Asignación 3: Resolución de las ecuaciones (0.4) Nombre: Escriba

Asignación 3: Resolución de las ecuaciones (0.4)
Escriba su respuesta en los espacios indicados.
Nombre:______________
1a. Una forma de resolver ecuaciones algebraicas en Mathematica consiste en utilizar el comando
Solve. Por ejemplo, podemos encontrar los ceros de f(x) = x2 – 3x + 2 como en el Ejemplo 4.1 ejecutando el comando f[x_] = x^2 – 3x + 2, seguido de
Solve[f[x] == 0, x]
Indique el resultado a continuación. (El doble signo igual = = indica una ecuación en Mathematica. Se
pueden escribir "reglas de sustitución" tales como {{x->1},{x->2}} en la salida de Mathematica
simplemente como "x = 1 o x = 2").
1b. El comando Solve puede utilizarse en ecuaciones más complicadas, como la estudiada en el
Ejemplo 4.2; Ejecute los comandos Clear[f] y
f[x_] = x^3 – x^2 – 2x + 2
seguidos de Solve[f[x] == 0, x] para encontrar los ceros de f(x) = x3 – x2 – 2x + 2, e indique el
resultado a continuación.
1c. Una vez más, Mathematica no ha proporcionado una respuesta completamente decimal. Podemos
obtener una respuesta decimal asignando un nombre, como por ejemplo solns, a las soluciones que
Mathematica encuentre y luego aplicando el comando N a dichas soluciones. Ejecute el comando
solns = Solve[f[x] == 0, x]
seguido de N[solns] e indique el resultado a continuación.
2a. Algunas veces, el comando Solve es incapaz de resolver una ecuación algebraicamente; en este
caso, podemos tratar de resolverla numéricamente, como hemos mencionado en el Ejemplo 4.5, utilizando el comando FindRoot. Este comando FindRoot requiere, sin embargo, saber de antemano un
valor aproximado de la solución, y este valor puede encontrarse usualmente dibujando una gráfica.
Como ejemplo, ejecute el comando
Solve[Cos[x] == x^2 – 1, x]
para tratar de resolver la ecuación cos x = x2 – 1 del Ejercicio 39 del texto. (Veremos cómo utilizar
Mathematica con funciones trigonométricas en general más adelante). Indique el resultado a continuación; ¿Hemos obtenido la respuesta deseada?
2b. Para utilizar en su lugar FindRoot, comenzaremos con una gráfica que muestre dónde se encuentran aproximadamente las soluciones, si es que existen. Ejecute el comando
Plot[{Cos[x], x^2 - 1}, {x, -5, 5}]
para dibujar cada lado de la ecuación en función de x en
el dominio –5 ⱕ x ⱕ 5, y copie el resultado en los ejes
de la derecha. En esta gráfica parece que existen soluciones aproximadamente en x = ⫾1, con lo que
podemos usar esta información en el comando
FindRoot.
2c. Puesto que FindRoot, estrictamente hablando, sólo calcula ceros de funciones, consideraremos que
estamos tratando de hallar los ceros de la función cos x – (x2 – 1), en lugar de resolver la ecuación cos x
= x2 – 1, aunque por supuesto ambas cosas son equivalentes. Ejecute el comando
FindRoot[Cos[x] - (x^2 - 1), {x, 1}]
para hallar un valor preciso de la solución de la ecuación cerca de x = 1, y ejecute de forma similar
FindRoot[Cos[x] - (x^2 - 1), {x, 1}]
para hacer lo mismo cerca de x = –1; indique el resultado a continuación.
2d. Ahora cambie las partes b y c para resolver la ecuación cos x = x2 – 5 en lugar de la anterior;
acuérdese de sustituir el 1 en {x, 1} por el valor inicial apropiado sugerido por la gráfica, y lo mismo
para{x, -1}. Indique las soluciones a continuación.
3a. Mathematica puede realizar muchas otras operaciones algebraicas. Por ejemplo, el comando
Expand expande expresiones algebraicas; ejecute el comando Expand [(x + y)^7] para
expandir la expresión binomial (x + y)7 e indique el resultado a continuación.
3b. De la misma forma, el comando Factor factoriza expresiones; ejecute el comando
Factor[x^4 - 3x^2 + 2]
para encontrar los factores de x4 – 3x2 + 2 e indique el resultado a continuación (Véase el Ejercicio 18).