interferencia intersimbolica

INTERFERENCIA INTERSIMBOLICA
Que hemos visto hasta ahora? Que veremos de ahora en adelante?
Hemos convertido una señal analógica en digital a través del proceso de muestreo,
cuantificación y codificación. Ahora nos disponemos a transmitirla por un canal que
usualmente tiene ancho de banda finito y por lo tanto producirá dispersión de los pulsos
transmitidos que interferirán con los pulsos vecinos (interferencia intersimbólica o ISI
por sus siglas en ingles); en el canal también se agrega ruido que generalmente puede
ser modelado como blanco, gausseano. Al final al receptor llegara una señal con ISI y
ruido. El problema que tenemos al frente es diseñar el mejor receptor que permita
rescatar la señal de la mejor forma; esto depende fuertemente de la forma del pulso
básico de transmisión p(t).
Por lo complicado del problema lo atacaremos de la siguiente forma: primero veremos
ISI solo, luego agregaremos el efecto del ruido blanco, gausseano aditivo y finalmente
mezclaremos los dos efectos.
Interferencia Intersimbólica(ISI)
Para transmitir una señal digital, no importa que código de línea usemos, se necesita un
canal de ancho de banda infinito. Sin embargo, sabemos que esto no es posible, el canal
práctico tiene ancho de banda finito, por lo tanto los pulsos se "chorrearan" y hará que
estos entorpezcan la decisión sobre los bits vecinos. Observe la siguiente gráfica de tres
bits seguidos que se han dispersado debido a que el canal no tiene ancho de banda
infinito. Podría ocurrir, por ejemplo que el tercer bit (combinación de los voltajes
presentes y pasados) al llegar al receptor sea visto como un cero. Que podemos hacer
para evitar esto???
Para entender mejor el concepto de ISI suponga que un pulso transmitido al pasar por
toda la cadena de Transmisor – Canal y Recepción produce un pulso a la puerta del
bloque de toma de decisiones como el siguiente:
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
0
2
4
6
8
10
12
Suponga que tbit=1 segundo. De la gráfica se aprecia que el retardo que produce la
cadena es de 5 segundos. También se observa que el pulso se dispersa hacia los lados
afectando 2 tbit a la izquierda y 2 tbit a la derecha. Cuando se transmitan varios pulsos
seguidos la situación podría ser como sigue:
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
2
4
6
8
10
12
Imagine que quiere decidir que voltaje se presenta en 6 segundos (pulso negativo). Se
aprecia que en t=6 seg. No solo se tiene el voltaje propio del pulso que corresponde a
ese slot de tiempo, sino que dos pulsos a la “derecha” con 0.4v y 0.2 v , y dos pulsos a
la izquierda (0.4 v y 0.2 v). el voltaje total en t=6 es igual a -1+0.4+0.2+0.2+0.4=0.2 v.
La decisión sobre el pulso dirá que es un “1” cuando ha debido ser un “0”. Es decir la
ISI produce error.
Esto es para esa secuencia particular de 1’s y 0’s. Veamos otra:
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
0
2
4
6
8
10
12
Debemos saber determinar lo que es la fdp de la ISI. Para eso
a) Del pulso aislado observamos cuantos pulsos hacia “adelante” y hacia “atrás”
afectará.
b) Definimos todas las combinaciones de ISI con sus respectivas probabilidades
c) Observamos los valores totales de ISI producto del efecto de todos los puntos
interferentes con su respectiva probabilidad. Dibujamos la fdp discreta (tren de
deltas) con áreas igual a las probabilidades.
d) Para el ejemplo que hemos venido estudiando podemos hacer la siguiente tabla
-2ts
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
-0.2
-0.2
-0.2
-ts
0.4
0.4
0.4
0.4
-0.4
-0.4
-0.4
-0.4
0.4
0.4
0.4
ts
0.4
0.4
-0.4
-0.4
0.4
0.4
-0.4
-0.4
0.4
0.4
-0.4
2ts
0.2
-0.2
0.2
-0.2
0.2
-0.2
0.2
-0.2
0.2
-0.2
0.2
Total
1.2
0.8
0.4
0
0.4
0
-0.4
-0.8
0.8
0.4
0
P
1/16
1/16
1/16
1/16
1/16
1/16
1/16
1/16
1/16
1/16
1/16
-0.2
-0.2
-0.2
-0.2
-0.2
0.4
-0.4
-0.4
-0.4
-0.4
-0.4
0.4
0.4
-0.4
-0.4
-0.2
0.2
-0.2
0.2
-0.2
-0.4
0
-0.4
-0.8
-1.2
1/16
1/16
1/16
1/16
1/16
Los valores finales de ISI con sus probabilidades son:
1.2 (1/16)
-1.2 (1/16)
0.8 (1/8)
-0.8 (1/8)
0.4 ( 3/16)
-0.4 (3/16)
0 (4/16)
Dibuje Ud. la fdp de la ISI resultante
Además es factible construir la ISI de la señal interferida. Simplemente debe
suponer que se transmitio “1” y al voltaje asignado a éste (para el ejemplo 1V) se le
suman todos los posibles valores de ISI. Se repite para el “0”. Los valores posibles
serían: 1+1.2, 1+-1.2, 1+0.8,1-0.8,1+0.4,1-0.4 y 1+0 además los correspondientes a
-1…..
Dibuje Ud. la fdp de la señal interferida.
Finalmente se puede determinar la probabilidad de error debida a la ISI parecido a
como se hizo con el ruido excepto que aquí solo hay que ubicar las combinaciones
que harían errar la decisión final.
En el ejemplo que vamos desarrollando solo hay dos posibilidades de error por ISI:
Se transmitió un “1” (llega 1 v al RX) y la ISI es -1.2 o se transmitió un “0” (llega 1 al RX) y la ISI es 1.2v.
En este caso entonces Pe=P(e/t1)0.5+P(e/t0)0.5=
(1/16)*0.5+(1/16)*0.50=1/16
CRITERIOS DE NYQUIST
La señal codificada, que llamamos y(t), la expresamos como la convolución de una serie
de impulsos aleatorios x(t) con un pulso determinístico p(t); por lo tanto para variar y(t)
podemos variar x(t) o p(t). Además ahora vemos que la forma del pulso p(t) puede ser
determinante para evitar la ISI. Nyquist desarrollo 3 procedimientos para seleccionar los
pulsos de manera de controlar la ISI.
Primer Criterio de Nyquist: La idea es buscar un pulso recibido que tenga las siguientes
características:
El pulso p(t) seria entonces
Pero esto es imposible de lograr. Algo posible se lograría, por ejemplo, flexibilizando el
requisito de ancho de banda; por ejemplo se puede permitir un P(f) que ocupe un ancho
de banda mayor que 0.5fb.
En el receptor lo que se hace es muestrear cada tb(seria como convolucionar p(t) con
una sumatoria infinita de impulsos); lo que se desea es que al muestrear cada pulso y
sus vecinos, solo quede el valor del pulso en el instante de muestreo de interés. Por
ejemplo suponga que estamos tomando el valor en t=0
Esto implica que al sumar todas las repeticiones de P(f) cada fb estas deben sumar una
constante
Esto recuerda VSB y efectivamente a este tipo de filtros se les llama filtros vestigiales.
Para analizar matemáticamente el efecto, conviene descomponer P(f) en dos
componentes como sigue
H1(f) tiene simetría alrededor de 0.5tb
Como se ve el Sinc se anula cada t=n tb excepto en t=0 que vale 1.
Veamos el análisis de h1(t) por separado
Observe que H1 (f) es simétrica y par, por lo tanto:
En la primera integral hacemos el siguiente cambio de variable: f=0.5fb-x
En la segunda integral f=0.5fb+x. Queda entonces
Observe que el término sinusoidal fuera de la integral se anula en cada ntb. Por lo tanto,
como
Y esto vale cero para todo t= ntb y toma el valor de 1/ tb para t=0 y esto sin duda evita la
interferencia inter simbólica.
Un ejemplo de un pulso realizable que presenta simetría vestigial es el siguiente:
fbP ( f ) = 1
para f ≤ 0.5 f b − β
fbP(f ) = 0 para f ≥ 0.5f b + β
⎡
π( f − 0.5f b + β)⎤
fbP(f ) = 0.5⎢1 − Cos
⎥
2β
⎣
⎦
para 0.5f b − β < f < 0.5f b + β
La forma de onda temporal quedaría:
p(t ) = Sinc( f b t )
Cos (2πβt )
1 − (4βt ) 2
Cuando β=0 queda la forma de onda Sinc
Una selección preferida es tomar β=0.5fb. En este caso el pulso en su zona de caída
tiene la siguiente expresión:
⎛ π ( f )⎞
⎡
π ( f )⎤
2
⎜
⎟
fbP( f ) = 0.5⎢1 − Cos
⎥ = Cos ⎜
fb ⎦
2f ⎟
⎣
⎝ b ⎠
para 0 < f < f b
Segundo Criterio de Nyquist:
Buscando eliminar la ISI y además disminuir el ancho de banda, se define el segundo
criterio de Nyquist. Este criterio se basa en definir los pulsos de manera que exista
interferencia controlada entre un bit y sus vecinos mas cercanos. Conociendo la ley de
interferencia uno puede detectar cada bit en el receptor. Lo que va a ocurrir es que la
señal va a ocupar menos ancho de banda pero consumira mas potencia.
Por ejemplo, si en vez de enviar la secuencia de bits originales que llamaremos ak, se
envia yk= ak+ ak-1
Esto se le denomina señalamiento duobinario ya que en el mismo ancho de banda se
puede transmitir el doble de bits que antes. Veamos su efecto:
Bit Original
0
1
0
1
0
0
1
1
ak
-1
1
-1
1
-1
-1
1
1
yk
0
0
0
0
-2
0
2
ak= yk- ak-1
1
-1
1
-1
-1
1
1
Generar la secuencia se logra muy fácilmente pasando la secuencia por un filtro
pasabajo que limitará el ancho de banda. Este filtro se construye de la siguiente manera:
La respuesta en frecuencia de este sistema es la siguiente:
Esto se anula en 0.5fb.
En definitiva la secuencia yk tendrá un menor ancho de banda que la original sufriendo
menos el efecto del ancho de banda. En el receptor se puede rescatar la secuencia
original usando la siguiente relación:
yk- ak-1= ak
Diseño de filtro Transmisor y Filtro Receptor Optimo Considerando Efecto del ruido e
ISI
Considere el sistema compuesto por Transmisor, Canal y receptor.
Supondremos a la entrada una secuencia aleatoria codificada en NRZ de duración tb
con DEP igual a
G in (f ) =
P (f )
2
donde P(f) es la Transformada de Fourier de los pulsos p(t) de entrada
tb
Al pasar por el filtro de transmisión se producirá una potencia transmitida igual a:
∞
ST = ∫
2
P (f ) H T (f )
−∞
tb
2
df
Por otra parte a la salida tendremos una sucesión de pulsos que llamaremos la señal y(t)
los cuales corresponden a una secuencia aleatoria asociada a un pulso de salida pR(t).
Estos se relacionan con los de entrada de la siguiente forma:
P(f ) H T (f ) H c (f ) H R (f ) = A K PR (f )
Por lo tanto:
∞
2
2
t b ST = ∫ P(f ) H T (f ) df =
A 2k
−∞
2
∞
PR (f )
−∞
H C (f ) H R ( f )
∫
2
2
df
Despejando el valor de la amplitud del pulso de salida para maximizar su relación con el
ruido:
t bST
A 2k =
2
∞
PR (f )
−∞
H C (f ) H R (f )
∫
2
∞
2
df
2
σ 2 = ∫ G n (f ) H R (f ) df
−∞
A 2k
2
σ
=
t bST
∞
∫
PR (f )
−∞
2
2
H C (f ) H R ( f )
∞
2
df ∫ G n (f ) H R (f ) df
2
−∞
Para maximizar esta relación hay que minimizar el denominador. Volveremos a utilizar
la desigualdad de Schwartz que establece que
En nuestro caso podemos definir apropiadamente a V(f) y a W(f)
V (f ) = H R (f ) G n (f )
W (f ) =
PR (f )
H C (f ) H R (f )
El mínimo se logra cuando V(f) es proporcional a W(f), es decir V(f)=kW(f)
H R ( f ) G n (f ) = K
2
H R (f ) = K
PR (f )
H C (f ) H R (f )
PR (f )
H C (f ) G n ( f )
usando la relación total entre pulsos de entrada y pulsos de salida
P(f ) H T (f ) H c (f ) H R (f ) = A K PR (f )
2
H T (f ) =
A 2k PR (f ) G n (f )
K H C (f ) P (f )
2
Se observa que: El receptor trata de atenuar aquellas zonas de frecuencia donde la DEP
del ruido es alta y trata de amplificar aquellas zonas que el canal atenúa. También
amplifica las zonas donde hay mas presencia del pulso en recepción. El transmisor trata
de mantener un equilibrio con éste.
Por ejemplo: Supongamos la siguiente situación: p(t) un Pulso ideal rectangular propio
de NRZ polar (Amplitud=A, duración tb), El canal solo atenúa una cantidad α, y el
ruido es blanco gausseano de media cero por lo tanto su DEP es igual a η/2el pulso de
recepción queremos que sea un pulso Nyquist coseno alzado
P(f ) = Af b Sinc(ft b )
⎛ π( f
PR (f ) = t b Cos 2 ⎜
⎜ f
⎝ b
H C (f ) = α
G n (f ) =
) ⎞⎟
⎟
⎠
η
2
⎛ πf
t b Cos 2 ⎜⎜
2
⎝ fb
H R (f ) = K
α η/ 2
HT ( f ) =
2
⎛ πf
Ak2 t b Cos 2 ⎜⎜
⎝ fb
⎞
⎟⎟
⎠
⎞
⎟⎟ η / 2
⎠
Kα Af b Sinc( ft b )
2
Estos serían los filtros que lograrían: eliminar la ISI y maximizar la relación señal a
ruido a la salida (antes del sistema que toma la decisión final).