Sumas y sus propiedades básicas

Sumas y sus propiedades básicas
Objetivos. Conocer la notación breve que se usa para las sumas.
1. Notación. El sı́mbolo
n
X
ai se usa para denotar la suma a1 +a2 +. . .+an . Por ejemplo,
i=1
4
X
ai = a1 + a2 + a3 + a4 .
i=1
2. Ejemplo.
7
X
bi = b1 + b 2 + b3 + b4 + b5 + b6 + b7 .
i=1
3. Definición formal inductiva (solamente para conocerla, no vamos a trabajar
n
X
con esta definición). Formalmente, el sı́mbolo
ai se puede definir por inducción:
i=1
0
X
n+1
X
ai = 0,
i=1
ai =
i=1
n
X
ai + an+1 .
i=1
Esta definición inductiva se usa para demostrar formalmente (por inducción) las propiedades de sumas escritas en continuación. En los cursos de Álgebra II y Álgebra III no
tenemos tiempo para demostrar formalmente las propiedades de sumas.
4. La variable de
la sumatoria es una variable “muda”.
n
X
En la notación
ai la variable i se llama variable de la sumatoria o ı́ndice de la sumai=1
toria. Esta variable es muda, esto es, el valor de la suma
n
X
ai no depende de i.
i=1
La variable i se puede cambiar por otra variable:
n
X
ai =
i=1
n
X
ak .
k=1
5. Partición de una suma. Si m ∈ {1, . . . , n}, entonces
n
X
i=1
ai =
m
X
i=1
ai +
n
X
ai .
i=m+1
Sumas y sus propiedades básicas, página 1 de 2
6. Propiedad aditiva de la suma.
n
n
n
X
X
X
(ai + bi ) =
ai +
bi .
i=1
i=1
i=1
7. Propiedad homogénea de la suma.
n
X
(λai ) = λ
i=1
n
X
ai .
i=1
8. Intercambio de las sumas finitas.
m X
n
X
i=1 j=1
ai,j =
n X
m
X
ai,j .
j=1 i=1
Sumas y sus propiedades básicas, página 2 de 2