Otra definición de la integral de Riemann (Esto forma parte

Otra
definición
Introducción
Más sobre
particiones
Otra definición de la integral de Riemann (Esto
forma parte del Tema 1)
Más sobre
sumas
inferiores y
superiores
Otra
definición de
integral
Recopilación
de las tres
definiciones
Departmento de Análise Matemática
Facultade de Matemáticas
Universidade de Santiago de Compostela
Criterios de
integrabilidad
Santiago, 2011
Esquema
Otra
definición
Introducción
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particiones
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inferiores y
superiores
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definición de
integral
Recopilación
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Criterios de
integrabilidad
Objetivo del tema:
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integral
Recopilación
de las tres
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Criterios de
integrabilidad
Objetivo del tema:
1) Presentar una tercera (y última) definición de la integral de
Riemann.
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superiores
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integral
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Criterios de
integrabilidad
Objetivo del tema:
1) Presentar una tercera (y última) definición de la integral de
Riemann.
Necesitaremos estudiar un poco más sobre particiones y sumas
inferiores y superiores.
Más sobre particiones
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Otra
definición de
integral
Recopilación
de las tres
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Criterios de
integrabilidad
Definición. Sean P y Q dos particiones del mismo intervalo
compacto [a, b].
Diremos que Q es más fina que P cuando P ⊂ Q.
Más sobre particiones
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superiores
Otra
definición de
integral
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de las tres
definiciones
Criterios de
integrabilidad
Definición. Sean P y Q dos particiones del mismo intervalo
compacto [a, b].
Diremos que Q es más fina que P cuando P ⊂ Q.
Ejemplo. P = {0, 1/2, 1} y Q = {0, 1/2, 2/3, 1} son
particiones de [0, 1] y
Q es más fina que P.
Más sobre particiones
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Más sobre
particiones
Más sobre
sumas
inferiores y
superiores
Otra
definición de
integral
Definición. Sean P y Q dos particiones del mismo intervalo
compacto [a, b].
Diremos que Q es más fina que P cuando P ⊂ Q.
Ejemplo. P = {0, 1/2, 1} y Q = {0, 1/2, 2/3, 1} son
particiones de [0, 1] y
Q es más fina que P.
Recopilación
de las tres
definiciones
Criterios de
integrabilidad
Proposición. Para cualquier par de particiones P y Q de un
intervalo [a, b] existe una partición R que es, a la vez, más fina
que P y que Q.
Más sobre sumas inferiores y superiores
¿Qué sucede con las sumas inferiores si se afinan las particiones?
Otra
definición
Introducción
Más sobre
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inferiores y
superiores
Otra
definición de
integral
Recopilación
de las tres
definiciones
Criterios de
integrabilidad
Problema. Sean f : [a, b] −→ R una función acotada y
P = {x0 , x1 , . . . , xn } una partición de [a, b].
Dado un punto x∗ ∈ (a, b) que no pertenece a P consideremos
la partición de [a, b] definida como
Q = P ∪ {x∗ }.
¿Qué relación hay entre L(f ; P) y L(f ; Q)? (Notemos que Q es
más fina que P.)
Más sobre sumas inferiores y superiores
¿Qué sucede con las sumas inferiores si se afinan las particiones?
Otra
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Introducción
Más sobre
particiones
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sumas
inferiores y
superiores
Otra
definición de
integral
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de las tres
definiciones
Criterios de
integrabilidad
Problema. Sean f : [a, b] −→ R una función acotada y
P = {x0 , x1 , . . . , xn } una partición de [a, b].
Dado un punto x∗ ∈ (a, b) que no pertenece a P consideremos
la partición de [a, b] definida como
Q = P ∪ {x∗ }.
¿Qué relación hay entre L(f ; P) y L(f ; Q)? (Notemos que Q es
más fina que P.)
Recordemos que
L(f ; P) =
n
X
mk (xk − xk−1 ),
k=1
donde mk = inf{f (x) : x ∈ [xk−1 , xk ]}, k = 1, . . . , n.
Más sobre sumas inferiores y superiores
¿Qué sucede con las sumas inferiores si se afinan las particiones?
Otra
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superiores
Otra
definición de
integral
Recopilación
de las tres
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Criterios de
integrabilidad
Problema. Sean f : [a, b] −→ R una función acotada y
P = {x0 , x1 , . . . , xn } una partición de [a, b].
Dado un punto x∗ ∈ (a, b) que no pertenece a P consideremos
la partición de [a, b] definida como
Q = P ∪ {x∗ }.
¿Qué relación hay entre L(f ; P) y L(f ; Q)? (Notemos que Q es
más fina que P.)
Recordemos que
L(f ; P) =
n
X
mk (xk − xk−1 ),
k=1
donde mk = inf{f (x) : x ∈ [xk−1 , xk ]}, k = 1, . . . , n.
Cada subintervalo [xk−1 , xk ] nos da un sumando para L(f ; P).
Más sobre sumas inferiores y superiores
¿Qué sucede con las sumas inferiores si se afinan las particiones?
Otra
definición
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superiores
Otra
definición de
integral
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Criterios de
integrabilidad
Problema. Sean f : [a, b] −→ R una función acotada y
P = {x0 , x1 , . . . , xn } una partición de [a, b].
Dado un punto x∗ ∈ (a, b) que no pertenece a P consideremos
la partición de [a, b] definida como
Q = P ∪ {x∗ }.
¿Qué relación hay entre L(f ; P) y L(f ; Q)? (Notemos que Q es
más fina que P.)
Recordemos que
L(f ; P) =
n
X
mk (xk − xk−1 ),
k=1
donde mk = inf{f (x) : x ∈ [xk−1 , xk ]}, k = 1, . . . , n.
Cada subintervalo [xk−1 , xk ] nos da un sumando para L(f ; P).
¿Qué nos da cada intervalo [xk−1 , xk ] para la suma L(f ; Q)?
Más sobre sumas inferiores y superiores
¿Qué sucede con las sumas inferiores si se afinan las particiones?
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Otra
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integral
Recopilación
de las tres
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Criterios de
integrabilidad
Denotemos por P(I ) el conjunto de todas las particiones del
intervalo I = [a, b].
Más sobre sumas inferiores y superiores
¿Qué sucede con las sumas inferiores si se afinan las particiones?
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Otra
definición de
integral
Recopilación
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Criterios de
integrabilidad
Denotemos por P(I ) el conjunto de todas las particiones del
intervalo I = [a, b].
Proposición. Sean I = [a, b] y f : I → R acotada.
(i) Para cualquier P ∈ P(I ) y cualquier suma de Riemann
S(f ; P) se tiene
L(f ; P) ≤ S(f ; P) ≤ U(f ; P).
(ii) Si P, Q ∈ P(I ) son tales que P ⊂ Q entonces
L(f ; P) ≤ L(f ; Q) y
U(f ; P) ≥ U(f ; Q).
(iii) Para cualquier par P, Q ∈ P(I ) se tiene
L(f ; P) ≤ U(f ; Q).
Más sobre sumas inferiores y superiores
¿Qué sucede con las sumas inferiores si se afinan las particiones?
Otra
definición
Introducción
Más sobre
particiones
Visualización: Las flechas indican hacia dónde se “mueven”
las sumas inferiores y las sumas superiores sobre la recta real a
medida que se afinan las particiones.
Más sobre
sumas
inferiores y
superiores
Otra
definición de
integral
Recopilación
de las tres
definiciones
Criterios de
integrabilidad
z
Sumas inferiores
}|
{
→
Sumas superiores
}|
z
←−
{
Más sobre sumas inferiores y superiores
¿Qué sucede con las sumas inferiores si se afinan las particiones?
Otra
definición
Introducción
Más sobre
particiones
Visualización: Las flechas indican hacia dónde se “mueven”
las sumas inferiores y las sumas superiores sobre la recta real a
medida que se afinan las particiones.
Más sobre
sumas
inferiores y
superiores
Otra
definición de
integral
Recopilación
de las tres
definiciones
Criterios de
integrabilidad
z
Sumas inferiores
}|
{
Sumas superiores
}|
z
→
{
←−
Ejercicio. Si m = inf{f (x) : x ∈ I } y M = sup{f (x) : x ∈ I }
entonces
m(b − a) ≤ L(f ; P) ≤ U(f ; Q) ≤ M(b − a)
para cualquier par P, Q ∈ P(I ).
Integrales inferiores y superiores
¡Existen para cualquier función acotada en un intervalo compacto!
Otra
definición
Introducción
Más sobre
particiones
Más sobre
sumas
inferiores y
superiores
Otra
definición de
integral
Recopilación
de las tres
definiciones
Criterios de
integrabilidad
Definición. Sean I = [a, b] y f : I → R acotada.
La integral inferior de f en I es el número
Z b
f = sup{L(f ; P) : P ∈ P(I )},
a
y se define la integral superior de f en I como
Z b
f = inf{U(f ; P) : P ∈ P(I )}.
a
Integrales inferiores y superiores
¡Existen para cualquier función acotada en un intervalo compacto!
Otra
definición
Introducción
Más sobre
particiones
Más sobre
sumas
inferiores y
superiores
Otra
definición de
integral
Recopilación
de las tres
definiciones
Criterios de
integrabilidad
Definición. Sean I = [a, b] y f : I → R acotada.
La integral inferior de f en I es el número
Z b
f = sup{L(f ; P) : P ∈ P(I )},
a
y se define la integral superior de f en I como
Z b
f = inf{U(f ; P) : P ∈ P(I )}.
a
Ejercicio. Si m = inf{f (x) : x ∈ I } y M = sup{f (x) : x ∈ I }
entonces
Z b
Z b
m(b − a) ≤
f ≤ M(b − a).
f ≤
a
a
Definición de integral de Riemann
Tercera (y última) definición de integral de Riemann
Otra
definición
Introducción
Más sobre
particiones
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sumas
inferiores y
superiores
Otra
definición de
integral
Recopilación
de las tres
definiciones
Criterios de
integrabilidad
Definición. Sean I = [a, b] y f : I → R acotada. Diremos que
f es integrable en I en el sentido de Riemann (o f es
Riemann–integrable en I ) cuando
Z b
Z b
f =
f,
a
a
y, en tal caso, dicho valor es la integral de f en I , que
denotaremos por
Z b
Z b
f o por
f (x) dx.
a
a
Notación. Cuando tenga sentido, también se definen
Z a
Z b
Z a
f y
f = 0.
f =−
b
a
a
Definiciones de integral de Riemann
Otra
definición
Introducción
Más sobre
particiones
Más sobre
sumas
inferiores y
superiores
Otra
definición de
integral
Recopilación
de las tres
definiciones
Criterios de
integrabilidad
En resumen, para f : I = [a, b] −→ R acotada diremos que f es
integrable en I y que su integral en I vale A ∈ R si se cumple
alguna de las tres siguientes condiciones:
1
El número A es el único que satisface la condición de que
L(f ; P) ≤ A ≤ U(f ; P)
para cualquier P ∈ P(I ).
Definiciones de integral de Riemann
Otra
definición
Introducción
Más sobre
particiones
En resumen, para f : I = [a, b] −→ R acotada diremos que f es
integrable en I y que su integral en I vale A ∈ R si se cumple
alguna de las tres siguientes condiciones:
1
Más sobre
sumas
inferiores y
superiores
Otra
definición de
integral
Recopilación
de las tres
definiciones
Criterios de
integrabilidad
El número A es el único que satisface la condición de que
L(f ; P) ≤ A ≤ U(f ; P)
2
para cualquier P ∈ P(I ).
Para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que si P ∈ P(I ) cumple
kPk < δ entonces |S(f ; P) − A| < ε para cualquier
elección de puntos intermedios.
Definiciones de integral de Riemann
Otra
definición
Introducción
Más sobre
particiones
En resumen, para f : I = [a, b] −→ R acotada diremos que f es
integrable en I y que su integral en I vale A ∈ R si se cumple
alguna de las tres siguientes condiciones:
1
Más sobre
sumas
inferiores y
superiores
Otra
definición de
integral
L(f ; P) ≤ A ≤ U(f ; P)
2
Recopilación
de las tres
definiciones
Criterios de
integrabilidad
El número A es el único que satisface la condición de que
para cualquier P ∈ P(I ).
Para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que si P ∈ P(I ) cumple
kPk < δ entonces |S(f ; P) − A| < ε para cualquier
elección de puntos intermedios.
3
Z
b
Z
f =
a
b
f = A.
a
Criterio de integrabilidad de Riemann
Otra
definición
Introducción
Más sobre
particiones
Más sobre
sumas
inferiores y
superiores
Otra
definición de
integral
Recopilación
de las tres
definiciones
Criterios de
integrabilidad
Recordemos que una función acotada f : I = [a, b] −→ R es
Rb
Rb
integrable en I si a f = a f ,
Criterio de integrabilidad de Riemann
Otra
definición
Recordemos que una función acotada f : I = [a, b] −→ R es
Rb
Rb
integrable en I si a f = a f , es decir, si
Introducción
Más sobre
particiones
Más sobre
sumas
inferiores y
superiores
Otra
definición de
integral
Recopilación
de las tres
definiciones
Criterios de
integrabilidad
sup{L(f ; P) : P ∈ P(I )} = inf{U(f ; P) : P ∈ P(I )}.
Criterio de integrabilidad de Riemann
Otra
definición
Recordemos que una función acotada f : I = [a, b] −→ R es
Rb
Rb
integrable en I si a f = a f , es decir, si
Introducción
Más sobre
particiones
Más sobre
sumas
inferiores y
superiores
Otra
definición de
integral
Recopilación
de las tres
definiciones
Criterios de
integrabilidad
sup{L(f ; P) : P ∈ P(I )} = inf{U(f ; P) : P ∈ P(I )}.
Gráficamente, si f es integrable tenemos
z
Sumas inferiores
}|
{|z
Sumas superiores
}|
{
R
Criterio de integrabilidad de Riemann
Otra
definición
Recordemos que una función acotada f : I = [a, b] −→ R es
Rb
Rb
integrable en I si a f = a f , es decir, si
Introducción
Más sobre
particiones
Más sobre
sumas
inferiores y
superiores
sup{L(f ; P) : P ∈ P(I )} = inf{U(f ; P) : P ∈ P(I )}.
Gráficamente, si f es integrable tenemos
Otra
definición de
integral
Recopilación
de las tres
definiciones
z
Sumas inferiores
}|
{|z
Sumas superiores
}|
{
R
... y si f no es integrable entonces
Criterios de
integrabilidad
z
d
Sumas inferiores
}|
{| \ |z
con d =
Rb
a
f −
Rb
a
f > 0.
Sumas superiores
}|
{
R
Criterio de integrabilidad de Riemann
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superiores
Otra
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integral
Recopilación
de las tres
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Criterios de
integrabilidad
Por lo tanto, para que una función acotada f : I = [a, b] −→ R
sea integrable en I es necesario y suficiente que
existan sumas superiores e inferiores tan cerca una de otra
como queramos,
Criterio de integrabilidad de Riemann
Otra
definición
Introducción
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particiones
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inferiores y
superiores
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definición de
integral
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de las tres
definiciones
Criterios de
integrabilidad
Por lo tanto, para que una función acotada f : I = [a, b] −→ R
sea integrable en I es necesario y suficiente que
existan sumas superiores e inferiores tan cerca una de otra
como queramos, es decir, que

 para cada ε > 0 existan P, Q ∈ P(I ) tales que
(∗)

U(f ; Q) − L(f ; P) < ε.
Criterio de integrabilidad de Riemann
Otra
definición
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Más sobre
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Más sobre
sumas
inferiores y
superiores
Otra
definición de
integral
Recopilación
de las tres
definiciones
Criterios de
integrabilidad
Por lo tanto, para que una función acotada f : I = [a, b] −→ R
sea integrable en I es necesario y suficiente que
existan sumas superiores e inferiores tan cerca una de otra
como queramos, es decir, que

 para cada ε > 0 existan P, Q ∈ P(I ) tales que
(∗)

U(f ; Q) − L(f ; P) < ε.
Teorema (Criterio de integrabilidad de Riemann). Para
una función acotada f : I = [a, b] −→ R las dos siguientes
condiciones son equivalentes:
1 La función f es integrable en I ;
2 Para cada ε > 0 existe alguna partición P ∈ P(I ) tal que
ε
U(f ; Pε ) − L(f ; Pε ) < ε.
Dos criterios importantes de integrabilidad
Se demuestran usando el criterio de Riemann
Otra
definición
Introducción
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particiones
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sumas
inferiores y
superiores
Otra
definición de
integral
Recopilación
de las tres
definiciones
Criterios de
integrabilidad
Teorema (Integrabilidad de las monótonas).
Si f : I = [a, b] −→ R es monótona en I entonces f es
integrable en I .
Dos criterios importantes de integrabilidad
Se demuestran usando el criterio de Riemann
Otra
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particiones
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sumas
inferiores y
superiores
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definición de
integral
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Criterios de
integrabilidad
Teorema (Integrabilidad de las monótonas).
Si f : I = [a, b] −→ R es monótona en I entonces f es
integrable en I .
Teorema (Integrabilidad de las continuas).
Si f : I = [a, b] −→ R es continua en I entonces f es integrable
en I .