ÁLGEBRA VECTORIAL. ¿Cómo calcular con puntos y vectores? 1

Enrique R. Aznar
Dpto. de Álgebra
ÁLGEBRA VECTORIAL.
¿Cómo calcular con puntos y vectores?
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1. Introducción.
1.1. Los orígenes del espacio Afín
1.2. El Espacio Afín Euclídeo
2. Producto escalar y grammianas.
Definición 1
Lema 1
Definición 2
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Teorema 1
Teorema 2
Corolario 1
Corolario 2
Corolario 3
3. Producto vectorial.
5
6
7
8
8
8
9
10
10
10
12
12
13
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Definición 3
Lema 2
Lema 3
Ejemplo 3
4. Producto triple escalar.
Definición 4
Ejemplo 4
Ejemplo 5
5. Espacio Afín.
Definición 5
Definición 6
Lema 4
Ejemplo 6
Definición 7
5.1. Rectas
Definición 8
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Lema 5
Ejemplo 9
Ejemplo 10
5.2. Planos
Definición 9
17
18
20
20
20
21
21
23
23
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29
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Definición 10
Definición 11
Lema 6
Ejemplo 11
Ejemplo 12
Lema 7
Ejemplo 13
5.3. Distancia de un punto a una recta
Lema 8
6. Triángulos en Rn
Definición 12
Lema 9
Definición 13
Lema 10
Corolario 4
Corolario 5
6.1. Puntos distinguidos de un triángulo en R n
Definición 14
Lema 11
Ejemplo 14
Definición 15
Ejemplo 15
7. Tetraedros en Rn
32
33
33
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8.
Definición 16
Definición 17
Lema 12
Definición 18
Definición 19
Ejemplo 16
Test de repaso.
45
46
46
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1. I NTRODUCCIÓN .
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Aunque la geometría clásica griega estudia o define el plano y el espacio 3D
usando axiomas y deduce los teoremas a partir de ellos.
Actualmente, es común definir estos conceptos usando coordenadas. O sea,
usando R2 o R3 como conjunto subyacente de puntos.
Este es el enfoque de la geometría llamada analítica. Permite usar todas las
herramientas de las operaciones algebraicas. Además, tiene la ventaja de que
la generalización a Rn no ofrece casi ninguna dificultad.
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Así, una manera de pensar en el plano euclídeo es que es un conjunto de
puntos que satisfacen ciertas relaciones expresables en términos de distancia
(tamaño de vectores) y ángulos (dirección de vectores).
Contenido
Hay tres operaciones fundamentales en el plano. Una es la traslación que
significa mover cada punto en la misma dirección, una misma distancia.
La otra es la rotación alrededor de un punto, en la cual cada punto se mueve
alrededor (misma distancia) de ese punto un cierto ángulo.
La tercera es la reflexión según una recta que mueve cada punto hacia la
recta, en la perpendicular a ella, el doble de la distancia a la misma.
Una manera de hacer todo esto preciso, es definiendo el plano euclídeo como
el esp. vect. R2 con un producto escalar.
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De esta forma, los vectores se corresponden con los puntos. La suma con
un vector fijo corresponde con una traslación. Finalmente. el producto escalar proporciona los conceptos de ángulo (perpendicularidad) y distancia
que permiten definir las transformaciones de rotación y reflexión arbitrarias.
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La generalización a Rn es fácil, ya que el vocabulario, fórmulas y operaciones son los mismos con mas coordenadas. La generalización de rotación
y reflexión a Rn , tampoco es difícil conociendo R2 .
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La dificultad está en la visualización a partir de R , aunque no es necesaria.
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4
La sutileza a tener en cuenta, es que técnicamente el espacio euclídeo no es
sólo un esp. vect. sobre R, sino mas bien un espacio afín sobre el que actúa
el espacio vectorial.
Intuitivamente, la distinción consiste en que no hay un punto distinguido que
sirva como origen. Todos pueden servir. En este tema lo precisaremos.
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1.1. Los orígenes del espacio Afín. Aunque el estudio de la geometría es muy
antiguo, sólo recientemente se ha intentado separar la parte afín de la métrica.
In 1748, Euler introdujo el término afín1. In 1827, August Möbius estudió la
geometría afín en su Der barycentrische Calcul.
1En su libro, Introductio in analysin infinitorum.
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Pero no fue hasta que Felix Klein describió su famoso programa de Erlangen,
cuando la geo. afín fue reconocida como una generalización de la euclídea.
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Aunque es usual estudiarla con coordenadas, también es posible estudiarla a
la griega. O sea, con postulados y axiomas, sin decir quienes son los puntos.
Así, en 1969, Coxeter axiomatiza el plano afín sobre los reales. Y Cameron,
en 1991, da axiomas para los espacios afines n-dimensionales.
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2
1.2. El Espacio Afín Euclídeo. Hoy día, el espacio euclídeo es esencialmente
Rn con el producto escalar usual, lo que permite calcular distancias y ángulos. Generaliza al plano euclídeo (geometría 2D) y al espacio euclídeo
(geometría 3D) clásicos.
El adjetivo euclídeo distingue a estos espacios de otras formas de medir en
Rn . O sea, de otras definiciones de norma de un vector, que pueden conducir
a espacios llamados curvos.
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En particular, a las geometrías Hiperbólica y Elíptica del plano y a los espacios de la teoría general de la relatividad de Einstein.
En este tema, estudiaremos algunos conceptos importantes para el esp. euclídeo n-dimensional. También el concepto de producto vectorial en R3 .
Después nos centraremos en el afín y en el afín euclídeo.
2
Euclides de Alejandría fue un matemático y geómetra griego (325-265 a. C.) que vivió
y enseñó en Alejandría (Egipto) bajo el reinado de Ptolomeo II.
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2. P RODUCTO ESCALAR Y GRAMMIANAS .
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Dado un esp. vect. V , real (sobre el cuerpo R), y dada una aplicación < , >:
V xV → R, denotada a veces (en notación infija) como < u, v >= u • v
Definición 1. Decimos que es un producto escalar si verifica para todo
u, u 1 , u 2 , v ∈ V y todo λ ∈ K
1)
2)
3)
4)
Definida positiva: u • u ≥ 0 y u • u = 0 ⇐⇒ u = 0
Conmutativa: u • v = v • u
Distributiva: (u 1 + u 2 ) • v = u 1 • v + u 2 • v
Lineal: λu • v = λ(u • v)
Dado un producto escalar, por la distributiva, se tiene que
0 • u = (0 + 0) • u = 0 • u + 0 • u =⇒ 0 • u = 0
Por la conmutativa, también 0 • u = u • 0 = 0
Por la distributiva y lineal, además se tiene
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(λ1 u 1 + λ2 u 2 ) • v = (λ1 u 1 ) • v + (λ2 u 2 ) • v = λ1 (u 1 • v) + λ2 (u 2 • v)
Este es el primer caso, de una inducción, para demostrar el siguiente
Lema 1. Dado un producto escalar en V , se verifica que
(λ1 u 1 + · · · + λr u r ) • (µ1 v 1 + · · · + µs v s ) =
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X
ij
λi µ j (u i • v j )
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Demostración: Por la conmutativa, basta demostrar el llamado paso de la
inducción, en uno de los factores:
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(λ1 u 1 + · · · + λr u r ) • v = (λ1 u 1 + · · · + λr −1 u r −1 ) • v + λr (u r • v) =
= λ1 (u 1 • v) + · · · + λr −1 (u r −1 • v) + λr (u r • v)
El producto escalar usual de dos vectores u, v ∈ Rn es el definido por

v1
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
 . 
u • v = (u 1 , . . . , u n )  ..  = u 1 v 1 + · · · + u n v n
vn
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Escribiendo los vectores por columnas, coincide con el producto matricial
u • v = u t v . Además, por el lema anterior, si se elige una base ortonormal,
todo producto escalar coincide con el usual.
n
Dado un conjunto de vectores u 1 , . . . , u r ∈ R , podemos formar los¡r ¢ productos escalares u i • u j ∈ R. Por la conmutativa, hay como mucho r2 = r (r2−1)
números distintos y la matriz U t U = (u i • u j ) es simétrica.
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Definición 2. La llamamos G = U t U = (u i • u j ) la matriz grammiana de
los vectores u 1 , . . . , u r . A su determinante, lo denotamos
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Gr am(u 1 , . . . , u r ) = Det (G) = Det (U t U ) = |(u i • u j )|
y lo llamamos simplemente la grammiana del mismo conjunto.
Ejemplo 1. Dados u 1 = (1, 1), u 2 = (2, 3), u 3 = (0.5, 1.5) ∈ R su matriz grammiana
2
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


¶
2 5
2
1
1 µ
1 2 0.5
3
= 5 13 5.5
G = 2
1 3 1.5
2 5.5 2.5
0.5 1.5

es simétrica de orden 3 × 3 y su determinante es cero
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¯
¯
¯2 5
2 ¯¯
¯
Gr am(u 1 , u 2 , u 3 ) = Det (G) = ¯¯5 13 5.5¯¯ = 0
¯2 5.5 2.5¯
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Ejemplo 2. Dados v 1 = (1, 2, 0.5), v 2 = (1, 3, 1.5) ∈ R su matriz grammiana
3

¶ 1
µ
¶
1
1 2 0.5 
5.25 7.75

2
3
G =
=
1 3 1.5
7.5 12.55
0.5 1.5
µ
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I

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es simétrica de orden 2 × 2 y su determinante vale
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¯
¯
¯5.25 7.75 ¯
¯ = 4.25
¯
Gr am(v 1 , v 2 ) = Det (G) = ¯
7.75 12.55¯
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Los ejemplos anteriores no son casualidad, ya que u 1 , u 2 , u 3 ∈ R son l.d.
mientras que v 1 , v 2 ∈ R3 son l.i. Ya que se tiene el
2
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Teorema 1. [de caracterización de la dependencia]
Los vectores u 1 , . . . , u r ∈ Rn , son l.d. si y sólo si Det (G) = 03.
Demostración: Veamos las dos implicaciones.
⇒) Si u 1 , . . . , u r ∈ Rn , son l.d., entonces existen números reales λ1 , . . . , λr ∈
R no todos nulos tales que λ1 u 1 + · · · + λr u r = 0 ∈ Rn . O sea, existe
un vector v ∈ Rr no nulo tal que el producto matricial, U v = 0 es cero
y por tanto también G v = U t U v = 0.
Ahora, como G = U t U es una matriz cuadrada r xr , si su deter-
minante fuera distinto de cero, existiría su matriz inversa y multiplicando por ella, v = G −1G v = 0 lo que es absurdo.
Por tanto, el determinante Det (G) = 0 es cero como queríamos.
⇐) Si Det (G) = 0 es Ãcero,
! el sistema lineal y homogéneo G x = 0 tiene
λ1
una solución, v = ... , distinta de la trivial.
t
λr
2
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t
t
Pero U U v = G v = 0 implica ||U v|| = U v •U v = v U U v = 0.
Por tanto, ||U v|| = 0 y también ese vector será cero
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λ1 u 1 + · · · + λr u r = U v = 0
O sea, los vectores son l.d. como queríamos.
3Veremos que en cualquier otro caso, se tiene que Det (G) = Gr am(u , . . . , u ) > 0.
1
r
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t
t
t
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2
Esta última demostración usa que siempre v G v = v U U v = ||U v|| ≥ 0.
O sea, que toda matriz grammiana G es semidefinida positiva.
Ahora, si λ ∈ R verifica que G v = λv , como siempre v t v ≥ 0, se tiene
v t G v = v t (λv) = λ(v t v) = λ(λ11 + · · · + λ2r ) ≥ 0 =⇒ λ ≥ 0
Así, como G es una matriz simétrica real, todos sus autovalores, λ1 , · · · , λr
son números reales no negativos.
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Por tanto, también Det (G) = λ1 · · · λr ≥ 0 y hemos demostrado el
Teorema 2. [de caracterización de la independencia]4
Los vectores u 1 , . . . , u r ∈ Rn , son l.i. si y sólo si Det (G) > 0.
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Este teorema tiene otras consecuencias interesantes. Por ejemplo,
JJ
II
Corolario 1. [Desigualdad de Cauchy-Schwartz en Rn ]
Para todo x, y ∈ Rn , x • y ≤ ||x|| · ||y||
J
I
Demostración: Si x, y ∈ Rn son dos vectores cualesquiera, su grammiana
debe ser no negativa
¯ 2
¯ x
Det (G) = ¯¯
x•y
¯
x • y ¯¯
= ||x||2 ||y||2 − (x • y)2 ≥ 0
y2 ¯
4Esta caracterización es mas complicada que hallar directamente el rango en la matriz U
de las coordenadas. Su interés está en que permite demostrar otros resultados.
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Lo que equivale a la
(x • y)2 ≤ ||x||2 ||y||2 ⇐⇒ x • y ≤ ||x|| · ||y||
salvo que y = λx sean vectores dependientes.
El teorema 2 permite generalizar un resultado bien conocido en el plano.
Corolario 2. [Triángulo formado formado por 3 puntos en Rn ]
La suma de los ángulos de un triángulo en Rn suman 180 grados.
C
y
A
α
x • y = kxk.kyk. cos(180 − γ)
x • z = kxk.kzk. cos(180 − β)
y • z = kyk.kzk. cos(180 − α)
x
y
z
x=
, y=
, z=
kxk
kyk
kzk
180 − γ
γ
x
z
β
B
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JJ
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J
I
n
Demostración: Dado un triángulo en R , formado por 3 puntos A = (a1 , . . . , an ),
B = (b 1 , . . . , b n ) y C = (c 1 , . . . , c n ) no colineales. Se tiene que los vectores
y = A −C = (a 1 −c 1 , . . . , a n −c n ), x = C −B = (c 1 −b 1 , . . . , c n −b n ), z = B − A =
(b 1 − a 1 , . . . , b n − a n ), verifican x + y + z = 0. Luego por el teorema 2 se tiene.
¯ 2
¯
¯ x
¯
x
•
y
x
•
z
¯
¯
2
¯
y
y • z ¯¯ =
Det (G) = ¯x • y
¯x • z y • z z 2 ¯
= x 2 y 2 z 2 − y 2 (x • z)2 − x 2 (y • z)2 − z 2 (x • y)2 + 2(x • y)(x • z)(y • z) = 0
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2 2 2
Dividiendo por x y z y normalizando los vectores tenemos
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1 − (x • z)2 − (y • z)2 − (x • y)2 + 2(x • y)(x • z)(y • z) = 0
1 − (x • z)2 − (y • z)2 = (x • y)2 − 2(x • y)(x • z)(y • z)
¡
¢¡
¢ ¡
¢2
1 − (x • z)2 1 − (y • z)2 = −x • y + (x • z)(y • z)
q
p
1 − (x • z)2 1 − (y • z)2 = −x • y + (x • z)(y • z)
q
p
x • y = (x • z)(y • z) − 1 − (x • z)2 1 − (y • z)2
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cos(180 − γ) = cos(180 − α) cos(180 − β) − sen(180 − α) sin(180 − β)
Por tanto, cos(180 − γ) = cos(α) cos(β) − sen(α) sin(β) = cos(α + β)
de donde 180 − γ = α + β5. O sea, α + β + γ = 180.
Corolario 3. [Desigualdad triangular para un triedro en Rn ] γ ≤ α + β
Donde α = ycz , β = xcz , γ = xcy , para cualesquiera x, y, z ∈ Rn .
Contenido
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n
Demostración: Si x, y, z ∈ R son dos vectores cualesquiera, su grammiana
debe ser no negativa
¯ 2
¯ x
¯
Det (G) = ¯¯x • y
¯x • z
x•y
y2
y •z
5Ya que la función coseno es biyectiva de 0 a 180.
¯
x • z ¯¯
y • z ¯¯ ≥ 0
z2 ¯
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desarrollando el determinante equivale a la desigualdad
x 2 y 2 z 2 + 2(x • y)(x • z)(y • z) − y 2 (x • z)2 − x 2 (y • z)2 − z 2 (x • y)2 ≥ 0
Dividiendo por los cuadrados de las normas, ||x||2 ||y||2 ||z||2 = x 2 y 2 z 2 y llamando u = x/||x||, v = y/||y||, w = z/||z|| a los correspondientes vectores
unitarios, obtenemos la desigualdad
1 + 2(u • v)(u • v)(u • v) − (u • v)2 − (v • w)2 − (u • w)2 ≥ 0
equivalentemente
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2
2
2
1 − (v • w) − (u • w) ≥ (u • v) − 2(u • v)(u • w)(v • w)
2
sumando en ambos miembros el producto (v • w) (u • w)
(1 − (v • w)2 )(1 − (u • w)2 ) ≥ ((u • w)(v • w) − u • v)2
extrayendo raíces cuadradas se tienen las desigualdades
p
p
1 − (u • w)2 ≥ (u • w)(v • w) − u • v
p
p
u • v ≥ (u • w)(v • w) − 1 − (v • w)2 1 − (u • w)2
1 − (v • w)2
Si llamamos α = ycz , β = xcz , γ = xcy se tiene que
C os(α) =
Contenido
2
p
x•y
x y
=
= v • w ⇒ Sen(α) = 1 − (v • w)2
||x|| · ||y|| ||x|| ||y||
p
C os(β) = u • w ⇒ Sen(β) = 1 − (u • w)2
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y análogamente C os(γ) = u • v . Por tanto
C os(γ) ≥ C os(α)C os(β) − Sen(α)Sen(β) = C os(α + β)
Como la función coseno es decreciente de 0 a 180, se tiene γ ≤ α + β que
es la desigualdad triangular para un triedro en Rn .
Este último resultado es la desigualdad triangular para triángulos esféricos
en la esfera unidad de Rn 6.
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3. P RODUCTO VECTORIAL .
El producto vectorial de dos vectores, que definiremos, es un producto interno en R3 . O sea, una aplicación de R3 × R3 en R3 , tal que a una pareja de
vectores (u, v) le hace corresponder otro vector u ∨ v (escrito a veces u × v )
que llamaremos su producto vectorial, externo o cruzado (cross product).
Será un producto importante por sus aplicaciones sobre todo geométricas,
pero no es un producto algebraicamente bueno. En concreto, no será ni asociativo, ni conmutativo aunque si será distributivo respecto de la suma7.
6También, con un proceso casi idéntico se puede demostrar que los ángulos inscritos en
cualquier círculo de Rn son la mitad del correspondiente ángulo central.
7Se puede demostrar fácilmente que no existe ningún producto en R3 que sea a la vez dis-
tributivo, asociativo y conmutativo. Los productos no asociativos son raros en matemáticas.
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Antes de definir este producto, observamos que dados dos vectores arbitrarios u = (x 1 , x 2 , x 3 ), v = (y 1 , y 2 , y 3 ). Un tercer vector w = (n 1 , n 2 , n 3 ) será
perpendicular a ambos si los productos escalares u ·w = 0, v ·w = 0 son cero.
Pero esto equivale a que los números reales n 1 , n 2 , n 3 sean solución del s.l.
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n1 x1 + n2 x2 + n3 x3 = 0
n1 y 1 + n2 y 2 + n3 y 3 = 0
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Por Cramer, es fácil de ver que la solución general de este sistema son los
múltiplos arbitrarios de la terna de números reales
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(x 2 y 3 − x 3 y 2 , x 3 y 1 − x 1 y 3 , x 1 y 2 − x 2 y 1 )
Esto motiva la siguiente
Definición 3. Llamamos producto vectorial de u, v ∈ R3 al vector
µ¯
¯x
u × v = (x 2 y 3 − x 3 y 2 , x 3 y 1 − x 1 y 3 , x 1 y 2 − x 2 y 1 ) = ¯¯ 2
y2
¯ ¯
¯ ¯
¯¶
x 3 ¯¯ ¯¯x 3 x 1 ¯¯ ¯¯x 1 x 2 ¯¯
,
,
y3¯ ¯y3 y1¯ ¯y1 y2¯
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Con esta definición, si u = v entonces u × u = 0. Además, los vectores de la
base canónica i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1), verifican que
i × j = k, j × k = i, k × i = j
j × i = −k, k × j = −i, i × k = −j
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Por tanto, este producto no es conmutativo. Además
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i × (i × j) = i × k = −j
(i × i) × j = 0 × j = 0
se ve que tampoco este producto es asociativo.
También de la definición, si se intercambian los papeles de u y v , se ve que
las coordenadas cambian de signo, u × v = −v × u . O sea, este producto es
anticonmutativo (a veces se dice antisimétrico).
También, se ve que si uno de los vectores es múltiplo de un número real λ,
éste sale factor común en las 3 coordenadas. O sea, se tiene
λu × v = λ(u × v) = u × λv
También es sencillo, aunque es un poco largo de demostrar, la distributiva en
ambos factores. Así
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(u + v) × w = u × w + v × w
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u × (v + w) = u × v + u × w
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Resumimos todo esto en el siguiente
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Lema 2. [Propiedades del producto vectorial]
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1) u × v es ortogonal a u y a v .
2) (λu + µv) × w = λ(u × w) + µ(v × w)
3) u × v = −v × u y también u × u = 0.
4) u × v = 0 si y sólo si existen escalares λ, µ ∈ R tales que λu = µv
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Demostración: Demostraremos la propiedad 4)8.
Primero, si λu = µv con µ 6= 0 entonces v = λµ u y se tiene
λ
λ
λ
u × v = u × u = (u × u) = 0 = 0
µ
µ
µ
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Recíprocamente, si u × v = 0 entonces x i y j = x j y i para todo i , j = 1, 2, 3.
Entonces, para cada j se tiene x j v = y j u .
Si u 6= 0, también algún x k 6= 0. Entonces, podemos tomar λ = y k , µ = x k .
En caso contrario, u = 0 y tomamos λ = 1, µ = 0.
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La norma usual o longitud de un producto vectorial es fácil de calcular. Así
JJ
II
ku × vk2 = (x 2 y 3 − x 3 y 2 )2 + (x 3 y 1 − x 1 y 3 )2 + (x 1 y 2 − x 2 y 1 )2 =
J
I
= (x 12 + x 22 + x 32 )(y 12 + y 22 + y 32 ) − (x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 )2 = kuk2 kvk2 − (u · v)2 =
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
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2
= kuk kvk − kuk kvk cos (α) = kuk kvk (1 − cos (α)) = kuk kvk sin (α)
Así, hemos demostrado que
¯
¯
¯u · u u · v ¯
¯
¯ = kuk2 kvk2 − (u · v)2 = ku × vk2 = 0
Gr am(u, v) = |(u i • u j )| = ¯
u · v v · v¯
8O sea, dos vectores u, v ∈ R3 son l.d. si y sólo si el rango de su matriz es menor que 2.
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y hemos obtenido de nuevo la desigualdad 1 de Schwartz.
También, hemos demostrado el siguiente
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c es el ángulo formado
Lema 3. [Módulo del producto vectorial] Si α = uv
n
por dos vectores en R . Entonces, ku × vk = kukkvk sin(α)
Ejemplo 3. [Área de un triángulo en R3 ] Dados los puntos p = (1, 2, 0),
q = (2, 5, −2) y r = (4, −1, −2) en R3 . Si se calcula, sucesivamente
−→
u = pq = q − p = (2 − 1, 5 − 2, −2 − 0) = (1, 3, −2)
→ = r − p = (4 − 1, −1 − 2, −2 − 0) = (3, −3, −2)
v =−
pr
u × v = ((−2) ∗ 3 − (−3) ∗ (−2), 3 ∗ (−2) − 1 ∗ (−2), 1 ∗ (−3) − 3 ∗ 3) = (−12, −4, −12)
p
ku × vk = k(−12, −4, −12)k = (−12)2 + (−4) ∗ 2 + (−12)2 = 17.4356
Entonces, por el lema anterior y la definición de la altura de un triángulo
como h = kvk sin(α), se tiene que el área del triángulo vale
base ∗ al t ur a kukkvk sin(α) ku × vk 17.4356
S=
=
=
=
= 8.7178
2
2
2
2
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4. P RODUCTO TRIPLE ESCALAR .
Una forma de combinar tres vectores u, v, w en R3 , para obtener un escalar
Definición 4. Llamamos producto triple escalar al número real
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[u, v, w] = u · (v × w)
Si los 3 vectores son u = (x 1 , x 2 , x 3 ), v = (y 1 , y 2 , y 3 ), w = (z 1 , z 2 , z 3 ).
Por el desarrollo por la primera fila de un determinante 3 × 3, se tiene
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¯
¯
¯
¯
¯
¯y3 y1¯
¯y1
¯y2 y3¯
¯
¯
¯
¯
¯
+
x
+
x
[u, v, w] = x 1 ¯
2
3
¯ z3 z1 ¯
¯ z1
z2 z3 ¯
¯
¯
¯ ¯x 1 x 2 x 3 ¯
¯
¯
¯
y2¯ ¯
¯
y
y
y
=
1
2
3
¯
z 2 ¯ ¯¯
z1 z2 z3 ¯
O sea, el producto triple escalar es el valor de un determinante que puede ser
positivo o negativo. Como un determinante es cero si dos filas son iguales,
lo mismo le pasa al producto triple escalar.
Ejemplo 4. Dados los vectores u = (1, 2, 0), v = (2, 5, −2) y w = (4, −1, −2)
en R3 , se tiene que su producto triple escalar vale
¯
¯
¯1 2
¯
0
¯
¯
¯
[u, v, w] = ¯2 5 −2¯¯ = −20
¯4 −1 −2¯
También por las propiedades distributiva y lineal de los productos vectorial y
escalar. Se tiene que el producto triple escalar también es lineal y distribuye
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en cada uno de los 3 vectores. Por todo esto, tenemos
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0 = [u + v, u + v, w] = [u, v, w] + [v, u, w]
O sea, [v, u, w] = −[u, v, w]. Análogamente, por simetría se tiene
[u, v, w] = −[v, u, w] = −[u, w, v] = −[w, v, u].
Y aplicando lo anterior dos veces, también se tiene que9
[u, v, w] = [w, u, v] = [v, w, u]
El valor absoluto10 de un producto triple escalar siempre se puede interpretar
como el volumen del paralelepípedo formado por los 3 vectores.
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Ya que el volumen es el producto del área, S = kv × wk, del paralelogramo
definido por v , w por la altura h de u sobre dicho paralelogramo.
Como el vector v × w es perpendicular a ambos v , w , la altura de u se
determina por su proyección sobre v × w o sobre su opuesto.
O sea, el valor de dicha altura es la norma de esa proyección h = kuk| cos(β)|
donde β es el ángulo que forma u con la perpendicular v × w . Entonces11
|[u, v, w]| = kuk · kv × wk · | cos(β)| = h · kv × wk = h · S = volumen
9En realidad, estamos demostrando propiedades de los determinantes 3 × 3 a partir de las
propiedades de los productos vectorial y escalar.
10Ya que un volumen es siempre positivo.
11En realidad, lo que se hace es definir el volumen de un paralelepípedo.
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El caso mas sencillo, es cuando los 3 vectores, u , v , w , son mutuamente
perpendiculares. Entonces, si llamamos a la matriz por columnas U = (u, v, w)
¯
¯u ·u
¯ t ¯
¯
2
¯
¯
[u, v, w] = U U = ¯¯ u · v
¯u · w
u·v
v ·v
v ·w
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¯
¯
¯
¯kuk2
¯
0
0
u · w ¯¯
¯
¯
2
¯
¯
v ·w ¯ = ¯ 0
kvk
0 ¯¯ =
¯ 0
w · w¯
0
kwk2 ¯
= kuk2 · kvk2 · kwk2 y extrayendo raíces |[u, v, w]| = kuk · kvk · kwk
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Así, para u = (2, 0, 0), v = (0, 3, 0), w = (0, 0, −4), que son ortogonales, el
volumen vale |[u, v, w]| = 2 ∗ 3 ∗ 4 = 24.
Ejemplo 5. Para los vectores u = (−2, 4, 0), v = (1, 6, −2) y w = (1, 7, 0),
como
¯
¯
¯−2 4 0 ¯
¯
¯
[u, v, w] = ¯¯ 1 6 −2¯¯ = −36
¯1 7 0¯
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El volumen del paralelepípedo que forman vale |[u, v, w]| = | − 36| = 36
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5. E SPACIO A FÍN .
Dado un conjunto de puntos A , no vacío, y un espacio vectorial V
Definición 5. Decimos que A es un espacio afín sobre V cuando existe una
acción de V sobre A . O sea, una aplicación V × A −→ A , que lleva cada
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pareja de vector, punto a un nuevo punto
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(u, P ) 7−→ u ◦ P = Q ∈ A
y que además verifica las tres propiedades
• Identidad El vector cero actúa como la identidad, 0 ◦ P = P
• Transitiva12 La suma actúa transitivamente, (u + v) ◦ P = u ◦ (v ◦ P )
• Unicidad13 Para cada punto P ∈ A , la aplicación V −→ A definida
por u 7−→ u ◦ P = Q ∈ A es biyectiva.
Esta última propiedad, nos dice que fijado un punto P ∈ A , entonces se puede
identificar V con A . Si se elige una base en el espacio vectorial subyacente,
esto permite asociar coordenadas a todos los puntos Q de A .
Se toman como coordenadas de Q , las coordenadas del único vector u ∈ V
−−→
tal que u ◦ P = Q . A este único vector se le suele llamar u = PQ .
Con esta identificación, las coordenadas de P son cero y claramente se tiene
u = Q −P . Esta identificación no es única, porque depende de la elección del
punto origen P y de una base de V 14.
12Si se escribe u ◦ P = u + P esta propiedad es una asociativa
13Equivale a que la acción es libre y tiene una única órbita.
14Puede haber infinitas identificaciones ya que todos los puntos sirven como origen.
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−−→
Definición 6. Dado u = PQ , decimos que P es el punto origen de u y Q el
punto final. También decimos que V es el espacio vectorial subyacente de
A y que A es el espacio diferencia de V .
Llamamos dimensión del espacio afín A a la del espacio vectorial subyacente, dim(V ) = n .
Llamamos un sistema de referencia del espacio afín al conjunto de un punto
P y una base B = {u 1 , . . . , u n } de V .
−−→
−−→
Dados 3 puntos, P,Q, R ∈ A , los vectores únicos u = PQ , v = QR ,verifican
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−−→
(v + u) · P = v ◦ (u ◦ P ) = v ◦ Q = R =⇒ u + v = v + u = PQ
−−→ −−→
−→
O sea, siempre se tiene PQ + QR = P R .
Así, hemos demostrado que existe una aplicación A×A −→ V , tal que (P,Q) 7−→
−−→
PQ y se cumplen las llamadas
Lema 4. [Condiciones de Weyl]15
−−→
• Para cada P ∈ A y cada u ∈ V , existe un único Q tal que u = PQ .
−−→ −−→ −→
• Dados 3 puntos P,Q, R ∈ A , se tiene que PQ + QR = P R .
15Hermann Klaus Hugo Weyl (1885 - 1955) fue un matemático y físico teórico alemán.
Contenido
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J
I
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También es fácil de demostrar, el recíproco. Las dos condiciones de Weyl
implican las tres de espacio afín. Con estas definiciones, se tiene que todo espacio vectorial V se puede considerar como un espacio afín sobre sí mismo.
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Tomando A = V , se define la acción como la suma vectorial u ◦ v = u + v .
Entonces las 3 propiedades de espacio afín son consecuencia de la aritmética
−−→
vectorial. En este caso, el vector u = PQ es exactamente Q − P .
Ejemplo 6. Tomando A = V = R2 obtenemos el plano afín ordinario.
Tomando A = V = R3 obtenemos el espacio afín tridimensional ordinario.
En realidad, considerar Rn como espacio afín sobre sí mismo, equivale a
poder tomar cualquier punto como origen de coordenadas. Basta fijar un
−−→
punto P ∈ Rn y considerar la biyección definida por u = PQ = Q − P .
Esto permite definir variedades afines como las rectas, planos etc.
En efecto, si W ⊆ V = Rn es un subespacio vectorial y P ∈ Rn fijo.
Definición 7. Definimos una variedad afín de Rn como el conjunto
n
o
−−→
L = Q ∈ Rn : PQ ∈ W
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Se comprueba que W actúa sobre L y verifica las propiedades de esp. afín.
Decimos que L es un subesp. afín o variedad afín de dimensión la de W .
n
5.1. Rectas. Por ejemplo, si P,Q ∈ R la recta definida por ambos puntos la
definimos como el conjunto
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©
ª
©
ª
L = P + λ(Q − P ) ∈ Rn : λ ∈ R = (1 − λ)P + λQ ∈ Rn : λ ∈ R
comprobamos que dados dos puntos cualesquiera de L , P 1 = P + λ1 (Q − P ),
P 2 = P + λ2 (Q − P ) su diferencia es un múltiplo del vector u = Q − P ∈ Rn .
P 2 − P 1 = (λ2 − λ1 )(Q − P ) = (λ2 − λ1 )u
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O sea, L es una variedad afín sobre W =< u > y tiene dimensión uno.
También, comprobamos que la recta es independiente del punto de apoyo,
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©
ª
L = λ1 P + λ2Q ∈ Rn : λ1 + λ2 = 1
Contenido
ya que sus puntos se obtienen como combinaciones lineales simétricas.
JJ
II
Definición 8. Llamamos combinación afín (c.a.) de dos puntos de Rn al
J
I
punto definido por R = λ1 P + λ2Q tal que λ1 + λ2 = 1
A la pareja de números (λ1 , λ2 ) le llamamos sus coordenadas baricéntricas.
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Así, una recta que pasa por P y Q es el conjunto de todas sus c.a.. La combinación afín mas sencilla después de los propios puntos es la suma R = P2 + Q2 .
Si en Rn consideramos el producto escalar usual, tenemos distancias entre
puntos, definiendo
−−→
d (P,Q) = kPQk = kQ − P k = d (Q, P )
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Entonces, se obtienen dos vectores iguales
y 1 x1
y n xn
−→
−−→
PR = ( − ,...,
− ) = RQ
2
2
2
2
y por tanto d (P, R) = d (Q, R) y tiene sentido llamar a R =
punto medio del segmento16.
P
2
+
Q
2
=
P +Q
2
el
Ejemplo 7. Dados P = (1, 1, 1, 1), Q = (1, 0, 0, −1) ∈ R4 . Un punto de la recta
definida por ellos tiene por c.b., λ1 P + λ2Q con λ1 + λ2 = 1. O sea,
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L = {(λ1 + λ2 , λ1 , λ1 , λ1 − λ2 ) : λ1 + λ2 = 1}
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Como u = Q −P = (0, −1, −1, −2) también tiene por ecuaciones paramétricas
P + λu . O sea,
L = {(1, 1 − λ, 1 − λ, 1 − 2λ) : λ ∈ R}
equivalentemente
x 1 = 1, x 2 = 1 − λ, x 3 = 1 − λ, x 4 = 1 − 2λ
de donde eliminando λ se obtienen las ecuaciones cartesianas de la recta

x 1 = 1

x2 − x3 = 0


2x 2 − x 4 = 1
Contenido
JJ
II
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I
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Intersección de 3 hiperplanos en R4
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16De una manera natural, se puede considerar el segmento [P,Q] ⊂ Rn formado por los
puntos λ1 P + λ2Q tales que λ1 + λ2 = 1 y ambos 0 ≤ λ1 , λ2 ≤ 1. El resto de los puntos de la
recta son exteriores a este segmento.
Ejemplo 8. Dados P = (1, 1, 1), Q = (1, 0, −1) ∈ R . Un punto de la recta
definida por ellos tiene por c.b., λ1 P + λ2Q con λ1 + λ2 = 1. O sea,
3
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L = {(λ1 + λ2 , λ1 , λ1 − λ2 ) : λ1 + λ2 = 1}
Como u = Q − P = (0, −1, −2) también tiene por ecuaciones paramétricas
P + λu . O sea,
L = {(1, 1 − λ, 1 − 2λ) : λ ∈ R}
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equivalentemente
x = 1, y = 1 − λ, z = 1 − 2λ
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de donde eliminando λ se obtienen las ecuaciones cartesianas de la recta
x =1
2y − z = 1
¾
Contenido
3
Intersección de 2 planos en R
Dados dos puntos P,Q ∈ R3 y X = P + λ(Q − P ) un punto cualquiera de la
recta L PQ , se tiene que el siguiente producto exterior vale cero.
(X − P ) × (Q − P ) = λ(Q − P ) × (Q − P ) = 0
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por tanto hemos demostrado que
Lema 5. [Ecuación vectorial de una recta en R3 ]
La condición para que un punto X pertenezca de la recta L PQ es
(X − P ) × (Q − P ) = 0
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Esta ecuación vectorial sirve para hallar de forma rápida las ec. cartesianas.
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Ejemplo 9. Dados P = (1, 1, 1), Q = (1, 0, −1) ∈ R3 , se tiene u = Q − P =
(0, −1, −2) y la ec. vectorial de la recta L PQ es
¯ ¯
¯ ¯
¯¶
µ¯
¯ y − 1 z − 1¯ ¯ z − 1 x − 1¯ ¯ x − 1 y − 1¯
¯,¯
¯,¯
¯ =0
(X − P ) × (Q − P ) = ¯¯
−1
−2 ¯ ¯ −2
0 ¯ ¯ 0
−1 ¯
de donde se obtienen las 3 igualdades
−2(y − 1) + z − 1 = −2y + z + 1 = 0, x − 1 = 0, x − 1 = 0
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y se obtienen las mismas dos ec. cartesianas del ejemplo anterior
x =1
2y − z = 1
¾
Intersección de 2 planos en R3
Ejemplo 10. Dados P = (1, 0, 0), Q = (0, 0, 1) ∈ R3 , se tiene u = Q − P =
(−1, 0, 1) y la ec. vectorial de la recta L PQ es
¯¶
¯ ¯
¯ ¯
µ¯
¯ y z ¯ ¯ z x − 1¯ ¯ x − 1 y ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ =0
(X − P ) × (Q − P ) = ¯
,
,
0 1¯ ¯1 −1 ¯ ¯ −1 0 ¯
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de donde se obtienen las 3 igualdades
Cerrar
y = 0, x + z − 1 = 0, y = 0
y la recta es la intersección de 2 planos
n
5.2. Planos. Análogamente, dados tres puntos en P,Q, R ∈ R se puede definir la
variedad afín que generan como el conjunto
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©
ª
L = P + λ(Q − P ) + µ(R − P ) ∈ Rn : λ, µ ∈ R =
©
ª ©
ª
= (1 − λ − µ)P + λQ + µR : λ, µ ∈ R = λ1 P + λ2Q + λ3 R : λ1 + λ2 + λ3 = 1
dados dos puntos cualesquiera de L , P 1 = P + λ1 (Q − P ), P 2 = P + λ2 (Q − P )
su diferencia es una c.l. de los dos vectores u = Q − P, v = R − P ∈ Rn .
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P 2 − P 1 = (λ2 − λ1 )u + (µ2 − µ1 )u
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L es una variedad afín sobre W =< u, v > que normalmente tendrá dimensión
dos17 y la llamaremos el plano definido por P,Q, R .
También, comprobamos que cualquier plano es independiente del punto de
apoyo, ya que sus puntos se obtienen como c.l. simétricas.
Definición 9. Llamamos combinación afín (c.a.) de tres puntos de Rn al
punto definido por R = λ1 P + λ2Q + λ3 R tal que λ1 + λ2 + λ3 = 1
A la terna (λ1 , λ2 , λ3 ) le llamamos sus coordenadas baricéntricas (c.b.).
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Así, un plano que pasa por P , Q y R es el conjunto de todas sus c.a. La c.a.
mas sencilla después de los 3 puntos es la suma P3 + Q3 + R3 = P +Q+R
.
3
17si los vectores u, v son l.i.
Cerrar
Considerando los puntos medios de los 3 segmentos definidos por P,Q, R .
Las rectas medianas18 son las rectas definidas por cada vértice y el punto
medio del segmento opuesto. O sea,
½
¾
P +Q
L1 = λ
+ µR : λ + µ = 1
2
½
¾
P +R
L2 = λ
+ µQ : λ + µ = 1
2
½
¾
Q +R
L3 = λ
+ µP : λ + µ = 1
2
Tomando λ = 23 y µ = 13 se ve que el punto
P +Q+R
3
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pertenece a las tres rectas.
Definición 10. Llamamos baricentro o centroide de tres puntos de Rn al
, que pertenece a la intersección de las 3 medianas.
punto P +Q+R
3
Si uno de los puntos es c.a. de los otros dos, p.ej. R = λP +µQ con λ+µ = 1.
Entonces, R − λP − µQ = 0 y se tiene λ + µ − 1 = 0.
Recíprocamente, si existen 3 escalares verificando λ1 +λ2 +λ3 = 0 y también
λ1 P + λ2Q + λ3 R = 0. Si uno de ellos λ3 6= 0, se tiene que R = − λλ13 P − λλ23 Q .
Como esos coeficientes suman uno, R es una c.a. de los otros dos puntos.
18No confundir con la mediatrices de los segmentos que son las perpendiculares por cada
punto medio. Ni con las bisectrices de cada ángulo.
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Definición 11. Decimos que 3 puntos son no colineales o afín independientes cuando ninguno de ellos se puede poner como c.a. de los otros dos.
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Equivalentemente, 3 puntos son no colineales, si λ1 + λ2 + λ3 = 0 y también
λ1 P + λ2Q + λ3 R = 0 entonces los tres escalares son cero λ1 = λ2 = λ3 = 0.
Esta condición implica que los vectores diferencia u = Q − P, v = R − P sean
l.i. En efecto, si λu + µv = 0 y los puntos no colineales, entonces
λQ + µR + (−λ − µ)P = 0 =⇒ λ = µ = 0
Recíprocamente, si λ1 + λ2 + λ3 = 0 entonces λ1 = −λ2 − λ3 .
Si además, u = Q − P, v = R − P son l.i., se tiene
λ1 P + λ2Q + λ3 R = 0 =⇒ λ2 (Q − P ) + λ3 (R − P ) = 0 =⇒ λ2 = λ3 = 0
Finalmente, también λ1 = −λ2 − λ3 = 0 como queríamos demostrar.
Así, hemos demostrado el siguiente
Lema 6. Tres puntos, P, Q, R ∈ Rn son no colineales si y sólo si los vectores
diferencia u = Q − P, v = R − P son l.i. En cuyo caso definen un plano19.
En este caso, se puede demostrar que las tres alturas también se intersectan
en un punto llamado ortocentro. Las 3 mediatrices en el circuncentro. Las
bisectrices en el incentro o bicentro. Además, los tres puntos, baricentro,
ortocentro y circuncentro pertenecen a una línea llamada recta de Euler
19También, decimos que forman triángulo. En otro caso, definen una recta o coinciden.
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Ejemplo 11. Dados P = (1, 1, 1), Q = (1, 0, 1), R = (0, 1, 0) ∈ R . Un punto del
plano definido por ellos, tiene por ecuaciones baricéntricas λ1 P +λ2Q +λ3 R
con λ1 + λ2 + λ3 = 1. O sea,
3
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L = {(λ1 + λ2 , λ1 + λ3 , λ1 + λ2 ) : λ1 + λ2 + λ3 = 1}
como u = Q − P = (0, −1, 0), v = R − P = (−1, 0, −1) también tiene por ecuaciones paramétricas
L = (1 − µ, 1 − λ, 1 − µ) : λ, µ ∈ R
©
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ª
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equivalentemente x = 1 − µ, y = 1 − λ, z = 1 − µ de donde eliminando λ, µ se
obtiene la ecuación cartesiana del plano x − z = 0.
Ejemplo 12. Dados P = (1, 0, 0), Q = (0, 1, 0), R = (0, 0, 1) ∈ R3 . Un punto del
plano definido por ellos, tiene por ecuaciones baricéntricas λ1 P +λ2Q +λ3 R
con λ1 + λ2 + λ3 = 1. O sea,
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L = {(λ1 , λ2 , λ3 ) : λ1 + λ2 + λ3 = 1}
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como u = Q − P = (−1, 1, 0), v = R − P = (−1, 0, 1) también tiene por ecuaciones paramétricas P + λu + µv . O sea,
©
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L = (1 − λ − µ, λ, µ) : λ, µ ∈ R
equivalentemente x = 1 − λ − µ, y = λ, z = µ de donde eliminando λ, µ se
obtiene la ecuación cartesiana del plano x + y + z = 1.
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En R , se puede obtener la ec. cartesiana de un plano de forma vectorial.
En efecto, si P, Q, R ∈ R3 son 3 puntos, y u = Q − P, v = R − P . El producto
vectorial u × v es perpendicular a cualquier c.l. de u , v . Por definición, un
punto X ∈ R3 pertenece al plano cuando el vector X − P es c.l. de u , v .
Por tanto, también será perpendicular a u × v , (X − P ) · (u × v) = 0
3
Enrique R. Aznar
Dpto. de Álgebra
Así, hemos demostrado
Lema 7. [Ecuación vectorial de un plano en R3 ]
La condición para que un punto X pertenezca al plano L PQR es
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Contenido
(X − P ) · ((Q − P ) × (R − P )) = [X − P,Q − P, R − P ] = 0
equivalentemente
¯
¯
¯ x − p1 y − p2 z − p3 ¯
¯
¯
¯q 1 − p 1 q 2 − p 2 q 3 − p 3 ¯ = 0
¯
¯
¯ r1 − p1 r2 − p2 r3 − p3 ¯
Ejemplo 13. Dados P = (1, 0, 0), Q = (0, 1, 0), R = (0, 0, 1) ∈ R3 , como u =
Q − P = (−1, 1, 0), v = R − P = (−1, 0, 1) la ecuación cartesiana del plano
L PQR es la misma del ejemplo anterior
¯
¯
¯x − 1 y z ¯
¯
¯
¯ −1 1 0¯ = x − 1 + z + y = 0
¯
¯
¯ −1 0 1¯
JJ
II
J
I
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n
5.3. Distancia de un punto a una recta. Dado un punto R ∈ R y una recta
definida por dos puntos P, Q ∈ Rn , queremos calcular la mínima distancia del
punto a la recta. Llamamos v = R − P , u = Q − P a los vectores respectivos.
Enrique R. Aznar
Dpto. de Álgebra
Como un punto arbitrario de la recta es X = P +λ(Q −P ) = P +λu la distancia
al cuadrado entre ambos es
d (R, X )2 = kR − X k2 = kR − P − λ(Q − P )k2 = (v − λu)2 =
¶
µ
u·v
= kvk2 − 2λ(u · v) + λ2 kuk2 = kvk2 + kuk2 λ2 − 2λ
=
kuk2
µ
¶
u · v 2 (u · v)2
(u · v)2
2
2
2
−
≥
kvk
−
= kvk + kuk λ −
kuk2
kuk2
kuk2
Como los cuadrados de números reales son mayores o iguales que cero, la
distancia mínima se obtiene cuando
λ−
u·v
u·v
=
0
⇐⇒
λ
=
kuk2
kuk2
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Contenido
JJ
II
J
I
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y el valor mínimo de la distancia al cuadrado vale
(u · v)2 kuk2 kvk2 − kuk2 kvk2 cos2 (α)
d (R, L PQ )2 = kvk2 −
=
=
kuk2
kuk2
= kvk2 − kvk2 cos2 (α) = kvk2 (1 − cos2 (α)) = kvk2 sin2 (α)
Así, hemos demostrado el siguiente
Lema 8. [Distancia de un punto a una recta]
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p
d (R, L PQ ) =
kR−P k2 kQ−P k2 −((R−P )·(Q−P ))2
kQ−P k
= kR − P k sin(α)
Enrique R. Aznar
Dpto. de Álgebra
u·v
que coincide con la norma del vector w = v − λu = v − kuk
2 u perpendicular
a la recta, ya que
¶
u·v
w ·u = v −
u ·u = v ·u −u ·v = 0
kuk2
µ
De esta forma, la distancia es el cateto opuesto de un triángulo rectángulo20.
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6. T RIÁNGULOS EN Rn
Contenido
Si P, Q, R ∈ Rn son no colineales, entonces
−−→
−→
−−→
Definición 12. Decimos que a = kQRk, b = kP Rk, c = kPQk son las longi-
tudes de los 3 lados del triángulo que forman.
En particular, los números reales a , b y c son mayores que cero.
−−→ −−→ −→
−−→
−−→
−→
−→
Como PQ + QR = P R . Entonces si w = PQ , u = QR , v = RP = −P R
Lema 9. Tres puntos no colineales en Rn , siempre determinan tres vectores,
no nulos y diferentes, cuya suma es cero.
JJ
II
J
I
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u+v +w =0
20Lo curioso aquí es que estamos en Rn .
En particular, a = kuk, b = kvk, c = kwk. Además, si llamamos como en 2
Enrique R. Aznar
Dpto. de Álgebra
u • v = kuk.kvk. cos(180 − γ)
u • w = kuk.kwk. cos(180 − β)
v • w = kvk.kwk. cos(180 − α)
Definición 13. Decimos que α, β, γ son los ángulos en los vértices P , Q , R .
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Tenemos 3 parejas de vectores que parten de un mismo vértice
−→
−→
−u = RR, v = RP ,
−−→
−−→
u = QR, −w = QP ,
que nos pueden servir para definir el área del triángulo
1
kuk.kvk sin(γ),
2
1
kuk.kwk sin(β),
2
1
kwk.kvk sin(α)
2
para demostrar que son iguales las 3 cantidades, observamos que
kuk2 .kvk2 sin2 (γ) = kuk2 .kvk2 (1 − cos2 (γ)) = kuk2 .kvk2 − (u • v)2 =
¯
¯
¯u • u u • v ¯
2
¯ = det(G) = Gram(u, v)
= (u • u)(v • v) − (u • v) = ¯¯
u • v v • v¯
Análogamente,
kuk2 .kwk2 sin2 (β) = Gram(u, w),
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−−→
−→
w = PQ, −v = P R
kwk2 .kvk2 sin2 (α) = Gram(v, w)
Contenido
JJ
II
J
I
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Pero si despejamos, u = −v − w , por las propiedades de los determinantes,
tenemos
¯
¯
¯(−v − w) • (−v − w) (−v − w) • v ¯
¯
¯ =
Gram(u, v) = ¯
¯
(−v − w) • v
v •v
¯
¯
¯
¯
¯(−w) • (−w) −w • v ¯
¯w • w w • v ¯
¯
¯
¯
¯
= ¯
= ¯
(−w) • v
v •v ¯
w •v v •v ¯
Enrique R. Aznar
Dpto. de Álgebra
¯
¯
¯(−v − w) • (−w) −w • v ¯
¯
¯ =
¯ (−v − w) • v
v •v ¯
= Gram(u, w)
Por simetría, también coincide con la tercera grammiana. Además, como los
3 puntos P,Q, R son no colineales, cada una de las parejas de vectores son l.i.
y por tanto las grammianas son positivas. Entonces, hemos demostrado que
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Lema 10. [Área de un paralelogramo y de un triángulo en Rn ] Se tiene
0<
p
p
p
Gram(u, v) = Gram(u, w) = Gram(w, v)
Decimos que las áreas de los 3 paralelogramos que se forman con las 3
parejas de vectores coinciden. En particular, a su mitad
JJ
II
J
I
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S = 12 a.b sin(γ) =
1
2 a.c sin(β)
=
1
2 c.b sin(α)
le llamamos el área del triángulo formado por los 3 puntos.
Corolario 4. [Teorema de los senos para un triángulo en Rn ]
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a
sin(α)
=
b
sin(β)
=
c
sin(γ)
Enrique R. Aznar
Dpto. de Álgebra
Como la suma de los vectores de los lados da cero, u + v + w = 0 se tiene
a 2 = kuk2 = k − v − wk2 = kv + wk2 = (v + w) • (v + w) = v • v + 2(v • w) + w • w =
= kvk2 + 2kvk.kwk. cos(180 − α) + kwk2 = b 2 − 2b.c. cos(α) + c 2
Análogamente, tenemos otras dos igualdades y hemos demostrado el
Corolario 5. [Teorema del coseno para un triángulo en Rn ]
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a 2 = b 2 + c 2 − 2b.c. cos(α)
Contenido
b 2 = a 2 + c 2 − 2a.c. cos(β)
JJ
II
c 2 = a 2 + b 2 − 2a.b. cos(γ)
J
I
6.1. Puntos distinguidos de un triángulo en R n . Ahora, vamos a definir y calcular los 3 centros que nos faltan de un triángulo. Decimos que un punto
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n
Definición 14. X ∈ R pertenece a la bisectriz (L P ) en el vértice P si verifica
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b(X − P ) · (Q − P ) = c(X − P ) · (R − P )
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Como u ·v = kuk∗kvk∗cos(α), con 0 ≤ α ≤ 180, se tiene que X ∈ L P cuando
b∗kX −P k∗c∗cos(α) = c∗kX −P k∗b cos(β) ⇐⇒ cos(α) = cos(β) ⇐⇒ α = β
Por tanto, la definición anterior es consecuente con la definición usual.
Las otras dos bisectrices21 del triángulo son respectivamente
Enrique R. Aznar
Dpto. de Álgebra
©
ª
L Q = X ∈ Rn : a(X −Q) · (P −Q) = c(X −Q) · (R −Q)
©
ª
L R = X ∈ Rn : a(X − R) · (P − R) = b(X − R) · (Q − R)
+bQ+cR
Ahora, es fácil de comprobar que el punto B = aPa+b+c
pertenece a L P ,
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L Q y L R . Como, α = β, por 8 se tiene que las distancias desde B a los lados
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del triángulo coinciden
h = kB − P k sin(α) = kB − P k sin(β)
Por simetría h es la distancia desde B a los 3 lados del triángulo.
O sea, es el radio de una circunferencia inscrita y tenemos
Lema 11. [Existencia de circunferencias inscritas]
Las 3 bisectrices se intersectan en un punto llamado bicentro o incentro.
Contenido
JJ
II
J
I
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21En Rn , no son rectas sino hiperplanos. Son rectas sus intersecciones con el plano L
PQR .
Para hallar B lo que se hace es sustituir el punto X = P + λ(Q − P ) + µ(R − P ) y hallar λ, µ.
Ejemplo 14. Dados P = (1, 0, 0), Q = (0, 1, 0), R = (0, 0, 1) ∈ R , primero calculamos los lados del triángulo que forman
3
Enrique R. Aznar
Dpto. de Álgebra
p
−−→
a = kQRk = k(0, −1, 1)k = 2
p
−→
b = kP Rk = k(−1, 0, 1)k = 2
p
−−→
c = kPQk = k(−1, 1, 0)k = 2
el bicentro o incentro tiene de coordenadas22
p p p
aP + bQ + cR ( 2, 2, 2)
1 1 1
B=
=
=( , , )
p
a +b +c
3 3 3
3 2
Ahora, calculamos el seno del ángulo de la bisectriz en P
2 1 1
2 1
(B − P ) · (Q − P ) = (− , , ) · (−1, 1, 0) = + = 1
3 3 3
3 3
q
q
como k(− 32 , 13 , 31 )k = 69 = 23 obtenemos
r
p
2p
3
1
1=
2 cos(α) =⇒ cos(α) =
=⇒ sin(α) =
3
2
2
Entonces, por 8, el radio de la circunferencia inscrita vale
r
h = kB − P k sin(α) =
22
21
1
= p = 0.408248
32
6
Coincide con el baricentro o centroide porque el triángulo es equilátero.
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Contenido
JJ
II
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I
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n
23
Definición 15. Decimos que un punto X ∈ R pertenece a la mediatriz
Enrique R. Aznar
Dpto. de Álgebra
³
´
−−→
P +Q
(MPQ ) del vector PQ si verifica X − 2 · (Q − P ) = 0
Las otras mediatrices son
¶
P +R
X−
· (R − P ) = 0
2
µ
¶
Q +R
X−
· (R −Q) = 0
2
µ
Para hallar la intersección con el plano del triángulo, lo que se hace es sustituir el punto X = P + λ(Q − P ) + µ(R − P ) y hallar λ, µ.
Se puede comprobar que siempre definen un único punto, llamado el circuncentro del triángulo.
Análogamente, se obtiene el ortocentro hallando la intersección de las tres
alturas. O sea, sustituyendo el punto X = P + λ(Q − P ) + µ(R − P ) en
(X − P ) · (R −Q) = 0
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Contenido
JJ
II
J
I
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(X −Q) · (Q − P ) = 0
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(X − R) · (Q − P ) = 0
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y resolviendo respecto a λ, µ
23No define una recta sino un hiperplano. Es una recta su intersección con el plano L
PQR
Ejemplo 15. Dados P = (1, 0, 0), Q = (0, 1, 0), R = (0, 0, 1) ∈ R , primero calculamos los puntos medios de los lados del triángulo que forman.
3
Enrique R. Aznar
Dpto. de Álgebra
1 1
1
1
1 1
( , , 0), ( , 0, ), (0, , )
2 2
2
2
2 2
Por tanto, las mediatrices son
µ
¶
1 1
X − ( , , 0) • (−1, 1, 0) = 0 ⇐⇒ −x + y = 0
2 2
µ
¶
1
1
X − ( , 0, ) • (−1, 0, 1) = 0 ⇐⇒ −x + z = 0
2
2
µ
¶
1 1
X − (0, , ) • (0, −1, 1) = 0 ⇐⇒ −y + z = 0
2 2
cuya solución general es x = y = z . Si sustituimos λ1 P + λ2Q + λ3 R =
(λ1 , λ2 , λ3 ), con λ1 + λ2 + λ3 = 1. El circuncentro tiene de coordenadas
C = ( 13 , 31 , 13 ). O sea, coincide con el bicentro calculado en el ejemplo anterior24 Ahora, calculamos las alturas
(X − (1, 0, 0)) • (0, −1, 1) = 0 ⇐⇒ −y + z = 0
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Contenido
JJ
II
J
I
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(X − (0, 1, 0)) • (−1, 0, 1) = 0 ⇐⇒ −x + z = 0
(X − (0, 0, 1)) · (−1, 1, 0) = 0 ⇐⇒ −x + z = 0
24Por ser el triángulo equilátero.
Cerrar
( 13 , 13 , 13 ).
y de nuevo obtenemos la misma solución
O sea, el ortocentro coincide con el circuncentro, con el bicentro y con el baricentro.
El radio de la circunferencia cicunscrita vale k( 31 −1, 13 , 31 )k =
q
6
9
Enrique R. Aznar
Dpto. de Álgebra
= 0.816497.
7. T ETRAEDROS EN Rn
Dados 4 puntos en P 1 , P 2 , P 3 , P 4 ∈ Rn , forman 6 vectores25 diferencia en Rn
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u 1 = P 2 −P 1 , u 2 = P 3 −P 1 , u 3 = P 4 −P 1 , u 4 = P 3 −P 2 , u 5 = P 4 −P 2 , u 6 = P 4 −P 3
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Aunque, basta con tres de ellos para definir una variedad afín que contenga
a los 4 puntos y cuyo subesp. vect. subyacente contenga a los 6 vectores
Contenido
©
ª
L = P ! + λ1 u 1 + λ2 u 2 + λ3 u 3 ∈ Rn : λ1 , λ2 , λ3 ∈ R =
JJ
II
= {(1 − λ1 − λ2 − λ3 )P 1 + λ1 P 2 + λ2 P 3 + λ3 P 4 : λ1 , λ2 , λ3 ∈ R} =
J
I
= {λ1 P 1 + λ2 P 2 + λ3 P 3 + λ4 P 4 : λ1 + λ2 + λ3 + λ4 = 1}
L es una variedad afín sobre W =< u 1 , u 2 , u 3 > que normalmente tendrá dimensión tres26 y la llamaremos el espacio afín definido por P 1 , P 2 , P 3 , P 4 .
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Definición 16. Llamamos combinación afín (c.a.) de 4 puntos de Rn al
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punto definido por λ1 P 1 + λ2 P 2 + λ3 P 3 + λ4 P 4 tal que λ1 + λ2 + λ3 + λ4 = 1
Cerrar
25En realidad, hay 12 vectores diferencia pero los otros 6 son sus opuestos
26si los vectores u , u , u son l.i.
1 2 3
A la cuaterna (λ1 , λ2 , λ3 , λ4 ) le llamamos sus coordenadas baricéntricas.
Llamamos tetraedro completo al conjunto de las c.a. tales que sus coordenadas sean positivas o cero.
Enrique R. Aznar
Dpto. de Álgebra
Así, un espacio que pasa por P 1 , P 2 , P 3 , P 4 es el conjunto de todas sus c.a.
3 +P 4
La c.a. mas sencilla es la suma P41 + P42 + P43 + P44 = P 1 +P 2 +P
.
4
Definición 17. Decimos que 4 puntos son no coplanarios o afín independientes cuando ninguno de ellos se puede poner como c.a. de los otros tres.
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También, 4 puntos son no coplanarios, si λ1 + λ2 + λ3 + λ4 = 0 y también
λ1 P 1 + λ2 P 2 + λ3 P 3 + λ4 P 4 = 0 entonces λ1 = λ2 = λ3 = λ4 = 0.
También equivale a que los vectores diferencia u 1 , u 2 , u 3 sean l.i. O sea,
Lema 12. P 1 , P 2 , P 3 , P 4 ∈ Rn son no coplanarios si y sólo si los vectores
diferencia u 1 , u 2 , u 3 son l.i. Entonces, decimos que definen un espacio 3D27.
Dada una de las 6 parejas P i , P j de puntos
Definición 18. Llamamos lado, arista o segmento i j del tetraedro al conjunto {λP i + µP j : λ + µ = 1, 0 6 λ, µ}. Decimos que dos lados de un tetraedro son opuestos cuando son disjuntos.
27Decimos que forman tetraedro. En otro caso, definen un triángulo o coinciden.
Contenido
JJ
II
J
I
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P i +P j
2
Claramente,
es el punto medio del lado i j . Además, hay 3 pares de
lados opuestos, 12 y 34, 13 y 24, 14 y 23. Si unimos los puntos medios de
las 3 parejas de lados opuestos, obtenemos las 3 rectas medianas. O sea,
½
¾
P1 + P2
P3 + P4
L1 = λ
+µ
: λ+µ = 1
2
2
½
¾
P1 + P3
P2 + P4
L2 = λ
+µ
: λ+µ = 1
2
2
½
¾
P1 + P4
P2 + P3
L3 = λ
+µ
: λ+µ = 1
2
2
Tomando λ = 12 = µ se ve que el punto
P 1 +P 2 +P 3 +P 4
4
Enrique R. Aznar
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Contenido
pertenece a las tres rectas.
Definición 19. Llamamos baricentro o centroide de 4 puntos de Rn al punto
P 1 +P 2 +P 3 +P 4
, que pertenece a la intersección de las 3 medianas.
4
Es fácil de comprobar que las medianas son perpendiculares si y sólo si cada
par de lados opuestos tienen la misma longitud (tetraedro regular).
Ejemplo 16. [El tetraedro canónico de R3 ]
Los puntos P 1 = (0, 0, 0), P 2 = (1, 0, 0), P 3 = (0, 1, 0), P 4 = (0, 0, 1) en R3 definen
los vectores u 1 = (1, 0, 0), u 2 = (0, 1, 0) y u 3 = (0, 0, 1) que son l.i. Por tanto,
forman un tetraedro en R3 .
p
Como 3 de sus lados miden 1 y los otros 2, es un tetraedro no regular.
3 +P 4
Su baricentro es el punto P 1 +P 2 +P
= ( 41 , 14 , 14 )
4
JJ
II
J
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8. T EST DE REPASO .
Enrique R. Aznar
Dpto. de Álgebra
Para comenzar el cuestionario pulsa el botón de inicio.
Cuando termines pulsa el botón de finalizar.
Para marcar una respuesta coloca el ratón en la letra correspondiente y pulsa
el botón de la izquierda (del ratón).
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Contenido
1. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.
(a) La grammiana de un conjunto de vectores nunca es cero.
(b) La grammiana de un conjunto de vectores siempre es distinta de cero.
(c) La grammiana de un conjunto de vectores sirve para caracterizar su
independencia.
(d) La grammiana de un conjunto de vectores sirve para caracterizar su
dependencia pero su independencia.
JJ
II
J
I
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2. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.
(a) La grammiana de un conjunto de vectores reales puede ser negativa.
(b) La grammiana de un conjunto de vectores reales nunca es negativa.
(c) La grammiana de un conjunto de vectores reales puede no existir.
Cerrar
(d) La grammiana de un conjunto de vectores reales existe cuando son
independientes.
3. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.
(a) La suma de los ángulos de un triángulo en R4 puede ser mayor de
180◦ .
(b) La suma de los ángulos de un triángulo en R5 puede ser menor de
180◦ .
(c) Los triángulos no existen en Rn cuando n > 3.
(d) Los triángulos en Rn tienen las mismas propiedades que en R2 .
4. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.
(a) El producto vectorial de dos vectores existe siempre en Rn .
(b) El producto vectorial de dos vectores puede ser negativo.
(c) El producto vectorial de dos vectores existe siempre en R3 .
(d) El producto vectorial de dos vectores siempre es mayor que cero.
5. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera en R3 ?.
(a) El producto vectorial de dos vectores siempre es conmutativo.
(b) El producto vectorial de dos vectores siempre es distributivo.
(c) El producto vectorial de dos vectores siempre es asociativo.
Enrique R. Aznar
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JJ
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(d) El producto vectorial de dos vectores nunca es conmutativo.
6. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera en R3 ?.
(a) El producto vectorial de dos vectores es ortogonal consigo mismo.
(b) El producto vectorial de dos vectores puede ser el vector cero.
(c) El producto vectorial de dos vectores nunca es el vector cero.
(d) El producto vectorial de dos vectores nunca es antisimétrico.
7. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera en R3 ?.
(a) El producto triple escalar es siempre positivo.
(b) El producto triple escalar de tres vectores es otro vector.
(c) El producto triple escalar es un número real.
(d) El producto triple escalar nunca es negativo.
Enrique R. Aznar
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8. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.
(a) El producto triple escalar siempre se interpreta como un volumen.
(b) El producto triple escalar a veces se interpreta como un volumen.
(c) El producto triple escalar puede no existir en R3 .
(d) El producto triple escalar existe siempre en Rn .
9. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.
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(a) El espacio afín no es mas que un espacio vectorial.
(b) El espacio afín tiene un punto distinguido.
(c) El espacio afín a veces contiene vectores a veces puntos.
(d) En el espacio afín todos los puntos son iguales.
10. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.
(a) Una variedad afín siempre pasa por el origen.
(b) Las variedades afines tienen todas la misma dimensión.
(c) Una variedad afín no es mas que un subesp. vect..
(d) Una variedad afín tiene la dimensión del esp. vect. subyacente.
Enrique R. Aznar
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