1) a) Sea r = (x, y, z) y L = r × ˙r, empleando r = GMr

1) a) Sea r = (x, y, z) y L = r × ṙ, empleando r̈ = GM r−2.001 r/r (fuerza igual a masa por
aceleración), se tiene L̇ = ṙ × ṙ + r × r̈ = 0. Por tanto L es un vector constante y si es no nulo,
r pertenece al plano L · r = 0. Si fuera nulo, r y ṙ serı́an proporcionales y el movimiento se
producirı́a en una recta.
b) Sı́ es constante. De hecho tomando r = (r cos θ, r sen θ, 0) en el apartado anterior, la
tercera coordenada de L es r2 θ̇. Otra forma de proceder, sin usar lo anterior, es considerar el
lagrangiano en polares L = 21 m(ṙ2 + r2 θ̇2 ) + Km/r1.001 , la ecuación de Euler-Lagrange para θ
afirma d(r2 θ̇)/dt = 0.
2) a) Numeremos los vértices A, B, C como 1, 2, 3. Como no se vuelve atrás, p21 = p32 =
p13 = 0. Por los datos del enunciado, p11 = 1/4, p22 = 1/2, p33 = 3/4. Entonces, usando que
las filas de la matriz P de probabilidades de transición suman 1, se obtiene


1/4 3/4 0
P =  0 1/2 1/2 .
1/4 0 3/4
b) La cadena de Markov es regular porque P 2 tiene todos sus elementos no nulos. Esto
implica, por la teorı́a, que hay una única distribución lı́mite y que coincide con la estacionaria
(π)P = (π). Si (π) = (x, y, z), el sistema es (x + z)/4 = x, (3x + 2y)/4 = y, (2y + 3z)/4 = z,
que combinado con x + y + z = 1 lleva a (π) = (2/11, 3/11, 6/11).
c) Por la teorı́a, el tiempo medio de retorno a B es y −1 = 11/3. Si hemos abandonado B,
estamos en C y el tiempo esperado de vuelta a B no es restar un minuto, porque ir de B a B
tiene probabilidad no nula y no se corresponde con ningún camino que pase por C.
3) [Ver los apuntes de clase o los apuntes colgados en la web.]
4)
1
1
0
1/2
0
1/2
1 cara
1/4
2 caras
1
1/4
0 caras
a) La entropı́a es H = − 24 log2 14 − 21 log2 12 =
1.5 bits porque si si es el suceso salir i caras,
i = 0, 1, 2, se tiene p0 = p2 = 1/4 y p1 = 1/2.
b) En el esquema está representado el árbol
correspondiente al algoritmo de Huffman, que
darı́a lugar a la codificación s0 →11, s2 →10,
s1 →0. Con ella la longitud media es `(C) =
2 · 14 + 2 · 14 + 1 · 21 = 1.5 (que coincide con la entropı́a y es por tanto óptimo) y la longitud media
es 1000 · 1.5 = 1500 bits.