Rotor Rígido ( ) ( )

3/16/2014
Rotor Rígido
Ileana Nieves Martínez
QUIM 4042
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Ley de la palanca para dos cuerpos
m1  x1  X    m2  x2  X 
m1  x1  X   m2  x2  X   0
“Physical Chemistry” © 2006 P.W. Atkins & J. de Paula
W.H. Freeman & Company; 8va. edición
2
1
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Rotor Rígido en Mecánica Cuántica
Ecuación de Schröedinger
en coordenadas relativas o internas
 2   2

2
2 



V
x
y
z
,
,



   E
 2
2
2 



x
y
z

2




donde E  Evib  Erot
3
Repaso de coordenadas polares
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Polar_to_cartesian.svg
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Polar_graph_paper.svg
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Transformación de coordenadas
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Cartesian_to_polar.gif
5
Coordenadas polares (x, y) → ()
6
3
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Coordenadas esféricas polares
x  r sin cos
y  r sin sin
z  r cos
Transformación de coordenadas a
coordenadas esféricas polares.
Definición de coordenadas:
r =
distancia desde el origen
al punto x, y, z
θ =
ángulo entre el vector r y
el eje positivo de z
φ =
ángulo entre la proyección
del r en el plano xy que
hace el vector en el eje
positivo de x
©“Physical Chemistry” ; P. W. Atkins; Noviembre 1998; W. H. Freeman & Co; 6ta edición
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Espacio angular permitido
©“Physical Chemistry” ; P. W. Atkins; Noviembre 1998
W. H. Freeman & Co; 6ta edición
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Hamiltoneano en coordenadas esféricas
El Hamiltoneano se transforma por regla de cadena y ecuaciones de transformación:
 2  1   2  
 

1


r
 2
 sin 

 2  r r  r  r sin   

2 
1


 V  r , ,  
 2 2
2 
 r sin   

Ecuación de Schröedinger de movimiento interno:
 2  1   2  

 
 
2 
1
1
 V  r , ,     E 


r
 2
 sin 
 2 2
2 
  r sin   
 2  r r  r  r sin   

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Características del Rotor Rígido:

r = r0

masa de la varilla es descartable y no existe momentum
angular en dirección radial ( r ).

El movimiento que se lleva a cabo es la rotación
alrededor del Centro de Masa.

No hay fuerzas externas (campos magnéticos o
eléctricos): Etot = T ya que V = 0.

Se descarta el término radial del Hamiltoneano ya que
se asocia a la energía cinética de movimiento radial.
Debido a que el rotor rígido no hay movimiento radial
el término es cero y V = 0.
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Efectos sobre el Hamiltoneano
2

2
 1   2  
r
  0

 r r  r  
 2

 2 
V  r , ,    0

 
 
 2 
1
1
 2
   E
 sin 

   r02 sin 2    2  
 r0 sin    
Pero I   r02 y sacando r02 como factor común :
 2  1  
 
1
2


sin





   sin 2    2
 2 I  sin    

   E

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Para resolver la ecuación anterior primero asumimos que el movimiento es
solamente en el plano xy: θ = π/2 y por lo tanto, el sin θ = 1. Además, como el
ángulo es una constante las derivadas son cero y desaparecen en la expresión.
 2  1  
 
1
2 
  
   E
 sin 

  sin 2   2  
 2 I  sin   
 2

 2I
 1
 2 
  E

2
2 
sin





 2
2 IE
 2 
2


 2
 m2  0
2

 2
 
 2I
  2 
  E

2 




 2  2 IE
 2 0
 2



m2 
2 IE
2
y        
Ecuación lineal, homgénea de segundo orden con coeficientes constantes.
 2   

2
 m 2     0
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Solución para  (ecuación lineal homogénea)

  
A e  im 
C o n d ic ió n d e f r o n te r a ( U n iv a lu a d a )

  

A e  im 
1  e

 im 2 


 2

A e  im 

A e  i m   e  i m  2 
?
A e  i m   2 


 c o s m 2  i s in m 2
s o l o s e c u m p l e s i m  0 ,  1,  2 ,  3 . . . .
m 2 2
2I
E 
13
Normalización de ()
2
1
2
  *      d    Ae
0
0
A 2 2  1

   
1  im
e
2

A
 im
Ae
 im
d  A
2
2
 d
0
1
2
m  0,  1,  2,  3...
Existen estados degenerados y se interpretan en
términos de que el rotor puede girar en dos
dimensiones con igual velocidad y energía cinética.
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Movimiento en tres dimensiones
 2  1  
1  2 
 

sin







  sin 2   2  
 2 I  sin   
    Y         
2
  2  1       
      
1         
  
   E      
 sin 
 2


 2
 2 I  sin 

 sin 
 
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Solución de θ
Multiplicando por sin 2  , operando y dividiendo por      
 sin     sin 

 
      
2
1      
      2 IE 2 
2

sin




  m


2
2
    
      
2 IE
:
2
  2      cos       

1
2
2

  
  2  sin   m      0

2
    sin      sin 

Operando y multiplicando por    y definiendo  


Al m estar al cuadrado Θ(θ) solo depende de la magnitud de m y no de su signo.
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Polinomios Asociados de Legendre
      
Definiendo:   cos  y 




  
Sustituyendo:



1     P   2  P      1 m
2
2
2
2

 


Polinomios asociados de Legendre
2
  P 
 y P  

   

P  0

Para que sea aceptable:
  l  l  1 donde l  m , m  1, m  2, m  3...
l  m ó m   l ,  l  1 ,  l  2  ...  1, 0,1, 2, 3...  l  2  ,  l  1 , l
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Solución y polinomios asociados de Legendre
s in  d 
dP 
s in 
 C r s in 2    C 


P
d 
d 
m
m
Pl  x 
2 d
m
2
Pl  x   1  x 
dxm
  2 l  1   l  m ! 
N l ,m  

2  l  m !


m
 l m    N l , m Pl  c o s  
P0  x   1
1
3 x 2  1 
2
1
 3 5 x 4  3 0 x 2  3 
8
P1  x   x
1
2
x  cos 
1
5 x 3  3 x 
2
1
 6 3 x 5  7 0 x 3  1 5 x 
8
P2  x  
P3  x  
P4  x 
P5  x 
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Solución para la energía de rotación
H a b rá  2 l  1  v a lo re s d e  m  p o r c a d a v a lo r d e  l  .
C o n d o s d im e n s io n e s s e n e c e s ita n d o s n ú m e ro s c u á n tic o s .
A u to v a lo re s d e e n e rg ía :  
 l l  1   2
E  
2I

  L2 
  

  2I 
2 IE
 l l  1  :
2
 J  J  1  2
E  
2I

  L2 
  

  2I 
p o r lo ta n to : L 2  J  J  1   2
e l m o m e n tu m a n g u la r e s tá c u a n tiz a d o .
L a m a g n itu d d e l m o m e n tu m a n g u la r e s :
L   J  J  1 
1
2
  l l  1 
1
2

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Soluciones de la ecuación: Ψl,m(θ,φ)=Yl,m(θ,φ) = Θ(θ) Φ(φ)
Funciones armónicas esféricas P  x   1  x  d dxP  x 
m
l
Jol
m
Yl,m(θ,φ)
P0  x   1
0
0
1
  
2
P1  x   x
1
0
1 3
cos 
 
2 2
1
+1
1 3
sin  ei
 
 2  2
1
-1
1 3
sin  e  i
 
 2  2
2
m
m
2
l
m
 l  l  1  2 
E 


2I


0
 2 2 


 2I 
 2 2 


 2I 
 2 2 


 2I 
20
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Expresión gráfica de armónicas esféricas
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/ec/Spherical_harmonics.png
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Rotating_spherical_harmonics.gif
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Lineal
Momento de Inercia
Rotor
Esférico
Rotor
Simétrico
Rotor
Asimétrico
©“Physical Chemistry” ; P. W. Atkins; Noviembre 1998; W. H. Freeman & Co; 6ta edición
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Momentos de Inercia de Moléculas poliatómicas
Tabla 16.1: Momentos de Inercia
1. Diatómicos
2. Rotores lineales
* Para cada caso m es la masa total de la molécula
©“Physical Chemistry” ; P. W. Atkins; Noviembre 1998; W. H. Freeman & Co; 6ta edición
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Momentos de Inercia de Moléculas poliatómicas
3. Rotores simétricos
* Para cada caso m es la masa total de la molécula
©“Physical Chemistry” ; P. W. Atkins; Noviembre 1998; W. H. Freeman & Co; 6ta edición
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Momentos de Inercia de Moléculas poliatómicas
4. Rotores esféricos
* Para cada caso m es la masa total de la molécula
©“Physical Chemistry” ; P. W. Atkins; Noviembre 1998; W. H. Freeman & Co; 6ta edición
25
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