MATEMATIKA II MATEMÁTICAS II

UNIBERTSITATERA SARTZEKO
PROBAK
PRUEBAS DE ACCESO A LA
UNIVERSIDAD
2011ko EKAINA
JUNIO 2011
MATEMATIKA II
MATEMÁTICAS II
Azterketa honek bi aukera ditu. Horietako bat erantzun behar duzu.
Ez ahaztu azterketako orrialde bakoitzean kodea jartzea.
Koordinatzaileek argibideekin bete beharreko hutsunea:
Azterketa honek bi aukera ditu. Horietako bati erantzun behar diozu.
Besteak beste, honako hauek izan ditzake:
Ez ahaztu azterketako orrialde bakoitzean kodea jartzea.
• Galdera-kopurua, hainbat kontu eta arazo, eta abar.
Azterketa
5 ariketaz
osatuta dago.
• •Galdera
bakoitzaren
puntuazioa.
•
Ariketa
bakoitza
0
eta
2 puntu
artean baloratuko
da
• Erabili beharreko materiala
(kalkulagailua,
hiztegia, marrazteko
materiala...).
Programagarriak
direneta
kalkulagailuak
erabil
• •Aukera
guztietarakoez
egokia
baliagarria den
bestedaitezke.
edozein argibide.
Este examen tiene dos opciones. Debes contestar a una de ellas.
No olvides incluir el código en cada una de las hojas de examen.
• El examen consta de cinco ejercicios.
• Cada ejercicio será valorado entre 0 y 2 puntos.
• Se podrán utilizar calculadoras no programables.
Este examen tiene dos opciones. Debes contestar a una de ellas.
No olvides incluir el código en cada una de las hojas de examen.
Espacio reservado para las instrucciones que deben de rellenar las Coordinadoras y los
Coordinadores:
Puede contener entre otras cosas:
•
•
•
•
Número de preguntas, cuestiones, problemas, etc.
Puntuación de cada una de ellas.
Material que puede utilizarse (calculadora, diccionario, material de dibujo,…)
Cualquier otra instrucción que sea pertinente y válida para todas las opciones.
UNIBERTSITATERA SARTZEKO
PROBAK
PRUEBAS DE ACCESO A LA
UNIVERSIDAD
2011ko EKAINA
JUNIO 2011
MATEMATIKA II
MATEMÁTICAS II
Azterketa honek bi aukera ditu. Horietako bat erantzun behar duzu.
OPCIÓN A
Ez ahaztu azterketako orrialde bakoitzean kodea jartzea.
Ejercicio A 1
Se considera el sistema de ecuaciones lineales:

x + 2 y + hutsunea:
3 z = −1

Koordinatzaileek argibideekin bete
beharreko

S = 2 x + 5 y + 4 z = −2



Besteak beste, honako hauek izan ditzake:
x + 3 y + m2 z = m
a) •Discutir
su compatibilidad
función
del parámetro
Galdera-kopurua,
hainbaten
kontu
eta arazo,
eta abar. m.
b) •Resolver
el
sistema
para
m
=
0.
Galdera bakoitzaren puntuazioa.
• Erabili
materiala (kalkulagailua, hiztegia, marrazteko materiala...).
Ejercicio
A beharreko
2
• rAukera
egokia eta baliagarria den beste edozein argibide.
Sean
y s lasguztietarako
siguientes rectas:


x

=3+t
r = y = −4 + 3t



z=0
,
s=

x + y
− 2z = 1
x − y = −6
.
Hallar la ecuación de la recta perpendicular a las rectas r y s y tal que contenga al
punto P = (3, −1, 2).
Ejercicio A 3
Sea f la función f (x) = x2 e−2x .
a) Estudiar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.
b) Estudiar sus máximos y mínimos y trazar un bosquejo de su gráfica.
Ejercicio A 4
Calcular las integrales indefinidas que siguen
Z
Z a una de ellas.
Este examen tiene dos opciones.
Debes contestar
x ln(x) dx,
x sin(2 x) dx
Noexplicando
olvides incluir
el código
en cada
una
las hojas de examen.
el método
seguido
para
el de
cálculo.
Ejercicio A 5
La suma
de 30 múltiplos
consecutivosque
de deben
7 es igual
a 9 345.
es el primer
Espacio
reservado
para las instrucciones
de rellenar
las¿Cúal
Coordinadoras
y losy
último
número
de
esta
serie
de
múltiplos?
Razonar
la
respuesta.
Coordinadores:
Puede contener entre otras cosas:
•
•
•
•
Número de preguntas, cuestiones, problemas, etc.
Puntuación de cada una de ellas.
Material que puede utilizarse (calculadora, diccionario, material de dibujo,…)
Cualquier otra instrucción que sea pertinente y válida para todas las opciones.
UNIBERTSITATERA SARTZEKO
PROBAK
PRUEBAS DE ACCESO A LA
UNIVERSIDAD
2011ko EKAINA
JUNIO 2011
MATEMATIKA II
MATEMÁTICAS II
Azterketa honek bi aukera ditu. Horietako bat erantzun behar duzu.
OPCIÓN B
Ez ahaztu azterketako orrialde bakoitzean kodea jartzea.
Ejercicio B 1
Dada la matriz A


1 0
α

Koordinatzaileek argibideekin bete beharreko
−1
α 0 hutsunea:

2 −1 1
Besteak beste, honako hauek izan ditzake:
a) Contestar razonadamente a la siguiente pregunta ¿existe algún valor de α ∈ R
tal que A no tenga inversa para ese valor?
• Galdera-kopurua, hainbat kontu eta arazo, eta abar.
b) Calcular, en caso de que sea posible, la matriz inversa de A2 para α = 0.
• Galdera bakoitzaren puntuazioa.
Ejercicio
B beharreko
2
• Erabili
materiala (kalkulagailua, hiztegia, marrazteko materiala...).
Sea• π Aukera
el planoguztietarako
de ecuaciónegokia
x − yeta
+ zbaliagarria
= 0 y sea den
P elbeste
punto
(2, 1, 3).
edozein
argibide.
Calcular el punto simétrico de P respecto a π, explicando el proceso seguido para
dicho cálculo.
Ejercicio B 3
Sea f (x) = x3 + a x2 + b x + c.
Encontrar los valores de a, b y c de forma que la gráfica de f contenga al punto
(0, 1) y las rectas tangentes a f en los puntos x = 0 y x = 1 sean ambas paralelas a
la recta y = 3 x + 5.
Ejercicio B 4
Sean f y g las funciones f (x) = x2 + 3 x + 2 y g(x) = −x2 − 3 x + 10.
a) Trazar un esquema gráfico de ambas funciones.
b) Calcular el área de la región del plano limitada por ambas funciones.
Ejercicio B 5
Este
examen
dos opciones.
Debes contestar
a una
deconsiste
ellas. en lanzar dos dados
Ane,
Bertatiene
y Carlos
están jugando
a un juego
que
al mismo tiempo. Ane suma los resultados de los dos dados, mientras que Berta
Nocalcula
olvideslaincluir
el código
unapuntuación
de las hojasydelaexamen.
diferencia
entreenlacada
mayor
menor y Carlos multiplica las
puntuaciones.
Ane apuesta por el 6, Berta por el 2 y Carlos por el 4.
Espacio
reservado para
lasapuestas
instrucciones
que deben
rellenar
Coordinadoras
¿Son equilibradas
estas
o alguno
de losde
tres
tiene las
ventaja?
Razona lay los
resCoordinadores:
puesta.
Puede contener entre otras cosas:
•
•
•
•
Número de preguntas, cuestiones, problemas, etc.
Puntuación de cada una de ellas.
Material que puede utilizarse (calculadora, diccionario, material de dibujo,…)
Cualquier otra instrucción que sea pertinente y válida para todas las opciones.