Algoritmo de la división para polinomios Teorema del residuo

Algoritmo de la división para polinomios
Si f(x) y p(x) son polinomios, y si p(x) ≠ 0, entonces existen los
polinomios únicos q(x) y r(x) tales que
f(x) = p(x)q(x) + r(x),
donde r(x) = 0, o bien, r(x) es de un grado menor que el de p(x). El
polinomio q(x) es el cociente y r(x) es el residuo de la división de
f(x) entre p(x).
Un caso especial de mucha utilidad del algoritmo de la división se
presenta si f(x) se divide entre x − c, donde c es un número real.
Si x − c es factor de f(x), entonces
f(x) = (x − c)q(x)
para algún cociente q(x); es decir, el residuo r(x) es 0. Si x − c no es
factor de f(x), entonces el grado del residuo, r(x), es menor que el
grado de x − c y, por lo tanto, r(x) debe tener grado 0. Esto quiere
decir que el residuo es un número distinto de cero. En
consecuencia, para toda .x − c, se tiene que
f(x) = (x − c)q(x) + d,
en la cual el residuo d es número real, posiblemente d = 0. Si en
vez de x se utiliza c, se llega a
f(c) = (c − c)q(c) + d
= (0)(q)(c) + d
= D
Con ello queda demostrado el:
Teorema del residuo
Si se divide un polinomio, f(x), entre x − c, entonces el residuo
es f(c).