2ºBC_T1:Activ.Pares.SOL

1. Una partícula de masa m, situada en un punto A, se mueve en línea recta hacia
otro punto B, en una región en la que existe un campo gravitatorio creado
por una masa M. Si el valor del potencial gravitatorio en el punto B es mayor
que en el punto A, razona si la partícula se acerca o se aleja de M.
TEMA 2: CAMPO GRAVITATORIO
AUTOEVALUACIÓN: 2ºBACHILLERATO
La partícula
se aleja de M, ya que viaja hacia potenciales crecientes. Recuerda
que
el GRUPO:___ NOMBRE DEL ALUMNO:________________________________________________________ CURSO: 1ºBach potencial
gravitatorio
es
negativo
y
tiende
a
cero
(aumenta)
cuando
nos
alejamos
de
la masa que crea el campo.
ACTIVIDADES PARES DE LAS PAGINAS 86-­‐88 FR
= µ·N = µ·Py = µ·m·g·cosα 2. Una partícula puntual de masa m1 = 100 kg está situada en el origen, O, de
un cierto sistema de coordenadas. Una segunda partícula puntual de masa
m2 = 30 kg está situada sobre el eje X en un punto A, cuyas coordenadas son (6,
0) m. Determina:
a) El módulo, la dirección y el sentido del campo gravitatorio en el punto B
de coordenadas (2, 0) m.
b) El punto sobre el eje X para el cual el campo gravitatorio es nulo.
c) El trabajo realizado por el campo gravitatorio cuando la masa m2 se traslada desde el punto A al punto C, de coordenadas (0, 6) m.
Dato: G = 6,67 · 10–11 N · m2 · kg–2.
La gráfica que representa la situación física descrita por el enunciado del problema
es la siguiente:
Y
C (0, 6)
m 1 = 100 kg
m 2 = 30 kg
g 1,B
O
B (2, 0)
g 2,B
X
A (6, 0)
a) En el punto B se superponen los campos procedentes de m1 y m2:
£8
8
100 kg 8
· i = –1,67 · 10–9 · i N/kg9
§ g1,B = –6,67 · 10–11 N · m2 · kg–2 ·
2
(2 m)
¢
8
g8 = –G · M · ur 8 §
2
r
°8
8
30 kg 8
g2,B = 6,67 · 10–11 N · m2 · kg–2 ·
· i = +1,25 · 10–10 · i N/kg–
2
(4 m)
a) Por tanto:
8
g8B = g81,B + g82,B = –1,545 · 10–9 · i N
b) El campo se anula entre las masas a una distancia x de m1; por tanto:
G·
44
( )
100
30
100
x
=G·
8
=
x2
(6 – x)2
30
6–x
2
De las dos posibles soluciones, solo x = 3,88 m es aceptable, pues la otra, x = 13,27
m, corresponde un punto no comprendido entre m1 y m2. Unidad 2. Campo gravitatorio
c) Para calcular el trabajo gravitatorio, determinamos la variación de la energía potencial gravitatoria entre ambos puntos:
WA 8 C = –DEp = (–Ep – Ep ) = Ep – Ep
C
Ep = –
A
C
rA
A
Ep = –
A
G · m1 · m2
G · m1 · m2
rC
C
Como rA = rC = 6 m 8 Ep = Ep = 8 DEp = 0.
A
C
Por tanto, el trabajo del campo gravitatorio es nulo.
3. Una partícula puntual de masa 4 · M se coloca en el origen de un cierto sistema de coordenadas, mientras que otra, de masa M, se coloca sobre el eje X a
una distancia de 1 m respecto al origen. Calcula las coordenadas del punto
Dep.donde
FYQ el campo gravitatorio es nulo.
www.elmaestrodeciencias.es
El campo gravitatorio solo puede anularse entre las masas. Si llamamos x a la distancia desde el origen donde esto sucede, quedará:
S.CH.M.
1
( )
Vg (r)
8
8 ±2 =
=
= = G ·2 r8 4 =
r 24
r42
x2
(1 – x)
1–x
1–x
por lo que su valor en el punto dado será:
De las dos soluciones posibles para x solo tiene sentido físico x = 0,67 m. La otra so40 kg
lución, x = 2 m, no es Vaceptable.
(r) = –G ·
= –3,3 · G J · kg–1
g
TEMA 2: CAMPO GRAVITATORIO
AUTOEVALUACIÓN: 2ºBACHILLERATO
12 m
4. Sustituyendo
Calcula el campo
gravitatorio
y el potencial
gravitatorio
queGuna
masaconsultarpuntual
el valor
de la constante
de la gravitación
universal,
(puede
de
40
kg
produce
en
un
punto
situado
a
12
m.
se en las tablas del final del libro del alumno), resulta:
La figura que representa la situación
descrita
–1 enunciado es:
g8 = –1,87física
· 10–11
· u8 N por
· kgel
r
m = 40 kg
–10
V = –2,2 · 10
g
J · kg–1
P
u
r
5. ¿A qué distancia
del centro de la Tierra se compensaría el campo gravitatorio
terrestre
con
el
lunar?
La expresión del vector intensidad del campo gravitatorio, g8, es:
Datos: MTierra = 5,98 · 1024 kg; MLuna = 7,35 · 1022 kg; dTierra-Luna = 3,84 · 108 m.
m 8
Y el vector resultante, g8, será:
–G · descrita
g8 =física
·u
El esquema que muestra la situación
el enunciado es el siguiente:
8
8
r 2–1 r por
8
–11
–
g = 15 · 6,67 · 10 · j N · kg = 10–9 · j N · kg–1
8
d los vectores g
d
r – tienen
donde el signo negativo nos indica que
y u8
sentidos opuestos.
Para calcular el potencial gravitatorio, Vg (r), aplicamos de rnuevo el principio de su- perposición:datos numéricos,
Sustituyendo
resulta:
g
gT n
M
ML
n
mi L
Unidad 2. Campo gravitatorioV (r) = ∑ V (r) 8 V (r) = ∑ –G ·
45
g 40 kg
i8
8
8g
8r
i=1· u
i = 1· G · u
g = –G ·
8 g =ri –0,28
N · kg–1
r
ri
2
m) de escalares. En este caso, se obtiene la expresión:
Pero ahora tenemos una(12suma
[
]
El potencial gravitatorio, Vg (r), vale: m
m2
m
m
1
En el punto donde se V
compensen
que, según el esque(r) = –G · ambos
+ campos
+ 3gravitatorios,
+ 4
g
m
r
r
r
r
ma, se encuentra a una distancia
d
del
centro
de
la
Tierra
y
a
una
distancia r – d del
Vg (r) =1 –G · 2
3
4
r
centro
de
la
Luna,
se
cumplirá:
Sustituyendo datos numéricos, resulta:
por lo que su valor en el punto dado
MT será: ML
MT
d 2
10
kg = G20
kg 20
g
=
g
8
G
·
· kg 10
8
=kg
–11T
2
–2
L
2
2
–
40
kg
Vg = 6,67 · 10 N · m · kg · d
+
+M
= –2,45 · 10–9 J · kg–1
(r – +d )
Vg (r) = –G3 ·m
2 =m–3,3 · 3GmJ · kgL–11 m r – d
Por tanto:
12 m
2
24
8.Sustituyendo
Si la energía
potencial
de
un
cuerpo
constante en
una región
del es· 10 kg de se
el valor de5,98
la constante
ladmantiene
gravitación
consultar=
8 d universal,
= 0,9
· r G (puede
pacio,
¿qué
se
puede
decir
de
la
fuerza
que
origina
el
potencial
en
esta
región?
se en las tablas del final7,35
del libro
r – d resulta:
· 1022 del
kg alumno),
Si la energía potencial es constante
en una–11determinada
región del espacio, su variación
8
–1
siendo r la distancia que separa
la Tierra
g = –1,87
· 10 de
· u8lar Luna;
N · kgentonces:
de un punto a otro es nula y, por tanto, también
lo es el trabajo realizado por la fuerza
8
8
= 0,9
Y el vector resultante, g8,dserá:
gravitatoria:
V =· 3,84
–2,2 ·· 10
10–10= J3,456
· kg–1· 10 m
8
8
8
–11
–1
–9
–1
–15 · 6,67
g = centro
· j Nse· kg
· ¿se
j Nel
· kg
2 8 = 10
el distancia
punto intermedio
entre
dos
masas
idénticas,
anula
el campo
gravita5. 6.¿AEn
qué
del
de ·la10
Tierra
compensaría
campo
gravitatorio
8
W182 (fuerza gravitatoria) =
Fg · d r = –DEp = 0
torio?
¿Y
el
potencial?
terrestre
con
el
lunar?
Para calcular el potencial gravitatorio, Vg (r), aplicamos de nuevo el principio de su1
perposición:
Al serMm
==
m5,98
= m· y10r24
=kg;
r2 =Mr,
el =campo
sí se anula,
ya· que
la suma de
Datos:
7,35 · gravitatorio
1022 kg; d8Tierra-Luna
= 3,84
108 m.
1
2
1
Tierra
Luna
n
nd r , en
Como
esto
sucede
para
cualquier
desplazamiento,
esa
región,
la fuerza tiene
m
i
8 gravitatorio es nula.
ambos
vectores
campo
= ∑ Vi (r)física
8 descrita
Vg (r) = por
∑ –Gel· enunciado es el siguiente:
Elque
esquema
se nulaque
en muestra
ella, F V
=gla(r)
0.situación
i
i=1
ri
Observa la siguiente gfigura: i = 1
d
d se obtiene la expresión:
–
r
Pero ahora tenemos una suma de escalares. En este caso,
9. Un objeto pesa en la Tierra 600 N. ¿Cuál sería su peso en un planeta de radio
m1
mg2
m3
m4 g
R = R T /2 y masa
/10?
MM=M
ML
L
T +
VgT(r) =m –G g·
m2 +
P+
g
1
1
2
r
r
r
r4
El peso de un cuerpo, P, es el resultado
que ejerce sobre él 1 de la
2 fuerza
3 de atracción
Sinlaembargo,
el
potencial
gravitatorio
no se ranula,
yade
que
el valor
resultante
se expresaobtieTierra
(u
otro
planeta,
estrella
o
cuerpo
celeste
masa
significativa)
y lo
Sustituyendo datos numéricos, resulta:
nemos
a partir
de
una
suma
algebraica:
mediante: P = m · g. Vamos a ver la relación que existe entre el campo gravitatoUnidad 2. Campo gravitatorio
46
10
kg 20
kgla superficie
10
rio en–la superficie
de2nuestro
planeta
ymen
delkg
otro
–11
–2
–9
m1kg + 20
m =planeta.
–2,45
6,67donde
· 10
N
·
m
·
kg
·
+
+
· 10
J · kg–1
1
En Velg =punto
se
compensen
ambos
campos
gravitatorios,
según
el esqueV = V1 + V2 8 V3 =m–G · 2r m– G · 3r m= –2 · 1Gm· rque,
Tenemos:
1
ma,
se encuentra a una distancia d del centro
de la2 Tierra y a una distancia r – d del 8.
Si
la
energía
potencial
de
un
cuerpo
se
mantiene
constante gravitatorio
en una región
centro
de
la
Luna,
se
cumplirá:
• Para la Tierra:
7. Determina
el valor del campo gravitatorio y del potencial
endel
elesMT origina el potencial
pacio,
¿qué
se
puede
decir
de
la
fuerza
que
en
esta
región?
origen de coordenadas del sistema
M
MT
d 2
gTde
= masas
GM· L 2 siguiente:
= gL 8esGconstante
· T2 = G
· una determinada
=
R2T 8
Si la energía gpotencial
en
región
T
d
(r – d )
M
r – del
d espacio, su variación
Y también lo es Lel trabajo realizado por la fuerza
de
un
punto
a
otro
es
nula
y,
por
tanto,
Por
tanto:
• Para el planeta:
gravitatoria:
5,98 · 1024 kg M /10
d m 22 = 20 kg MT
8
d = 0,9 · r
2 ·8G ·
gP =22 G · = Tr – 2d(0,= 2)
0,4
2
7,35 · 10 kg (R /2)
W182 (fuerza gravitatoria)
=
Fg · d r8R =
T
T –DEp = 0
siendo
r lagdistancia
la Tierra
de lapesaría
Luna;
entonces:
1
Es decir,
= 0,4 · gque
y, separa
por tanto,
el cuerpo
0,4 veces lo que pese en la Tierra:
P
T
8
Como esto sucede para
cualquier
desplazamiento,
d8r8m
, en esa región, la fuerza tiene
d
=
0,9
·
3,84
·
10
=
3,456
·
10
m83 = 10 kgPP = 0,4 · 600 N = 240 N m = 10 kg
1
que se nula en ella, Fg = 0.
X campo gravita 6. En el punto intermedio
entre
dos
masas
idénticas,
¿se
anula
(–3, 0)
(3, 0) el
10.
Sea
g
la
aceleración
de
la
gravedad
en
la
superficie
terrestre.
Ahora,
imagina
torio?
¿Y
el
potencial?
m 4 = sería
20 kg su peso en un planeta de radio
9. Un objeto pesa en la Tierra 600 N. ¿Cuál
que
la
Tierra
reduce
su
radio
y
su
masa
a
la
mitad.
Suponiendo
que
g
4
sea
el
=m
R 1T /2
y2masa
Al Rser
=m
= m yMr1==Mr2T =/10?
r, el campo (0,
gravitatorio
sí se anula, ya que la suma de
–1)
nuevo
valor
de la aceleración
denula.
la gravedad, ¿cuál será la relación entre amambos
vectores
campo
gravitatorio
es
Elbas
peso
de un cuerpo,
es el resultado
de gla/gfuerza
aceleraciones
(esP,decir,
el valor de
4)? de atracción que ejerce sobre él
la Tierra
otro planeta,
Observa
la (u
siguiente
figura: estrella o cuerpo celeste de masa significativa) y lo expresa- Para
determinar
campo agravitatorio
en elque
origen
coordenadas,
mos
mediante:elPvalor
= m ·del
g. Vamos
ver la relación
existedeentre
el campo aplicagravitatomos
el
principio
de
superposición:
rio
en
la
superficie
de
nuestro
planeta
y
en
la
superficie
del
otro
planeta.
Unidad
2.
Campo
gravitatorio
48
n
Dep. FYQ
m1 g www.elmaestrodeciencias.es
m2
8 P
Tenemos:
1g
= ∑ g8ig2
i=1
• Para la Tierra:
La figura muestra la dirección y el sentido de los
MTrespectivos vectores campo gravitato8
8 g = G ·
Unidad 2. Campo gravitatorio
46
[
(] )
( )
◊
[
[
]
]
( )
( )◊
S.CH.M.
2
g4 = G ·
MT
R4
2
=G·
MT
2
(R T /2)
MT
8 g4 = 4 · G ·
R T2
= 4 · g0
O sea, la intensidad de la gravedad en su superficie se multiplicaría por cuatro.
TEMA 2: CAMPO GRAVITATORIO
AUTOEVALUACIÓN: 2ºBACHILLERATO
b) La velocidad de escape se puede calcular, para el caso de la superficie de la Tierra,
Las dosmediante
situaciones
las podemos describir de la siguiente forma:
la expresión:
• Tierra actual:
ve = √2 · g0 · R T
M
14. Si el
Sol colapsara
pronto,
en una enana blanca (igual
g =g4transformándose
G=· 4 · 2Tg y R4 = R /2.
Ahora,
en la nuevadesituación,
T
R T 0 ¿cómo afectaría
masa en un volumen mucho menor),
al movimiento de la
Por
tanto:
• Tierra
diferente:
Tierra
alrededor del Sol?
MT /2√2 · 4 · g0 · (R
M /2) = √4 · g0 · R T
·solo
g4
4 = √2
e
En principio, y vreferido
movimiento,
afectaría en nada. Esto es debig4 =
G ·· aR4su=
= 2 · G · noT2Tla
2
/2)
R T responsable de su movimiento,
T atrae a la Tierra,
do O,
a que
la fuerza
con que el(RSol
lo que
es la mismo:
depende
y de
la distancia
entre
centros
de ambos
cuerpos. Como esComo
vemos,deenlalamasa
nueva
Tierra
g4 los
sería
doble
· 2 · el
g0 valor
· R T =de√2
· R T =que
ve4 cambian,
= √2
· √2 ·elgtampoco.
ve g:
√2el· de
0
tas magnitudes no
lagfuerza
de atracción
1
= ahora
= 0,5sería √2 veces mayor.
Es
decir,
la
velocidad
de
escape
2
15. Se dispara verticalmente ung4proyectil
desde la superficie de la Tierra
con una
velocidad
inicial
de
4
km/s.
Sin
rozamiento,
¿hasta
qué
altura
2subiría?
la superficie
planeta
de 2 000
km de radio,
g = 3 m/s . Calcula:
11. 12.
Si laEn
Tierra
redujesede
suun
radio
a la mitad
conservando
su masa:
Datos: g 0 = 9,8 m/s2; R Tierra = 6 370 km.
a) La sería
masa la
del
planeta. de la gravedad en su superficie?
a) ¿Cuál
intensidad
Si realizamos un balance de energía entre los puntos A y B de la figura, nos queda:
b) La energía
potencial
gravitatoria
de desde
un objeto
de 5 kg de masa situado en
b) ¿Cuánto
valdría
la velocidad
de escape
su superficie?
Ep(A) + Ec (A) = Ep (B) + Ec (B)
su superficie.
a) Al reducir su radio a la mitad, R4 = RT/2, conservando su masa, se tendría:
c) La velocidad de escape desde la superficie del planeta.
M
MT –2
M
Dato: G =g46,67
. 8 g4 = 4 · G · 2T =B4 · g0
= G ·· 10T–11
=NG· ·m2 · kg
2
2
R4
(R T /2)
RT
a) El módulo del campo gravitatorio
en la superficie
h del planeta, g0, se expresa meO sea,
la intensidad de la gravedad en su superficie se multiplicaría por cuatro.
diante:
A
M
b) La velocidad de escape se puede calcular,
g0 = G para
· 2 el caso de la superficie de la Tierra,
R RT
mediante la expresión:
Despejando M y sustituyendo
nos queda:
√2 ·numéricos,
g0 · R T
ve =datos
g · R 2 situación, 3g4N= ·4kg
103 m)2
Ahora, en la nueva
· g–10 ·y(2R4000
= R·T/2.
M= 0
8 M=
= 1,8 · 1023 kg
G
6,67 · 10–11 N · m2 · kg–2
Por tanto:
· g4 · R4 = la
√2obtenemos
· 4 · g0 · (Rmediante
/2) = √4la· expresión:
g0 · R T
ve4 = √2gravitatoria
b) La energía potencial
T
Unidad
gravitatorio
M·m
49
O,2.loCampo
que es
la mismo:
Ep = –G ·
r
Pero Ec (B) = 0 J, luego:
ve4 = √2 · 2 · g0 · R T = √2 · √2 · g0 · R T = √2 · ve
Sustituyendo datos
numéricos, nos queda:
1
M
·
m
MT · m
T velocidad de escape
2
1,88
· √2
10v232veces
kg
kg· M · 1 – 7 1
Es –G
decir,
mayor.
· Ela
+ · 10
m –11
· vAN
=· m
–G2 ··ahora
= 2· ·5G
–2 sería
A
= –6,67
kg
·
=T –3,0R · 10 RJ + h
pR
2
R T + h 2 000 · 103 m
T
T
T
12. En la
superficie
de undatos
planeta
de
2
000
km de radio,
g del
= 3 peso
m/s2.en
Calcula:
Como
no
tenemos
de
G
y
M
,
igualamos
el
valor
la
superficie de
c) La velocidad de escape la calculamosT mediante la expresión:
a) La
la masa
Tierra del
conplaneta.
el de la fuerza de atracción gravitatoria (también se pueden consultar
v = √2 · g0 ·alRfinal del libro del alumno):
losenergía
datos enpotencial
las tablas gravitatoria
que se encuentran
b) La
de un objeto de 5 kg de masa situado en
Sustituyendo
datos
numéricos:
su superficie.
G · MT · m
m · g0 =–2
· M T = g0 · –1R T2
38 G
= √2 · 3 desde
= 3planeta.
464 m · s
m · s la
· 2superficie
000
c) La velocidad dev escape
R 2 · 10 mdel
(
)
T
2
Si
el =Sol
colapsara
transformándose
en una
(igual
13. 14.
Suponiendo
un
tenga un radio igual
a laenana
mitad blanca
del radio
Luego:
Dato:
G
6,67
· planeta
10–11 N de
· esférico
mpronto,
· kg–2.que
h
masa yen
volumen
mucho
¿cómo
afectaría al movimiento de la
terrestre
la un
misma
densidad
que menor),
la Tierra,
calcula:
2 superficie
a) El módulo del campo gravitatorio
del planeta, g0, se expresa mevA2 = 2 · g0en
· Rla
·
T
Tierra
alrededor
del
Sol?
R
·
(R
+
h)
a) La
aceleración de la gravedad en la superficie
T
Tde dicho planeta.
diante:
En
principio,
y
referido
solo
a
su
movimiento,
no
la
afectaría del
en nada.
EstosiesladebiMdesde la
Despejando
y sustituyendo
datos
numéricos,
nos
queda:
b) La
velocidadhde
escape de un
objeto
superficie
planeta,
gSol
=
G
·
do
a
que
la
fuerza
con
que
el
atrae
a
la
Tierra,
responsable
de
su
movimiento,
0
2 terrestre
velocidadv 2de
11,2
3
· Rescape desde la superficie
(4 · entre
10R3 m
· s–1centros
)2 · 6es
370
· ambos
10km/s.
m cuerpos. Como 5esAde laT masa y de la distancia
depende
los
de
h = (en la Tierra)
h =m · s–2.
= 9,36 · 10 m
Dato:
=89,81
Despejando
sustituyendo
queda:
02 · g ·M
RT y–no
vA2 cambian,
2datos
·fuerza
9,8 numéricos,
m/s
6 370 ·nos
103tampoco.
m – (4 · 103 m/s)2
tasgmagnitudes
la
de· atracción
0
a) Teniendo en
m 3= NV ·· kg
d, –1y ·que
el radio
3 del2 planeta es R = RT/2, la relag0 ·cuenta
R 2 haque
(2 000
· 10
m)
16.ción
Undispara
cuerpo
que
alcanzado
la
velocidad
de
escape
en
la
superficie
de
la
Lu23
15.
Se
verticalmente
un
proyectil
desde
la
superficie
de
la
Tierra
con
una
M = la masa8
=
entre
delMplaneta
y la de–11la Tierra2 será:–2 = 1,8 · 10 kg
Gdistancia
6,67Sin
· 10de
N ·Luna
m · kg
na, ¿a quéinicial
centro
la
habrá
reducido
su subiría?
velocidad a la
velocidad
de 4del
km/s.
rozamiento,
¿hasta
qué altura
3
4
4
1
4
R
M
mitad?
2
T
Datos:
MP = g 0 ·=π9,8
· R 3m/s
· d =; R Tierra
·π=
· 6 370 ·km.
d 8 MP =
·
· π · R T3 · d = T
Dato: radio
de la Luna,
3
3 R = 1 2738 km.
8 3
8
Unidad 2. SiCampo
gravitatorio
realizamos
un balance deL energía entre los puntos A y B de la figura, nos queda:
49
Por tanto, tenemos:
Ep(A) + Ec (A) = Ep (B) + Ec (B)
• Para
la Tierra:
Unidad
2. Campo
gravitatorio
51
M
g 0 = 9,81 m · s–2 = G · 2T
RT
[
]
( )
B
• Para el planeta:
g40 = G ·
MP
2
P
R
=G·
(MT/8)
(R T/2)2
8 g40 =
1
h
·G·
2A
MT
R
2
T
=
1
2
· g0
RT
Luego:
Dep. FYQ
g40 =
1
www.elmaestrodeciencias.es
–2
–2
· 9,81 m · s = 4,905 m · s
2
b) La velocidad de escape desde la superficie de un planeta (u otro astro de masa
S.CH.M.
3
TEMA 2: CAMPO GRAVITATORIO
AUTOEVALUACIÓN: 2ºBACHILLERATO
Vamos a realizar un balance de energía mecánica entre los puntos A, la superficie de la
Luna, y B, el punto donde el cuerpo habrá
reducido su velocidad a la mitad del valor
de la velocidad de escape:
B
h
A
RL
La velocidad de escape desde la superficie
de la Luna, vA, vale:
vA = √2 · gL0 · RL
donde gL0 es la aceleración de la gravedad
en la superficie lunar.
r = h + RL
Por tanto, tendremos:
Em (A) = Em (B)
M ·m
M ·m
Ec (A) + Ep(A) =1 E·c (B)
m · +vA2E+p(B)
–G · P
= 0 + –G · P
2
RP
RP + h
Sustituyendo por sus respectivas expresiones:
(
(
M ·m
1
· m · vA2 + –G · L
2
RL
)
=
1
2
) (
(
B
· m · vB2 +h –G ·
Teniendo en cuenta las siguientes relaciones:
A
ML · m
RL + h
)
)
[1]
RP
G · ML = gL0 · R L2
vB2 =
()
vA
vA2 = 2 · gL0 · RL
2
=
2 · gL0 · R L
h + R P = r ; h==
gRL0P · R L
2 2
2
4
Teniendo en cuenta que h = R P /2, la anterior expresión queda como:
Nos queda, al eliminar m de la expresión [1] y teniendo en cuenta lo anterior:
2 G · MP
· MP
vA = g 2· ·RG
vA2 =
· 1 g 8
2
·
R
1
L0
L
L0
L
3 · R8
h = 3 · RL
· 2 · gL0 · R L – gL0 ·3R L = RP ·
–
P
2
2
2
R
+
h
L
Sustituyendo datos numéricos, resulta:
Por tanto:
2 · 6,67 · 10–11 N · m2 · kg–2 · 1,2 · 1023 kg
vA =
= 2 026 m · s–1
h = 3 ·3 1· 738
1,3 ·km
106=m5 214 km
√
√
satélite
artificial
alrededor
deuna
la Tierra
a 3,6
· 10· 710
m23de
superficie.
17.18.
Un Un
planeta
esférico
sin gira
atmósfera
tiene
masa M
= 1,2
kgsu
y un
radio
P
Calcula:
6
RP = 1,3 · 10 m. Desde su superficie se lanza verticalmente un proyectil que
llega
una
altura
máxima h = R/2 antes de volver a caer hacia la sua) aLaalcanzar
velocidad
del
satélite.
perficie.
¿Con
qué
velocidad
inicial se ha lanzado el proyectil? Ten en cuenta
b) Su aceleración.
que G = 6,67 · 10 –11 N · m2 · kg –2.
c) El período de rotación del satélite alrededor de la Tierra, expresado en
Puestodías.
que ¿Qué
el proyectil
estáreciben
sometido
a una
fuerzadeconservativa,
nombre
los
satélites
este tipo? podemos realizar el
siguiente balance entre los
puntos A y B: 24
6
Datos: R T = 6,38 · 10 m; M T = 5,97 · 10 kg; G = 6,67 · 10–11 N · m2 · kg–2.
(A) = E (B)
a) Si el satélite gira alrededor deEla
m Tierra, mestá sometido
v
a una fuerza centrípeta,
que
es
la
fuerza
de
atracción
E (A) + Ep (A) = Ec (B) + Ep (B)
gravitatoria. Igualandoc sus respectivas
expresiones:
2
M·m
G·M
m· v =G·
8 v2 =
r
r2
r
52
h F =F
c
g
RT
Unidad 2. Campo gravitatorio
siendo r = R T + h.
Sustituyendo datos, se obtiene el valor de la velocidad del satélite:
v=
√
6,67 · 10–11 · 5,97 · 1024
(6,38 + 36) · 106
= 3 065,3 m · s–1
b) Aunque el módulo de su velocidad es constante, el satélite cambia su dirección;
Dep. FYQ
www.elmaestrodeciencias.es
luego, tiene aceleración normal, an, que vale:
an =
v2
(3 065,3)2
8 an =
= 0,22 m · s–2
r
42,38 · 106
S.CH.M.
4
dad del satélite:
Em = Ec + Ep 8 Em =
√
(
M ·m
1
· m · v 2 + –G · T
2
r
6,67 · 10–11 · 5,97 · 1024
v
=
= 3 065,3 m · s–1
Teniendo en(6,38
cuenta
que:· 106
+ 36)
)
TEMA 2: CAMPO GRAVITATORIO
AUTOEVALUACIÓN: 2ºBACHILLERATO
g · R T2
= 0
G · MT = el
g0 satélite
· R T2
b) Aunque el módulo de suvvelocidad
es ;constante,
cambia su dirección;
luego, tiene aceleración normal, arn, que vale:
Resulta:
v2
(3 065,3)2
an =
8 an = 2
= 0,22 m · s–2
1 r
1 g0 · R T2 · m
g0 · R T42,38
g0 ··10
R T62 · m
Em =
·m·
–
=–
·
2
2
r
r
r
c) Como se desplaza con velocidad constante (en módulo), tenemos:
Unidad 2.AlCampo
gravitatorio
sustituir
datos numéricos se obtiene:
53
s 2·π·r
2·π·r
2 · π · 42,38 · 106 m
v= =
=
=
86
870
s
=
1
día
8 T=
–1
1 9,8 m ·v s–2 · (63703·065,3
103 m)
kg
t
T
m2 · s350
Em = –
·
= –4,64 · 109 J
3
2
15
000
·
10
Los satélites cuyo período es 1 día se denominan geosíncronos.
2
20. Dos satélites, A y B, giran alrededor de un planeta siguiendo órbitas circulares
19. Un satélite artificial8 de 350 kg se
encuentra en una órbita circular de 15 000 km
de radios 2 · 10 m y 8 · 108 m, respectivamente. Calcula la relación entre sus
de radio alrededor de la Tierra. Si R T = 6 370 km, determina:
velocidades (tangenciales) respectivas.
a) ElCada
pesosatélite
del satélite
estando
en esta
órbita.
describe
una órbita
circular,
luego está sometido a una fuerza centrípeb) Su
rotación
alrededor
de la Tierra.
ta,período
que es ladefuerza
de atracción
gravitatoria.
Es decir:
c) La energía total del satélite en esta órbita.
M ·m
G · MP
v2
2 fuerza de
a) Elmpeso
atrac8 vla
· r del
= Gsatélite,
· P 2 P, será
=
r
r es decir:
ción que ejerce la Tierra sobre él;
Por tanto:
P=G·
• Para el satélite A:
m = 350 kg
v
F
vAc = Fg
h
MT · m
r2
siendo r = 15 2000 G
km
=PR T + h.
·M
vA =
r
Como no tenemos datos
de G y MT, podemos
A
expresar
producto
• Para elelsatélite
B: G · MT en función de
datos conocidos. Para ello, consideramos un
punto de la superficie
G · MP de la Tierra, donde:
vB2 =
r
M ·m
G · T 2 = m · gB0 8 G · MT = g0 · R T2
R T entre ambas velocidades
La relación
resulta:
Por
tanto:
MP
RP
RT
A
rA
vB
rB
()
( )
(
)
B
G · MP
R 2
g · R2
rA P = m
· 8 mT
rB · 0 2 vTA =2 m 8· g· 010
v
r =4 8 A =2
=
=
8r
=
2
8
vB
rA
vB
vB
2 · 10 m
G · MP
rB
Sustituyendo datos numéricos, resulta:
vA2
6 370 km 2
2 órbita circular alrededor de Marte, y otro
22.
Se
consideran
dos
satélites,
uno
en
P
=
350
kg
·
9,8
m/s
·
= 618,6 N
Unidad 2. Campo gravitatorio
55
15 000 km
alrededor de la Tierra:
¿Cuál
es la relación
entre los
radios de
las órbitas si ambos tienen el misb) Ala)ser
el módulo
de la velocidad
constante,
tenemos:
mo período?
s
2·π·r
2·π·r
v = que
8 vlos
= dos satélites
8 Testán
= en órbitas del mismo radio,
[1]
b) Supongamos ahora
t
r
v
cada uno alrededor de su planeta. Calcula la relación
entre los momentos
angulares
orbitales
correspondientes,
si las masas
de los
satélitescon
son
La velocidad
orbital
del satélite
la calculamos igualando
la fuerza
centrípeta
iguales.
la fuerza
de atracción gravitatoria:
Dato: relación entre las masas de los planetas: M M = 0,11 · M T.
2
M ·m
G · MT
g
R2
a) Si un
estáv sometido
mcuerpo
· v = describe
G · T 2 una trayectoria
8 v 2 = circular
= es
g0 porque
· T 8
= R T · a 0una fuerza
r
r
r que en este
r caso es la fuerza de atracciónr gravitatoria. Es decir:
centrípeta,
Sustituyendo datos numéricos, nos
queda:
M·m
G·M
v2
m·
=G·
8 v2 =
2
r
r
9,8r m · s–2
3
v
=
6
370
·
10
m
·
=
5
149
m · s–1
Con los datos que tenemos podemos
escribir:
15 000
· 103 m
• Para el satélite de Marte:
√
√
Unidad 2.GCampo
· MM gravitatorio
2 · π · rM
4 · π2 · rM2
s
vM = =
8 vM2 =
[1] ; vM2 =
[2]
2
rM
t
T
T
54
Dep. FYQ
[1] = [2] 8
4 · π2 · r M2
G · MM
G · MM · T 2
8 r M3 =
2
rM
Twww.elmaestrodeciencias.es
4 · π2
=
• Del mismo modo, para el satélite de la Tierra:
2
S.CH.M.
5
8 v =
r2
r
G
·
M
Con los datos que tenemos podemos
escribir:T
v12 =
r1
• Para el satélite de Marte:
TEMA 2: CAMPO
AUTOEVALUACIÓN: 2ºBACHILLERATO
• En la GRAVITATORIO
segunda órbita:
2
2
G · MM
2 · π · rM
4G
· π· M· TrM
s
2
vM = =
8 vM2v2=
[1] ; vM2 =
[2]
=
2
rM
t
T
Tr2
Por tanto:
4 · π2 · r M2 G · MM
G · MM · T 2
8 r M3 =
[1] = [2] 8
=
2
2
v2
v2 2 r M r1
G · MT/r2
rT2
1
4 · π√2
=
= 1 8
=
=
8 v2 =
· v1
2
v1
G · MT/r1
r2
v1
2 · r1 2
2
• Del mismo modo, para el satélite de la Tierra:
Al sustituir datos numéricos, se obtiene:
G · MT · T 2
3
r
=
T
√2
· π=2 5 445 m · s–1
v2 =
· 7 700 m ·4s–1
2
Para obtener esta última expresión, hemos procedido de la misma forma que en
el casoladel
satélite
de Marte.
que Mpotencial
= 0,11 ·yMcinética,
, la relación
c) Como
energía
mecánica,
Em,Teniendo
es la sumaendecuenta
las energías
será:
M
T
entre los radios de las órbitas resulta:
G·M ·m
G · MT
G · MT · m
1
1 G · MT · m
1
–
Em = · m · v 2G+ · –0,11 · MT · T 2 = · m ·
=– ·
T
2
2
r
r
r
r
2
rM 3
4 · π2
3
= energía suplementaria
= 0,11
r Mque
= r Tcomunicarle
· √ 0,11 = 0,479
· r T para que
Por tanto, la
que8hay
al satélite
2
r
· MTla· Tdiferencia
cambia Tde órbitaGserá
de energía mecánica entre las dos órbitas; es
4 · π2
decir:
• En la primera órbita:
m·
r
=G·
()
(
()
)
Es decir, el
laaórbita
del– satélite
gira alrededor de Marte es menor que el
DEradio
= Ede
(2.
órbita)
Em (1.a que
órbita)
m
m
radio de la órbita del satélite que gira alrededor de la Tierra; en concreto, 0,479 veces.
G · MT · m
1 G · MT · m
1 G · M ·8m
1
1
– ·
–
DEmla=definición
+ ·angular,T L, y teniendo
=
·
b) A partir de
de
momento
2
2
r1 que
r2 las órr2
r1
2 en cuenta
bitas son circulares, podemos escribir que
8 2 · r ; luego:
Pero r2 =
L = r8 Ò1 (m · v8 ) = m · (r8 Ò v8 ) 8 L = m · r · v · sen 90° = m · r · v
G·M ·m 1
G · MT8· m8
G · MT · m
1
1
yaDE
que
los vectores
r y v · son
Luego, co–
=en unaTórbita· circular
=
1 – perpendiculares.
=
m
r
2
·
r
2
2
·
r
4 · r1
2
1
1
1
mo r = r = r, nos queda:
( )
M
(
T
)
( )
Sustituyendo
datosdenuméricos,
nos queda:
• Para el satélite
Marte:
DEm =
√
G · MM kg
–11
2
24
6,67L · 10
kg–2L · 5,98
= m ·Nr ·· m
vM · 8
= m ·· 10
r · kg · 500
= 7,41 · 109 J
M
M
r
4 · 6,73 · 106 m
24. Un módulo lunar de 3 000 kg de masa está en órbita circular a una altura de
2 000
km por
encima de la superficie de la Luna:
Unidad
2. Campo
gravitatorio
57
a) ¿Cuál es la velocidad y la energía total del módulo en su órbita?
b) ¿Cuánto variará la energía total si el módulo sube a una órbita circular de
4 000 km sobre la superficie de la Luna?
Datos: G = 6,67 · 10–11 N · m2 · kg–2; M Luna = 7,36 · 1022 kg; R Luna = 1 740 km.
a) Si describe un movimiento circular, el módulo lunar está sometido a una fuerza
centrípeta que, en este caso, es la fuerza de atracción gravitatoria. Por tanto:
m·
M·m
G · ML
v2
=G· L2
8 v2 =
8 v=
r
r
r
Teniendo
en cuenta
que
Unidad
2. Campo
gravitatorio
√
G · ML
r
r = 1 740 km + 2 000 km = 3 740 km, al sustituir datos,
nos queda:
v=
√
6,67 · 10–11 N · m2 · kg–2 · 7,36 · 1022 kg
3740 · 103 m
59
= 11 45,7 m · s–1
m = 3000 kg
h = 2000 km
RL
ML
Dep. FYQ
www.elmaestrodeciencias.es
r = h + RL
S.CH.M.
6
nos queda:
v=
√
6,67 · 10–11 N · m2 · kg–2 · 7,36 · 1022 kg
3740 · 103 m
= 11 45,7 m · s–1
TEMA 2: CAMPO GRAVITATORIO
AUTOEVALUACIÓN: 2ºBACHILLERATO
m = 3 000 kg
h = 2000 km
RL
ML
r = h + RL
La energía total será la suma de la energía cinética más la energía potencial:
Em = Ec + Ep 8 Em =
(
1
M ·m
· m · v 2 + –G · L
2
r
Y como:
v2 =
)
G · ML
r
Resulta:
Em =
1
1 G · ML · m
G · ML
G · ML · m
·m·
–
=– ·
2
2
r
r
r
Sustituyendo datos numéricos, resulta:
Em = –
6,67 · 10–11 N · m2 · kg–2 · 7,36 · 1022 kg · 3 000 kg
1
= –1,97 · 109 J
·
3 740 · 103 m
2
b) Como la energía mecánica vale:
Em = –
1 G · ML · m
·
2
r
Al pasar el módulo lunar de una órbita de radio r1 = 2 000 km + 1 740 km = 3 740 km
a otra de radio r2 = 1 740 km + 4 000 km = 5 740 km, la variación de energía será:
DEm = Em(r2 ) – Em(r1 ) 8 DEm = –
=
(
1
1
1
· G · ML · m ·
–
2
r1 r2
)
(
1 G · ML · m
1 G · ML · m
·
– – ·
2
2
r2
r1
)
=
60
Sustituyendo datos numéricos, se obtiene:
DEm =
Unidad 2. Campo gravitatorio
(
1
1
1 6,67 · 10–11 N · m2 · kg–2 · 7,36 · 1022 kg · 3 000 kg
·
·
·
3
5
740
10 m
3 740
2
)
DEm = 6,86 · 108 J
El signo positivo nos indica que la energía del módulo lunar ha aumentado, hecho
que ocurre a medida que el cuerpo se aleja del origen del campo gravitatorio.
25. La Estación Espacial Internacional (ISS) describe una órbita prácticamente
circular alrededor de la Tierra a una altura h = 390 km sobre la superficie terrestre, siendo su masa m = 415 toneladas:
a) Calcula su período de rotación, en minutos, así como la velocidad con la
que se desplaza.
b) ¿Qué energía se necesitaría para llevarla desde su órbita actual a otra al
Dep. doble
FYQ de altura? ¿Cuál sería el período
www.elmaestrodeciencias.es
de rotación en esta nueva órbita?
Datos: G = 6,67 · 10–11 N · m2 · kg–2; M T = 5,98 · 1024 kg; R T = 6 370 km.
a) La órbita circular que describe la ISS es debido a la existencia de una fuerza cen-
S.CH.M.
7
DEm =
(
1 6,67 · 10–11 N · m2 · kg–2 · 5,98 · 1024 kg · 415 · 103 kg
1
1
–
·
·
3
10
m
2
6 760 7 150
TEMA 2: CAMPO GRAVITATORIO
DEm = 6,68 · 1011 J
)
AUTOEVALUACIÓN: 2ºBACHILLERATO
26. Un satélite artificial de 500 kg de masa se mueve alrededor de un planeta, describiendo una órbita circular con un período de 42,47 horas y un radio de
419 000 km. Calcula:
a) La fuerza gravitatoria que actúa sobre el satélite.
b) La energía cinética, la energía potencial y la energía total del satélite en su
órbita.
c) Si, por cualquier causa, el satélite duplica repentinamente su velocidad sin
cambiar la dirección, ¿se alejará indefinidamente del planeta?
a) Si el satélite describe una órbita circular, está sometido a una fuerza centrípeta,
que, en este caso, es la fuerza de atracción gravitatoria, Fg, luego:
2
Fg = m · v
r
Por otro lado, el módulo de la velocidad del satélite es constante; entonces:
v=
2·π·r
4 · π2 · r 2
s
8 v=
8 v2 =
T
T2
t
Por tanto, nos quedará:
4 · π2 · r 2
Fg = m ·
Fg =
T2
r
=
4 · π2 · m · r
T2
4 · π2 · 500 kg · 419 000 · 103 m
(42,47 · 3 600 s)2
= 353,8 N
b) La energía cinética será:
Unidad 2. Campo gravitatorio
62
Ec =
1
1
4 · π2 · r 2
2 · π2 · m · r 2
m · v2 = m ·
8 Ec =
2
2
2
T
T2
Ec =
2 · π2 · 500 kg · (419 000 · 103 m)2
= 7,41 · 1010 J
(42,47 · 3 600 s)2
y la energía potencial:
Ep = –
G · MP · m
r
Como no tenemos datos de G y de MP (la masa del planeta) y sabemos que la velocidad orbital es:
v2 =
G · MP
8 G · MP = v 2 · r
r
Por tanto:
Ep = –
Ec =
v2 · r · m
= –v 2 · m
r
1
· m · v 2 8 m · v 2 = 2 · Ec
2
°
§
¢ 8 Ep = –2 · Ec
§
£
El valor de la energía potencial es, entonces:
Ep = –2 · 7,41 · 1010 J = –14,82 · 1010 J
La energía total será la suma de las energías cinética y potencial, luego:
Em = 7,41 · 1010 J + (–14,82 · 1010 J) = –7,41 · 1010 J
NOTA. Este resultado ya lo hemos visto en otros problemas: la energía total es la mitad del valor de la
energía potencial gravitatoria.
c) Como acabamos de ver, en la órbita circular se cumple la siguiente relación entre
las energías cinética y potencial del satélite:
Ep = –2 · Ec
Dep. FYQ
www.elmaestrodeciencias.es
Si el satélite duplica súbitamente su velocidad, la energía potencial gravitatoria se
mantiene inicialmente constante, Ep4 = Ep, pues solo depende de la distancia del
satélite al centro del planeta, pero su nueva energía cinética, Ec4, es cuatro veces
S.CH.M.
8
Em = 7,41 · 1010 J + (–14,82 · 1010 J) = –7,41 · 1010 J
NOTA. Este resultado ya lo hemos visto en otros problemas: la energía total es la mitad del valor de la
potencial
gravitatoria.
TEMAenergía
2: CAMPO
GRAVITATORIO
AUTOEVALUACIÓN: 2ºBACHILLERATO
c) Como acabamos de ver, en la órbita circular se cumple la siguiente relación entre
las energías cinética y potencial del satélite:
Ep = –2 · Ec
En un determinado punto, situado a una distancia d de la Tierra, el módulo de FT
Si elysatélite
súbitamente
su velocidad, la energía potencial gravitatoria se
FL seráduplica
igual; por
tanto:
mantiene inicialmente constante, Ep4 = Ep, pues solo depende de la distancia del
2
M ·m
M · menergíaMcinética,
d Ec4, es cuatro veces
satélite al centro del planeta,
pero su nueva
T
G· T 2 =G· L 2 8
=
mayor que la inicial:
d
(r – d )
ML
r–d
Luego:
E 4 = 4 · Ec 2
5,98 · 1024 kg c
d
d
8
=
= 9,02
22
7,35
·
10
kg
–d
r–d
Por tanto, ahora la energía mecánica delrsatélite
es positiva:
( )
( )
Por tanto:
Em4 = Ep4 + Ec4 = –2 · Ec + 4 · Ec = 2 · Ec > 0
d = 9,02 · r – 9,02 · d 8 10,02 · d = 9,02 · r 8 d = 0,9 · r
En consecuencia, el satélite ya no está ligado a la gravedad del planeta, y como la
dirección
tangente
la trayectoria
siendodel
r lamovimiento,
distancia queinicialmente
separa la Tierra
de laaLuna.
Por tanto:circular de la órbita, no es una trayectoria de colisión con el planeta, el satélite se alejará indefid = 0,9 · 3,84 · 108 m = 3,456 · 108 m
nidamente de él.
28. Se lleva un cuerpo, mediante un cohete, hasta una altura de 630 km sobre el
mar:
Unidad 2. nivel
Campodel
gravitatorio
63
a) ¿Cuál es la intensidad del campo gravitatorio terrestre a esa altura?
b) ¿Con qué velocidad debería lanzarse este cuerpo (colocado a esa altura)
en una dirección perpendicular al radio de la Tierra de tal forma que describiese una órbita circular?
c) ¿Cuál sería el período de revolución del cuerpo alrededor de la Tierra?
Datos: G = 6,67 · 10–11 N · m2 · kg–2; M T = 5,98 · 1024 kg; R T = 6,37 · 106 m.
a) El módulo de la intensidad del campo gravitatorio vale:
g=G·
M
r2
por lo que, al sustituir datos, nos queda:
g = 6,67 · 10–11 N · m2 · kg–2 ·
5,98 · 1024 kg
= 8,14 N · kg–1
(7000 · 103 m)2
La expresión del vector campo gravitatorio será:
8
8
g = –8,14 · ur N/kg
v
m
h
Fc = Fg
RT
MT
r = h + R T = 7000 km
b) Para que describa una órbita circular en ese punto, debe igualarse la fuerza centrípeta con la fuerza de atracción gravitatoria (o el peso). Es decir:
Unidad 2. Campo gravitatorio
65
v2
m·
= m · g 8 v 2 = g · r 8 v = √g · r
r
Sustituyendo datos numéricos (teniendo en cuenta que r = 6,37 · 106 + 630 · 103 =
= 7 000 · 103 m), tenemos:
v = √8,14 m · s · 7 000 · 10 m = 7 548,5 m · s
–2
3
–1
Dep.
www.elmaestrodeciencias.es
c) FYQ
Como el cuerpo se mueve en la órbita
con velocidad constante (en módulo), tendremos que:
s 2·π·r
2·π·r
v= =
8 T=
t
T
v
S.CH.M.
9
(26 570 · 103 m)2
v2
2
m·
= m · g 8 v = g · r 8 v = √g · r
r cada satélite valdrá:
La energía cinética de
Sustituyendo datos numéricos1(teniendo1en cuenta
que r = 6,37 · 106 + 630 · 103 =
G·M
2
3
7 000
· 10 GRAVITATORIO
m), tenemos:Ec = m · v = · m · r T
TEMA=2:
CAMPO
AUTOEVALUACIÓN: 2ºBACHILLERATO
2
2
–1
· –11
s–2 N· 7· 000
10–23 ·m5,98
v = √8,14
= 7· 548,5
1
6,67 m
· 10
m2 · ·kg
1024 kgm · s
Ec = · 840 kg ·
=
6,30
· 109 J
3
c) Como el cuerpo
se mueve en la órbita
con
constante (en módulo), ten2
26 570
· 10velocidad
m
dremos que:
Y su energía potencial en
s esa2 órbita:
·π·r
2·π·r
v= =
8 T=
t
T
v
5,98 · 1024 kg · 840 kg
MT · m
–11
2
–2
–
–
E
=
G
·
8
E
=
6,67
·
10
N
·
m
·
kg
·
=
p
p nos queda:
Sustituyendo
datosr numéricos,
26 570 · 103 m
T=
2 · π · 7 000 · –103 m 10
= 1,26 · =
105 827
J s = 1 h 37 min 7 s
7548,5 m · s–1
Ununo
satélite
artificial
de 300 del
kg gira
alrededor
de la Tierra en una
órbita
29. 30.
Cada
de los
24 satélites
sistema
de posicionamiento
GPS
tienecircuuna
lar de R = 36 378 km:
masa de 840 kg y se encuentra en una órbita circular de 26 570 km de radio.
Determina,
para
uno de estos
satélites:
a) Calcula
la velocidad
del satélite
en la órbita.
b)período
Obtén lade
energía
totalalrededor
del satélite
órbita.
a) Su
rotación
deen
lala
Tierra.
Datos:
= 6energías
,37 · 106 m;
g0 = 9,80
m/s2.
b) Su
pesoRyT sus
cinética
y potencial
en su órbita.
el satélite
lleva una
circular, es porque está sometido a una fuerza
a) Sia)elSisatélite
describe
una trayectoria
órbita circucentrípeta,
que,
en
este
caso,
es
la
fuerza de atracción gravitatoria. Por tanto:
lar, está sometido a una fuerza centrív
peta, que, en este caso, es la fuerza
de
2
v
M ·m
G · MT
m = 840 kg
atracción gravitatoria. Es m
decir:
·
=G· T 2
8 v2 =
R
R
R
h
Fc = Fg
MT · m
G · MT
v2
2 de G y M
datos
,
en
un
punto
de
la
superficie
de
la
Tierra
se
m · Como
= Gno· tenemos
8
v
=
RT
r2
r T
r
cumplirá
que:
MT
Por otro lado, al desplazarse con veloM ·m
m · g0 podemos
=G· T 2
8 G · MT = g0 · R T2
cidad constante (módulo),
RT
escribir:
Luego:
s
2·π·r
r = h + RT
v=
8 v=
8 g · R2
g0 · R T2
T
t
T
v2 = 0
8 v=
R
R
2
·
π
·
r
8 T = datos numéricos, resulta:
Sustituyendo
v
√
Sustituyendo el valor de 9,80
v, nos
m queda:
· s–2 · (6,37 · 106 m)2
v=
= 3 306,2 m · s–1
36 378 · 103 m2 3
4·π ·r
T=
G·M
√
√
b) La energía del satélite en órbita será la suma de sus energías cinética y potencial: 67
Unidad 2. Campo gravitatorio
Sustituyendo datos numéricos, el período de rotación resulta:
T=
Es decir:
√
Em = Ec + Ep 8
Em =
2
1
(
· m · v2 + –
G · MT · m
)
R
4 · π · (26 5702 · 103 m)3
= 43 088 s › 12 h
6,67 · 10–11 N · m2 · kg–2 · 5,98 · 1024 kg
Em =
66
g · R T2 · m
1
· m · v2 – 0
R
2
Unidad 2. Campo gravitatorio
pero como:
v2 =
g0 · R T2
R
Resulta:
Em = –
2
1 g0 · R T · m
·
R
2
Sustituyendo datos numéricos, se obtiene:
Em = –
1
2
·
9,80 m · s–2 · (6,37 · 106 m)2 · 300 kg
= –1,64 · 109 J
36 378 · 103 m
31. Un satélite artificial describe una órbita elíptica con el centro de la Tierra en
uno de los focos. Si se conocen las distancias máxima y mínima del satélite
Dep.
FYQ
www.elmaestrodeciencias.es
al centro de la Tierra (apogeo y perigeo), ra y rp , respectivamente, plantea
razonadamente, sin resolverlas, las ecuaciones necesarias para determinar
las velocidades orbitales del satélite en esos puntos, va y vp .
S.CH.M.
1
0
TEMA 2: CAMPO GRAVITATORIO
Dep. FYQ
AUTOEVALUACIÓN: 2ºBACHILLERATO
www.elmaestrodeciencias.es
S.CH.M.
1
1