Descomponer los siguientes polinomios empleando la regla

Expresiones algebraicas
1
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS MEDIANTE LA REGLA DE RUFFINI
La regla de Ruffini nos permite obtener las raíces enteras de un polinomio y, como consecuencia, su
factorización.
Pero en ocasiones, un polinomio no se puede descomponer empleando la regla de Ruffini, ya que con esta
regla solo obtenemos raíces enteras. Esto no implica que el polinomio sea irreducible, hay que comprobar
que tiene raíces racionales.
Para ello vamos a calcular sus raíces resolviendo la ecuación de segundo grado asociada.
Si x = x0 y x = x1 son las soluciones de la ecuación ax2 + bx + c = 0, entonces la descomposición factorial
del polinomio es:
ax 2 + bx + c = a · ( x − x 0 ) · ( x − x1 )
Ejemplo:
Descomponer el polinomio P(x) = 4x3 – 7x – 3
Tomamos los divisores del término independiente: ±1, ±3
4
-1
4
0
-7
-3
-4
4
3
-4
-3
0
Por el teorema del resto x = -1 es raíz de P(x), por tanto, (x + 1) es un
factor de P(x):
P(x) = (x +1) · (4x2 – 4x – 3)
El polinomio 4x2 – 4x – 3 no se puede descomponer empleando la regla de Ruffini. Esto no implica que el
polinomio sea irreducible, hay que comprobar si tiene raíces racionales.
Para ello vamos a calcular sus raíces resolviendo la ecuación de segundo grado:
4x – 4x – 3 = 0 → x =
2
4±
3
⎧
⎪⎪ x = 2
16 + 48 4 ± 8
=
⇒⎨
8
8
⎪x = − 4 = − 1
⎪⎩
8
2
⎛ 2x − 3 ⎞ ⎛ 2x + 1 ⎞
4x2 – 4x – 3 = 4· ⎛⎜ x − ⎞⎟ · ⎛⎜ x + ⎞⎟ = 4 · ⎜
⎟ = ( 2x − 3) · ( 2x + 1)
⎟ ·⎜
2⎠ ⎝
2⎠
⎝
⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠
Por tanto, la factorización del polinomio es:
3
1
P(x) = (x +1) · (2x – 3) · (2x + 1)
Descomponer los siguientes polinomios empleando la regla de Ruffini:
1) 6x3 + 7x2 – 9x + 2
2) 2x3 – 8x – 3x2 + 12
3) 8x3 – 14x2 + 7x – 1
4) x3 – x2 – 4
5) x3 + 27
6) x3 – 8
7) 4x3 – 12x2 + 5x + 6
8) x3 – 12x2 + 47x – 60
9) 4x3 – 4x2 – x + 1
10) 8x3 + 6x2 – 17x + 6
Expresiones algebraicas
2
Soluciones:
1) 6x3 + 7x2 – 9x + 2
6
-2
6
7
-9
2
6x3 + 7x2 – 9x + 2 = (x – 1) (6x2 – 5x + 1)
-12
10
-2
Buscamos las raíces de 6x2 – 5x + 1:
-5
1
0
6x2 – 5x + 1 = 0 ⇒ x =
1
⎧
⎪⎪ x = 2
5 ± 25 − 24 5 ± 1
=
⇒⎨
12
12
⎪x = 1
⎪⎩
3
Por tanto, x3 + 3x2 – x – 3 = (x – 1)(2x – 1)(3x – 1)
2) 6x3 – x2 – 5x + 2
6
-1
6
-1
-5
2
6x3 – x2 – 5x + 2 = (x + 1) (6x2 – 7x + 2)
-6
7
-2
Buscamos las raíces de 6x2 – 7x + 2:
-7
2
⎧
⎪⎪ x =
7 ± 49 − 48 7 ± 1
=
⇒⎨
12
12
⎪x =
⎪⎩
6x – 7x + 2 = 0 ⇒ x =
2
2
3
1
2
Por tanto, 6x3 – x2 – 5x + 2 = (x + 1)(2x – 1)(3x – 2)
3) 8x3 – 14x2 + 7x – 1
8
1
8
-14
7
-1
8x3 – 14x2 + 7x – 1 = (x – 1) (8x2 – 6x + 1)
8
-6
1
Buscamos las raíces de 8x2 – 6x + 1:
-6
1
0
8x – 6x + 1 = 0 ⇒ x =
2
6±
⎧
⎪⎪ x =
36 − 32 6 ± 2
=
→⎨
16
16
⎪x =
⎪⎩
Por tanto, 8x3 – 14x2 + 7x – 1 = (x – 1)(2x – 1)(4x – 1)
3
2
4) x – x – 4
1
2
1
-1
0
-4
x3 – x2 – 4 = (x – 2) (x2 + x + 2)
2
2
4
Buscamos las raíces de x2 + x + 2:
1
2
0
x2 + x + 2 = 0 → x =
No se puede descomponer x2 + x + 2.
Por tanto, x3 – x2 – 4 = (x – 2) (x2 + x + 2)
−1 ± 1 − 8
2
→ No tiene
1
2
1
4
Expresiones algebraicas
3
5) x3 + 27
1
-3
1
0
0
27
x3 + 27 = (x + 3) (x2 – 3x + 9)
-3
9
-27
Buscamos las raíces de x2 – 3x + 9:
-3
9
0
x2 – 3x + 9 = 0 ⇒ x =
3±
9 − 36
2
→ No tiene raíces reales
No se puede descomponer x2 – 3x + 9.
Por tanto, x3 + 27 = (x + 3) (x2 – 3x + 9).
6) x3 – 8
1
2
1
0
0
-8
x3 – 8 = (x – 2) (x2 + 2x + 4)
2
4
8
Buscamos las raíces de x2 + 2x + 4:
2
4
0
x2 + 2x + 4 = 0 ⇒ x =
−2 ±
4 − 16
2
→ No tiene raíces reales
No se puede descomponer x2 + 2x + 4.
Por tanto, x3 – 8 = (x – 2) (x2 + 2x + 4)
7) 4x3 – 12x2 + 5x + 6
4
2
4
-12
5
6
4x3 – 12x2 + 5x + 6 = (x – 2) (4x2 – 4x – 3)
8
-8
-6
Buscamos las raíces de 4x2 – 4x – 3:
-4
-3
0
4x – 4x – 3 = 0 ⇒ x =
2
4±
3
⎧
x=
16 + 48 4 ± 8
⎪⎪
2
=
→⎨
8
8
⎪x = − 4 = − 1
⎪⎩
8
2
⎛ 2x − 3 ⎞ ⎛ 2x + 1 ⎞
4x2 – 4x – 3 = 4· ⎛⎜ x − ⎞⎟ · ⎛⎜ x + ⎞⎟ = 4 · ⎜
⎟ = ( 2x − 3) · ( 2x + 1)
⎟ ·⎜
2⎠ ⎝
2⎠
⎝
⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠
3
1
Por tanto, 4x3 – 12x2 + 5x + 6 = (x – 2)· (2x – 3) · (2x + 1)
8) x3 – 12x2 + 47x – 60
1
-1
1
-12
47
-60
x3 – 12x2 +47 x – 60 = (x + 1)(x2 – 13x + 60)
-1
13
60
Buscamos las raíces de x2 – 13x + 60:
-13
60
0
x2 – 13x + 60 = 0 ⇒ x =
No se puede descomponer x2 – 13x + 60
Por tanto, x3 – 12x2 +47 x – 60 = (x + 1)(x2 – 13x + 60)
13 ± 169 − 240
→
2
No tiene raíces reales
Expresiones algebraicas
4
9) 4x3 – 4x2 – x + 1
4
1
4
-4
-1
1
4x3 – 4x2 – x + 1 = (x – 1) (4x2 – 1)
4
0
-1
Buscamos las raíces de 4x2 – 1:
0
-1
0
4x2 – 1 = 0 → x 2 = → x = ±
1
4
1
2
⎛ 2x − 1 ⎞ ⎛ 2x + 1 ⎞
4x2 – 1 = 4· ⎛⎜ x − ⎞⎟ · ⎛⎜ x + ⎞⎟ = 4 · ⎜
⎟ ·⎜
⎟ = ( 2x − 1) · ( 2x + 1)
2⎠ ⎝
2⎠
⎝
⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠
1
1
Por tanto, 4x3 – 4x2 – x + 1 = (x – 1) · (2x – 1) · (2x + 1)
10) 8x3 + 6x2 – 17x + 6
8
-2
8
6
-17
6
8x3 + 6x2 – 17x + 6 = (x + 2) (8x2 – 10x + 3)
-16
20
-6
Buscamos las raíces de 8x2 – 10x + 3:
-10
3
0
8x2 – 10x + 3 = 0 → x =
12
⎧
⎪⎪ x = 16 =
10 ± 100 − 96 10 ± 2
=
→⎨
16
16
⎪x = 8 =
⎪⎩
16
1
3
⎛ 2x − 1 ⎞ ⎛ 4x − 3 ⎞
8x3 + 6x2 – 17x + 6 = 8· ⎛⎜ x − ⎞⎟ · ⎛⎜ x − ⎞⎟ = 8 · ⎜
⎟ ·⎜
⎟ = ( 2x − 1) · ( 4x − 3)
⎝
3
2
2⎠ ⎝
4⎠
⎝
2
⎠⎝
4
⎠
Por tanto, 8x + 6x – 17x + 6 = (x + 2) · (2x – 1) · (4x – 3)
3
4
1
2