Matematicas Primer Año 4 - biblioteca virtual de matematicas unicaes

MATEMÁTICA
Unidad 4
Resolvamos desigualdades
Interpretemos la
variabilidad de la
información
Objetivos de la Unidad:
Propondrás soluciones a problemas relacionados con
desigualdades lineales y cuadráticas; y representarás los intervalos
en la recta real.
Aplicarás medidas de dispersión – desviaciones medias, varianzas
y desviaciones típicas- a conjuntos de datos extraídos de la vida
cotidiana, para interpretar críticamente la información.
55
Medidas de dispersión
Desigualdades
conocimiento - apoyo
Intervalos
uso
distinción
mediante
Amplitud
Cuadráticas
Lineales
Desviación
media
Clasificación
Gráficos
Operaciones
a través de
mediante
Fórmulas
Cálculos
Aplicaciones
Utilidad
Propiedades
Solución
Gráficas
Descripción del proyecto
Analizar a través de la amplitud, la desviación media y la varianza; la variabilidad en
dos o más conjuntos de observaciones. Por ejemplo, en un grupo de estudiantes de
primero de bachillerato, ¿En cuál variable se esperaría mayor variabilidad: en el peso
de los estudiantes o en su edad? ¿En cuál materia hay mayor dispersión de las notas: en
Matemática o en Sociales?
56 Matemática - Primer Año
Varianza
Cuarta Unidad
Lección 1
Conozcamos los intervalos de números reales
Motivación
L
a presión sanguínea está dada por dos números
en unidades de presión (mm de Hg). Uno de ellos
corresponde a la presión más alta cuando el corazón
está bombeando sangre (presión sistólica Ps) y el
otro, a la presión más baja cuando el corazón está
relajado(presión diastólica Pd).
¿Sabes como se mide la presión sanguínea?
¿Según los datos brindados al medir la presión, sabes
cuándo estás en riesgo?
Si Ps es menor que 120 y Pd es menor que 80, ¡estás excelente¡ ¡normal¡
Si Ps se encuentra entre 120 – 140, y Pd entre
80 – 90, ¡cuidado¡ puedes estar padeciendo hipertensión arterial.
Indicadores de logro
Clasificarás y graficarás con seguridad los intervalos de
números reales: cerrados, abiertos, semiabiertos; de longitud
finita o infinita.
Aplicarás la unión, intersección y diferencia de intervalos, con
interés, en la solución de ejercicios y problemas.
Resolverás con interés problemas utilizando la unión, la
intersección y resta de los intervalos.
Los intervalos en la vida diaria
La vida diaria nos muestra ejemplos a cada momento sobre variables cuya
interpretación se comprende mejor en forma de intervalo. Por ejemplo, el INSAFORP
(Instituto Salvadoreño de Formación Profesional) ofrece algunos de sus cursos de
formación, a jóvenes cuyas edades se encuentren en el intervalo de edad comprendido
entre los 18 y los 25 años. La edad 18 es el límite inferior del intervalo y 25 años es el
límite superior.
En realidad, tu ya has trabajado con intervalos. Si recuerdas cómo hacías en la
estadística descriptiva para analizar una variable cuantitativa continua, advertirás
que las clases en el cuadro de distribución de clases y frecuencias son precisamente
intervalos de números reales.
Primer Año - Matemática 57
UNIDAD 4
El cuadro corresponde a la estatura en metros de un
grupo de estudiantes.
1.70 mts, que tiene 13
La clase 1.60 mts
estudiantes, es en realidad un intervalo de números
reales. El límite inferior es 1.60 y la estatura 1.70 es su
límite superior.
Talla ( m )
1.40 - < 1.50
1.50 - < 1.60
1.60 - < 1.70
1.70 - < 1.80
1.80 - < 1.90
1.90 - < 2.00
Frecuencia
2
2
13
28
10
4
1.4 - < 1.5
Se lee así: de 1.4 a
menos de 1.5
¿Crees que puedes señalar otros ejemplos? Considera la
siguiente actividad.
1
Actividad
Escribe un valor límite inferior y un valor límite superior, que consideres muy razonables, en cada
una de las siguientes situaciones:
a)
Temperatura en grados centígrados en la playa, durante la semana santa:
b) Precipitación en mm durante un mes de julio en tu ciudad natal:
c) Velocidad en km/h, a que deben correr los vehículos dentro de la ciudad:
d) Peso en libras de un niño salvadoreño recién nacido:
Tipos de intervalos de números reales
Los intervalos son conjuntos de números reales que cumplen una cierta condición. La
condición viene impuesta por los límites del intervalo. Si en la ciudad, la velocidad a
que deben transitar los vehículos es de 30 km/h como límite inferior y 60 km/h como
límite superior, decimos que el intervalo de velocidad para no tener problemas con la
policía de tránsito es entre 30 y 60 km/h.
En matemática utilizamos un lenguaje más preciso para denotar los intervalos:
Sea x: velocidad en km/h a que deben andar los vehículos dentro de la ciudad.
58 Matemática - Primer Año
UNIDAD 4
Entonces, 30 ≤ x ≤ 60 es el intervalo de velocidad aceptado.
Emplearás las relaciones de orden de los números reales para denotar los intervalos.
Simbolos
<
≤
>
≥
Significado
Menor que
Uso
x < 5: x es menor que 5, todos los menores
que 5 sin incluir a 5
Menor o igual que
x ≤ 8: x es menor o igual que 8, todos los menores
que 8 incluyendo a 8
Mayor que
x > 3: x es mayor que 3, todos los mayores
que 3 sin incluir a 3
Mayor o igual que x ≥ – 2: x es mayor o igual que – 2, todos los mayores
que – 2 incluyendo a – 2
Notación y clasificación
La notación usual emplea los corchetes [ ] para simbolizar los conjuntos de números
reales, es decir los intervalos. Al interior de los corchetes se colocan los límites del
intervalo, el primero es el límite inferior y el segundo es el límite superior. El corchete [ es
de apertura y el corchete ] es de cierre.
Hay cuatro combinaciones que se pueden hacer con ellos y eso determina la pertenencia
o no de los límites dentro del intervalo:
[ m, n ]: Los dos límites pertenecen al intervalo. (Intervalo cerrado – cerrado)
[ m, n [: El límite superior n, no pertenece al intervalo. (Intervalo cerrado – abierto)
] m, n ]: El límite inferior m, no pertenece al intervalo. (Intervalo abierto – cerrado)
] m, n [: Ninguno de los límites pertenece al intervalo. (Intervalo abierto – abierto)
El siguiente resumen clasificatorio te servirá de guía para aclarar las cosas. Considera
que x representa cualquier número real dentro de los intervalos ( x ∈ R ).
Conjunto
{ x ∈ R/2 ≤ x ≤ 7 }
Intervalo
[ 2, 7 ]
Clasificación – Comentario
Intervalo cerrado. Incluye los límites
{ x ∈ R/2 < x ≤ 7 }
] 2, 7 ]
{ x ∈ R/2 ≤ x < 7 }
[ 2, 7 [
{ x ∈ R/2 < x < 7 }
] 2, 7 [
Intervalo semi-abierto. Abierto por la izquierda
No incluye el 2
Intervalo semi-abierto. Abierto por la derecha.
No incluye el 7
Intervalo abierto. No incluye los límites
Primer Año - Matemática 59
UNIDAD 4
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Escribe en notación de intervalo los siguientes conjuntos
numéricos.
Para determinar la longitud de cualquier intervalo
cuyos límites son números reales solo tienes que restar
el límite inferior del límite superior y tomar el valor
positivo de la diferencia.
a){ x
∈ R/–1 < x ≤ 4 }
b)
{ x ∈ R/0 < x < 5 }
c)
{ x ∈ R/–8 ≤ x ≤ –1 }
Solución:
a) ] –1, 4 ] tiene longitud L = 4 – ( –1 ) = 4 + 1 = 5
b) ] 0 , 5 [ tiene longitud L = 5 – 0 = 5
c) ] –1, -4 ] tiene longitud L = -4 – ( –1 ) = –4 + 1 = –3; Solución:
La solución es muy simple:
a)] –1, 4 ]
b)
] 0, 5 [
c)
L=3
[ –8, –1 ]
Nota que el menor número real es el límite inferior.
Por ejemplo en el literal c) ya sabemos que –8 < –1;
por lo tanto sería erróneo escribir [ –1, – 8 ] ya que se
contradice el orden de los números reales.
Intervalos de longitud finita e infinita
Un intervalo de edad en años tal como el de los cursos
de INSAFORP: [ 18, 25 ] tiene una longitud de
( 25 – 18 ) = 7 años. El intervalo de velocidad en km/h
a que deben andar los vehículos en la ciudad: [ 30, 60 ]
tiene por longitud ( 60 – 30 ) = 30 km/h. Debido que al
graficarlo el resultado es de longitud de un número real,
decimos que esos intervalos son de longitud finita.
Todos son intervalos de longitud finita.
2
Actividad
Calcula la longitud L de los siguientes conjuntos numéricos e
intervalos.
[ –3, 6 [
c)
[ –4, 0 ]
b) { x ∈ R/–5 < x ≤ –1 }
d)
{ x ∈ R/2 < x ≤ 7/2 }
a)
¿Cómo expresarías en notación de intervalo los
siguientes conjuntos numéricos?
A = { x ∈ R/x ≤ 4 } y B = { x ∈ R/x > 1 }
Solo tienes un pequeño problema, ¿no es cierto?¿Cuál
es el menor número que es menor o igual que 4?, ¿cuál
es el mayor número que es mayor que 1?. Lo que hace la
matemática para salvar este lío, es definir dos símbolos
para esos dos números desconocidos: –∞ ( infinito
negativo o, menos infinito ) y +∞ ( infinito positivo
o, más infinito ). Utilizando estos símbolos para los
intervalos se tiene:
De manera general, si tu consideras que las letras a
y b denotan números reales con a < b, entonces los
intervalos reales:
[ a, b ], ] a, b ], [ a, b [ y ] a, b [ son llamados intervalos de
longitud finita o finitos. Los intervalos del ejemplo 1:
] –1, 4 ], ] 0, 5 [, [ –8, –1 ] se clasifican como tales.
60 Matemática - Primer Año
A = { x ∈ R/x ≤ 4 } = ] –∞, 4 ]
B = { x ∈ R/x > 1 } = ] 1, +∞ [
Observa que el intervalo queda abierto en el límite
donde se utiliza el símbolo. En B el intervalo queda
abierto a la izquierda, porque el 1 no pertenece al
intervalo
UNIDAD 4
Este tipo de intervalos en los cuales uno de sus límites no es un número real se llaman
intervalos de longitud infinita o infinitos. El intervalo ] –∞, +∞ [ equivale al conjunto R
de todos los números reales.
3
Actividad
Abierto por la izquierda
Clasifica los siguientes
intervalos como abiertos,
cerrados, abiertos por la derecha,
abiertos por la izquierda y
en atención a si son finitos o
infinitos.
Finito
] 2, 7 ]
b) [ –3, 6 [
c) [ 1, +∞ [
d) ] –∞, 4[
e) [ –8, 9 ]
a)
Gráficas de intervalos
Se elaboran trasladando los límites del intervalo a sus correspondientes puntos en la
recta real. El segmento de recta entre los límites constituye la gráfica del intervalo. Por
ejemplo:
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
0
1
2
3
+∞
[-3,1]
-4
-3
-2
-1
[-2, +∞[
+∞
Ejemplo 3:
Las gráficas de los intervalos a) ] –2, 4 ] b) ] 3, 8 [ c) ] –∞, 2 ] quedan así:
-∞
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
4
5
6
7
8
4
5
6
7
8
+∞
]-2,4]
-∞
-2
-1
0
1
2
3
+∞
]3,8[
-∞
-2
-1
0
1
2
3
+∞
]-∞,2]
Primer Año - Matemática 61
UNIDAD 4
4
Actividad
Grafica en la recta real los siguientes conjuntos numéricos.
a)
{ x ∈ R/x ≥ –1 }
b)
{ x ∈ R/–2 < x ≤ 4 }
c)
{ x ∈ R/x ≥ 0 }
d)
] –∞, –2 ]
e)
{ x ∈R/–4 < x < 3 }
Operaciones con intervalos
Ya sabes que los intervalos son conjuntos de números
reales, por lo tanto las operaciones usuales con
conjuntos: unión, intersección, diferencia de conjuntos,
se pueden realizar con los intervalos.
Por ejemplo, si tenemos los intervalos M = [ 1, 5 [ y
N = [ 5, 8 ], puedes concluir que si reunimos M con N
obtenemos el intervalo [ 1, 8 ]. De la misma manera
podemos observar que M y N no tienen números
comunes, ya que el número 5 se encuentra en N pero
no está en M, por lo tanto podemos decir que su
intersección es vacía: Ø.
Formalicemos las operaciones de la siguiente manera:
Si A y B son dos intervalos de números reales, tenemos
las siguientes operaciones:
A ∪ B: Unión de A con B.
Contiene todos los números de A más todos los
números de B.
A ∪ B = { x ∈ R/x ∈ A ó x ∈ B}
A ∩ B: Intersección de A con B.
Contiene todos los números que son comunes a A y
a B.
A ∩ B = { x ∈ R/x ∈ A y x ∈ B}
A : Complemento de A.
Contiene los números que no se encuentran en A.
A I = { x ∈ R/x ∉ A }
I
A – B: Diferencia A menos B.
Contiene los números que están en A, pero que no se
encuentran en B.
A – B = { x ∈ R/x ∈ A y x ∉ B}
Los siguientes ejemplos te servirán para aclarar las cosas.
Verás que no es complicado.
62 Matemática - Primer Año
Ejemplo 4
Dados los intervalos A = ] –∞, 8 ], B = [ 3, 10 ],
C = [ 0, +∞ [ , halla:
a) A I
b) A
c)A
∪B
∩B
d) A – B
e) ( A
∪ B) ∩ C
Solución:
a)Los números que no están en A, son los mayores que
8. A I = ] 8, +∞ [
b)A gregando al intervalo A, los números de B se tiene:
A ∪ B = ] –∞, 10 [
c)El intervalo A tiene los números desde 3 hasta 8, que
también los tiene B.
A ∩ B = [ 3, 8 ].
d) Quitando de intervalo A los números que son de B,
obtenemos: A – B = ] –∞ , 3 [
UNIDAD 4
∪ B ya se calculó en el literal b) y
tienen en común con C, los números que van desde
cero a menos de 10. ( A ∪ B ) ∩ C = [ 0, 10 [
e)El intervalo A
-4
-∞
-4
-2
-2
0
0
2
2
4
4
6
6
8
8
+∞
10
Ejemplo 5
Para los intervalos A = ] 3, 5 ], B = ] 0, +∞ [ se tiene:
a)
AI =] –∞, 3 ] ∪ ] 5, +∞ [
b)
A ∪ B = ] –3, +∞ [
c)
A ∩ B = ] 0, 5 ]
d)
B – A = ] 0, 3 ] U ]5, +∞ [
5
Actividad
-∞
-3
0
-∞
3
8
+∞
0
3
+∞
Escribe cada uno de los resultados del ejemplo 5 en
notación de conjuntos y elabora su respectivo gráfico en la
recta real.
Notación
Gráfico
a)
b)
-∞
-4
-2
0
2
4
6
8
10
c)
d)
Resumen
En esta lección has aprendido la notación de intervalos para los conjuntos de números reales y, a representarlos en la recta real. Has
aprendido también a clasificarlos: según sus límites en intervalos abiertos, semiabiertos y cerrados; y de acuerdo a su longitud, en
intervalos finitos o infinitos.
Finalmente has desarrollado ejercicios para manipular los intervalos mediante las operaciones de unión, intersección y diferencia
de intervalos.
El siguiente resumen te puede ser muy útil. Considera a y b números reales con a < b.
Intervalos
Operaciones
[ a, b ] = { x ∈ R/a ≤ x ≤ b }
A ∪ B = { x ∈ R/x ∈ A ó x ∈ B }
] a, b ] = { x ∈ R/a < x ≤ b }
A ∩ B = { x ∈ R/x ∈ A y x ∈ B }
[ a, b [ = { x ∈ R/a ≤ x < b }
A I = { x ∈ R/x ∉ A }
] a, b[ = { x ∈ R/a < x < b }
A – B = { x ∈ R/x ∈ A y x ∉ B }
Primer Año - Matemática 63
UNIDAD 4
Autocomprobación
El conjunto de números reales
{ x ∈ R/–5 < x ≤ 3 } se escribe en notación de
intervalo como:
3
a)
[–5, 3 [
b) [–5, 3 ]
c) ]–3, 5 ]
d) ]–5, 3]
Respecto del intervalo real ] –∞, –4 ] se puede
decir que es :
a)
abierto a la derecha
b) de longitud infinita
c) finito
d) cerrado a la izquierda
4
a)
] 3, 5 ]
b) ] –3, 3 ]
c) [ 5, 10 [
d) [ 3, 5 [
Si A = ] 3, 10 [ y B = ] –3, 5 ], entonces B – A es:
a)
] 3, 5 ]
b) ] –3, 3 ]
c) [ –3, 5 ]
d) [ 3, 5 [
2. b.
2
Si A = ] 3, 10 [ y B = ] –3, 5 ], entonces A ∩ B es:
1. d.
1
Soluciones
3. a.
4. b.
MÁXIMOS Y MÍNIMOS
¿Sabías qué?
En todos los procesos de observación de
nuestra vida diaria siempre estamos en
presencia de variables reales y, en la práctica,
estas variables sólo pueden tomar valores
en determinados intervalos de longitud finita.
La velocidad del viento, va desde la calma (0
km/h), hasta las velocidades destructivas de
los huracanes con 350 km/h. Dos huracanes
que han provocado más destrucción en Centro
America fueron el Fifi (1975) y el Milton (1998)
¿Recuerdas algún otro huracán que haya
provocado destrucción?
64 Matemática - Primer Año
Cuarta Unidad
Lección 2
Desigualdades lineales
Motivación
D
¿ ónde hay desigualdades?
En el campo de los negocios tú puedes encontrar
muchos ejemplos sobre estas entidades matemáticas
llamadas desigualdades. Considera la siguiente
situación:
Roberto es un muchacho muy responsable que ha
aceptado un trabajo de vendedor de pantalones, casa
por casa. El dueño de la empresa que lo ha contratado
le ha prometido que le pagará 8 dólares diarios por
gastos de transporte y 2 dólares por cada pantalón
que venda. Cada pantalón tiene un precio de 20
dólares. Roberto quiere tener al final del día, ingresos
mínimos (es decir, dinero en su bolsa) de por lo
menos 36 dólares. ¿Cuál es el número mínimo de
pantalones que debe vender para lograr eso?
Indicadores de logro
Resolverás problemas, con seguridad, utilizando las
desigualdades y sus propiedades.
Resolverás con seguridad ejercicios y/o problemas utilizando
desigualdades lineales en una variable.
Graficarás con orden y limpieza las desigualdades lineales en la
recta real.
Se que tu ya pensaste una solución aritmética para la
situación. Veamos:
La expresión algebraica: (2x + 8) constituye la expresión
correspondiente al ingreso.
El ingreso mínimo que desea Roberto es de 36 dólares;
este incluye por supuesto los 8 dólares de gastos de
transporte. Por lo tanto la diferencia 36 – 8 = 28, es el
ingreso por los pantalones vendidos. Si dividimos este
resultado entre 2, que es lo que gana por cada pantalón
vendido, obtenemos: 28/2 = 14, que es el número
mínimo de pantalones que debe vender.
Esta, al ser igualada a 36, se convierte en la ecuación
lineal: 2x + 8 = 36, cuya solución es, por supuesto, x = 14.
Organicemos ahora una solución algebraica. Aquí es
muy importante definir una variable para la incógnita
o incógnitas.
Llamemos a x: “número de pantalones que vende
Roberto en el día”
Para ganar “por lo menos 36 dólares”, Roberto debe
vender 14 pantalones. La ecuación 2x + 8 = 36 la
podemos convertir en una desigualdad, cambiando el
signo = por el signo: ≥. Entonces:
2x + 8 ≥ 36 la cual llamamos desigualdad lineal.
La solución de está ecuación es el conjunto de enteros:
{14, 15, 16, 17,...}
Si vende 15 pantalones ganaría: 2( 15 ) + 8 = 38 > 36
Si vende 16 pantalones ganaría: 2( 16 ) + 8 = 40 > 36, etc.
Primer Año - Matemática 65
UNIDAD 4
Se llama desigualdad lineal, fundamentalmente, porque
la variable x que aparece en las expresiones algebraicas se
encuentra elevada a la potencia uno.
La forma general de una ecuación lineal se expresa:
ax + b ≥ 0; con a y b que representan números reales,
a≠0
Son ejemplos de ecuaciones lineales en su forma general
las siguientes:
Si la variable x pudiera tomar cualquier valor en el
conjunto de los números reales, entonces el conjunto
solución de la desigualdad es el Intervalo:
{ x ∈ R/x ≥ 14 } = [ 14, +∞ [
Ejemplo 1
Si el dueño de la empresa contrata a nuestro amigo
Roberto y éste desea ingresos diarios mayores que 306
dólares, ¿cuántos pantalones se deberían vender?
Si el símbolo de la desigualdad es > o < se dice que la
desigualdad es estricta.
2x – 12 > 0; 5x + 3 ≥ 0, –4x + 8 < 0; 2x – 1 ≤ 0
2x – 12 > 0 es una desigualdad estricta en la variable x.
5y – 1 ≤ 0 es una desigualdad débil en la variable y.
¿Qué significa resolver una desigualdad.
La solución requiere la construcción de una
desigualdad. ¿Qué piensas de esta? 18x > 306
Tiene sentido, ¿no te parece? Porque el dueño debe
recibir 18 dólares por cada pantalón vendido. Si ahora
divides entre 18 ambos lados de la desigualdad, obtienes
el intervalo solución: x > 306/18 → x > 17. Se deben de
vender más de 17 pantalones en el día.
Componentes de una desigualdad
Una desigualdad está compuesta por dos expresiones
algebraicas, relacionadas mediante los signos de orden:
< ,≤, >, ≥.
Relación de orden
( 3x – 5 ) ≥ ( x + 7 )
Expresión algebraica
66 Matemática - Primer Año
En el ejemplo 1 hicimos una operación que decía: “si
ahora divides entre 18 ambos lados de la desigualdad”,
obtienes...en realidad esta es una operación que tu has
empleado en la solución de ecuaciones, pero no hemos
dicho que sea válida para resolver desigualdades (o
inecuaciones como también se les da en llamar).
Verás en la siguiente sección cuáles son las propiedades
que podemos emplear para “resolver” una desigualdad.
Diremos que un número real satisface una determinada
desigualdad, si al ser sustituido en la variable, convierte a
la desigualdad en una proposición verdadera, es decir en
algo que es cierto.
UNIDAD 4
Por ejemplo, en la desigualdad 2x – 12 > 0, el número 7 la satisface, ya que
2( 7 ) – 12 = 2 > 0, que es una proposición verdadera. El número 4 sin embargo no la
satisface, puesto que
2( 4 ) – 12 = –4 > 0, es una proposición falsa.
Resolver una desigualdad significará para nosotros hallar el conjunto total de números
reales que satisfacen esa desigualdad. Cuando dos desigualdades tienen la misma
solución diremos que estas son desigualdades equivalentes.
Ejemplo 2
Comprueba si el conjunto numérico que acompaña a cada
desigualdad se puede considerar conjunto solución de la
misma.
a) 3x – 15 < 0;
b) 4x + 8 ≥ 0;
S = ] –∞, 5 [
S = [ –2, +∞ [
Solución:
a) Es una desigualdad estricta. Debemos tomar números
menores que 5 para ver que sucede. Tomemos el
número 4.99 y hagamos la sustitución:
3( 4.99 ) – 15 = –0.03 < 0 es una proposición verdadera. Lo mismo sucederá para
cualquier otro número que sea menor que éste.
b) Es una desigualdad débil. El número –2 hace la igualdad a cero:
4( –2 ) + 8 = –8 + 8 = 0. Cualquier otro número mayor que – 2, dará por resultado
valores mayores que cero.
Propiedades de las desigualdades
Para operar con las desigualdades se emplean
básicamente las mismas reglas que se utilizan con las
ecuaciones para mantener la equivalencia (excepto por
una que verás luego y que funciona de otra forma). Así:
Se puede sumar o restar una misma cantidad a ambos
lados de la igualdad (a ambos lados de la desigualdad y
esta mantiene la equivalencia con la primera).
x–8≥2
x –8 + 8 ≥ 2 + 8; se ha sumado 8 a ambos lados
x ≥ 10; operando a ambos lados se ha obtenido la
solución S = [ 10, +∞ [
Se puede multiplicar o dividir por una misma cantidad
positiva a ambos lados de la igualdad (a ambos lados de
la desigualdad y esta mantiene la equivalencia con
la primera).
3x + 5 < 11
3x + 5 – 5 < 11 – 5; se resta – 5 a ambos lados para aislar
a 3x.
3x < 6
3x
6
< ; Se divide entre 3 a ambos lados para dejar
3
3
sola la variable x
x < 2; se llega a la última desigualdad equivalente; que
resulta ser la solución.
S = ] –∞, 2 [ es la solución de la desigualdad.
Se puede multiplicar o dividir por una misma cantidad
negativa a ambos lados de una desigualdad, siempre y
cuando se invierta la relación de orden. Si la relación es <
debe cambiarse por >; si la relación es ≥ debe cambiarse
por ≤.
Primer Año - Matemática 67
UNIDAD 4
En los números reales la proposición: –2 < 5 es verdadera. Si la multiplicas por una
cantidad negativa, por ejemplo –3, y no cambias la relación de orden, la proposición se
vuelve falsa: nota ( –3 )( –2 ) < ( –3 )( 5 ) → 8 < –15 ¡falso! No debes olvidar esto. Es
un error muy frecuente cuando se resuelven desigualdades.
− 2x
8
− 2x < 8 →
>
→ x > − 4 ; al dividir entre – 2, para aislar la variable,
−2
−2
invertimos la relación de orden. La solución de la desigualdad es S = ] –4, +∞ [
1
Actividad
Utiliza las propiedades discutidas arriba para resolver las siguientes desigualdades:
a)
5x + 4 > – 6
Resta – 4 a ambos lados y simplificar
Divide a ambos lados entre 5
b)
Solución
1
− x − 5 ≥ − 11
2
Sumar 5 a ambos lados y simplificar
Multiplicar por –2 a ambos lados
c) 3x – 4 < 2 + x
Sumar 4 a ambos lados
Restar x a ambos lados
Dividir entre
, a ambos lados
68 Matemática - Primer Año
Solución
Solución:
UNIDAD 4
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Resuelve las siguientes desigualdades:
x
a) − < 2 b) 2x + 9 < 8 – x
3
Resuelve las siguientes desigualdades:
x
1 3x + 1
+ ≥
a)
b) 3 ≤ 2x + 5 ≤ 11
2
3
4
Solución:
x
<2
3
Multiplicando por – 3 a ambos lados:
x
( −3)   > ( −3) 2 y simplificando tienes,
 3
 −3 
  x > − 6 S = ] –6, +∞ [
−3
a)
−
b) 2x + 9 < 8 – x
2x + 9 – 9 < 8 – x – 9 se resta 9 a ambos lados.
2x < – x – 1
2x + x < – x – 1+ x
se suma x a ambos lados.
3x < – 1
1
1

x < − se divide entre 3 S =  − ∞ , − 
3
3

Solución:
x
1 3x + 1
+ ≥
2
3
4
Un paso inicial, y quizá el más recomendable para
abordar esta desigualdad, consiste en multiplicarla por el
mínimo común múltiplo de los denominadores.
a)
¿Puedes decirme cuál es ese mínimo?
12 x
12 12 ( 3 x + 1)
se ha multiplicado todo
+
≥
2
3
4
por 12, que es el m.c.m.
Simplificando:
6x + 4 ≥ 3( 3x + 1 )
6x + 4 ≥ 9x + 3
4 – 3 ≥ 9x – 6x una forma más rápida cuando ya se tiene
alguna práctica, es la que se ha empleado en este paso. El
término 6x de la izquierda se ha pasado a la derecha con
el signo cambiado.
El número +3 de la derecha se pasó a la izquierda como
–3.
1 ≥ 3x
1
1

≥ x La solución es S =  −∞ , 
3

3
b) 3 ≤ 2x + 5 ≤ 11
A este tipo de inecuación se le da en llamar inecuación
simultánea. Esto significa que se debe de cumplir,
al mismo tiempo, las desigualdades: 3 ≤ 2x + 5 pero
también: 2x + 5 ≤ 11. Las reglas se aplican a toda la
expresión de la misma manera.
3 – 5 ≤ 2x + 5 – 5 ≤ 11 – 5
–2 ≤ 2x ≤ 6
–1 ≤ x ≤ 3
se ha dividido todo entre 2.
La solución es el intervalo cerrado S = [ –1, 3 ]
Primer Año - Matemática 69
UNIDAD 4
Grafiquemos desigualdades lineales
Graficar una desigualdad lineal no es más que graficar en la recta real su conjunto
solución. Se trata de graficar intervalos, algo que tú ya hiciste en la lección anterior.
Ejemplo 4
Resolver las siguientes desigualdades y graficar su solución:
a) 2x – 3 ≥ –7
b) –1 ≤ x + 2 ≤ 3
Solución:
a) 2x – 3 ≥ –7
2x ≥ –7 + 3
2x ≥ –4
x ≥ –2
-4
-3
-2
-1
0
1
2 +∞
-2
-1
0
1
2 +∞
b) –1 ≤ x + 2 ≤ 3
–1 – 2 ≤ x + 2 – 2 ≤ 3 – 2
–3 ≤ x ≤ 1
-4
2
-3
Actividad
Resuelve y grafica en la recta real las siguientes desigualdades:
Solución
1
5
Resuelve: − 3 x ≤
2
2
a)
b)
Gráfica
0
Resuelve: −7 ≤ 2 x + 1 ≤ 19
0
Ejemplo 5
¿Recuerdas a nuestro amigo Roberto al inicio de esta lección? Pues bien, Roberto ha
conseguido un nuevo trabajo en el cual le van a pagar $250 al mes, más una comisión
del 8% sobre sus ventas mensuales. ¿Qué ventas mensuales debería hacer Roberto para
tener ingresos mensuales entre $350 y $ 420?
70 Matemática - Primer Año
UNIDAD 4
Solución:
Digamos que y es la cantidad en dólares de las ventas mensuales de Roberto, entonces
250 + 0.08y es la expresión de sus ingresos mensuales ( recuerda que % significa por
ciento y que 8% expresa 8 partes de 100, esto es 8/100 = 0.08 ). Queremos hallar el
valor de y que cumple:
350 ≤ 250 + 0.08y ≤ 420
Resolviendo la inecuación tienes:
100 ≤ 0.08y ≤ 170
Restando 250 de la anterior.
100/0.08 ≤ y ≤ 170/0.08 Dividiendo por 0.08
1250 ≤ y ≤ 2125
Entonces, las ventas de Roberto deben estar entre $1250 y $2125, para que sus ingresos
mensuales oscilen entre $350 y $420.
Resumen
En esta lección has aprendido a resolver desigualdades lineales expresadas en su forma general:
ax +b ≤ 0, pero también en su forma de desigualdad simultánea c ≤ ax + b ≤ d. Haz trabajado además
la representación gráfica en la recta real de su conjunto solución.
Algo muy importante que te debe quedar de estas relaciones matemáticas es que en la vida práctica
las variables tienen sus límites razonables de acción, es decir que no pueden crecer más allá de una
cota definida, ni decrecer indefinidamente.
Un industrial que elabora un producto no puede producir más allá de cierto límite por varias razones:
la maquinaria no esta diseñada para pasar cierto umbral de producción, la empresa no tiene el capital
de trabajo suficiente para invertir, no hay en la empresa el personal suficiente para hacerlo, etc.
Si tu examinas muchos hechos de la vida diaria te darás cuenta que para todo hay límites: en la
temperatura ambiente, en el crecimiento poblacional, en los ingresos al hogar, en el gasto en energía
eléctrica; y en todos los casos, tu puedes plantear una desigualdad que resuma de manera particular
su comportamiento.
El siguiente resumen te puede ser útil para formalizar las propiedades de las desigualdades.
Considera que a, b y c representan números reales y que todas las relaciones de orden: <; >; ≤; ≥ son
aplicables a las siguiente propiedades:
Si a < b entonces a + c < b + c
Si a < b entonces a – c < b – c
Si a < b entonces a c < bc, siempre que c sea positivo
Si a < b entonces a/c < b/c, siempre que c sea positivo
Si c es negativo, la relación de orden se invierte en las dos propiedades anteriores.
Primer Año - Matemática 71
UNIDAD 4
3
La desigualdad: x/2 – 3 > x + 4, tiene como
desigualdad equivalente:
x/2 + x > 7
b) x – 3 > 2x + 8
c) x – 6 > 2x + 8
d) 3x > 11
En el oriente del país, en la época seca, las
temperaturas oscilan entre los 34°C y los 42°C.
( 34 ≤ C ≤ 42 ). ¿Cuál es el intervalo equivalente de
estas temperaturas en grados Fahrenheit?
9
( Nota: F = C + 32 ), C: grados Celsius; F:
5
grados Fahrenheit)
a)
a)
[ 66, 74 ]
b) [ 61.2, 71.6 ]
La solución de la desigualdad: –1 ≤ 2x – 5 < 3 es:
[ –1, 3 [
b) [ 4, 8 [
c) [ –2, +∞ [
d) [ 2, 4 [
a)
4
[ 93.2, 107.6 ]
d) [ 90, 100 ]
c)
Considerando a, b, como números positivos con
a < b, seleccione la desigualdad que NO es correcta:
2. d.
3. c.
2
a)
a + 2b < 3b
b)
a −1 b −1
d) a2 < b2
<
2
2
c)
1. c.
1
–3/5a < –3/5b
Soluciones
Autocomprobación
4. c.
UNA INVESTIGACIÓN CURIOSA
Una fórmula para calcular la temperatura
de la piel humana P, en grados Celsius, fue
desarrollada por un investigador de nombre
Vincent. Te la presento:
P = 30.1 + 0.2t – ( 4.12 – 0.13t )v, donde:
t: temperatura del aire en grados Celsius
v: velocidad del viento en metros por segundo
Pregunta: ¿a qué temperaturas t en aire quieto
( v = 0 ), es menor la temperatura de la piel
que la sangre ( 37°C )?
¿Qué te parece t < 34.5°C?
(Nota: recuerda v = 0)
72 Matemática - Primer Año
Lección 3
Cuarta Unidad
Resolvamos desigualdades cuadráticas
Motivación
C
x
¿ rees que podemos calcular, a cuánto equivale el
área sombreada respecto del área del cuadrado en la
figura? Comienza por algo que para ti es evidente: Él
área del cuadrado es mayor que el área del círculo.
2
π 2
x
2
x
>
π
Esto se expresa:
  = x
2
4
¿Estás de acuerdo?
x
Indicadores de logro
Resolverás con seguridad, ejercicios y problemas utilizando
desigualdades cuadráticas con una variable.
Determinarás y explicarás otras desigualdades no lineales, con
esmero y claridad.
Graficarás con orden y limpieza desigualdades cuadráticas y
otras no lineales en la recta real.
Desigualdades cuadráticas en
una variable
π 2
2
¿Qué puedes decir de la desigualdad x > x ?
4
π
De la desigualdad x 2 > x 2 , puedes concluir que si
4
π
se multiplica el área del cuadrado por , obtienes el
4
área del círculo inscrito. Por lo tanto si haces la resta
π
π

x 2 − x 2 =  1 −  x 2 > 0 , concluyes que al

4
4
π

multiplicar el área del cuadrado por  1 −  se
4
obtiene el área azul.
π

Si x = 5 entonces x2 = 25; de manera que  1 −  ( 25 )
4
es aproximadamente 0.2146 ( 25 ) = 5.365.
Si se multiplica el área de cualquier cuadrado por
0.2146 se obtine el área que está afuera del círculo y que
pertenece al área del cuadrado.
Notarás que el resultado que obtienes está fuertemente
apoyado en una desigualdad cuya variable está
elevada al cuadrado. Este tipo de desigualdad son
las que desarrollarás en esta lección: son llamadas
desigualdades cuadráticas en una variable. Como por
ejemplo las siguientes: ( recuerda que x ∈ R )
a)
x2 − 8 ≥ 0
b) 2x2 + 6x < 0
c)
( x + 5 )( x − 2 ) ≤ 0
d) 3x2 + 13x + 4 >
Primer Año - Matemática 73
UNIDAD 4
Resolver una desigualdad cuadrática significa hallar su
conjunto solución. Se emplean las mismas propiedades
de orden que utilizas en las desigualdades lineales.
Observa lo siguiente:
Para x = 3 , x 2 = 32 = 9 ≥ 0
a) Si x es un número real, entonces ( x + 1 ) también lo
es; por lo tanto ( x + 1 )2 ≥ 0. El conjunto que satisface
la desigualdad son todos los números reales: S = R
b) Es el mismo caso que en el literal “a)”, la única
Para x = − 4 , x = ( − 4 ) = 16 ≥ 0
diferencia es que la desigualdad es estricta, por lo que
si x es igual a 2, la desigualdad no se satisface:
2
2
Solución:
Para x = 0 , x 2 = ( 0 )2 = 0 ≥ 0
(2 – 2)2 >0, es falsa; la solución es entonces S = R – { 2 }
Cualquier número real elevado al cuadrado es mayor o
igual a cero.
En general se tiene la siguiente propiedad.
Si x ∈ R entonces x 2 ∈ R y x 2 ≥ 0
c) x2 ≤ 1, es igual a expresar que x2 es un número entero
entre cero y uno: 0 ≤ x 2 ≤ 1 . Verifica valores para
x en el intervalo anterior. Te darás cuenta que solo
cumplen la desigualdad valores de x en el intervalo
[ –1, 1 ]. La solución es S = [ –1, 1 ]
Ejemplo 1
Utiliza la propiedad anterior para encontrar el conjunto
solución de las siguientes desigualdades.
a) ( x + 1 )2 ≥ 0
b) ( x – 2)2 > 0
1
c) x2 ≤ 1
Actividad
Utiliza la metodología del ejemplo 6, y encuentra la solución de las siguientes desigualdades
cuadráticas. Explica tu forma de solución.
1 2
x ≥ 0 a)
d) ( x + 2 )2 < 0
3
b)
( 2x − 4 )2 > 0 e)
c)
x 2 − 4 ≤ 0 ( nota: x 2 − 4 + 4 ≤ 0 + 4 ; x 2 ≤ 4 )
x 2 + 4x + 4 ≥ 0
Solución de desigualdades cuadráticas
La forma general de una desigualdad cuadrática en una variable x, se expresa donde a, b
y c son números reales con (las otras relaciones de orden: también se emplean).
La desigualdad x 2 + 3 x − 10 ≥ 0 , es un ejemplo en donde
a = 1 , b = 3 y c = − 10 . Si falta alguna de los coeficientes b ó c se les llama
desigualdades incompletas: ax 2 + c ≥ 0 y ax 2 + bx ≥ 0
74 Matemática - Primer Año
UNIDAD 4
Estas desigualdades se pueden abordar empleando un
método de factorización, y las leyes de los signos:
Si AB > 0 Entonces A > 0 y B > 0, ó bien, A < 0 y B < 0.
Si AB < 0 Entonces A > 0 y B < 0, ó bien, A < 0 y B > 0.
Ejemplo 2
Encuentra al conjunto solución de las desigualdades
siguientes:
a)x 2 −
4 ≤ 0 b)
2x 2 + 6 x > 0
Solución:
a)x
2
− 4 ≤ 0 → ( x − 2 ) ( x + 2 ) ≤ 0 Aplicando leyes de los signos tienes:
Caso 1: ( x − 2 ) ≥ 0 y ( x + 2 ) ≤ 0 → ( x ≥ 2 ) y ( x ≤ − 2 ) no existe
solución en este primer caso ya que no hay números reales que cumplen al mismo
tiempo ser mayores o iguales que 2 y menores o iguales que –2. S1 = Ф
Caso 2: ( x − 2 ) ≤ 0 y ( x + 2 ) ≥ 0 → ( x ≤ 2 ) y ( x ≥ − 2 ) los números:
−2 ≤ x ≥ 2 cumplen las desigualdades por lo tanto S2 = [ –2, 2 ].
La solución es la unión de S1 con S2 .
S = Ф ∪ [ −2 , 2 ] = [ −2 , 2 ] (Nota: que es el mismo ejercicio de la actividad 1)
b)2 x
2
+ 6 x > 0 → 2 x ( x + 3 ) > 0 x ( x + 3 ) > 0 ( dividiendo entre 2 )
Caso 1: x > 0 y x + 3 > 0 → x > 0 y x > − 3 El conjunto S1 = ] 0, +∞ [ cumple
con las desigualdades lineales.
Caso 2: x < 0 y x + 3 < 0 → x < 0 y x < − 3 el conjunto S2 = ] –∞, –3 [
cumple los requisitos; la solución total es S = ] − ∞ , − 3 [ ∪ ] 0 , + ∞ [ que
también se puede escribir S = R − [ − 3 , 0 ] . Solo los números que están entre [–3, 0]
no satisfacen la desigualdad.
Un método que de seguro te parecerá más práctico y con el que te sentirás más a gusto
es el que se conoce como: Método del cuadro de variación. Requiere sin embargo que
tú recuerdes un poco el factoreo y por supuesto que sigas aplicando las leyes de los
signos.
Primer Año - Matemática 75
UNIDAD 4
A continuación unos ejemplos:
Ejemplo 3
Halla la solución de la desigualdad 3 x 2 + 13 x + 4 ≤ 0
1° Paso: factoriza el lado izquierdo.
3 x 2 + 13 x + 4 ≤ 0
( 3x )2 + 13( 3x ) + 12 ≤ 0 ( multiplicandopor3)
( 3 x + )( 3 x + ) ≤ 0
( 3x + 12 )( 3x + 1 ) ≤ 0
3 ( x + 4 )( 3 x + 1 ) ≤ 0
( x + 4 )( 3x + 1) ≤ 0
 dosnúmerosque sumados den 13
 y multiplicadosden 12

( factor común 3)
(dividiendoentre 3)
2° Paso: Plantea la igualdad ( x + 4 )( 3 x + 1) = 0 , y halla las “raíces”. (Raíces: valor
de x, que hacen cero la ecuación). Ellas son:
x + 4=0→x = − 4
3x + 1 = 0 → x = −
raíces:
{
− 4, −
1
3
}
1
3
3º Paso: Representación de las raices en la recta real, para observar los tres intervalos
que se forman.
-4
-⅓
4° Paso: Organiza un cuadro como el siguiente, que define tres intervalos.
–∞
(x+4)
( 3x + 1 )
( x + 4 )( 3x + 1 )
–5
–
–
+
–4
–3
+
–
–
−
1
3
1
+∞
+
+
+
Se escribe cero en el lugar donde se ubica la raíz. En cada intervalo se marca el signo
que toma la expresión algebraica respectiva que está escrita en la parte izquierda
al evaluarla en un número que pertenece a cada intervalo(como los encerrados en
círculos). El producto de los signos de las expresiones algebraicas en su respectivo
intervalo se ubica en la última fila.
76 Matemática - Primer Año
UNIDAD 4
El producto ( x + 4 )( 3x + 1 ) es menor o igual que cero únicamente en el intervalo por

1

1
2
 − 4, −  lo tanto la solución de 3 x + 13 x + 4 ≤ 0 es  − 4, − 3 
3



Si en la expresión (x + 4) (3x + 1) sustituyes:
x = − 5 , se tiene ( − 5 + 4 )( 3 ( − 5 ) + 1 ) = ( − 1 )( − 14 ) > 0 ; nocumple
x = 1 , se tiene ( 1 + 4 )( 3 ( 1 ) + 1 ) = ( 5 )( 4 ) = 20 > 0 ; nocumple
x = − 3 , se tiene ( − 3 + 4 )( 3 ( − 3 ) + 1 ) = ( 1 )( − 8 ) < 0 ; si cumple
2
10
 2
   2    10 
x = − , se tiene  − + 4   3  −  + 1 = 
( − 1 ) = − < 0; si cumple

 3
  3    3 
3
3
Actividad
2
Utiliza el cuadro de variación para resolver la siguiente desigualdad: x 2 + 4 x − 21 ≥ 0
a)Factoriza:
( x + )( x − ) ≥ 0
b)Halla las raíces y escribelas en el cuadro donde corresponda, escribiendo cero donde se ubica la raíz.
c) Completa el cuadro.
–∞
+∞
(x+ )
(x– )
( x + )( x – )
d)Especifica la solución.
Otras desigualdades no lineales
Algunas desigualdades tales como x 3 > 4 x , x 4 − x > 0 son llamadas desigualdades
polinomiales no cuadráticas.
x −1
x +4
Otras como
≥ 0, ó
≤ 1 , se llaman desigualdades racionales.
x +2
x −2
La técnica del cuadro de variación es igualmente útil para resolver este tipo de
desigualdades.
Ejemplo 4
Resuelve la siguiente desigualdad aplicando el método del cuadro de variación x3 > 4x.
Solución:
Factoriza el lado izquierdo x 3 − 4 x > 0 → x ( x 2 − 4 ) > 0 factor común x.
x ( x − 2 )( x + 2 ) > 0 ( Diferencia de cuadrados ). Plantea la ecuación para hallar
las raíces x ( x − 2 )( x + 2 ) > 0 ; los valores que hacen cero la ecuación: x = 0,
x = –2, x = +2. Elabora el cuadro.
Primer Año - Matemática 77
UNIDAD 4
–2
–∞
x
x–2
x+2
x( x – 2 )( x + 2 )
0
–
–
–
–
+∞
2
–
–
+
+
+
–
+
–
+
+
+
+
La solución viene dada por la unión de todos aquellos intervalos, cuyo producto
de signos es positivo. S = ] − 2 , 0 [ ∪ ] 2 , + ∞ [ no incluye los límites de los
intervalos porque la desigualdad es estricta.
Ejemplo 5
Resuelve la siguiente inecuación racional:
Solución:
2x + 4
≤1
x −2
Es muy bueno observar desde ya, que x = 2 no puede formar parte del conjunto
solución, debido a que produce una división por cero y la división por cero no está
definida en el conjunto de los números reales. Para iniciar la factorización realiza;
2x + 4
El lado izquierdo debe quedar como una expresión racional
−1 ≤ 0 x − 2
( 2x + 4 ) − ( x − 2)
y en el lado derecho solo debe aparecer el cero.
≤ 0 ; suma de
x −2
x +6
fracciones.
≤ 0 ; simplificando términos semejantes.
x −2
Se consideran raíces los números que hacen cero, el numerador y el denominador:
x = –6 y x = 2. El análisis del cuadro requiere que tú recuerdes las “leyes de los signos
para la división”:
(x+6)
(x–2)
–∞
x +6
x −2
–
–
+
–
+∞
+
+
+
–
+
–6
2
Punto de apoyo
 −

+
 = +  ;  = +  ;
+
−
 −

+
 = −  ;  = − 
−
+
La solución está dada por el intervalo cuya división de signos es negativa.
S = [ –6, 2 [ ¿Por qué no se incluye el número 2 ?
78 Matemática - Primer Año
UNIDAD 4
Gráfica de las desigualdades cuadráticas
Se trata, al igual que en las desigualdades lineales, de
representar en la recta real, el conjunto solución.
3
Actividad
3 x 2 + 13 x + 4 ≤ 0
b)
x 3 > 4x c)
3x − 1
≤2
x +2
Observa lo que dice el problema: si x es la longitud del
lado del cuadrado, entonces ( x + 2 ) es el ancho del
rectángulo que se forma y, ( x + 5 ) es su largo.
En consecuencia, el producto de los polinomios:
( x + 2 )( x + 5 ) es una expresión algebraica para el área
del rectángulo.
+∞
–∞
( x + 15 )
–
+
+
(x–8)
–
–
+
( x + 15 )( x – 8 )
+
–
+
Representa en la recta real la solución de las siguientes
desigualdades.
a)
Solución:
De acuerdo a la información que tienes,
( x + 2 )( x + 5 ) < 130, es la desigualdad que debes
resolver.
Ejemplo 6
Los lados de un cuadrado de longitud x se extienden
para formar un rectángulo. Un lado se extiende 2 cm,
y el otro 5 cm. Si el área del rectángulo resultante es
menor de 130 cm2, ¿cuáles son las posibles longitudes
de un lado del cuadrado original?
( x + 2 )( x + 5 ) < 130; x2 + 7x + 10 – 130 < 0;
x2 + 7x – 120 < 0
Factorizando se tiene ( x + 15 )( x – 8 ) < 0. Las raíces
para elaborar el cuadro de variación son: x = –15 y x = 8.
De acuerdo al cuadro, la desigualdad es menor que cero
en el intervalo ] –15, 8 [ , ¡pero cuidado! esa no es la
solución del problema, porque ningún rectángulo tiene
lados de longitud negativa. Las posibles longitudes están
en S = ] 0, 8 [ Sustituye algunos valores del conjunto
solución en la desigualdad ( x + 2 )( x + 5 ) < 130, para
que compruebes si se cumplen las condiciones del
problema.
Resumen
En esta lección has aprendido a resolver desigualdades cuadráticas empleando, fundamentalmente, el cuadro de variación. Para su correcta
aplicación debes seguir los pasos que se te han sugerido:
Emplea las leyes
Identifica
de los signos
la solución
Has analizado también algunas desigualdades polinomiales (de grado mayor que 2) y las desigualdades racionales; concluyendo que el
método del cuadro de variación es igualmente aplicable.
Factoriza
Halla
las raíces
Elabora
el cuadro
Primer Año - Matemática 79
UNIDAD 4
Autocomprobación
3 Sin realizar ningún cálculo, analiza cuál de las
siguientes desigualdades cuadráticas no tienen
solución. ( supón que x ∈ R )
x2 + 1 > 0
x2
<0
b)
4
2
c) ( x − 3 ) > 0
d) 3 x 2 > 0
a)
2
Para resolver la desigualdad racional
x ( x − 3 )( x − 2 )
≥0
x2 − 1
¿Cuántos intervalos diferentes deben colocarse en
el cuadro de variación?
a)
3
b) 4
c) 5
d) 6
La solución de la desigualdad x 2 ≤ 4 x + 12
es:
a)
[ –2, 6 ]
b) ] –∞, 2 [
c) [ 4, 12 ]
d) [ 6,+∞ [
4
La solución de la desigualdad
x −1
≥ 0 , es:
x +2
a)
b)
{ x / x < − 2}
{ x / x > 1}
c)
d)
] –2, 1 ]
] − ∞ , − 2 [ ∪ [ 1, + ∞ [
1. b.
1
Soluciones
2 . a.
3 . c.
4 . d.
MATEMÁTICA: CIENCIA DE DESCUBRIMIENTO
Thomas Harriot. (Oxford, 1560 – Londres, 2 de
julio de 1621) fue un astrónomo, matemático,
etnógrafo y traductor inglés. Fue el creador
de varios símbolos y notaciones empleados en
álgebra usados hasta ahora, como los símbolos
> (mayor que) y < (menor que) Qué te parece
si le pones pensamiento a lo siguiente: ¿Las
potencias conservan el orden?
¿Si a < b, es a2 < b2? ¿Si a < b, es a3 < b3?
Verifica con números, tanto positivos como
negativos y trata de ver si es posible ir generando
una regla de comportamiento. ¿Si a < b, es an <
bn? Es un reto. Pero tú puedes descubrir
y analizar.
Thomas Harriot
80 Matemática - Primer Año
Lección 4
Cuarta Unidad
Medidas de dispersión de los datos
Motivación
Dos comerciantes dedicados a la venta de pescado
registran una venta en libras, durante 9 días así:
Vendedor A:
Vendedor B:
47, 45, 46, 49, 48, 46, 47, 48, 47
44, 47, 50, 57, 37, 44, 47, 50, 47
Al observar los datos, ¿Podrías determinar cuántas
libras de pescado debe tener listo de promedio
diariamente cada vendedor?
Indicadores de logro
Interpretarás, explicarás y valorarás el uso, utilidad e
importancia de las medidas de dispersión.
Calcularás, con seguridad, la desviación media de un conjunto
de datos.
Aplicarás la desviación media en la resolución de problemas.
Resolverás problemas de aplicación de la varianza con
seguridad.
Analicemos la dispersión de los datos
La media aritmética es el punto de equilibrio de los
datos. Si colocas un grupo de niños del mismo peso
sobre la barra de un sube y baja, por ejemplo dos de un
lado y uno del otro; la única manera de mantenerlos en
equilibrio consiste en colocar a los niños, a distancias
apropiadas respecto del punto de apoyo del sube y baja.
Solo así el punto de apoyo se convierte en punto de
equilibrio.
Al calcular la media aritmética hacemos en realidad el
proceso al revés, lo que encontramos es el lugar que debe
ocupar el punto de apoyo para equilibrar los pesos.
Si se colocan 5 libros de igual peso en una barra de
madera graduada a las distancias 2, 8, 6, 5 y 9.
El punto de equilibrio debe colocarse en:
2+8+6+5+9
P =
=6
5
La distancia que separa a un determinado valor de su
respectiva media se le llama desvío. ( 2 – 6 ), ( 8 – 6 ),
son desvíos respecto de la media x = 6.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
X
Dada una muestra de observaciones { x1, x2, x3,...,xn } el
desvío se expresa ( Xi – X ).
Xi = dato, X = media aritmética.
El análisis de las desviaciones de todas las observaciones,
respecto de su propia media aritmética es el camino que
permite obtener, como veremos en esta y las siguientes
lecciones, las medidas de variabilidad más usuales en el
análisis descriptivo de datos.
Primer Año - Matemática 81
UNIDAD 4
Si los desvíos son muy grandes no resulta muy difícil
deducir que los datos están muy alejados de su
respectiva media y que, en consecuencia, se encuentran
muy dispersos. Por el contrario, si todos los desvíos
son pequeños deducimos que los datos están más
concentrados alrededor de su media. La suma de
todos los desvíos, es igual a cero; como vemos en el
siguiente ejemplo.
Punto de apoyo
n
Como X =
∑X
i =1
n
i
n
de aqui: ∑ X i = nX
i =1
Dada la serie de valores de la muestra { 2, 8, 5, 9, 6 }
comprueba que la suma de todas las desviaciones
respecto de la media es igual a cero.
Es evidente que la suma de los desvíos no es una
expresión útil para lo que andamos intentando, es decir,
encontrar una fórmula que nos permita calcular una
medida de la variabilidad de los datos de una muestra o
de una población.
Solución:
Hay dos caminos a seguir con nuestros desvíos:
Ya sabemos que la media de estos datos es X = 6.
a)Convertir todos los desvíos en números positivos, esto
Ejemplo 1
n
∑ xi
x =
n
b)Elevar al cuadrado todos los desvíos ( Xi –
i =1
lo cual se vuelven positivos.
n
30
=
5
=6
∑( x
i =1
i
∑
i =1
X )2, con
Estos dos caminos propuestos conducen a dos medidas
de variabilidad de los datos, muy empleadas: la
desviación media y la varianza.
- x ) = − 4 + 2 + ( −1 ) + 3 + 0 = 0
Xi
(Xi
−X)
2
8
5
9
6
30
2 – 6 = –4
8–6=2
5 – 6 = –1
9–6=3
6–6=0
0
La conclusión anterior es verdadera para cualquier
conjunto de datos, como puedes ver a continuación.
n
es tomar el valor absoluto de los desvíos. | Xi – X |
n
(x i − x ) = ∑ xi −
i =1
=
n
∑x
i =1
i
n
∑x
i =1
− nx
= nx − nx = 0
82 Matemática - Primer Año
se distribuye la
sumatoria
x se repite n veces
UNIDAD 4
¿Por qué es importante estudiar la variabilidad?
Ejemplo 2
Hay al menos dos razones para ello: La primera es que le
agrega confianza a la media aritmética como medida de
tendencia central. Si la desviación es pequeña, la media
se considera que representa mejor al conjunto
de valores, (recuerda que una de las desventajas de la
media aritmética es que se ve muy influenciada por
valores extremos).
La cantidad de libras de pescado vendidas cada día,
durante 9 días, por dos comerciantes de ese producto
fueron registradas así:
La segunda razón es que si se tienen dos conjuntos de
datos que poseen medias aritméticas iguales o muy
parecidas, el análisis de la variabilidad permite apreciar
el grado de dispersión; y una vez más, señalar para cuál
conjunto de valores su media gana representatividad.
Vendedor A:
47, 45, 46, 49, 48, 46, 47, 48, 47
Vendedor B:
44, 47, 50, 57, 37, 44, 47, 50, 47
Determina la amplitud de las ventas en libras para
ambos vendedores y comenta los resultados.
Solución:
Amplitud de A = 49 – 45 = 4 libras
Amplitud de B = 57 – 37 = 20 libras
¿Qué puedes interpretar a partir de la información
obtenida?
Si las ventas se comportan siempre de la misma manera,
el vendedor A no tiene muchos problemas para definir
la cantidad de producto que debe pedir a diario, ya que
sus ventas están dentro de una amplitud muy pequeña
(4 lbs). El vendedor B, en cambio, puede tener alguna
dificultad, puesto que el recorrido de la variable “número
de libras vendidas” es demasiado amplio (20 lbs).
Es bueno recordarte que en estadística, el análisis
descriptivo de los datos es muy importante: ¿Qué
conclusiones relevantes puedes sacar?, ¿Qué
comentarios importantes puedes hacer?
Amplitud o recorrido de la variable
La amplitud es la medida de dispersión más simple. Se
trata de hallar la longitud del intervalo que va del menor
valor observado al mayor valor observado.
Amplitud = mayor valor – menor valor en símbolos:
A=M–m
Aunque es muy fácil de calcular y comprender,
constituye una primera medida de la dispersión de los
datos que permite hacer comparaciones iniciales de
manera rápida.
Primer Año - Matemática 83
UNIDAD 4
1
Actividad
Los ingenieros que controlan la calidad en los procesos industriales utilizan el concepto de amplitud
con el propósito de definir intervalos de aceptación para un producto terminado.
En un proceso de llenado de botellas con cierto líquido, se estableció que la producción está bajo
control si la cantidad de líquido en las botellas se encuentra entre ciertos límites.
Vamos a ver cómo se encuentran esos límites en el siguiente proceso de control.
Se toman cuatro muestras de 5 botellas cada una, a las 8 AM, 9 AM, 10 AM y 11 AM, y se registra la
cantidad de líquido.
Lo datos son los siguientes:
Hora
8 AM
9 AM
10 AM
11 AM
41
39
41
38
43
40
44
39
42
40
43
40
41
39
46
39
43
42
41
39
Calcula la media aritmética y la amplitud para cada hora:
Hora
8 AM
9 AM
10 AM
11 AM
Media
42
40
43
39
164
Amplitud
2
3
5
2
Calcula la media de las medias
164
x =
= 41
4
Calcula la media de las amplitudes
Ā=
Ahora calcula los siguientes límites del intervalo de control.
Límite inferior: Li = 41 – 0.5 Ā =
Límite superior Ls = 41 + 0.5 Ā =
El intervalo de control
se construye sumando y
restando la mitad de Ā.
En este momento estás listo para decidir en qué horas la producción estuvo bajo
control o fuera de control. Toma la media correspondiente a cada hora y observa si está
fuera o dentro del intervalo [ Li , L s ]. Si está dentro, el proceso está bajo control; si está
fuera, el proceso está fuera de control. ¿Hubo algunas horas en que el proceso estuvo
fuera de control?, ¿cuáles fueron?
Vienes de comprobar que el control estadístico de calidad no es cosa del otro mundo
y que descriptores tan simples de cálculo como la media aritmética y la amplitud son
los protagonistas en las decisiones. Vamos a ver ahora una medida de variabilidad más
elaborada y con mayores posibilidades para el análisis.
84 Matemática - Primer Año
UNIDAD 4
Desviación media o desviación media absoluta
Es una medida de variabilidad mejor que la amplitud, ya que toma en cuenta todos los
datos para su cálculo. El procedimiento para obtenerla consiste en calcular todos los
valores absolutos de los desvíos | Xi – X | y luego obtener la media aritmética de
esos valores.
n
DM =
∑x
i =1
−x
, en una muestra
n
N
DM =
i
∑x
i =1
i
−x
, en una población
N
Ejemplo 3
Calcula las desviaciones medias para los datos del ejemplo número 2, que se refiere a
la cantidad de libras de pescado diario que venden los comerciantes A y B. Interpreta y
comenta los resultados.
Solución:
Te invito a que compruebes, en principio, que las medias aritméticas de las ventas
de ambos comerciantes son iguales, X A = 47 y X B = 47 . Durante los 9 días han
vendido en promedio la misma cantidad de libras.
Vendedor A
Vendedor B
X
Xi − X
Xi − X
X
Xi − X
Xi − X
47
45
46
49
48
46
47
48
47
0
–2
–1
2
1
–1
0
1
0
0
2
1
2
1
1
0
1
0
8
44
47
50
57
37
44
47
50
47
–3
0
3
10
–10
–3
0
3
0
3
0
3
10
10
3
0
3
0
32
8
32
= 0.889 = 3.556
DM B =
9
9
Los datos del vendedor A se desvían en menos de una libra respecto de la media 47;
en cambio las cifras del vendedor B, se desvían más de 3 libras y media. ¿Qué puedes
interpretar de estos datos? Se puede decir que la media aritmética del vendedor A es
más representativa que la del vendedor B. Nota que este resultado está diciendo lo
mismo que la amplitud en el ejemplo 2.
DM A =
Primer Año - Matemática 85
UNIDAD 4
La desviación media con datos agrupados
Las fórmulas de cálculo se modifican un poco debido a que se tiene que involucrar a
las frecuencias absolutas de cada clase y al punto medio o marca de clase.
Los desvíos | Xi – X | se entienden como el valor de la marca de clase, menos la media
aritmética. Las fórmulas equivalentes so las siguientes:
n
DM =
∑x
i =1
i
n
N
DM =
∑x
i =1
− x fi
i
− x fi
N
en una muestra e tamaño n
en una población de tamaño N
Ejemplo 4
Una muestra de camiones que utilizan combustible diesel dio los siguientes resultados
de kilómetros recorridos por galón de combustible consumido. Calcula la desviación
media de los recorridos.
Nº de kilómetros
20 – 22
22 – 24
Nº de camiones
2
5
24 – 26
10
26 – 28
8
28 – 30
3
30 – 40
2
Solución:
86 Matemática - Primer Año
Clase
xi
fi
xi f i
xi − X
xi − X fi
20 – 22
22 – 24
24 – 26
26 – 28
28 – 30
30 – 40
21
23
25
27
29
35
2
5
10
8
3
2
30
41
115
250
216
87
70
780
5
3
1
1
5
9
10
15
10
8
15
18
76
UNIDAD 4
Punto de apoyo
Para datos agrupados X =
sea muestra o población
∑x
n
i
fi
ó según sea muestra o población X =
∑x
N
i
fi
según
Los valores Xi son el punto medio de la clase. El total de camiones en la muestra es 30.
780
= 26
La media es: X =
30
76
= 2.53 kilómetros por galón.
30
No es una dispersión muy grande a pesar de que el ancho de clase de la última clase es
más amplio.
La desviación media es DM =
2
Actividad
Diez expertos clasificaron un producto que se pretende sacar al mercado en una escala de 1 a 50.
Sus calificaciones fueron: 34, 35, 41, 28, 26, 29, 32, 36, 38, 40.
a)
¿Cuál es la amplitud de las calificaciones?
b) ¿Cuál es la media aritmética?
c) ¿Calcule la desviación media e interprete el resultado?
d) Un segundo grupo de expertos calificó el mismo producto. La amplitud fue 8, la media
33.9 y la desviación media 1.9. Compara estas calificaciones con las del primer grupo. ¿qué
concluyes?
Resumen
En esta lección has aprendido a calcular dos medidas de tendencia central y a utilizar sus fórmulas
tanto para una serie simple como para una serie agrupada en clase y frecuencias. Pero quizá lo más
importante ha sido el saber interpretar en que consiste la variabilidad de los datos y cómo esta
dispersión influye en la media aritmética.
Te habrás dado cuenta que los desvíos respecto de la media aritmética son el elemento clave para
la construcción de las medidas de variabilidad. Esto quedará más evidenciado en las siguientes
lecciones donde estudiarás otras medidas de dispersión tales como la varianza y la desviación
estándar.
Primer Año - Matemática 87
UNIDAD 4
Autocomprobación
El número de minutos que se tardaron 10 personas
en instalar un dispositivo electrónico se da en la
siguiente lista:
28, 32, 24, 46, 44, 40, 54, 38, 32 y 42.
Selecciona con respecto a estos datos la respuesta
correcta.
Para la media aritmética que proporcionan los datos
la suma de los 10 desvíos no se anula.
b) La media es 30.
c) La amplitud es 30
d) La desviación media es 8.5
a)
10 y 10
b) 9 y 3.5
3
10 y 3.5
d) 9 y 4
c)
Una muestra de datos tiene una desviación media
DM = 5, si se suma una misma cantidad B a cada
uno de los datos, entonces:
a)
La desviación media continua siendo igual a 5
b) La amplitud aumenta en una cantidad B
c) La media de los datos no cambia
d) Los desvíos se vuelven más amplios
2. c.
a)
El número de días que 8 empleados de una empresa
faltaron a su trabajo, por enfermedad, durante los
últimos 6 meses fueron los siguientes: 2, 0, 6, 3, 10,
4 ,1 ,2. ¿Cuál es el valor de la amplitud y la media
aritmética?
1. c.
1
2
Soluciones
3. a.
EL ORIGEN DE ∑
Considera la fórmula X =
∑x
i
fi
n
La letra griega sigma mayúscula que se utiliza
en las fórmulas estadísticas se debe a Euler,
que empezó a usarla en 1755 con estas
palabras "summam indicabimus signo".
En el alfabeto griego sigma es la letra “s”
equivalente a la 's' de suma.
Los griegos pusieron el nombre de sigma a esta
letra y la giraron 90º, fue asi como adquirio la
forma parecida al número 3, aunque este con el
paso del tiempo perdió la primitiva angulosidad.
88 Matemática - Primer Año
Lección 5
Cuarta Unidad
varianza
Motivación
L
as calificaciones obtenidas por los asistentes a un
curso de capacitación de Lenguaje dividido en dos
secciones son las siguientes:
Sección A: 10, 5, 9, 10, 6
Sección B: 9, 7, 8, 10, 6
Si te adelanto que cada grupo tiene la misma media
aritmética,
¿En cuál de las secciones existe mayor variabilidad?
Indicadores de logro
Definirás, diferenciarás, denotarás y explicarás, con claridad, la
varianza poblacional y la varianza muestral.
Calcularás, con seguridad, la varianza poblacional y la varianza
muestral para datos no agrupados y agrupados.
Viste en la lección anterior, que un camino para salvar el
problema de la anulación de la suma de los desvíos con
respecto a la media:
∑( x
i
−x )=0
Consistía en elevar al cuadrado todos los desvíos , con
el propósito que se convirtieran en números positivos.
Si a continuación realiza la suma de todos los desvíos
cuadráticos para todas las observaciones:
∑( x
i
− x )2
Puedes concluir, intuitivamente, que la suma será un
valor grande, si los desvíos son grandes; y será un valor
pequeño, si los desvíos son pequeños.
Resolverás problemas de aplicación de la varianza, con
seguridad.
Varianza poblacional y varianza de la
muestra
El razonamiento que se ha hecho de hacer es el que
te permite construir y definir una de las medidas de
variabilidad, quizá la más importante del análisis
descriptivo de datos.
Si {X1, X 2 , X3,..., XN}, constituye una población de N
medidas, la varianza de la población no es más que la
media aritmética de todos los desvíos cuadráticos.
N
σ2 =
∑( x
i =1
i
− µ )2
N
Primer Año - Matemática 89
UNIDAD 4
La letra griega σ 2 ( que se lee sigma cuadrado ) denota la varianza poblacional y la letra ( que se lee miu ) simboliza la
media aritmética poblacional.
Si { X1, X 2 , X3,..., Xn }, constituye una muestra de n medidas de una población, la varianza de la muestra es igual a la
suma de todos los desvíos cuadráticos, dividida entre ( n – 1 )
n
s2 =
∑( x
i =1
i
− x )2
, s2 simboliza la varianza muestral. Observa que en la fórmula
n −1
para la muestra se divide entre ( n – 1 ) y no entre n, que es el tamaño de la muestra.
En Estadística, la pretensión es que la medida descriptiva (media aritmética, varianza,..) calculada en una muestra de
una población, sea lo más cercana posible a la medida equivalente en la población. Si la varianza se calcula dividiendo
entre n y no entre ( n – 1 ), el valor de s2 resulta más pequeño y tiene menos posibilidades de parecerse a σ 2 .
Ejemplo 1
El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto varían
los pesos de las bolsas de cereal ( en gramos ), que empacan en una
determinada presentación. Deciden para ello tomar al azar una muestra de
5 bolsas y pesarlas. Las medidas obtenidas en gramos fueron las siguientes:
{ 490, 500, 510, 515 y 520 }. Calcula la varianza muestral.
Solución
Primero debes calcular la media
490 + 500 + 510 + 515 + 520
X =
5
2535
=
= 507
5
Luego debes utilizar la fórmula para la muestra:
n
s 2=
∑( x
i =1
i
− x )2
n −1
Los cálculos son los siguientes:
( 490 − 507 )2 + ( 500 − 507 )2 + ( 510 − 507 )2 + ( 515 − 507 )2 + ( 520 − 507 )2
2
s =
( 5 − 1)
s2 =
( − 17 )2 + ( − 7 )2 + ( 3) 2 + ( 8 )2 + ( 13 )2
4
580
289 + 49 + 9 + 64 + 169
⇒ 145
⇒
=
4
4
90 Matemática - Primer Año
UNIDAD 4
El valor que haz obtenido de la varianza muestral,
s2 = 145, sería mucho más útil si tuviera con quien
compararlo. Por ejemplo, si a nivel de la industria de ese
producto, hubiera una medida aceptada de varianza
poblacional.
En el siguiente ejemplo de comparación de dos grupos,
su utilidad aparece más evidente.
Ejemplo 2
Resuelve el planteamiento que aparece al inicio de
esta lección, que se refiere a las notas en el examen de
lenguaje de dos secciones de 5 estudiantes cada una,
donde quieres comparar la variabilidad. Considera que
cada sección representa una población.
Solución:
Debemos calcular la varianza para ambos grupos:
Grupo A:
∑x
10 + 5 + 9 + 10 + 6
5
N
40
=
5
=8
Organiza el siguiente cuadro de cálculo:
µ=
=
x
5
6
9
10
10
40
x –μ
5–8
6–8
9–8
10 – 8
10 – 8
(x –μ)2
9
4
1
4
4
22
Ahora efectúas los cálculos para el grupo B:
Grupo B:
µ=
∑x
N
9 + 7 + 8 + 10 + 6
5
40
=
5
=8
=
x
6
7
8
9
10
40
x –μ
6–8
7–8
8–8
9–8
10 – 8
(x –μ)2
4
1
0
1
4
10
Al aplicar la fórmula tienes:
( x − µ )2
∑
2
σ =
N
10
σ2 =
=2
5
Al comparar los resultados de las varianzas de ambos
grupos: varianza A = 4.4, varianza B = 2, concluyes que
la variabilidad es mayor en A que en B. Como las notas
de ambas secciones tienen la misma media aritmética,
las varianzas reflejan fielmente que la dispersión de las
notas es mayor en la sección A; lo cual también se refleja
en la mayor amplitud del grupo A. Podría decirse que las
notas de la sección B guardan más homogeneidad.
Al aplicar la fórmula tienes:
σ =
2
σ2 =
∑( x − µ )
2
N
22
= 4.4
5
Primer Año - Matemática 91
UNIDAD 4
Fórmulas alternativas de cálculo
Si el binomio que aparece en la fórmula de la varianza
n
s2 =
∑( x
i =1
− x )2
i
n −1
de cálculo: s =
2
1
obtienes una expresión alternativa
∑x
2
i
−
( ∑ x i )2
n
para la varianza
n −1
de la muestra y una equivalente para la varianza
∑x
poblacional: σ 2 =
2
i
−
( ∑ x i )2
N
Ejemplo 3
N
Calcula la varianza de la siguiente muestra de valores
{ 2, 8, 5, 9, 6 }, empleando la fórmula alternativa.
Solución:
Como se trata de una muestra, la fórmula que
utilizarás es:
s2 =
∑x
2
i
−
( ∑ x i )2
n
n −1
Al completar la tabla y realizar los cálculos
correspondientes se tiene:
x
2
5
6
8
9
30
s2 =
x2
4
25
36
64
81
210
( 30 )2
5
5−1
210 −
30
5−1
30
=
4
= 7.5
Actividad
s2 =
Nota que la fórmula solo requirió dos
columnas de cálculos. Muy simple, ¿no?
92 Matemática - Primer Año
1.Diez expertos calificaron un producto que se
pretende sacar al mercado en una escala de 1 a 50. Sus
calificaciones fueron: 34, 35, 41, 28, 26, 29, 32, 36, 38, 40.
a)
Calcula la amplitud de las calificaciones
b) Calcula el valor de la media
c) Utiliza la fórmula alternativa y calcula la varianza
2.Encuentra la varianza de las edades, en años, de 6
estudiantes de un centro escolar: 6, 8, 9, 10,4, 5.
3.Determina en qué lugar la temperatura es más variable:
Temperatura en ºC, en el país MN: 19, 19, 20, 21, 23, 23,
22, 26, 25, 26, 26, 20
Temperatura en ºC, en el país XY: 2, 3, 3, 5, 8, 10, 15, 17,
19, 25, 27, 39.
UNIDAD 4
Cálculo de la varianza para datos agrupados
Cuando se tienen los datos en un cuadro de distribución de clases y frecuencias, las
fórmulas se modifican precisamente porque debemos hacer intervenir las frecuencias
absolutas correspondientes a cada clase y el representante de la clase (más conocido
como punto medio o marca de clase).
Para una población:
σ2 =
∑( x − µ )
2
f
N
Para una muestra:
n
s2 =
∑( x
i =1
i
− x )2 f
n −1
y su fórmula alternativa σ 2 =
y su fórmula alternativa s 2 =
∑x
2
( ∑ xf )2
f −
N
∑x 2 f −
N
( ∑ xf )2
n −1
n
Ejemplo 4
Una muestra de camiones que utilizan combustible
diesel dio los siguientes resultados de kilómetros
recorridos por galón de combustible consumido.
Calcula la varianza
Nº de kilometros
20 – 22
22 – 24
24 – 26
26 – 28
28 – 30
30 – 40
x2
2
5
10
8
3
2
Los valores x corresponden en este caso al punto medio
de la clase. El total de camiones en la muestra es 30.
780
La media es X =
= 26
30
Al sustituir los valores en la fórmula tienes:
s2 =
20 , 582 −
29
( 780 )2
30
302
29
= 10.41
Se tiene una varianza de 10.41 kilómetros cuadrados.
=
Solución:
Utilizas la fórmula alternativa para calcular la varianza.
( Una sugerencia: comprueba el resultado empleando la
otra fórmula, es decir la que proviene de la definición )
El cuadro que se requiere es el siguiente:
Clase
20 – 22
22 – 24
24 – 26
26 – 28
28 – 30
30 – 40
Total
x
21
23
25
27
29
35
f
2
5
10
8
3
2
30
xf
41
115
250
216
87
70
780
xf2
882
2,645
6,250
5,832
2,523
2,450
20,582
Primer Año - Matemática 93
UNIDAD 4
2
Actividad
Se tomó una muestra de 50 estudiantes para conocer el grado de variabilidad de
los resultados de un examen de admisión en una universidad del país. Las notas
obtenidas se muestran en la siguiente tabla:
Puntajes
20 – 30
31 – 39
40 – 48
49 – 57
58 – 66
67 – 75
f
2
8
12
13
10
5
Completa el cuadro que se da a continuación y calcula la varianza de los datos
empleando las dos fórmulas de cálculo.
Solución:
(x − x ) (x − x )
Puntajes
f
xi
xi f
x2 f
20 – 30
31 – 39
40 – 48
49 – 57
58 – 66
67 – 75
Total
2
8
12
13
10
5
50
26
35
44
53
62
71
52
1,352
600.25
355
2,524
25,205
134,546
420.25
Comprueba que la media es: 50.48
2
i
2
i
1,200.50
1,922.00
507.00
81.25
1,322.50
2,101.25
7,134.50
( utiliza 50.5 para calcular los desvíos )
∑( x − µ ) f el resultado es:
Al emplear la fórmula σ 2 =
N
( ∑ xf )2
2
x
f
−
∑
n
Al emplear la fórmula s 2 =
el resultado es: ¿Encuentras alguna
n −1
( S2 = 145.60 )
diferencia?
94 Matemática - Primer Año
2
f
UNIDAD 4
3
Actividad
a)Calcula la varianza en la siguiente información
Años estudiados por 60 trabajadores de una empresa
Años
2-4
5-7
8 - 10
11 - 13
14 - 16
17 - 19
Total
Frecuencia
8
7
13
16
10
6
60
Resumen
En esta lección has estudiado una de las medidas de dispersión o variabilidad de las más
importantes en el análisis estadístico de datos.
Se te han presentado las expresiones de cálculo para la población y para una muestra, y has podido
también comprobar la coincidencia de las fórmulas alternativas de calculo, tanto para la serie simple
de datos como para la serie agrupada en clases y frecuencias.
Pero hay algo que quizá no has advertido de esta medida y que se puede considerar en esta etapa
descriptiva como una desventaja de la varianza. Si te remites al final del ejercicio 29, leerás lo
siguiente” se tiene una varianza de 10.41 kilómetros cuadrados”.
Esa es la desventaja, la varianza eleva al cuadrado las unidades de la variable; y esto dificulta la
comparación con la media de los datos. En la próxima unidad estudiarás la desviación típica, que no
tiene ese problema ya que es la raíz cuadrada de la varianza.
Primer Año - Matemática 95
UNIDAD 4
La fórmula que utilizas para calcular la varianza
para datos no agrupados que corresponden a
una muestra es:
b)
c)
−
( ∑ x i )2
∑ x i2 −
∑x
f −
n
i
b)
4
n
1.5
c)
8
d)
1.2
Suponte que los precios de los pasajes de las rutas
de transporte del país tienen actualmente una
varianza de 50 centavos de dólar. Si se le aumentan
30 centavos al pasaje de todas las rutas, entonces la
varianza de estos nuevos precios es:
50 +
d) 20
50
b) 80
c)
30
− µ )2 f
Con referencia al ejercicio número 2, de arriba,
suponte que las calificaciones de Juan, un amigo de
Pedro, fueron de un punto menos en cada materia.
¿Cuál es la varianza de sus notas?
N
a)
3. a.
∑( x
6
a)
( ∑ x i f )2
n −1
d)
3
( ∑ x i )2
n −1
2
i
a)
N
N
Las calificaciones de Pedro, al final del año, en las 5
materias que cursó fueron: 7, 8, 7, 10, 8. Al calcular la
varianza obtienes:
2. d.
a)
∑x
2
i
2
6
b)
1.5 c) 8
1. b.
1
d)
1.2
Soluciones
Autocomprobación
4. d.
RANGO INTERCUARTÍLICO
La distancia entre el primer cuartil y el tercer
cuartil se llama rango - intercuartílico.
RI = Q3 – Q1
20
24,5
33,5
39
Xmín
Q1
Q2
Q3
96 Matemática - Primer Año
45
Xmáx
Esta medida es empleada en el análisis
descriptivo para identificar valores
extremos(outliers). Se calculan dos límites:
f1 = Q1 – 1.5 RI y f2 = Q3 + 1.5 RI
Los valores que se encuentran fuera del intervalo
( f1, f2 ) se consideran outliers. Son valores que
deben revisarse pues pueden distorsionar los
resultados de algunas medidas centrales o de
dispersión.
Solucionario
Lección 1
Actividad 1:
Actividad 2:
Actividad 3:
a)
28°C – 34°C
c) 30 km/h – 60 km/h
d) 5 lb – 9 lb
a) 9
b) 4
c) 4
d) 3/2
a)
b)
c)
d)
e)
Actividad 4:
abierto por la izquierda
abierto por la derecha
abierto por la derecha
abierto
cerrado
a)
[ − 1, + ∞ [
b)
] −2, 4 ]
c)
[ 0, + ∞ [
d)
] −∞, −2 ]
e)
] −4, 3[
finito
finito
infinito
infinito
finito
-1
0
-2
0
4
0
-4
-2
0
0
3
Lección 2
] −2, +∞ [
b) ] − ∞ , 12 ]
c) ] − ∞ , 3 [
Actividad 1:
a)
Actividad 2:
a)
 −2, + ∞ 
 3

b)
[ −4, 9 ]
Primer Año - Matemática 97
Solucionario
Lección 3
Actividad 1: a) s = R
b) s = R − {2}
c) s = [ − 2 , 2 ]
d) s = φ
e) R
Actividad 2:
–∞
x +7
3
–7
+∞
x −3
–
–
+
–
–
+
( x + 7 )( x − 3 )
+
–
+
Actividad 3:
a)
b)
c)
1
S =  − 4 , − 
3 

S = ] −2, 0 [ ∪ ] 2, +∞ [
S = ] −2, 5 ]
Lección 4
Actividad 1: Ā = 3; Li = 39.33; Ls = 42.67; Proceso fuera de control en 10 AM y 11 AM
Actividad 2: a) 15
b) 33.9
c) 4.85
d) El segundo grupo es más homogéneo
Lección 5
Actividad 1:
1. a) 15 b) 33.9 c) 23.49
2. 5.6
3. País XY Sd = 2.63, país MN Sd = 11.56, país MN es más variable
Actividad 3:
a) 19.97
98 Matemática - Primer Año
Proyecto
Se trata de que analices la variabilidad de dos o más conjuntos de datos, a través de la
amplitud y la varianza.
Para ello debes consultar a todos los estudiantes de una clase de primero de
bachillerato o bien de segundo, lo siguiente:
Edad
( Años cumplidos )
Peso
( Libras )
Nota de tu último examen de Matemática
Nota de tu último examen de Sociales
Se te pide lo siguiente:
¿En cuál de las variables: edad o peso esperarías mayor amplitud?
¿En cuál de las notas de examen esperarías menor amplitud?
Elabora cuadros de distribución en clases y frecuencias para cada variable y señala
algunas observaciones relevantes.
Primer Año - Matemática 99
Recursos
Materiales: calculadora, regla
AGUILERA Liborio Raúl, Matemática Primer año de bachillerato, Talleres
gráficos UCA, San Salvador, El Salvador 1996, 455p.
BONILLA Gildaberto, Estadística, elementos de estadística descriptiva y
probabilidad, UCA Editores, 6ª Edición, San Salvador, El Salvador, 1999,
558p.
CHRISTENSEN, Howard B, Estadística paso a paso, Editorial Trillas, 2ª
Edición. México, 1990, 682p.
GALO de Navarro, Gloria, Matemática Primer año de bachillerato, UCA
Editores, 1ª Edición, San Salvador, El Salvador, 2006, 604p.
INFANTE Gil,Said y Zárate de Lara Guillermo, Métodos estadísticos,
Editorial Trillas, , 10ª Edición, México, 2000, 643p.
QUINTANA Ruiz, Carlos. Estadística Elemental, Editorial UCR. Costa Rica
2003, 320p.
Enciclopedia libre Wikipedia: Estadística
es.wikipedia.org/wiki/Estadística febrero 2008
http://www.actinver.com/herramientas/actinver/glosario/V.htm
100 Matemática - Primer Año