentes (pueden ocurrir ambos al
mismo tiempo), la probabilidad de que ocurran A o B o ambos está
dada por:
• Si A y B son dos sucesos excluyentes (no pueden ocurrir ambos al
mismo tiempo), la probabilidad de que ocurra A o B está dada por:
10
Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos:
A = {que salga un número menor que 3}
B = {que salga el número 6}
La probabilidad del suceso unión será igual a:
P(A) =
2
6
P(B) =
1
6
Sucesos excluyentes:
No pueden ocurrir al
mismo tiempo
Por lo tanto:
P(A U B) = P(A) + P(B) =
2
6
+
1
6
=
1
2
Ejemplo: Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de que el
resultado sea par o divisible por 3?
A = {par}= {2, 4, 6}
B = {divisible por 3}= {3, 6}
P(A) = 3/6
P(B) = 2/6
Sucesos no excluyentes:
Pueden ocurrir al mismo
tiempo
P(A ∩ B) = 1/6
P(A o B) = P( A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= 3/6 + 2/6 - 1/6
= 2/3
11
Ejemplo:
En una agencia bancaria hay dos sistemas de alarma A y B. El sistema A
funciona en 7 de cada 10 atracos, B funciona en 8 de cada 10 y los dos a la
vez lo hacen 6 de cada 10 atracos.
¿Cuál es la probabilidad de que en caso de atraco funcione al menos una de
estas alarmas?
Solución:
Se definen los sucesos
A:”El sistema A funciona”
B:”El sistema B funciona”
P( A) = 0,7
P( B ) =0,8 P(A∩B ) = 0,6
P(AU B ) = 0,7 + 0,8− 0,6= 0,9
Probabilidades de Eventos
•
•
Los sucesos A y B se consideran independientes cuando la
ocurrencia o no ocurrencia de uno no influye sobre la probabilidad
de ocurrencia o no ocurrencia del otro.
Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral. La
probabilidad condicional de A, dado B, se calcula como la
probabilidad del suceso A, bajo la suposición de que el suceso B ha
ocurrido.
P(A∩B) = P(A/B)
.
P(B)
12
Ejemplo: Una caja contiene 10 bolas, 3 son rojas. Escogemos dos bolas al
azar. Encuentra la probabilidad de que ninguna de ellas sea roja: (a) con
reemplazo y (b) sin reemplazo.
Consideremos los sucesos:
A: Primera bola no-roja
B: Segunda bola no-roja
P(A) = 7/10
Si el muestreo es con reemplazo, la situación para la segunda elección es
idéntica que para la primera, y P(B) = 7/10.
Los sucesos son independientes y la respuesta es:
P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B) = 0.7 ⋅ 0.7 = 0.49
Si es sin reemplazo, hemos de tener en cuenta que una vez extraída la
primera bola, quedan solo 9 y 3 deben ser rojas.
Así: P(B|A) = 6/9 = 2/3. En este caso la respuesta es:
P(A ∩ B) = P(A) . P(B|A) = (7/10) ⋅ (2/3) ≈ 0.47
¿Cuál es la probabilidad de que una carta escogida al azar sea un as
sabiendo que es roja?
Color
Palo
Rojo
Negro
Total
2
2
4
No-As
24
24
48
Total
26
26
52
As
P( As | Rojo) =
A
2
3
4
5
6
7
8
9
10
J
Q
k
P( As ∩ Rojo) 2 / 52
2
=
=
P( Rojo)
26 / 52 26
13
Ejemplo: En una sala el 70% de los estudiantes son hombres. De ellos
el 10% son fumadores. El 20% de las mujeres son fumadoras.
¿Qué porcentaje de fumadores hay en total?
Mujeres
Hombres
Fumadores
- 70% son hombres
- de ellos el 10% son fumadores.
- 20% de las mujeres son fumadoras
0,7
0,1
Fuma
Hombre
0,9
No fuma
Estudiante
0,2
0,3
Fuma
Mujer
0,8
No fuma
P(F) = P(F∩H)
+
P(F∩M)
P(F|H) P(H) + P(F|M) P(M)
0,1 · 0,7 +
0,2 · 0,3
0,13
14
15