TRABAJO PRÁCTICO Nº1 LÓGICA Ejercicio 1 Decidir cuáles de los

TRABAJO PRÁCTICO Nº1
LÓGICA
Ejercicio 1
Decidir cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones:
a) B es la primera letra del alfabeto
b) 27 es un número primo
c) Hoy llueve
d) x es un número impar
e) ∀ x ∈ N; x es un número impar
f) ∃ x / x es impar
Ejercicio 2
a) Usando solamente los conectivos ∨ y ∼ escriba una proposición equivalente
a cada caso:
i) p ∧ ∼q
ii) ∼(∼p ∧ q)
iii) p ∧ q
iv) p ⇒ q
v) ∼(p ⇒ ∼q)
vi) p ⇔ q
vii) p ⇒ (q ∧ r)
viii) ∼(p ∧ q)
ix) ∼( p ⇒ q)
b) Considerar un nuevo conectivo lógico ⊕, tal que p ⊕ q sea equivalente a
∼p ∨ q
i) Construir la tabla de verdad de p ⊕ q
ii) Construir la tabla de verdad de (p ⊕ q ) ⊕ (q ⊕ p ), ¿a qué operación
lógica simple es equivalente?
c) Considerar un nuevo conectivo lógico * donde: p * q exprese : “ni p, ni q”
i) Construya la tabla de verdad de p * q
ii) Construya la tabla de verdad de (p * q) * (p * q). ¿Qué operación tiene la
misma tabla?
d) Construya tablas para las siguientes expresiones y coloque las mismas en
orden de tal modo que cada fórmula implique las siguientes:
i) ∼p ⇔ q
ii) p ⇒ (∼p ⇒ q)
iii) ∼[p ⇒ (q ⇒ p)]
iv) p ∨ q v) ∼p ∧ q
Ejercicio 3
Un estudiante se enfrenta con un examen del tipo V ó F consistente en cinco
preguntas. Él sabe que su profesor siempre pone más respuestas V que F y
que jamás pone tres preguntas juntas con la misma respuesta. De la naturaleza
de la primera y la última pregunta él sabe que las respuestas a las mismas
deben ser opuestas. La única pregunta de la que él conoce la respuesta es la
segunda. Esto le asegura a él de que tiene todas las respuesta correctas. ¿Qué
supo acerca de la segunda pregunta?. ¿Cuáles son las respuestas a las cinco
preguntas?.
Ejercicio 4
1. Sean las siguientes proposiciones:
p: pasaré de curso
q: haré los deberes regularmente
Ponga las siguientes expresiones en forma simbólica:
a) Pasaré de curso sólo si hago los deberes regularmente
b) Hacer los deberes regularmente es necesario para pasar de curso
c) Pasar de curso es suficiente para hacer los deberes regularmente
d) Pasaré este curso si y sólo si hago los deberes regularmente
e) Hacer los deberes regularmente es una condición necesaria y suficiente
para que yo pase de curso.
2. Sean las siguientes proposiciones:
p: un triángulo es isósceles
q: un triángulo tiene sus tres lados
congruentes
a) Analizar el valor de verdad de p ⇒ q y q ⇒ p
b) Decir qué tipo de condición es p para q según el resultado obtenido en
a)
3. Idem al anterior:
p: un polígono es un rectángulo q: un polígono es un cuadrado
4. Sea la afirmación “Si Ud. no elige a V.J. Ud.no tendrá un gobierno honesto”
una afirmación válida. ¿Garantiza un gobierno honesto el que fue elegido
V.J.?
Ejercicio 5
a) Demuestre que para que las proposiciones p, q y r sean equivalentes es
suficiente que sean verdaderas las siguientes implicaciones: q ⇒ p, p ⇒ r y
r⇒q
b) Para los siguientes casos se da el valor de verdad de una proposición
simple. Indique si es posible, a partir de ello, dar el valor de verdad de la
proposición compuesta dada en cada caso:
i) p ⇒ (q ∧ r) v(p) = F
ii) (p ∨ q) ⇒ r v(r) = V
iii) (p ⇒ r) ⇔ (p ∨ r) v(p) = F
iv) (p ∧ q) ⇒ r v(r) = V
v) (p ∨ q) ∧ p v(p) = V
vi) p ⇒ (q ∨ r) v(r) = V
vii) (p ∧ q) ⇒ r v(q) = V
c) Demostrar las siguientes leyes lógicas:
i) Involución
ii) Idempotencia
iii) Conmutatividad
iv) Asociatividad
v) Distributividad
d) Demostrar las siguientes leyes:
i) [ p ⇒ (q ∨ r)] ⇔ [(p ∧ ∼r) ⇒ q ]
ii) (p ∧ q) ⇒ q
iii) p ⇒ (p ∨ q)
Ejercicio 6
Para cada una de las siguientes proposiciones se pide:
1) Escribir en forma simbólica
2) Negar en forma simbólica y coloquial.
3) Si es una implicación:
i) Escribir sus implicaciones asociadas en forma simbólica y
coloquial
ii) Dé el valor de verdad de la directa y la recíproca, y de acuerdo con
sus respuestas, indique si el antecedente es condición necesaria y/o
suficiente para el consecuente y recíprocamente.
a) Si un número es impar, su cuadrado es impar.
b) Todo número divisible por 10 es divisible por 2.
c) Todo número múltiplo de 6 es también múltiplo de 3.
d) Existen números enteros que son negativos pero no impares.
e) La suma de dos números impares es un número par.
f) Dos triángulos son semejantes sólo si sus lados homólogos son
proporcionales.
g) Para que C sea subconjunto de la unión de A con B es necesario que sea
subconjunto de ambos. ¿Cuál es la condición suficiente para que C esté
contenido en A y C esté contenido en B?. Escriba simbólicamente.
h) Existen números enteros que son negativos pero no pares
i) Todo múltiplo de 2 es múltiplo de 4
j) Todos los números enteros son impares
k) Todo entero admite un inverso aditivo
l) En los enteros hay un elemento neutro
m) Si un número es par, positivo y primo entoces es igual a 2
n) Si la suma de dos cuadrados es otro cuadrado entonces alguno de los
términos es par.
o) El 1 es divisor de cualquier número
p) Todo número tiene una cantidad finita de divisores.
Ejercicio 7
Demuestre las siguientes implicaciones, en caso de ser verdaderas, por el
método que considere más apropiado; en caso de ser falsas refute con un
contraejemplo:
a) Si un número es divisible por 15 entonces es divisible por 3 y por 5.
b) Es suficiente que el producto de dos números sea par para que uno de
ellos sea par.
c) Si a es múltiplo de b y c, también es múltiplo de b.c .
d) La suma de dos números pares da como resultado un número par.
e) Si un número es par su cuadrado es par
f) Dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas entre sí
g) Si un número es divisible por 20 entonces es divisible por 4 y por 5.
h) Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, demostrar la equivalencia de las
siguientes proposiciones:
i) A ⊂ B ⇔ Ac ⊂ Bc
ii) A ∪ B = B ⇔ A ∩ B = A
Ejercicio 8
En los siguientes teoremas o propiedades identificar hipótesis y tésis:
a) Por un punto exterior a una recta pasa una única paralela a dicha recta.
b) Las raíces cúbicas de un complejo representan los vértices de un
triángulo equilátero.
c) La función nula es la única función de R en R que es par e impar.
d) Todo polinomio con coeficientes simétricos iguales que admite como raíz
a un número, también admite como raíz a su inverso.
e) Existe una única función polinómica de grado n cuyo gráfico pasa por
n+1 puntos fijos del plano.
f) La composición de funciones biyectivas es biyectiva.
g) Si un polinomio real P(x), de grado n, con coeficientes enteros, admite
una raíz racional
p
q
(donde
p
q
es una fracción en su mínima expresión)
entonces p es divisor del término independiente y q lo es del coeficiente
principal.
Ejercicio 9
1. Dada la propiedad de polinomios: "Todo polinomio de grado impar que tiene
sus coeficientes simétricos iguales, admite como raíz a -1".
a) Determinar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas.
Justificar:
i. Existen polinomios de grado impar que tienen sus coeficientes
simétricos iguales pero no admiten como raíz a -1.
ii.
Todo polinomio que admite como raíz a -1 es de grado impar y tiene
sus coeficientes simétricos iguales.
iii. Todo polinomio que no admite como raíz a -1 es de grado par o no
tiene coeficientes simétricos iguales.
b) Considere el polinomio P( x) = 2 x 6 + 3 x 5 + x 4 + x 2 + 3 x + 2 que tiene sus
coeficientes simétricos iguales, no cumple la hipótesis de la propiedad
por ser de grado par y sin embargo cumple la tesis porque -1 es raíz.
¿Contradice este ejemplo la propiedad dada?.
2. Conociendo el teorema: “Si un polinomio con coeficientes reales admite una
raíz compleja, su conjugado también es raíz”; diga cuáles de las siguientes
proposiciones son verdaderas:
a) Existen polinomios con coeficientes complejos que si admiten como raíz
un complejo, también admiten como raíz a su conjugado.
b) Existen polinomios con coeficientes reales que admiten como raíz un
complejo, pero no a su conjugado.
c) Existen polinomios con coeficientes complejos que admiten como raíz un
complejo pero no a su conjugado.
d) Si un polinomio no tiene coeficientes reales y admite como raíz a un
complejo, entonces su conjugado no es raíz.