Curvatura

Curvatura
En una recta, el vector unitario tangente T no cambia su dirección y por tanto T 0 = 0. Si la curva no es
una linea recta, la derivada T 0 mide la tendencia de la tangente a cambiar su diracción. El coeficiente de
variación o derivada de la tangente unitaria respecto a la longitud de arco se denomina vector curvatura
de la curva. Se designa por dT /ds donde s representa la longitud de arco.
La regla de la cadena y la fórmula s0 (t) = kf 0 (t)k permite relacionar el vector curvatura dT /ds con la
derivada T 0 respecto al tiempo mediante la ecuación:
dT
1
dT dt
1
=
= T 0 ds = T 0 0
ds
dt ds
kf (t)k
dt
y puesto que T 0 (t) = kT 0 (t)kN (t), obtenemos:
1
dT
= 0
kT 0 kN (t)
ds
kf (t)k
que dice que el vector curvatura tiene la misma dirección que la normal principal N (t). El factor de
escala que multiplica a N (t) es un número no negativo llamado curvatura de la curva en t, y se designa
por k(t).
Asi la curvatura de k(t) definida como la longitud del vector curvatura esta dado por la fórmula
siguiente:
dT 1
kT 0 (t)k
0
=
kT
(t)k
kN
(t)k
=
k(t) = ds kf 0 (t)k
kf 0 (t)k
Vamos ahora a desarrollar una fórmula que nos permita calcular la curvatura.
Si
T 0 (t)
ds
T = 0
⇒ T kf 0 (t)k = f 0 (t) ⇒ T
= f 0 (t)
kf (t)k
dt
Por lo tanto
d2 s ds
f 00 = T 2 + T 0
dt
dt
Haciendo el producto cruz
2
ds
d s ds 0
ds d2
s
ds ds 0
0
00
f ×f =T
× T 2 + T =
T ×T 2 +T
× T
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
1
Por lo tanto
kf 0 × f 00 k = kT
ds ds 0
× T k=
dt
dt
En cosecuencia
ds
dt
kT k
ds
dt
kT 0 k sen(T, T 0 ) =
ds
dt
2
kT 0 k
kf 0 × f 00 k
kf 0 × f 00 k
0
0
=
kT
k
⇒
kT
k
=
ds 2
kf 0 k2
dt
sustituimos en
kf 0 ×f 00 k
kT 0 (t)k
kf 0 × f 00 k
kf 0 k2
k(t) =
⇒
k(t)
=
⇒
k(t)
=
kf 0 (t)k
kf 0 (t)k
kf 0 (t)k3
Vector Binormal
Un tercer vector definido mediante B = T xN recibe el nombre de Vector binormal. Notese que
kB(s)k = kT (s) × N (s)k = kT (s)kkN (s)k sen(T, N ) = 1
Los tres vectores unitarios T, N y B forman un conjunto de vectores mutuamente ortogonales de orientación derecha llamado Triedo de Frenet.
En resumen:
B̂ = T̂ x N̂
N̂ = B̂ x T̂
T̂ = N̂ x B̂
y por tanto
−B̂ = N̂ x T̂
−N̂ = T̂ x B̂
−T̂ = B̂ x N̂
Dado que B(s) = T (s) x N (s) se tiene que B 0 (s) = T 0 (s) x N (s) + T (s) x N 0 (s)
|
{z
}
∗
* Este sumando es igual a cero ya que T 0 (s) = f 00 (s) es un vector en la dirección de N (s) y por tanto
son colineales por lo que su producto cruz es cero, por lo tanto B 0 (s) = T (s) x N 0 (s).
Ahora como B 0 (s) es un vector ortogonal a T (s) podemos concluir que B 0 (s) es un vector en el
plano osculador.
Torsión
Definición: Sea f : I ⊆ R → R3 una curva 3 veces diferenciable parametrizada por longitud de
arco tal que f 0 6= 0 ∀s ∈ I. El número real τ (s) tal que B 0 (s) = τ (s)N (s) donde B(s) y N (s)
son los vectores binormal y normal principal de f se llama torsión
2
En la figura anterior vemos que la torsión representa una variación en la dirección del vector
binormal, procederemos ahora a desarrollar una fórmula para calcularla
Ya hemos visto que
g 0 (s) =
f 0 (t)
kf 0 (t)k
Por lo tanto
g 00 (s) =
d
f 0 (t)
kf 0 (t)k
dt
d
f 0 (t)
kf 0 (t)k
ds
d
=
f 0 (t)
kf 0 (t)k
dt
=
ds
dt
d
f 0 (t)
kf 0 (t)k
1
ds
dt
dt
d
=
f 0 (t)
kf 0 (t)k
dt
ϕ0 (s) =




d(kf 0 (t)k)
f 0 ·f 00
kf 0 (t)kf 00 − f 0 (t) kf
0 (t)k
kf 0 (t)kf 00 − f 0 (t)
1
1
1
dt


=
= 
kf 0 (t)k
kf 0 (t)k2
kf 0 (t)k |{z}
kf 0 (t)k2
kf 0 (t)k
Donde *
∗
d
d (kf 0 (t)k)
=
dt
p
f 0 (t) · f 0 (t)
f 0 (t) · f 00 (t)
=
dt
kf 0 (t)k
Por tanto


0
f 0 ·f 00
kf 0 (t)kf 00 − f 0 (t) kf
0 (t)k
1
kf (t)k2 f 00 − (f 0 · f 00 ) f 0
1
1


=
= 0 4 kf 0 (t)k2 f 00 − (f 0 · f 00 ) f 0
0
2
0
0
0
3
kf (t)k
kf (t)k
kf (t)k
kf (t)k
kf k
Por lo tanto
g 00 (s) =
1
kf 0 (t)k2 f 00 (t) − (f 0 (t) · f 00 (t)) f 0 (t)
0
4
kf k
Ahora bien
N (s) =
3
g 00 (s)
kg 00 (s)k
(1)
por lo tanto
kg 00 (s)kg 000 (s) − g 00 (s)
0
N (s) =
g 00 (s)·g 000 (s)
kg 00 (s)k
kg 00 (s)k2
g 000 (s)
= 00
− g 00 (s)
kg (s)k
g 00 (s) · g 000 (s)
kg 00 (s)k3
Luego entonces si
B 0 (s) = T (s) × N 0 (s)
se tiene que
g 000 (s)
B (s) = g (s)× 00
−g 00 (s)
kg (s)k
0
0
g 00 (s) · g 000 (s)
kg 00 (s)k3
00
1
g (s) · g 000 (s)
0
000
= 00
g 0 (s)×g 00 (s)
g (s)×g (s)−
kg (s)k
kg 00 (s)k3
La torsión esta dada por
B 0 (s) = τ (s)N (s) ⇒ B 0 (s)·N (s) = τ (s)N (s)·N (s) ⇒ B 0 (s)·N (s) = τ (s)kN (s)k2 ⇒ B 0 (s)·N (s) = |τ (s)|
Vamos a calcular B 0 (s) · N (s) tenemos que
00
g (s) · g 000 (s)
1
g 00 (s)
0
000
0
00
g
(s)
×
g
(s)
−
=
g
(s)
×
g
(s)
·
kg 00 (s)k
kg 00 (s)k3
kg 00 (s)k
00
(
(((
(
g (s) · g 000 (s)
1
1
(
0
000
00
0
00
00
(
(
g (s) × g (s) · g (s) −
g (s) × g (s) · g (s) = 00
g 0 (s) × g 000 (s) · g 00 (s)
((
(
00
2
00
4
2
(
(
kg (s)k
kg
(s)k
kg
(s)k
(
(
(
La cancelación es porque
g 0 (s) × g 00 (s) · g 00 (s) = 0
y como
k(s) = kg 00 k
se tiene entonces que
τ (s) =
g 0 (s) × g 000 (s) · g 00 (s)
k(s)2
Ahora vamos a expresar la torsión en términos de t, se tiene que
f 0 (t)
1
0
00
0
2 00
0
00
0
g (s) × g (s) = 0
×
kf (t)k f (t) − (f (t) · f (t)) f (t) =
kf (t)k
kf 0 k4
0
1
f (t) · f 00 (t)
1
0
00
0
0
f
(t)
×
f
(t)
−
f
(t)
×
f
(t)
=
f 0 (t) × f 00 (t)
kf 0 (t)k3
kf 0 (t)k
kf 0 (t)k3
Mientras que
dg 00 (s)
g (s) =
=
ds
000
1
d
0
kf (t)k dt
dg 00 (s)
dt
dt
=
ds
dg 00 (s)
dt
1
ds
dt
=
dg 00 (s)
dt
1
kf 0 (t)k2 f 00 (t) − (f 0 (t) · f 00 (t)) f 0 (t)
0
4
kf k
4
1
kf 0 (t)k
=
=
1
0
kf (t)k
"
0
#
0
0
1
f (t) · f 00
1
f (t) · f 00
000
00
0
00
f (t) +
f (t) − f (t)
f (t) −
kf 0 (t)k2
kf 0 (t)k
kf 0 (t)k4
kf 0 (t)k4
Por lo tanto hacemos
1
kf 0 (t)k3
0
00
f (t)×f (t)·
=
1
kf 0 (t)k3
g 0 (s) × g 00 (s) · g 000 (s) =
0
0
0
00
00
1
f (t) · f
f
(t)
· f
1
1 00
000
00
0
f (t) + f (t) −
f (t) − f (t)
0 (t)k4
kf 0 (t)k
kf 0 (t)k
kf 0 (t)k2
kf
kf 0 (t)k4
f 0 (t) × f 00 (t) ·
1
kf 0 (t)k3
f 000 (t) =
1
kf 0 (t)k6
f 0 (t) × f 00 (t) · f 000
de la igualdad
g 0 (s) × g 00 (s) · g 000 (s)
1
f 0 (t) × f 00 (t) · f 000
g 0 (s) × g 000 (s) · g 00 (s)
=
−
=
−
0 00 2
k(s)2
k(s)2
kf 0 (t)k6
kf ×f k
kf 0 (t)k3
Tenemos que la torsión esta dada por
τ (t) = −
f 0 (t) × f 00 (t) · f 000
2
(kf 0 (t) × f 00 (t)k)
5