Taller 05 - Grupo de Cálculo

CALCULO DIFERENCIAL –
TALLER 05:
SUPREMO E ÍNFIMO DE SUBCONJUNTOS DE NÚMEROS REALES
1. Encuentre números reales s, tales que se cumpla que s  a, en donde a es cualquier
elemento del conjunto dado.
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
vii)
viii)
A=  n, tales que, 1  n  12
B= n / n  1, con n  0
C= 1,1.9,1.99,1.999,...
D = (5/2 ,7)
E = 2, 5
F= (1  3n) / n, con n  1
El conjunto de los números naturales pares.
El conjunto de los números enteros pares.


El número real s que cumple la condición establecida se llama una cota
superior del conjunto y de éste se dice que está acotado superiormente
por s.
2. Encuentre números reales i, tales que se cumpla que i a, en donde a es cualquier
elemento del conjunto dado.( Trabaje con los conjuntos del numeral 1.)
El número real que cumple la condición establecida en esta proposición se
llama una cota inferior del conjunto y de éste se dice que es acotado
inferiormente por i.
Si un conjunto es acotado superior e inferiormente se dice de él que es
acotado.
3. Sea B= 1/ n , con n  1
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
Muestre que el conjunto B es no vacío, exhibiendo dos elementos de B.
¿Es el conjunto B acotado inferiormente? Muestre por los menos dos cotas
inferiores de B. Y justifique que efectivamente son cotas inferiores del conjunto B.
¿Es el conjunto B acotado superiormente? Muestre dos cotas superiores del
conjunto B, justificando el por qué lo son.
Muestre que 0 es una cota inferior de B.
Tome un real positivo cualquiera r y encuentre un elemento de B que esté entre ese
número real y 0, es decir cuya distancia a 0 sea menor que r.
Repita el procedimiento tomando otro número real positivo r1, menor que el tomado
anteriormente.
vii)
viii)
¿Es posible repetir el proceso anterior con cualquier número real positivo?
¿Se tiene el mismo resultado si en lugar de 0 uso como cota inferior (-1)? ¿(1/2)?¿(-1/100)?
Una cota inferior i de un conjunto A, que cumple: dado cualquier
número real positivo r, es siempre posible hallar un elemento del conjunto
cuya distancia a i es menor que r se llama el extremo inferior o ínfimo del
conjunto A.
4. Considere el mismo conjunto del ejercicio 3.
i)
ii)
iii)
Muestre que 1 es una cota superior de B.
Tome sucesivamente dos números reales positivos y consiga un elemento de B
cuya distancia a 1 sea menor que el número real tomado. ¿Es posible repetir el
proceso con otros números reales positivos.? Explique.
¿Se tiene el mismo resultado si en lugar de 1 se toman otras cotas superiores del
conjunto B?
Una cota superior s de un conjunto, cumple que: dado cualquier número
real positivo r, es siempre posible hallar un elemento del conjunto cuya
distancia a s es menor que r, se llama el extremo superior o supremo del
conjunto.
5. Para cada uno de los conjuntos del numeral 1, determine, si existen, el supremo y el
ínfimo. Justifique.
6. Para uno cualquiera de los conjuntos dados y acotados inferiormente considere el
conjunto de las cotas inferiores. Verifique que la mayor de las cotas inferiores cumple la
condición que caracteriza al ínfimo de un conjunto.
7. Para uno cualquiera de los conjuntos dados y acotados superiormente considere el
conjunto de as cotas superiores. Verifique que la menor de las cotas superiores cumple la
condición que caracteriza el supremo de un conjunto.