- 69- SECCION 13 RELACIONES DE ORDEN, 13.J.1. d e f i n i c i ó n . Una r e l a c i ó n R ( x, y | e n t r e e l e m e n t o s de E se l l a m a Relación de Orden s o b r e E si; . a) P a r a todo x e E, x e s t á r e l a c i o n a d o consigo nnismo: ( V XG E) (R fx, x ^ ) b) P a r a todo x e E X = y o sea: i y <S E . ( V x e E)( V y ^ E ) (Reflexividad) si .'R [ x , y^ A R ÍY> ^ \ entonces r. - ( R ( x , y^ A R jy. x] ,={> x = y) j Anti s i m e t r í a ) c) P a r a todo x, y, z GlE R | x , z \ , o sea: si R |x, y J R jy, z } ( \ / x e E ) ( V y e E ) ( Vz e E ) (R(x,.,y) entonces A R í y . z | = > R fx, z ) ) (Transitividad) Ejemplos; 1) La r e l a c i ó n de inclusión ( CZ. ) e n t r e e l e m e n t o s de / ^ (E) e s una r e í a ción de o r d e n s o b r e ( o ( E ) . V e a m o s ; Sean A, B , C £ / ^ (E) a) P a r a todo A G í^) (E) b) P a r a todo A e ^ j (E) ; ACB c) se t i e n e B^ A BCA ACÁ Q> (E) => se t i e n e que; A = B P a r a todo A, B , C 6i A (E) Si A C B A B C C entonces AC C - 70 2) Sea i V el conjunto de los n ú m e r o s n a t u r a l e s . es una r e l a c i ó n de orden en t h l . ¿tJ » x divide a x La r e l a c i ó n I'divide a " a) P a r a todo x e (x/x) b) Si X divide a y i y divide a x (x/y /^ y / x ) e x i s t e n dos nú m e r o s n a t u r a l e s k, k' t a l e s que y = k x A X = k ' y . Luego: y = k(k'y). Si y ^ O se tiene que k k ' = 1 con lo cual k = k' = 1. Luego X = y. • ; c) Si x / y A y / z entonces x / z puesto que y = k x /t^ z = k ' y entonces z = k k ' x. Y como k k ' e Jíll. entonces x / z . Notación: Si R I X, y ^ es una: r e l a c i ó n de orden s o b r e un conjunto E , en l u g a r de e s c r i b i r R j x , y^ se e s c r i b e "x ¿ y " y s e l e e ; "x m e n o r ó igual que y " . E n t o n c e s , si x 4 y e s una r e l a c i ó n de orden s o b r e E se t i e n e p a r a todo X, y, z e E . a) X é X 1*) x ¿ y A y < x s=^ X = y c) x ^ y A y é z =:^ X í 13. 2 z Definición. Un conjunto E dotado de una r e l a c i ó n de o r d e n " á " s o b r e E se l l a m a un conjunto ordenado. D i r e m o s que la p a r e j a (E, ;é ) es un o r d e n s o b r e E . Ejemplos; 1) ( /0(E) , C ) e s un conjunto o r d e n a d o . 2) ( jvj , ¿ ) es un conjunto ordenado,, 3) ( Iw . / ) e s un conjunto o r d e n a d o . - 71 - Nota: A menudo una r e l a c i ó n reflexiva, t r a n s i t i v a y a n t i s i m é t r i c a se l l a m a r e lación de o r d e n p a r c i a l y a la p a r e j a (E. ^ ) se l e l l a m a t a m b i é n conjun to parcialnnente o r d e n a d o . Definición: Sea " é " una r e l a c i ó n de o r d e n s o b r e E . que; x i y ó y ^ x se dice que " ¿ denado. Si p a r a todo x. y e E se tiene " es de orden total y que e l conjunto E e s t o t a l m e n t e o r - Ejemplos: 1) La r e l a c i ó n " C " ( r e l a c i ó n de inclusión) no e s una r e l a c i ó n de orden t o t a l p u e s t o que dados A, B £ (^(E) no p o d e m o s a f i r m a r que: A C B ó B C A 2) n La r e l a c i ó n " m a y o r o igual q u e " e n t r e n ú m e r o s p a r c i a l e s o n ú m e r o s r e a l e s es una r e l a c i ó n de o r d e n t o t a l . La r e l a c i ó n " m a y o r o igual q u e " la e s c r i b i m o s " "^ "'. 1 3 . 3.-»':Definición. Sea E un conjunto o r d e n a d o por la r e l a c i ó n '4nenor o i g u a l " ( ¿ ). Sea A CZ E . Se dice que y S E e s una cota s u p e r i o r ( r e s p e c t i v a m e n t e ; Una cota i n f e r i o r ) de A en E s i p a r a todo x e A se tiene que x g y ( r e s p e c t i v a m e n t e : y 4 x). E s decir; ( y x 6. A) (x ¿ y) (respectivamente: ( Y x e. A) (y á. x) ) Ejemplos; 1) Sea A e l siguiente conjunto < x £ | j 2 . / ~ S £z x S v5 i E n t o n c e s todos los n ú m e r o s r e a l e s m a y o r e s que V5 e incluso VS son cotas s u p e r i o r e s del conjunto A. A d e m á s e l conjunto«{^x Q IB / x ¿ - Sie s t a f o r m a d o p o r t o d a s l a s c o t a s i n f e r i o r e s d e l conjunto A. 72' Gráficamente: -E Cotas Superiores Cotas «^r= Inferiores 2) Sea el conjunto B = | x G n ^ / - 8 < x < \ s S . L a s cotas s u p e r i o r e s de B forman el conjunto Xx G [12. / x ^ ^/b I y l a s cotas i n f e r i o r e s forman el conjunto í X € lí^ / x ¿ - 8 l . O b s é r v e s e que V 5 es la m e n o r cota s u p e r i o r p e r o - 8 e s la m a y o r c o t a inferior p e r o - 8 ^ B Y5 ^ B 3) Él conjunto C = J x c (^ / x S 3 I no tiene cotas supei n o r e s . 4) El conjunto D = V x e f i 5 < / x y que é 3 | n o tiene cotas i n f e r i o r e s . E n e s t o s ejemplos lió e s t á ordenado por la r e l a c i ó n " ¿ (í " usual. :.: J Definición. Sea (E, é ) un conjunto ordenado y s e a A C E . Se dice que A e s un conjunto acotado s u p e r i o r m e n t e ( r e s p e c t i v a m e n t e i n f e r i o r m e n t e ) si: E l c o n junto de l a s cotas s u p e r i o r e s (respectivannente i n f e r i o r e s ) no e s vacfo. Si A e s t á acotado s u p e r i o r e i n f e r i o r m e n t e , se dice s i m p l e m e n t e que A e s un conjunto a c o t a d o . Ejemplos: 1) .• A ^ El conjunto C no es acotado. / r.;> jní 2) El conjunto B e s t á , a c o t a d o . -t K >; ^-. ¡A 3 x V ) "' r./ii:yí%^. uaar»-aui 1 <¡ 3JLí¿rf. a (.Iii A- nuZ - (i C-ÍÍ-. T.-. ••<; • t