Cotas y Extremos

Matemática I – 6° FM
Cotas y extremos
Cotas y Extremos
Consideramos un conjunto A ≠ ∅ e incluido en
ℝ . Decimos que:
Definición 1)
A está acotado superiormente cuando existe
k ∈ ℝ tal que k ≥ a para todo a ∈ A .
Al real k se le llama cota superior de A y se anota k = cot( A) .
Definición 2)
A está acotado inferiormente cuando existe
h ∈ ℝ tal que h ≤ a para todo a ∈ A .
Al real h se le llama cota inferior de A y se anota h = cot( A)
Definición 3)
A está acotado cuando está acotado superior e inferiormente.
Ejemplo
Investiguemos si los siguientes conjuntos están o no acotados superior y/o inferiormente y, en caso afirmativo,
determinemos sus cotas.
B = { x ∈ ℝ / −1 ≤ x < 7}
Aquí vemos que -1 es cota inferior de B , pues −1 ≤ x para todo x ∈ B . También -2 es cota inferior de B por la
misma razón. En general: todo h ≤ −1 es cota inferior de B . Análogamente, todo k ≥ 7 es cota superior de B .
De esto, podemos concluir que el conjunto B es acotado, pues está acotado superior e inferiormente.
1) Consideremos
2)
ℝ + (el conjunto de los reales positivos) esta acotado inferiormente por el cero y por todos los reales negativos,
pero no está acotado superiormente.
Observemos que
−1 = cot( B) y 7 = cot( B ) , pero −1 ∈ B y 7 ∉ B . Esto nos conduce a la siguiente definición:
Consideramos
A ⊂ ℝ, M ∈ ℝ y m ∈ ℝ
Definición 4)
Decimos que
 M ≥ a, ∀a ∈ A
M es máximo de A cuando 
. Anotamos M = max( A)
M ∈ A
Definición 5)
Decimos que
m ≤ a, ∀a ∈ A
m es mínimo de A cuando 
. Anotamos m = min( A)
m ∈ A
En el ejemplo anterior, tenemos que:
−1 = cot( B) y −1 ∈ B , por lo tanto, −1 = min( B) .
7 = cot( A) pero 7 ∉ B , por lo tanto, 7 ≠ max( B) .
Como vemos,
B tiene mínimo, pero no tiene máximo.
Por otra parte, al analizar la acotación de B , la primera cota superior que nos viene a la mente es 7. Vimos también que
7 no es máximo de B . ¿Qué diferencia al 7 de otras cotas superiores? Para responder, veamos nuevas definiciones:
Consideramos
A ⊂ ℝ , A ≠ ∅ , L ∈ ℝ y l ∈ ℝ . Decimos que:
Definición 6)
L es extremo superior de A cuando L es la menor de las cotas superiores. Anotamos L = ext( A)
2) l es extremos inferior de A cuando l es la mayor de las cotas inferiores. Anotamos l = ext( A)
1)
Al extremo superior también se le llama supremo; y al extremo inferior se le suele llamar ínfimo.
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Cotas y extremos
Ejercicios
1) Determinar por inspección si los siguientes conjuntos de reales están o no acotados, si tienen máximo, mínimo,
extremo superior, inferior. En caso afirmativo, hallarlos.
1)
2)
2) Sea
A = { x ∈ ℝ / x 2 − 2 x < 8}
B = { x ∈ ℝ / x x + 1 < 2}
1


C =  x ∈ ℝ / x = 1 − , con n ∈ ℕ* 
n



4
n
*
4) D =  x ∈ ℝ / x = ( −1)  2 − n  , con n ∈ ℕ 
2 



3)
A un conjunto no vacío de números reales cuyo extremo superior es 3. Indica verdadero o falso:
a) Todo número mayor que 3 es cota superior de A
b) Todo número menor que 3 pertenece al conjunto A
c) Existe un elemento del conjunto A mayor que 26/9
d) No existen elementos de A mayores que π
e) Si llamamos B al conjunto de los opuestos de los elementos de
f) B está necesariamente acotado superiormente
g) El extremo inferior de B es -3
4
A , entonces B está acotado inferiormente.
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