Ejercicio 1 Demuestra que se puede trazar una y sólo una tangente

MATEMÁTICA II - setiembre 2014
Suponemos que estamos trabajando en el espacio afín
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R2
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en el que consideraremos el referencial (O,?i, ?j) con ?i, ?j ortonormales.
Ejercicio 1
Demuestra que se puede trazar una y sólo una tangente a la parábola y2 = 2px de pendiente
m ?= 0.
Ejercicio 2
Halla la ecuación de la recta tangente a la parábola y2 = 8x y paralela a la recta 2x + 2y − 3 = 0.
Ejercicio 3
Halla la ecuación de la recta tangente a la parábola x2 = 16y y perpendicular a la recta 2x + 4y +
7=0
Ejercicio 4
Halla la ecuación de la recta tangente a la parábola de ecuación y2 = 12x que sea paralela a la
recta de ecuación 3x − 2y + 30 = 0 y calcula la distancia entre ambas rectas.
Ejercicio 5
Encuentra sobre la parábola P : y2 = 64x el punto M más próximo a la recta r : 4x+3y−14 = 0.
Ejercicio 6
Halla las ecuaciones de las tangente a la parábola de ecuación y2 = 36x trazadas desde el punto
A = (2, 9).
Ejercicio 7
Considera la parábola de ecuacón y2 = 2px y una tangente t a ella. Demuestra que el vértice de
−→
la parábola es el punto medio del segmento PQ, siendo Pel punto de corte de t con el eje OX y
−→
Q la proyección sobre el eje OX del punto de contacto de la tangente con la parábola.
Ejercicio 8
Considera la parábola P : y2 = 5x y el punto A = (5, 9). Desde A se trazan las tangentes a P,
halla la ecuación de la cuerda que une los puntos de contacto.
Ejercicio 9
Desde el punto P = (−3, 12) se han trazado tangentes a la parábola de ecuación y2 = 10x.
Calcula la distancia del punto P a la cuerda que une los dos puntos de contacto.
Ejercicio 10
Determina los puntos de intersección de la elipse E de ecuación
de ecuación y2 = 24x.
x2
100
2
y
+ 225
= 1 y la parábola P
Ejercicio 11
Determina los puntos de intersección de las dos parábolas P1 de ecuación y = x2 − 2x + 1 y
P2 de ecuación x = y2 − 6y + 7 .
Ejercicio 12
Demuestra que la recta tangente a una parábola en un punto de ella, forma ángulos iguales con
el radio focal de dicho punto y con la recta que pasa por el punto de contacto y es paralela al eje
de la parábola..
Diego Charbonnier
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Ejercicio 13
Considera las parábolas P1 y P2 , la primera de eje e1 y foco F1 y la segunda de eje y foco e2 ,
F2 respectivamente. Dichas parábolas están ubicadas de forma que sus ejes y focos coinciden
pero de forma que el punto de coincidencia de los focos está ubicado entre los vértices de P1 y
P2 . Se te pide que pruebes que las parábolas son ortogonales.
Ejercicio 14
En el foco de la parábola y2 = 12x se ubica una fuente lumínica que emite un rayo de luz en la
3
dirección de una recta de pendiente , al llegar a la parábola se refleja, halla las ecuaciones de
4
las rectas sobre las que están los rayos reflejados.
Ejercicio 15
Considera las parábolas P1 y P2 , la primera de eje e1 y foco F1 y la segunda de eje y foco e2 ,
F2 respectivamente. Dichas parábolas están ubicadas de forma que sus ejes son perpendiculares
y se cortan en 4 puntos. Demuestra que existe una circunferencia C que pasa por los puntos de
intersección de P1 y P2 .
Ejercicio 16
Teorema: Sea d un diámetro de la parábola P : y2 = 2px entonces existe una recta r paralela
al eje de P de forma que d ⊂ r. Recíprocamente, si r es una recta paralela al eje de la parábola
P, existe un diámetro de P contenido en ella.
Ejercicio 17
Encuentra en cada caso la ecuación del diámetro que biseca a las cuerdas paralelas a la dirección
dada:
a) P : y2 = 6x
para m =
1
2
b) P : x2 = 4y
para m = 1
Ejercicio 18
Dados la parábola P de ecuación y2 = 4x y un punto P de ella de coordenadas (4, 4), halla
la ecuación del diámetro que pasa por P y determina la dirección de las cuerdas que dicho
diámetro biseca.
Ejercicio 19
Considera las parábolas P1 y P2 de ecuaciones y2 = 8x y x2 = 4y respectivamente. Halla las
ecuaciones de las polares correspondientes a los puntos P = ( 81 , −1), Q = (4, 4) y R = (2, 4).
Ejercicio 20
Sean r y s dos rectas perpendiculares. Sabiendo que ambas son tangentes a la parábola P :
y2 = 4x y una de ellas lo es en el punto A = (1, −2), encuentra las ecuaciones de r y s y prueba
que se cortan sobre la directriz de P.
Ejercicio 21
Para cada una de las parábolas P1 y P2 halla la ecuación de la cuerda que tiene al punto indicado como punto medio: P1 : y2 = −8x para M = (−3, 1) y P2 : x2 = y para M = (2, 6).
Diego Charbonnier
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Ejercicio 22
Definición:
Observemos la figura adjunta, en la que
la recta t es tangente a la cónica en el
punto P = (xP , yP ) y la recta n es la normal a la cónica por el mismo punto. Sean
−→
−→
T = t ∩ OX, M = (xP , 0) y N = n ∩ OX.
Definiremos como subtangente del punto
P al segmento T M y como subnormal del
punto P al segmento MN.
Se pide determinar las medidas de la subtangente y de la subnormal de la parábola P : y2 = 2px.
Ejercicio 23
Prueba que la tangente t a la parábola P : y2 = 2px trazada por un punto P = (xP , yP ) de ella,
−→
corta a la perpendicular trazada a t por el foco F = ( 2p , 0) en un punto Q tal que Q ∈ OY .
Ejercicio 24
Prueba que la recta que une el foco de una parábola con el punto de intersección de dos tangentes
cualesquiera a dicha parábola, es la bisectriz del ángulo que tiene vértice en el foco y sus lados
pasan por los respectivos puntos de tangencia.
Diego Charbonnier