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SECCION
13
RELACIONES DE ORDEN,
13.J.1. d e f i n i c i ó n .
Una r e l a c i ó n R ( x, y | e n t r e e l e m e n t o s de E se l l a m a Relación de Orden s o b r e E si;
.
a)
P a r a todo x e E, x e s t á r e l a c i o n a d o consigo nnismo:
( V XG E) (R fx, x ^ )
b)
P a r a todo x e E
X = y o sea:
i
y <S E .
( V x e E)( V y ^ E )
(Reflexividad)
si .'R [ x , y^
A R ÍY> ^ \
entonces r. -
( R ( x , y^ A R jy. x] ,={> x = y)
j Anti s i m e t r í a )
c)
P a r a todo x, y, z GlE
R | x , z \ , o sea:
si
R |x, y J
R jy, z }
( \ / x e E ) ( V y e E ) ( Vz e E ) (R(x,.,y)
entonces
A R í y . z | = > R fx, z ) )
(Transitividad)
Ejemplos;
1)
La r e l a c i ó n de inclusión ( CZ. ) e n t r e e l e m e n t o s de / ^ (E) e s una r e í a ción de o r d e n s o b r e ( o ( E ) .
V e a m o s ; Sean A, B , C £ / ^ (E)
a)
P a r a todo A G í^) (E)
b)
P a r a todo
A e ^ j (E) ;
ACB
c)
se t i e n e
B^
A BCA
ACÁ
Q> (E)
=>
se t i e n e que;
A = B
P a r a todo A, B , C 6i A (E)
Si
A C B A B C C
entonces
AC C
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2)
Sea i V el conjunto de los n ú m e r o s n a t u r a l e s .
es una r e l a c i ó n de orden en t h l .
¿tJ »
x divide a x
La r e l a c i ó n I'divide a "
a)
P a r a todo x e
(x/x)
b)
Si X divide a y i y divide a x
(x/y /^ y / x ) e x i s t e n dos nú m e r o s n a t u r a l e s k, k' t a l e s que y = k x A X = k ' y .
Luego:
y = k(k'y).
Si y ^ O se tiene que k k ' = 1 con lo cual k = k' = 1.
Luego X = y.
•
;
c)
Si x / y A y / z entonces x / z puesto que y = k x /t^ z = k ' y
entonces z = k k ' x. Y como k k ' e Jíll. entonces x / z .
Notación:
Si R I X, y ^ es una: r e l a c i ó n de orden s o b r e un conjunto E , en l u g a r de e s c r i b i r R j x , y^ se e s c r i b e "x ¿ y " y s e l e e ; "x m e n o r ó igual que y " .
E n t o n c e s , si x 4 y e s una r e l a c i ó n de orden s o b r e E se t i e n e p a r a todo
X, y, z e E .
a)
X é X
1*)
x ¿ y A y < x
s=^ X = y
c)
x ^ y A y é z
=:^ X í
13. 2
z
Definición.
Un conjunto E dotado de una r e l a c i ó n de o r d e n " á " s o b r e E se l l a m a un
conjunto ordenado. D i r e m o s que la p a r e j a (E, ;é ) es un o r d e n s o b r e E .
Ejemplos;
1)
( /0(E) , C )
e s un conjunto o r d e n a d o .
2)
( jvj , ¿
)
es un conjunto ordenado,,
3)
( Iw . /
)
e s un conjunto o r d e n a d o .
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Nota:
A menudo una r e l a c i ó n reflexiva, t r a n s i t i v a y a n t i s i m é t r i c a se l l a m a r e lación de o r d e n p a r c i a l y a la p a r e j a (E. ^ ) se l e l l a m a t a m b i é n conjun to parcialnnente o r d e n a d o .
Definición:
Sea " é " una r e l a c i ó n de o r d e n s o b r e E .
que;
x i y ó y ^ x
se dice que " ¿
denado.
Si p a r a todo x. y e E
se tiene
" es de orden total y que e l conjunto E e s t o t a l m e n t e o r -
Ejemplos:
1)
La r e l a c i ó n " C " ( r e l a c i ó n de inclusión) no e s una r e l a c i ó n de orden
t o t a l p u e s t o que dados A, B £ (^(E) no p o d e m o s a f i r m a r que:
A C B ó B C A
2)
n
La r e l a c i ó n " m a y o r o igual q u e " e n t r e n ú m e r o s p a r c i a l e s o n ú m e r o s
r e a l e s es una r e l a c i ó n de o r d e n t o t a l . La r e l a c i ó n " m a y o r o igual q u e "
la e s c r i b i m o s " "^ "'.
1 3 . 3.-»':Definición.
Sea E un conjunto o r d e n a d o por la r e l a c i ó n '4nenor o i g u a l " ( ¿ ).
Sea A CZ E . Se dice que y S E e s una cota s u p e r i o r ( r e s p e c t i v a m e n t e ;
Una cota i n f e r i o r ) de A en E s i p a r a todo x e A se tiene que x g y ( r e s p e c t i v a m e n t e : y 4 x).
E s decir;
( y x 6. A) (x ¿ y)
(respectivamente:
( Y x e. A) (y á. x) )
Ejemplos;
1)
Sea A e l siguiente conjunto < x £ | j 2 . / ~ S £z x S
v5 i
E n t o n c e s todos los n ú m e r o s r e a l e s m a y o r e s que V5 e incluso VS son
cotas s u p e r i o r e s del conjunto A. A d e m á s e l conjunto«{^x Q IB / x ¿ - Sie s t a f o r m a d o p o r t o d a s l a s c o t a s i n f e r i o r e s d e l conjunto A.
72'
Gráficamente:
-E
Cotas
Superiores
Cotas
«^r=
Inferiores
2)
Sea el conjunto B = | x G n ^ / - 8 < x < \ s S . L a s cotas s u p e r i o r e s de B forman el conjunto Xx G [12. / x ^ ^/b I y l a s cotas i n f e r i o r e s
forman el conjunto í X € lí^ / x ¿ - 8 l .
O b s é r v e s e que V 5 es la m e n o r cota s u p e r i o r p e r o
- 8 e s la m a y o r c o t a inferior p e r o - 8 ^ B
Y5 ^ B
3)
Él conjunto C = J x c (^ / x S 3 I no tiene cotas supei n o r e s .
4)
El conjunto D = V x e f i 5 < / x
y que
é 3 | n o tiene cotas i n f e r i o r e s .
E n e s t o s ejemplos lió e s t á ordenado por la r e l a c i ó n " ¿
(í
" usual.
:.: J
Definición.
Sea (E, é ) un conjunto ordenado y s e a A C E .
Se dice que A e s un conjunto acotado s u p e r i o r m e n t e ( r e s p e c t i v a m e n t e i n f e r i o r m e n t e ) si: E l c o n junto de l a s cotas s u p e r i o r e s (respectivannente i n f e r i o r e s ) no e s vacfo.
Si A e s t á acotado s u p e r i o r e i n f e r i o r m e n t e , se dice s i m p l e m e n t e que A
e s un conjunto a c o t a d o .
Ejemplos:
1)
.• A
^
El conjunto C no es acotado.
/
r.;>
jní
2)
El conjunto B e s t á , a c o t a d o .
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