Algoritmo de la división para polinomios Teorema del residuo
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Algoritmo de la división para polinomios Si f(x) y p(x) son polinomios, y si p(x) ≠ 0, entonces existen los polinomios únicos q(x) y r(x) tales que f(x) = p(x)q(x) + r(x), donde r(x) = 0, o bien, r(x) es de un grado menor que el de p(x). El polinomio q(x) es el cociente y r(x) es el residuo de la división de f(x) entre p(x). Un caso especial de mucha utilidad del algoritmo de la división se presenta si f(x) se divide entre x − c, donde c es un número real. Si x − c es factor de f(x), entonces f(x) = (x − c)q(x) para algún cociente q(x); es decir, el residuo r(x) es 0. Si x − c no es factor de f(x), entonces el grado del residuo, r(x), es menor que el grado de x − c y, por lo tanto, r(x) debe tener grado 0. Esto quiere decir que el residuo es un número distinto de cero. En consecuencia, para toda .x − c, se tiene que f(x) = (x − c)q(x) + d, en la cual el residuo d es número real, posiblemente d = 0. Si en vez de x se utiliza c, se llega a f(c) = (c − c)q(c) + d = (0)(q)(c) + d = D Con ello queda demostrado el: Teorema del residuo Si se divide un polinomio, f(x), entre x − c, entonces el residuo es f(c).
