Dos problemas planteados y resueltos con Cabri-Géomètre

Dos problemas planteados y resueltos con Cabri-Géomètre
M. C. Minerva Aguirre Tapia
U.A.N.L., CINVESTAV-IPN
[email protected]
M. C. Rosa Elvira Páez Murillo
UFPS, Colombia; CINVESTAV-IPN
[email protected]
En este trabajo se muestra cómo con el uso del Cabri-Géomètre se pueden
resolver problemas de optimización a través de las representaciones
geométricas y numéricas, y al igual que problemas de geometría utilizando
transformaciones. Se presentan dos problemas los cuales permitirán ilustrar
cómo la tecnología varía nuestra aproximación a la enseñanza de temas
matemáticos en contraste a la enseñanza tradicional.
Introducción
En los últimos años, el uso de las nuevas tecnologías ha estado revolucionando la
enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en todos los niveles. La enseñanza del
cálculo y la geometría no son la excepción. El tratamiento de los diferentes temas de esta
dos disciplinas empiezan a cambiar debido a la introducción de las nuevas tecnologías, de
modo que se hace necesario pensar en una forma diferente de llegar a los conceptos
fundamentales y en sus aplicaciones dentro del contexto escolar.
En la enseñanza de las matemáticas, la adquisición de conceptos se considera una
tarea fundamental. Tradicionalmente esta tarea ha girado en torno a la memorización de
reglas y algoritmos sin referentes significativos conllevando a un aprendizaje repetitivo,
compartamentalizado y puntual, donde la utilización de la representación algebraica ha sido
el eje central.
En los cursos de Cálculo, los problemas de optimización se utilizan para ilustrar las
aplicaciones de la derivada y normalmente sólo se abordan a través de la representación
algebraica. Ahora, con el uso del Cabri estos problemas se pueden abordar a través de
representaciones numéricas y geométricas, abriendo la posibilidad de articularlas con la
representación algebraica. Esta articulación es importante porque según Duval (1998,
p.186) “la comprensión (integradora) de un contenido conceptual reposa en la
coordinación de al menos dos registros de representación, y esta coordinación se
manifiesta por la rapidez y la espontaneidad de la actividad cognitiva de conversión”.
En el caso de la enseñanza de conceptos básicos de la geometría, la NCTM, en sus
estándares 2000 señala que: "La geometría de transformaciones ofrece otros lentes a través
de los cuales investigar e interpretar los objetos geométricos. Para ayudarlos a formar
imágenes de las formas a través de diferentes transformaciones, los estudiantes pueden usar
objetos físicos, figuras trazadas en papel delgado, espejos u otras superficies reflejantes,
figuras dibujadas sobre papel gráfico, y programas de geometría dinámica. Pueden explorar
las características de los giros, vueltas, y deslizamientos y deben investigar las relaciones
entre composiciones de transformaciones. Estas experiencias deben ayudar a los estudiantes
a desarrollar un entendimiento fuerte de la simetría lineal y rotacional, escalamiento, y
propiedades de los polígonos."
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Problema 1:
¿Dónde debe elegirse el punto P sobre el segmento rectilíneo AB de modo que se maximice
el ángulo ß?
Situación No. 1: Representación Numérica
2
Situación No. 2: Representación Gráfica
Situación No. 3: Representación Algebraica
5
 2 
Con la función β = π − arctan   − arctan 
 y un comando del Cabri, se puede
 x
3− x
relacionar las tres representaciones y encontrar la solución exacta, sin recurrir a la
derivación. Luego, el uso del Cabri-Géomètre ofrece nuevas alternativas en la solución de
estos problemas sin necesidad de la aplicación del cálculo. Por lo que se debe “repensar” la
enseñanza del mismo.
Problema 2:
Hay transformaciones como la dilatación (u homotecia) que se incluyen en el programa de
secundaria, primero a nivel intuitivo a partir de un dibujo a escala y después se incluyen las
aplicaciones de la semejanza. Una homotecia es una transformación del plano definida con
la ayuda de un punto O (centro) y un número k (positivo o negativo) que es la razón de
homotecia (o factor de escala). En general, al multiplicar por k las dimensiones lineales de
una figura o cuerpo, su perímetro se multiplica por k, su área por k2 y su volumen por k3.
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En el ejemplo mostrado esto significa que el perímetro del pentágono del centro
corresponde a la mitad del perímetro del pentágono de la izquierda, y si comparamos sus
áreas, el del centro tendría (0.5)2 = 0.25 del área del pentágono de la izquierda.
Problema: En un triángulo cualquiera ABC se toma un punto P sobre el lado AC y se traza
la paralela al lado AB que pasa por P, el triángulo queda dividido en dos figuras: el
triángulo PQC y el cuadrilátero ABQP. El punto P se mueve libremente sobre el lado AC,
¿cuál será la posición de P para que las áreas A1 y A2 sean iguales?
Para la resolución de este problema el estudiante debe tener en cuenta la semejanza de los
triángulos ABC y PQC. (Teorema: Si una recta paralela a un lado de un triángulo interseca
a los otros dos lados, entonces divide a éstos proporcionalmente).
El razonamiento seguido considerando las transformaciones, en particular la homotecia, es:
considerar como centro de homotecia el vértice C común a ambos triángulos semejantes,
para encontrar el factor de escala se considera que éste, en el caso de áreas es k2, lo que
equivale a decir que si el triángulo PQC debe tener la mitad del área del triángulo ABC,
entonces k2 = ½, por tanto k = √2/ 2 que sería la distancia a considerar a partir del centro de
homotecia C.
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Este problema puede ser resuelto de diversas maneras, se ha considerado la homotecia
como un recurso adecuado al tema de semejanza. Con la ayuda del Cabri el estudiante
puede explorar, a través del arrastre del punto P, una aproximación a la solución solicitada.
Otra solución al mismo problema es la siguiente, como P se puede deslizar sobre el lado
AB, se puede graficar la distancia BP en el eje horizontal y las áreas del triángulo APQ y el
cuadrilátero BCQP en el eje vertical, cuya representación se muestra sobre los ejes
coordenados. Al arrastrar P sobre el lado AB, observamos que la intersección de las
gráficas corresponde a la posición solicitada de P. El alumno podría completar la solución
analítica de este problema encontrando las ecuaciones de ambas gráficas y resolviendo las
ecuaciones simultáneas correspondientes.
El programa Cabri da la oportunidad de trabajar con diferentes registros de representación,
como el tabular, gráfico, figural, mostrados en estos dos ejemplos.
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Bibliografía
Duval, R (1998). Registros de representación semiótica y funcionamiento cognitivo del
pensamiento. Investigaciones en Matemática Educativa II. Grupo Editorial
Iberoamerica, México, pp. 173-201.
Hitt, F. (En prensa, 2000) El papel de los Esquemas, las Conexiones y representaciones
Internas y Externas Dentro de un Proyecto de Investigación en Educación Matemática.
NCTM. (2000). Principles and Standards for School Mathematics. National Council of
Teachers of Mathematics. USA.
SEP. (1995). Libro para el maestro. Educación Secundaria. Secretaría de Educación
Pública. México.
Stewart, J. (1999) Cálculo. Conceptos y contextos. Editorial Internacional Thomson
Editores, México.
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