Ejercicio 1 Se considera una escalera de longitud 10m, apoyada en

Repartido 19 - Matemática II
Liceo Nº35 - IAVA
agosto 2014 - Elipse
Suponemos que estamos trabajando en el espacio afín R2 en el que consideraremos el referencial (O, i, j) con i, j ortonormales.
Ejercicio 1
Se considera una escalera de longitud 10 m, apoyada en la pared y el piso como se muestra en la figura.
A los 4 m del extremo superior hay un tarro de pintura. La escalera empieza a resbalar (sin despegar
sus extremos de la pared y del piso). ¿Cuál es el lugar geométrico descrito por el tarro de pintura?
Ejercicio 2
La órbita de la Luna es una elipse que tiene a la Tierra como uno de sus focos. La longitud del eje
mayor es de 620,444 km y la excentricidad es ε = 0, 549. Encuentra la mínima y la máxima distancia
Tierra-Luna.
Ejercicio 3
El arco de un túnel tiene forma de semielipse de 20 m de ancho y de 7 m de alto. Un camionero decide
tomar esa ruta; su camión tiene 5 m de altura. El carril por el que debe transitar el camión, dista 7 m
del centro de la carretera. ¿Podrá pasar por el túnel?
Ejercicio 4
Sea p ∈ R, p ≥ 0. Prueba que al variar p, la familia de elipses:
x2
y2
+
=1
a2 + p b2 + p
tiene focos fijos.
Ejercicio 5
Determina la ecuación de la elipse que tiene su eje mayor en el eje de las ordenadas, su centro en
el origen
√ y su semieje mayor es el doble de su semieje menor, sabiendo que pasa por el punto P =
(1 , 2 3).
Ejercicio 6
Halla la ecuación de la elipse E cuyos focos están en el eje de las abscisas, su centro en el origen y la
distancia entre sus directrices es 32 y su excentricidad ε = 12 .
Ejercicio 7
Dada la ecuación de la elipse E :
x2 y2
+
= 1, halla las ecuaciones de sus directrices.
9 16
Ejercicio 8
Diego Charbonnier
1
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y2
x2
+
= 1, cuya distancia al foco derecho vale 14.
Determina los puntos de la elipse E :
100 36
Ejercicio 9
x2 y2
Determina los puntos de la elipse E :
+ = 1, cuya distancia al foco izquierdo vale 2, 5.
16 7
Ejercicio 10
Determina la exentricidad de la elipse E si:
a) Su eje menor se ve desde uno de los focos bajo un ángulo de 60º.
b) El segmento entre los focos se ve desde los vértices bajo un ángulo recto.
c) La distancia entre las directrices es el tripe de la de los focos.
Ejercicio 11
Hallar la ecuación de una elipse, sabiendo que sus ejes son paralelos a los ejes coordenados, es tangente al eje de la abscisas en el punto A = (3, 0) y al eje de las ordenadas en el punto B = (0, −4).
Ejercicio 12
Idem. al anterior sabiendo que el centro se encuentra en el punto O0 = (−3, 2) y además es tangente a
los ejes coordenados.
Ejercicio 13
Verificar que cada una de las ecuaciones siguientes representa a una elipse de la que se pide hallar
las coordenadas del centro, las medidas de los semiejes, la excentricidad y las ecuaciones de sus
directrices:
a) 5x2 + 9y2 − 30x + 18y + 9 = 0
b) 16x2 + 25y2 + 32x − 100y − 284 = 0
c) 4x2 + 3y2 − 8x + 12y − 32 = 0
Ejercicio 14
Hallar la ecuación de una elipse, sabiendo que su excentricidad es ε =
ecuación de su directriz correspondiente es x − 5 = 0.
2
3
su foco F1 = (2, 1) y la
Ejercicio 15
Idem. al anterior para ε = 12 , foco F1 = (−4, 1) y la ecuación de la directriz correspondiente y + 3 = 0.
Ejercicio 16
El punto A = (−3, −5) pertenece a la elipse E , uno de cuyos focos es F = (−1, −4) y la directriz
correspondiente tiene ecuación x − 2 = 0. Hallar la ecuación de E .
Ejercicio 17
El punto M = (3, −1) es un extremo del eje menor de una elipse, cuyos√focos están en la recta y+6 = 0.
Halla la ecuación de la elipse sabiendo que su excentricidad es ε = 22 .
Ejercicio 18
Halla los puntos de intersección de la elipse x2 + 4y2 = 25, con la recta x + 2y − 7 = 0.
Diego Charbonnier
2
Repartido 19 - Matemática II
Liceo Nº35 - IAVA
agosto 2014 - Elipse
Ejercicio 19
Idem. al anterior para
x2 y2
+ = 1 y 3x + 10y − 25 = 0.
25 4
Ejercicio 20
Determina las posiciones relativas de la recta r con respecto a la elipse E en cada uno de los casos
siguientes:
i) r) 2x − y − 3 = 0
E)
x2 y2
+ =1
16 9
iii) r) 3x + 2y − 20 = 0
E)
x2 y2
+
=1
40 10
ii) r) 2x − y − 10 = 0
E)
x2 y2
+ =1
9
4
Ejercicio 21
Determina las posiciones relativas de la recta r con respecto a la elipse E en función del parámetro
n ∈ R:
r) y = −x + n E )
x2 y2
+ =1
20 5
Ejercicio 22
Deducir condiciones para m, n ∈ R de forma que la recta de ecuación y = mx + n sea tangente a la
x2 y2
elipse de ecuación 2 + 2 = 1.
a
b
Ejercicio 23
Demostrar que si p es la distancia de un foco a la directriz correspondiente de la elipse E , entonces
2ε p
la longitud del eje mayor de dicha elipse vale:
(1 − ε 2 )
Diego Charbonnier
3