ejercicios resueltos funciones elementales

EJERCICIOS RESUELTOS FUNCIONES ELEMENTALES
Cuestión 1.- Dadas las siguientes funciones, se pide:
a) Dominio b) Reprentación gráfica
c) Imagen o recorrido
e) Acotación f) Extremos relativos
g) Extremos absolutos
i) Periodicidad
d)Monotonía
h) Simetría
− 2 x 2 + x + 3 si
x <1

1º) f ( x) =  2 x − 1
si 1 ≤ x < 3

si
x>3
ln x

x
2º) g ( x) = 
2
 1

3º) h( x) =  x + 2
 3 x
si
x < −2π
 2

4º) m( x) = senx si − 2π < x < 2π
 − 2 si
x > 2π

si
x<0
si
x>0
 1
si
 x3

5º) n( x) =  2
si
log x si
 1
 2
x<0
x=0
x>0
si
si
x ∈ (− ∞,2)
x ∈ [2,+∞)
x 2 + 4 x + 3

2

6º) r ( x) =  − 2 x 2 + 2

2

2
 x − 4 x + 3
si − 5 ≤ x < −1
si
si
si
si
x = −1
−1 < x < 1
x =1
1< x ≤ 5
SOLUCIONES
1º)
a) Dom f = R-{3}
e) No está acotada
1
1 

d) f creciente en  − ∞,  ∪ (1,3) ∪ (3,+∞ ) ; f decreciente en  ,1
4
4 

1
f) Máximo relativo en x0 =
g) No tiene h) e i) No hay
4
c) Im f = R
b)
2º) a) Dom g = R c) Recorr (g) = [0,+∞)
d) f creciente en (0,2) ; f decreciente en (−∞,0) ; f constante en
(2,+∞ ) e) Acotada inferiormente con ínfimo 0 f) y g) Mínimo relativo y absoluto en (0,0) h) e i) No hay
b)
1
1

c) Im h = (− ∞,0 ) ∪  ,+∞  d) f creciente en (0,+∞ ) ; f decreciente en
2

e) No está acotada f) y g) No tiene h) e i) No tiene
3º) a) Dom h = R –{-2,0}
(− ∞,−2) ∪ (− 2,0)
b)
4º) a) Dom m = R – {2π ,−2π }
c) Im h = [− 1,1] ∪ {2,−2}
d) f creciente en
− 3π   − π π   3π


 − 3π − π   π 3π 
,  ∪  ,2π  ; f decreciente en 
,
 − 2π ,
∪
 ∪  ,  ; f constante en (− ∞,−2π ) ; f
2   2 2  2
2  2 2 


 2
 − 3π 
π 
constante en (2π ,+∞ ) e) Acotada con supremo 2 e ínfimo -2 f) Máximos relativos en 
,1 y en  ,1 ;
 2

2 
 −π
  3π

Mínimos relativos en 
,−1 y  ,−1 g) Infinitos máximos absolutos para todo x0 < −2π ; ) Infinitos
 2
  2

mínimos absolutos para todo x0 > 2π h) Impar i) No tiene
b)
2
5º) a) Dom n = R
c) Im h = R
g) No tiene h) e i) No tiene
b)
d) f creciente en (− ∞,0) ; f decreciente en (0,+∞) e) No está acotada f) y
6º) a) Dom n = [-5,5] c) Im h = [-1,8] d) f creciente en (− 2,−1) ∪ (− 1,0) ∪ (2,5) ; f decreciente en
(−5,−2) ∪ (0,1) ∪ (1,2) e) Acotada con supremo 8 e ínfimo -1 f) y g) Máximo relativo en (0,2) y mínimos
relativos y absolutos en (-2,-2) y (2,-1). Máximos absolutos y relativos en (-5,8) y (5,8) en h) Par i) No tiene
b)
3
Cuestión 2.- Representar gráficamente las siguientes funciones:
a) f ( x) = 3 + cos x
b) g ( x) =
1
( x − 2) 2
c) h( x) = tg ( x −
SOLUCIONES
a)
b)
c)
4
π
2
)
Cuestión 3.-
Cuestión 4.-
5
Cuestión 5.-
Cuestión 6.-
Cuestión 7.- Representa
gráficamente la función cuadrática:
y = -x² + 4x - 3
1. Vértice
x
v
= - 4/ -2 = 2
y
v
= -2² + 4· 2 - 3 = -1
2. Puntos de corte co n el eje OX.
x² - 4x + 3 = 0
6
V(2, 1)
(3, 0)
(1, 0)
3. Punto de corte con el eje OY.
(0, -3)
Cuestión 8.Representa gráficamente la función cuadrática:
y = x² +x + 1
SOLUCIÓN :
1. Vértice
xv = -1/ 2 yv = (-1/ 2)² + (-1/ 2) + 1= 3/4
V(-1/ 2, 3/ 4)
2. Puntos de corte con el eje OX.
x² + x + 1= 0
No hay puntos de corte con OX.
3. Punto de corte con el eje OY.
(0, 1)
7
Cuestión 9.Una función cuadrática tiene una expresión de la forma y = x² + ax + a y pasa por el punto (1, 9). Calcular el
valor de a.
SOLUCIÓN :
9 = 1² + a· 1 + a
a=4
Cuestión 10.Una parábola tiene su vértice en el punto V(1, 1) y pasa por el punto (0, 2). Halla su
ecuación.
La cocordenada x del vértice es 1.
1 = -b /2 a b = -2 a
y = ax² + bx + c
f(0)=2
2 = c
f(1) = 1
1 = a + b + 2 1 = a -2a + 2
a=1 b = -2
y = x 2 - 2x + 2
8
Cuestión 11.Partiendo de la gráfica de la funció n f(x) = x 2 , representa:
1. y = x² + 2
2. y = x² - 2
3. y = (x + 2)²
4. y = (x + 2)²
5. y = (x - 2)² + 2
6. y = (x + 2)² − 2
y = x²
y = x² +2
9
y = x² -2
y = (x + 2)²
y = (x - 2)²
Cuestión 12.- Representa
y = (x - 2)² + 2
y = (x + 2)² − 2
las funció n definida a trozos
10
SOLUCIÓN :
Cuestión 13.-
Cuestión 14.- Representa
las funció n definida a trozos:
SOLUCIÓN :
Cuestión 15.- Representa
las funció n definida a trozos:
11
f(x) = sgn(x)
SOLUCIÓN :
Cuestión 16.- Encuentra
la expresió n analítica de la función
SOLUCIÓN :
Cuestión 17.- Representa
las funció n valor absoluto: f(x) = |x - 2|
SOLUCIÓN :
Cuestión 18.- Representa
las funció n valor absoluto.
12
SOLUCIÓN :
Cuestión 19.- Representa
las funció n valor absoluto e indica su dominio:
SOLUCIÓN :
13
Dom =
Cuestión 20.- Representa
las funció n valor absoluto: f(x) = |-x² + 5x - 4|
SOLUCIÓN :
-x² + 5x - 4 =0
x² - 5x + 4 =0
Cuestión 21.- Representa
x = 1 ó x = 4
las funció n valor absoluto: f(x) = |x| − x
SOLUCIÓN :
14
Cuestión 22.- Representa
las funció n valor absoluto: f(x) = |x| / x
SOLUCIÓN :
Dom( f ) = R − {0}
− x

f ( x) =  x
x

 x
Cuestión 23.-
si
x<0
si
x>0
− 1 si
f ( x) = 
 1 si
x<0
x>0
Representa la funcion racional f(x) = 6/x:
x
−6
−3
−2
−1
1
2
3
6
f(x) = 6/x
−1
−2
−3
−6
6
3
2
1
15
Cuestión 24.-
Representa la funcion racional
f(x) = 6/x se desplaza hacia arriba 3 unidades.
Cuestión 25.- Representa
la funcion racional
f(x) = 6/x se desplaza hacia la izquierda 3 unidades.
16
Cuestión 26.- Representa
la funcion racional
f(x) = 6/x se desplaza hacia la derecha 3 unidades y 4 hacia arriba.
Cuestión 27.- Representa
las funcio nes expo nenciales:
a)
x
−3
−2
−1
0
1
2
3
f(x) = 3 x
1/27
1/9
1/3
1
3
9
27
b)
x
−3
−2
−1
0
1
2
3
15.625
6.25
2.5
1
0.4
0.16
0.064
f(x) =
(2/5) x
17
Cuestión 28.-
Representa la funciones logarítmicas:
a)
x
1/8
1/4
1/2
1
2
4
8
f(x)
−3
−2
−1
0
1
2
3
b)
x
1/8
1/4
1/2
1
2
4
8
f(x)
3
2
1
0
−1
−2
−3
18
c) f(x)
= ln x
x
0.1
0.5
1
2
3
4
5
f(x)
−2.3
−0.7
0
0.7
1.1
1.4
1.6
Cuestión 29.- Representa
las funcio nes trigono métricas:
a)
x
0
π/4
π/2
3π/4
π
5π/4
3π/2
7π/4
2π
f(x)
0
−0.7
−1
−0.7
0
0.7
1
0.7
0
19
b)
20